G-complejos CW modelados por productos torcidos

Sea x= ∑^pi=0a_iv_i y{x_n} conx_n= ∑aⁿ_iv_i tal que x_n→x. Se puede ver que x_n→x si y s´olo si aⁿ_i →a_i para todai=0, . . . , p. Entonces,

xl´ımn→xψ(xn) = l´ım

xn→xψ(∑aⁿ_ivi) = l´ım

xn→x∑aⁿ_i[vi] = ∑ai[vi] =ψ(x)

Veamos que ϕ es inyectiva, supongamos que ϕ([∑a_iv_i]) = ϕ([∑a_iu_i]), es decir

∑ai[vi] = ∑ai[ui], por tanto ∑aivi = ∑aigiui. Pero como K es un G-complejo regular, tenemos que existe g∈G tal que∑aivi = ∑aigui y por tanto ∑aivi=g∑aiui y entonces, [∑a_iv_i] = [∑a_iu_i].

Veamos que ϕ es sobre: Demostraremos que, para cualquier ∑ai[vi] ∈ ∣K/G∣, existe un simplejo {u_i} ∈K con[u_i] = [v_i] para cadaital que[∑a_iu_i] ∈ ∣K∣ /G.

Como ∑ai[vi] ∈ ∣K/G∣, tenemos que {[vi]} es un simplejo en K/G. Entonces por definici´on existe un simplejo {ui} ∈ K con [ui] = [vi] ∈ K/G para toda i; por tanto, [∑a_iu_i] ∈K/G es tal queϕ([∑a_iu_i]) = ∑a_iu_i.

Hasta ahora hemos probado que ϕ es una biyecci´on continua, entonces como ∣K∣ es compacto,∣K∣ /G tambi´en lo ser´a, adem´as∣K/G∣es Hausdorff, por tantoϕes un homeo- morfismo.

((12), x) = ((1)(12), x) ∼ ((1),(12)x) = ((1), x) ((13), x) = ((123)(12), x) ∼ ((123),(12)x) = ((123), x) ((23), x) = ((132)(12), x) ∼ ((132),(12)x) = ((132), x)

Entonces,

S3×(12){x} = {[((1), x)],[((123), x)],[((132), x)]}.

Tambi´en tenemos que(123) rota a los tres puntos enS₃×₍12){x}, y que(12)intercambia los puntos [((123), x)]y[((132), x)].

Ahora, construiremos, para un grupo fijo G, complejos con productos torcidos como celdas. ´Esto se har´a inductivamente como sigue:

1. Comenzemos con un conjunto discreto de puntos X₀, y una acci´on en X₀ dada por G.

2. Dado Xn−1, peguemos los productos torcidos G×^Hα ∆^m_α a Xn−1 via inclusiones G-invariantes de sus fronteras. ObtendremosX_n.

Los H_α’s son subgrupos deG. Aqu´ı, ∆^m_α sonm-simplejos (con lasm’s posiblemente diferentes entre ellas y de n), donde los Hα act´uan sobre X0 por restricci´on y se extienden a una acci´on lineal sobre

∆^m_α = ⟨Vert(∆^m_α)⟩ = {∑^m

i=0

a_ie_i∣∑^m

i=0

a_i=1, a_i ≥0}, definida por g(∑^mi=0aiei) ∶= ∑^mi=0aigei.

Estrictamente hablando, ∆^m_α es un disco de una representaci´on deHα, es decir,

H_αÐ→^ρ aut(⟨Vert(∆^m_α)⟩)

gz→ ρ_g∶ ⟨Vert(∆^m_α)⟩ Ð→ ⟨Vert(∆^m_α)⟩

e_iz→g⋅e_i.

con Vert(∆^m_α) = {ei}^mi=0 Ahora α indexa todas las celdas que son agregadas a X en el paso n.

Para ser preciso, consideremos los morfismos

ι∶G×Hα∂∆^m_α ↪G×Hα∆^m_α la inclusi´on natural (que esG-equivariante), ϕα∶G×^Hα∂∆^m_α →Xn−1 G-equivariante,

X_n es el espacio

X_n−1⊔αG×Hα∂∆^m_α /ι(x) ∼ϕα(x)

G×Hα_{ _}∂∆^m_α ^{ϕα //}

ι

X_n−1

G×^Hα∆^m_α ^//Xn

3. Tenemos inclusiones naturales X₀ ⊂X₁⊂. . . , definimos X= ∪nX_n.

Decimos que X es un G-complejo CW modelado en discos de representaciones.

Esto es an´alogo a la construcci´on estandar de complejos CW. Tomaremos siempre espacios y grupos finitos, sin embargo la construcci´on funciona sin estas restricciones.

