MATERIALES Y MÉTODOS
4.3 Ángulos de transmisión
Es así que ahora, tenemos una mejor configuración que la del mecanismo inicial, donde se modificó básicamente la posición del punto O4, ahora procedemos a estudiar el
impacto en el mecanismo con la mejora de posición del punto O2. Analizaremos el punto
O2, ya que es aquí donde reside toda la inercia (volante) que queremos vencer, es decir
la fuerza de entrada esta aplicada en el eslabón acoplador y el eslabón de salida estará en el eslabón W, por eso tenemos especial interés en mejorar el ángulo μ formado entre el eslabón W y V. Somos conscientes que el ángulo de transmisión tiene un rango establecido (0° a 90°) ya que se trata de una manivela, pero podemos mejorar el ángulo en determinadas posiciones críticas Definimos posición crítica como la posición de la manivela donde, el deportista está ejerciendo fuerza sobre el eslabón acoplador. Se imaginariamente dividimos en cuadrantes con centro en O2, podríamos decir que la
fuerza se ejerce en el 1° y 4° cuadrante. Ya que cuando la manivela está en el 2° y 3° cuadrante, su movimiento es impulsado por la inercia de la volante y por el impulso de la otra pierna del deportista.
Fig. 4.35 Puntos críticos de aplicación de la fuerza hacia el eslabón de salida.
Fuente: Elaboración propia
En la fig. 4.35 alrededor del punto O2 se seleccionaron 4 puntos críticos los cuales
consideramos útiles para el análisis que desarrollaremos. Hacemos un paréntesis en el estudio y veamos ahora los ángulos de transmisión μ del mecanismo inicial, en los 3 punto prescritos y en el punto crítico ubicado en el eje Y positivo P4 (al analizar los tres
del eje Y positivo; serán en total 4 puntos analizados), claramente P4 no es un punto
prescrito pero será útil denominarlo así para identificar la ubicación critica cuando es eslabón 2 esta vertical en el eje Y positivo. Con los datos iniciales del mecanismo original (ítem 4.1) y haciendo uso del AutoCAD, medimos el ángulo en las posiciones indicadas.
Angulo de transmisión μ inicial en el punto prescrito P1, P2, P3 y criticoP4
Cuando el mecanismo pasa por P1
Fig. 4.36 Angulo 𝜇1 en la posición prescrita P1 del mecanismo inicial
Fuente: Elaboración propia
Donde μ1= 177.32 °
μ1 = 180 – 177.32 = 2.68°
Cuando el mecanismo pasa por P2
Fig. 4.37 Angulo 𝜇2 en la posición prescrita P2 del mecanismo inicial
Fuente: Elaboración propia
Cuando el mecanismo pasa por P3
Fig. 4.38 Angulo 𝜇3 en la posición prescrita P3 del mecanismo inicial
Fuente: Elaboración propia
Donde μ3 = 7.81 °
Cuando el mecanismo pasa por el punto crítico P4
Fig. 4.39 Angulo 𝜇4 en la posición P4
Fuente: Elaboración propia
Donde μ4= 72.7 °
Sabemos que la manera en la que mejoraremos el ángulo de transmisión μ será cambiando el punto O2, entonces aplicando la teoría de Círculos con punto en el centro,
variaremos los valores de β2 y β3, para la configuración mejorada a través del ángulo γ3
4.3.1 Iteración de β2
Fig. 4.40 Ubicación de 𝛽2 a iterar
Fuente: Elaboración propia
Se itero el ángulo β2 desde 0° a -360° (considerando β3 = -172.31), de manera que se
obtuvieron los valores para la posición de O2. Al graficar las coordenadas indicadas en
