La clave de nuestro algoritmo y del filtrado ˇCech generalizado es encontrar la escala ˇCech de símplex. Sin embargo, también mostramos cómo calcular la homología persistente de la fuga generalizada de ˇCech encontrada por nuestro algoritmo.
Complejos simpliciales
En el siguiente ejemplo veremos algunos complejos abstractos simples creados a partir del mismo conjunto de vértices. Por otro lado, tenemos otra forma de generar complejos abstractos simples a partir de un conjunto de puntos finitos.
Construcci´ on del complejo de ˇ Cech generalizado
Además, en [8] mostramos que si M es un sistema de Vietoris-Rips enRd, entonces M√2d/(1+d) es un sistema ˇCech. Sea {λ∗σ ∣ σ ∈ Rt(M) − Rs(M)} el conjunto de todas las escalas ˇCech de cada subsistema Vietoris-Rips entre los términos sucesivos Rs(M) ⊊ Rt(M) de la filtración Vietoris-Rips del sistema M-ball.
Filtraci´ on de ˇ Cech en sistemas de discos 15
Sistemas de Vietoris-Rips y de ˇ Cech
No es difícil calcular la escala de Vietoris-Rips λM para un sistema de discos M = {D1, D2,. El resultado es trivial, si M es un sistema Cech, entonces sea λ>λM la escala Cech de un sistema de discos M. Para un sistema de discos M dado, el lema anterior se puede aplicar simplemente usando la escala de Vietoris-Rips.
Si M es un sistema de discos y λ∗ es la escala de ˇCech, del lema anterior tenemos que ρM(λ) ≥ 0 para todo λ ≥ λ∗. Para encontrar la escala ˇCech del sistema de discos, necesitamos resolver la ecuación ρM(λ) = 0. Para cualquier sistema de disco M, el algoritmo CechScale realiza la escala ˇCechλ∗ de M.
Aplicaci´ on: El problema de la bola minimal en el plano
La escala ˇCech del sistema de bolas S en Rd viene dada por la escala Cech del sistema de discosˇ M dada anteriormente. De esta forma, para sistemas de bolas en Rd(d>2) sólo podemos calcular hasta el 2−esqueleto, o en dimensiones mayores del esqueleto si el sistema de bolas en Rd es coplanar. Para ello necesitamos definir el sistema de discos N1 = {Di(ci; 1) ⊂R2 ∣ci ∈ N} asociado al conjunto finito de puntos N.
Por lo tanto, λ∗ se calculó con CechScale, y en la Figura 2.10 podemos observar el comportamiento de la esfera mínima de setN. Recuerde que nuestro objetivo es calcular el filtrado ˇCech generalizado, pero CechScale es capaz de dar el radio del discoD para puntos en R2 si consideramos el sistema estándar unitario asociado y se calcula su escala ˇCech.
Estructuras simpliciales filtradas de sistemas de Vietoris-Rips y ˇ Cech
La definición anterior nos permite estudiar la topología de los sistemas de bolas a través de la homología persistente de sus filtraciones Vietoris-Rips (o ˇCech, respectivamente), como se mostrará en el siguiente capítulo. Dado un sistema de bolas M, denotamos por λ∗σ la escala ˇCech del subsistema de bolasσ⊂M. El filtrado Vietoris-Rips es una de las herramientas más utilizadas en el análisis de datos topológicos para estudiar la topología de un conjunto finito de puntos, principalmente porque es fácil, rápido y computacionalmente económico de construir.
En [26] se puede encontrar un algoritmo eficiente para construir el complejo Vietoris-Rips, junto con otras estructuras simpliciales. Además, en [2] y [3] se encuentra disponible una estructura de datos eficiente para almacenar complejos simpliciales y sus filtros. Lo que queremos lograr es desarrollar un algoritmo como Zomorodian en [26], pero en lugar de generar un complejo Vietoris-Rips, genera un filtro Cech generalizado.
Algoritmo para la filtraci´ on de ˇ Cech
De esta manera no es necesario realizar cambios en el filtrado y se puede calcular la homología continua del sistema M-ball original. Los cálculos de homología simples para cada nivel de filtrado muestran que H1(∆r,Z) ≅Z para todos los 1≤r≤R. De la construcción del filtrado tenemos que todos los centros aparecen en el nivel 1, es decir
Al obtener la fuga del sistema de discos, podemos calcular una homología persistente con PERSEO. De esta forma, podemos estudiar la homología persistente para saber qué tipos de homología sobreviven a la filtración. Sea F= {χm}Mm=1 una filtración del complejo (χ, κ), sea la unión acíclica F−subordinada a χ, y sea (A, κμ) el complejo Morse asociado con la filtración Morse en Fμ= {Soy}Mm= 1.
Topolog´ ıa de un sistema de discos 35
Homolog´ıa persistente
Hemos definido la homología simple de un complejo simple abstracto dado y también analizamos el concepto de filtración. La homología continua une estos dos conceptos, asociados con el mismo complejo simple abstracto K, para formar un nuevo objeto algebraico que nos brinda información topológica sobre el crecimiento de K a través de su filtración. Como vimos en la sección anterior, para cada 0 ≤ i ≤ m podemos calcular la homología simple de Ki.
Tenga en cuenta que si la dimensión es Kesn, todos los grupos de homología serán triviales. El objetivo principal de la homología persistente es comprender cómo se relacionan los diferentes grupos de homología a través de las inclusiones de filtración. Esta clase de comportamiento la estudiaremos en este apartado, el comportamiento de las clases de homología mediante filtración.