Ahora, veremos como unG-complejo simplicial puede considerarse como unG-complejo CW modelado en discos de representaciones:

1. Sea K un G-complejo simplicial (para un grupo fijo G). Sea K0 su conjunto de v´ertices.

2. Supongamos que hemos construido Kn−1. Particionemos el conjunto de n-simplejos de K en sus G-´orbitas,Oⁿ_α= {g∆ⁿ_α∣g∈G}(recordemos que tenemos una acci

on G×K→K).

Sea ∆ⁿ_α un representante deOⁿ_α, y seaHα el subgrupo deGque consiste de aquellos elementos que dejan ∆ⁿ_α invariante, es decir,

H_α= {g∈G∣g∆ⁿ_α=∆ⁿ_α}.

Entonces Hα act´ua en ∆ⁿ_α, y as´ı podemos ver que la uni´on disjunta de los simplejos en O_αⁿ esG-homeomorfa aG×Hα∆ⁿ_α:

Demostraci´on. Consideremos,

φ∶G×Hα∆ⁿ_α→O_αⁿ (g, x) ↦gx Veamos queφ esG-equivariante: Tenemos que para g∈G

φg(g^′, x) =φ(gg^′, x) =gg^′x=gφ(g^′, x)

Veamos queφ esta bien definida: Sea (g₁, x) = (g₂, y) es decir g₁ =g₂h,y =hx para alguna h∈H_α. Entonces

φ(g1, x) =g1x=g2hx=g2y=φ(g2, y)

Veamos que φ es continua: Sea gx∈ O_αⁿ (con g ∈ G, x ∈ ∆ⁿ_α) y sea V_g∆ un abierto en O_αⁿ. Ahora podemos ver que V_g∆ = gV_∆ donde V_∆ es un abierto en ∆ⁿ_α, en particular x ∈ V∆, entonces si consideramos el abierto {g} ×V∆, tendremos que φ({g} ×V_∆) ⊂gV_∆=V_g∆.

Veamos que φ es inyectiva: Supongamos que g₁x = g₂y con x, y ∈ ∆ⁿ_α, es decir x = g⁻₁¹g₂y ∈ ∆ⁿ_α con g₁⁻¹g₂ ∈ G, por tanto g₁⁻¹g₂ ∈ H_α. Si denotamos h = g⁻₁¹g₂ tenemos quex=hy yg2=g1h, por tanto(g2, y) = (g1h, y) ∼ (g1, hy) = (g1, x). Veamos que φ es sobreyectiva: Sea α ∈ O_αⁿ es decir α = gx para algunos g ∈ G y x∈∆ⁿ_α, entoncesφ(g, x) =gx=α.

Ahora, como G×^Hα∆ⁿ_α es compacto yOⁿ_α es Hausdorff tenemos queφes un homeo- morfismo.

Podemos dar una demostraci´on alternativa en [1, Proposici´on 3.2, p.80].

Entonces, eln-esqueleto es obtenido de pegarG×^Hα∆ⁿ_αpara todaαaKn−1v´ıa inclu- siones de sus fronteras. Estas inclusiones ser´an G-equivariantes, as´ı la construcci´on del esqueleto de K_n sigue fielmente la construcci´on de un G-complejo CW.

3. Ahora, el n-esqueleto de ∣K∣es⋃^l≤nK_l, as´ı∣K∣es el G-complejo CW⋃ⁿK_n.

Ejemplo 2.4.3. SeaKcomo en el ejemplo 2.3.9; describiremos como elG-complejo simpli- cialKpuede considerarse como unG-complejo CW modelado en discos de representaciones

Comenzamos la construcci´on del G-complejo CW conK₀ como sigue:

Vemos que la ´unica ´orbita posible enK1 es la siguiente:

O_α¹ ∶V₀V₄→V₁V₄→V₂V₄→V₃V₄→V₀V₄.

Sea ∆¹_α=V₀V₄∈O_α¹, en este caso, H_α= {e} (el elemento trivial de Z4). Ahora, Z4×∆¹_α= ⋃{{hi} ×∆¹_α∣hi∈Z4}

={{e} ×V0V4,{g} ×V0V4,{g²} ×V0V4,{g³} ×V0V4}. Sean g∈Z4 yx∈∆¹_α, entonces para cadah∈ {e},

(g, x) = (ge, x) = (gh, x) ∼ (g, hx) = (g, ex) = (g, x).

As´ı, utilizando el morfismoφ_α como en la demostraci´on anterior tenemos que:

Z4×{e}∆¹_α≅Z4 O¹_α= ⊔⁴

α=1

∆¹_α. (g, x) ↦g⋅x

Ahora,

Z4× {V_{ _}0, V4} ^{φα∣ //}

X0= _K0

G×∆¹_α ^//X₁=X0⊔Z4×∆¹_α/gV_i∼ (g, Vi) .

Finalmente, el G-complejo CW resultante tiene la siguiente forma, (con las celdas pe- gadas en el sentido degVi ∼ (g, Vi)):

Recuperando as´ı el G-complejo simplicial originalK.