la tabla 4.8, obtenemos la gráfica 4.41 donde se observa una circunferencia, la cual representa las posibilidades de ubicaciones del punto fijo O2
Fig. 4.41 Posiciones del punto O2, según la iteración de 𝛽2
Fuente: Elaboración propia -65.56, 0.68 -200 -150 -100 -50 0 50 100 -100 -50 0 50 100 150 200 250 Y (cm) X (cm) Se realiza la síntesis analítica estableciendo β3 = -172.31°, ya que es el valor inicial. Y se itera el valor de β2 de 0° a 360°,
cada ubicación de los puntos fijos que nos resulta de la iteración se grafica en el plano cartesiano, obteniéndose
la circunferencia
Tabla 4.9 Coordenadas del O2, según la iteración de β2 β2 O2x O2y -10 28.67 -182.43 -20 -11.14 -165.68 -30 -41.06 -140.4 -40 -60.63 -111.62 -50 -71.31 -82.94 -60 -75.2 -56.37 -70 -74.24 -32.72 -80 -69.98 -12.15 -87.1 -65.56 0.68 -90 -63.51 5.53 -100 -55.59 20.65 -110 -46.72 33.54 -120 -37.21 44.52 -130 -27.28 53.85 -140 -17.02 61.76 -150 -6.49 68.41 -160 4.28 73.93 -170 15.33 78.4 -180 26.66 81.88 -190 38.34 84.37 -200 50.41 85.85 -210 62.92 86.25 -220 75.95 85.43 -230 89.54 83.22 -240 103.72 79.37 -250 118.46 73.53 -260 133.67 65.22 -270 149.12 53.88 -280 164.31 38.79 -290 178.37 19.14 -300 189.84 -5.78 -310 196.53 -36.33 -320 195.46 -71.83 -330 183.39 -109.84 -340 158.106 -145.58 -350 120.31 -172.69 -360 74.73 -185.61
Para las ubicaciones de O4 se obtuvieron los círculos con punto central tanto para la
iteración de γ2 y γ3, pero según el cálculo tanto la variación de γ y β son independientes;
es decir, si variamos γ solo cambian los puntos O4, y si variamos β solo cabíamos los
puntos fijos O2. Es por eso que si elegimos un valor arbitrario “x” para γ2 mientras γ3
varia de 0 a -360° describe el mismo circulo que si elegimos arbitrariamente el valor “x” para β2 mientras β3 varia de 0° a -360°, motivo por el cual los círculos con punto central
para la iteración de β2 desde 0° a -360° mientras elegimos valores arbitrarios de β3 será
la misma de la fig. 4.13. En la fig. 4.41 se indica la posición del punto O2 en ubicación
inicial, la cual corresponde cuando β2 = -87.1°, se puede ver que hay valores muy
extremos de 200 cm en el eje Y negativo, o 200 cm en el eje X positivo. Entonces establecemos las restricciones: (ver los colores que indican el rango restringido en la tabla 4.9)
0 < O4y - O2y < 100 cm
Sabemos que las coordenadas de O4 (6.45; 52.73), por lo tanto, en la primera parte de
la desigualdad tenemos que coordenadas O2y por arriba de 52.73 no serán parte de la
solución, ya que no sería un ejercicio cómodo para el deportista. En la segunda parte de la desigualdad entendemos que la distancia vertical entre los puntos fijos no debe superar 1 m. ya que sería incómodo para la posición de los brazos
50 cm < O4x - O2x < 100 cm
Teniendo en cuenta que la coordenada de O4x es 6.45, una distancia corta entre los
puntos fijos implicaría un espacio reducido para el ejercicio, y un espacio largo implicaría un eslabón muy largo, pesado y de difícil movilidad.
Tabla 4.10 Coordenadas del O2, según la iteración de β2 y restricciones establecidas
β2 O2x O2y -60 -75.2 -56.37 -70 -74.24 -32.72 -80 -69.98 -12.15 -87.1 -65.56 0.68 -90 -63.51 5.53 -100 -55.59 20.65
Graficaremos el ángulo μ cuando el mecanismo pasa por P1, P2, P3 y P4 para cada una
de las opciones posibles según la iteración de β2.