C´ odigo de barras y diagrama de persistencia
Podemos ver cómo c1 pertenece a una clase de homología de dimensión 0 y K2 se une a los demás para tener un único componente conectado. Las líneas inferiores indican las clases de homología de dimensión 0, en el momento 0 hay 5, ya que cada símplex 0 representa un componente conectado. Las líneas superiores (rojas) representan las clases de homología unidimensional, podemos ver que en el momento 1 nace una clase, la cual muere en el momento 3, y en el momento 2 nace otra clase, que no muere durante la filtración.
El diagrama de persistencia es una representación gráfica de Hi,j;d(K) que consta de una colección de puntos en un plano cuyo eje horizontal representa el momento en que nacen las clases y el eje vertical representa el momento de la muerte. , donde cada punto representa una clase de homología. Podemos ver que los puntos nacen en el tiempo cero, ya que son los que representan las clases de homología de dimensión 0, mientras que algunos mueren en el tiempo 1, y otros en el tiempo 2. Debe quedar claro que tener homología persistente es diferente a tenerla. la simple homología en cada nivel del filtrado.
An´ alisis topol´ ogico de datos
De esta manera, muchos elementos también generan grupos de homología. Lo que hacen es un análisis comparativo entre diferentes complejos (con el mayor tamaño de software permitido), diferentes software (bibliotecas abiertas al público), diferentes procesadores y capacidad de una computadora (memoria requerida para cada proceso) y el tiempo que requerido para cada caso planteado. Pero aunque no utilizamos todos los símplex, tenemos la propiedad de que los grupos de homología son isomórficos (ver [9]).
Uno de ellos es PERSEUS, que calcula la homología persistente de diferentes tipos de complejos filtrados. Consiste en introducir filtrado codificado y obtener intervalos de homología persistentes representados de la misma forma en el código. Quizás una de las ventajas más importantes que ofrece PERSEUS es que se basa en la teoría de Morse, por lo que no importa el tipo de complejo introducido ni su tamaño.
Software PERSEUS
Lo que esta teoría nos ayuda a hacer es "prestar atención a algunas cosas simples" y cuándo bebemos. Hay un trabajo, en la literatura, que muestra una forma efectiva de generar funciones Morse, que son el medio para lograr esos "simplex significativos". Lo que se hace en [14] es que dado un complejo (más bien, las simplificaciones que lo componen) junto con una función inyectiva en los vértices, muestra específicamente cuáles son los simplex de nuestro interés.
Una limitación de este algoritmo es que el complejo debe tener como máximo dimensión 2, es decir, el simplex de mayor dimensión que podemos tener es 2−símplex.
Homolog´ıa persistente de un sistema de discos
Usando nuestro algoritmo CechFiltration, obtenemos el filtrado ˇCech, donde tenemos en cuenta que los parámetros no superan 0,6. La última columna indica el grado de filtración y por tanto el parámetro que caracteriza la escala ˇCech del simplex (λi). Recuerde que cada elemento de la lista de parámetros anterior crea un nivel de filtro con al menos una diferencia simple.
Este capítulo presentará los scripts utilizados en este trabajo para calcular la fuga general de ˇCech del sistema de disco enR2. El siguiente script es responsable de crear una fuga en el sistema de disco y expulsar el archivo de texto de especificación PERSEUS. Cada simplex tendrá su propio parámetro y se considerarán en la filtración aquellos que cumplan con la condición de ser menor o igual al mayor.
Si tienes vecinos, crea sus superparcelas y son candidatos para filtros simples. Con este script podemos realizar el filtrado según lo requiera PERSEUS, es decir, con niveles en lugar de valores de parámetros simples.
Filtraciones y homolog´ıa persistente
Cuando χ′ es un subcomplejo, el complejo de cadena asociado C(χ′) es un subcomplejo de cadena de C(χ). Al tener χ′ como un subcomplejo de χ, los módulos de homología Hn(χ, χ′) también se definen como los módulos de homología relativos Hn(C(χ), C(χ′)) de complejos de cadena.
Teor´ıa de Morse discreta para filtraciones
Se demuestra que la función de incidencia de Morse κμ no sufre cambios durante el paso de reducción. Más específicamente, siκ′µ′ es la función de incidencia de Morse inducida por el emparejamiento acíclico µ′ en el complejo reducido χ′. Finalmente, damos una visión general de la demostración del teorema principal de la teoría de Morse discreta (B.3.4).
Al subordinar un enlace a una fuga, nuestro complejo Morse que surge de ese enlace tiene una fuga que es respetada por el enlace. Así como tenemos una filtración F para χ y un par acíclico F−subordinado µ, para el complejo Morse asociado (A, κμ) tenemos (Am, κmμ) asociado a cada µmenχm. Se puede comprobar que el complejo Morse (A, κμ) asociado a µ como filtración tiene Fμ= {Am}Mm=1.
Simplificando el c´ alculo de la homolog´ıa persistente
Para el primer algoritmo, se introduce un nivel de filtrado y se obtiene un elemento crítico del nivel. Se introducen dos elementos de un nivel de filtrado que serían iguales en μ, por lo que se descartan como críticos de futuro. Para este ejemplo, realizaremos un filtrado y obtendremos el complejo Morse junto con su filtrado asociado.
En la figura B.3 podemos ver una realización geométrica del filtrado del complejo original y del complejo Morse. Gracias al ejemplo anterior tenemos un complejo con su filtrado y el complejo Morse con su filtrado. Comenzando diciendo que usando el Teorema B.3.7 se puede confirmar que la Fμ generada por el algoritmo aquí presentado tiene la misma homología estable que la F de filtrado de χ.