N´otese que si G es no-abeliano, las diferentes “copias” de ∆^m_α, indexadas por G/H_α no tienen los mismos grupos de invarianza. De hecho, si el grupo de invarianza de ∆ esH, g∆ tendr´a grupo de invarianzagHg⁻¹ (i.e. ser´an conjugados).

Hg∆={g˜∈G∣gg∆˜ =g∆}

={g˜∈G∣g⁻¹gg∆˜ =∆}

=g{g˜∈G∣g∆˜ =∆}g⁻¹

=gH_∆g⁻¹

Ahora, los subgrupos H_α < G ser´an determinados salvo clase de conjugaci´on, y para determinarla exactamente necesitamos fijar un representante ∆ⁿ_α.

Para ver que elG-complejo CW construido a partir de K est´a bien definido, veremos que

G×^H ∆≅^GG×gHg⁻¹g∆.

Veamos la Proposici´on y la observaci´on de [1, p.81], y los siguientes resultados.

Proposici´on 2.4.4. Para un grupoG,H≤Gy un espacio topol´ogicoX. Seaf ∶G→f(G) un isomorfismo y l∶X→l(X) un homeomorfismo (no necesariamente equivariante) y una acci´on⋅ ∶f(H) ×l(X) →l(X). Entonces

∗ ∶H×X→X

(g, y) ↦l⁻¹(f(g) ⋅l(y)), es una acci´on.

Demostraci´on.Seaeel elemento neutro de G, tenemos que

e∗y=l⁻¹(f(e) ⋅l(y)) =l⁻¹(e⋅l(y)) =l⁻¹l(y) =y Seang₁, g₂∈G, por un lado tenemos

(g1g2) ∗y=l⁻¹(f(g1g2) ⋅l(y)) =l⁻¹(f(g1)f(g2) ⋅l(y)) tambien tenemos que

g1∗(g2∗y) =g1∗[l⁻¹(f(g2)⋅l(y))] =l⁻¹(f(g1)⋅l[l⁻¹(f(g2)⋅l(y))]) =l⁻¹(f(g1)f(g2)⋅l(y)) por tanto (g₁g₂) ∗y=g₁∗ (g₂∗y)

Definamos

I∶G×^HX→f(G) ×f(H)l(X) (g, y) ↦(f(g), l(y)).

Veamos queIest´a bien definida: como(g, y) ∼ (gh⁻¹, h∗y) = (gh⁻¹, l⁻¹[f(h)⋅l(y)])tenemos que

I(gh⁻¹, h∗y) =I(gh⁻¹, l⁻¹[f(h) ⋅l(y)])

=(f(gh⁻¹), l(l⁻¹[f(h) ⋅l(y)]))

=(f(g)f(h)⁻¹, f(h) ⋅l(y))

∼(f(g), l(y))

=I(g, y),

por tantoI est´a bien definido. Ahora veamos queI esG-equivariante, para ´esto seag1∈G, veamos que el siguiente diagrama conmuta:

G×HX ^{I //}

g1

f(G) ×f(H)l(X)

f(g1)

G×^HX

I //f(G) ×f(H)l(X) ,

donde la acci´on natural de g₁∈Gesta dada por:

g1⋅ (g, y) ∶= (g1g, y).

Sea(g, y) ∈G×^HX, entonces tenemos que como f es isomorfismo (g, y_{_} ) ^{I //}

g1

(f(g)_{_}, l(y))

f(g1)

(g₁g, y) _I ^//(f(g₁g), l(y)) = (f(g₁)f(g), l(y)) .

Por tanto I esG-equivariante. Ahora consideremos la siguiente funci´on J ∶f(G) ×f(H)l(X) →G×H X

(g, y) ↦(f⁻¹(g), l⁻¹(y))

Podemos ver que J es inversa de I, demostremos que J est´a bien definida: Sea (g, y) ∈ f(G) ×f(H)l(X), ´esto implica queg=f(g^′), y=l(x) para algunos x∈X, g^′∈Gy (g, y) ∼ (gh⁻¹, hy) para alg´unh=f(h^′) conh^′∈G, por tanto

J(gh⁻¹, hy) =(f⁻¹(gh⁻¹), l⁻¹(hy))

=(f⁻¹(g)f⁻¹(h⁻¹), l⁻¹(f(h^′) ⋅l(x)))

=(f⁻¹(g)f⁻¹(f(h^′−1), h^′x)

=(f⁻¹(g)h^′−1, h^′l⁻¹(y))

∼(f⁻¹(g), l⁻¹(y))

=J(g, y).

EntoncesJ est´a bien definida. ´Esto demuestra queI es un homeomorfismoG-equivariante.

Tomando

X=∆ⁿ_α, f ∶G→G

h↦ghg⁻¹, l∶∆ⁿ_α→g∆ⁿ_α

x↦g⋅x obtenemos la equivalencia

G×H∆≅GG×gHg⁻¹g∆.