Fig. 4.42 Angulo μ1, cuando β2 = -60° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.43 Angulo μ2, cuando β2 = -60° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.44 Angulo μ3, cuando β2 = -60° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.45 Angulo μ4, cuando β2 = -60° en P4
Fig. 4.46 Angulo μ1, cuando β2 = -70° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.47 Angulo μ2, cuando β2 = -70° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.48 Angulo μ3, cuando β2 = -70° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.49 Angulo μ4, cuando β2 = -70° en P4
Fig. 4.50 Angulo μ1, cuando β2 = -80° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.51 Angulo μ2, cuando β2 = -80° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.52 Angulo μ3, cuando β2 = -80° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.53 Angulo μ4, cuando β2 = -80° en P4
Fig. 4.54 Angulo μ1, cuando β2 = -90° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.55 Angulo μ2, cuando β2 = -90° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.56 Angulo μ3, cuando β2 = -90° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.57 Angulo μ4, cuando β2 = -90° en P4
Fig.4.58 Angulo μ1, cuando β2 =-100° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.59 Angulo μ2, cuando β2 = -100° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig.4.60 Angulo μ3, cuando β2 =-100° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.61 Angulo μ4, cuando β2 = -100° en P4
Las figs. 4.42 – 4.61 representan el esquema del mecanismo cuando el valor de β2 = -
60°, -70°, -80°, -90°, -100°. Para la obtención de dichos esquemas fue necesario realizar la síntesis analítica para cada variación de β2 (luego de establecer contante la posición
de O4), la cual define es dimensionamiento del mecanismo, y así se grafica en AutoCAD
cuando el mecanismo cuando pasa por los puntos P1, P2, P3 y P4. Luego de revisar cada
uno de los valores de los ángulos de transmisión para la variación de β2, concluimos:
Tabla 4.11 Ángulos de transmisión, donde se cumplen las restricciones (β2)
β2 𝛍1 𝛍2 𝛍3 𝛍4 -60° 48.63° 66.16° 35.62° 58.63° -70° 38.09° 66.42° 26.10° 68.90° -80° 28.76° 66.25° 15.71° 79.69° -90° 17.38° 67.59° 4.72° 88.63° -100° 5.36° 69.49° 7.47° 75.79°
Fuente: Elaboración propia.
Se observa en la tabla 4.11, conforme el ángulo β2 va aumentando (de -60° a -100°):
- El ángulo de transmisión en la posición 1 (𝛍1) va decreciendo, a razón de 10° aprox., lo cual es la misma cantidad de la variación de β2.
- El ángulo de transmisión en la posición 2 (𝛍2) aumentando, pero la variación es mínima, ya que en total varia 3°.
- El ángulo de transmisión en la posición 3 (𝛍3) va decreciendo a razón de 10° aprox., hasta cuando β2 =90°, después el valor comienza aumentar.
- El ángulo de transmisión en la posición crítica 4 (𝛍4) va creciendo a razón de 10° aprox., hasta cuando β2 =90°, después el valor comienza disminuir.
Pero de acuerdo a lo observado, la aplicación de la fuerza se produce cuando es eslabón W pasa por P4, P1, P2 (ver figura 4.35). Es decir, para el interés del estudio será
importantes analizar la transmisión de la fuerza en esos puntos, ya que en el punto 3, el mecanismo es movido por la inercia del mecanismo.
Tabla 4.12 Ángulos de transmisión de puntos de interés, según la iteración de β2 β2 𝛍4 𝛍1 𝛍2 -60° 58.63° 48.63° 66.16° -70° 68.90° 38.09° 66.42° -80° 79.69° 28.76° 66.25° -90° 88.63° 17.38° 67.59° -100° 75.79° 5.36° 69.49°
Fuente: Elaboración propia.
Nota: los ángulos mayores a sus correspondientes del mecanismo inicial están
sombreados en amarillo
Si recordamos los valores obtenidos en ítem 4.3 para el mecanismo inicial:
μ4 = 72.7°; μ1 = 2.68° ; μ2 = 83.27°
Ahora lo comparamos con lo obtenido en la tabla 4.12 Se puede observar que no hay un valor de β2 que mejore las tres posiciones críticas, pero las mejores opciones serían
los valores de β2 (-80°, -90°, -100°) los cuales mejoran el ángulo en dos de las tres
posiciones críticas. Con lo cual concluimos que hay tres opciones que mejora el ángulo de transmisión desde la variación de β2.
Entonces la tabla con los valores que optimizan el ángulo de la mejor manera posible seria:
Tabla 4.13 Ángulos de transmisión de las posibilidades (β2) que optimizan μinicial
Puntos 𝛍 inicial (β2= -87.1°) 𝛍 modif (β2= -80°) 𝛍 modif (β2= -90°) 𝛍 modif (β2= -100°) P4 72.70° 79.69° 88.63° 75.79° P1 2.68° 28.76° 17.38° 5.36° P2 83.27° 66.25° 67.59° 69.49°
4.3.2 Iteración de β3
Fig. 4.62 Ubicación de 𝛽3 a iterar
Fuente: Elaboración propia
El proceso de iteración de β3 (estableciendo β2= -87.1°) implica hallar la posición del
punto O2, realizando la síntesis analítica para cada valor de β3 considerado. Cuando
graficamos todos estos valores de O2 posibles, y según la Teoría de Circulo con punto
en el centro, obtenemos:
Fig. 4.63 Posiciones del punto O2, según la iteración de 𝛽3
Fuente: Elaboración propia
-65.56, 0.68 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 Y (cm) X (cm) Se realiza la síntesis analítica estableciendo β2 = -87.1°, ya que es el valor inicial. Y se itera el valor de β3 de 0° a 360°,
cada ubicación de los puntos fijos que nos resulta de la iteración se grafica en el plano cartesiano, obteniéndose
la circunferencia
Tabla 4.14 Coordenadas del O2, según la iteración de β3 β3 O2x O2y -10 -35.57 319.3 -20 -0.049 278.28 -30 19.88 238.28 -40 29.23 202.39 -50 31.77 171.33 -60 30.04 144.75 -70 25.64 122.03 -80 19.57 102.5 -90 12.41 85.57 -100 4.52 70.76 -110 -3.88 57.67 -120 -12.703 46.01 -130 -21.89 35.52 -140 -31.46 26.035 -150 -41.45 17.39 -160 -51.907 9.49 -170 -62.92 2.26 -172.31 -65.56 0.68 -180 -74.62 -4.32 -190 -87.14 -10.27 -200 -100.65 -15.55 -210 -115.37 -20.04 -220 -131.55 -23.58 -230 -149.51 -25.88 -240 -169.6 -26.49 -250 -192.22 -24.73 -260 -217.72 -19.52 -270 -246.32 -9.27 -280 -277.74 8.42 -290 -310.52 36.85 -300 -340.78 79.94 -310 -360.6 140.49 -320 -357.74 215.86 -330 -320.87 292.64 -340 -251.16 348.66 -350 -167.13 368.18 -360 -91.35 353.69
Los valores descritos en la tabla 4.14, al ser graficados representan una circunferencia la cual se muestra en la fig. 4.63. Pero obviamente hay valores los cuales no formaran parte de la solución ya que no contribuyen al confort del deportista, entonces establecemos las restricciones (son las mismas que para la tabla 4.8; nótese los colores de las restricciones):
0 < O4y - O2y < 100 cm
50 cm < O4x - O2x < 100 cm
Sabemos que las coordenadas de O4 (6.45; 52.73).
Entonces reducimos la tabla 4.14 de acuerdo a las restricciones, obteniendo:
Tabla 4.15 Coordenadas de O2, según la iteración de β3 y restricciones establecidas
β3 O2x O2y -160 -51.907 9.49 -170 -62.92 2.26 -172.31 -65.56 0.68 -180 -74.62 -4.32 -190 -87.14 -10.27 -200 -100.65 -15.55
Fuente: Elaboración propia
Ahora veamos que ángulos de transmisión presenta, cada una de las configuraciones del mecanismo cuando iteramos β3.
Para graficar cada una de las configuraciones que a continuación se presentan fue necesario realizar la síntesis analítica con cada valor de β3 y determinar todo el
dimensionamiento, luego se grafica el resultado hallado para las 4 posiciones de interés, y el AutoCAD nos ayudara a determinar el ángulo de transmisión.
Fig. 4.64 Angulo μ1, cuando β3 =-160° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.65 Angulo μ2, cuando β3 =-160° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.66 Angulo μ3, cuando β3 =-160° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.67 Angulo μ4, cuando β3 =-160° en P4
Fig. 4.68 Angulo μ1, cuando β3 =-170° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.69 Angulo μ2, cuando β3 =-170° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.70 Angulo μ3, cuando β3 =-170° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.71 Angulo μ4, cuando β3 =-170° en P4
Fig. 4.72 Angulo μ1, cuando β3 =-180° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.73 Angulo μ2, cuando β3 =-180° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.74 Angulo μ3, cuando β3 =-180° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.75 Angulo μ4, cuando β3 =-180° en P4
Fig. 4.76 Angulo μ1, cuando β3 =-190° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.77 Angulo μ2, cuando β3 =-190° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.78 Angulo μ3, cuando β3 =-190° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.79 Angulo μ4, cuando β3 =-190° en P4
Fig.4.80 Angulo μ1, cuando β3 =-200° en P1
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.81 Angulo μ2, cuando β3 = -200° en P2
Fuente: Elaboración propia
Fig.4.82 Angulo μ3, cuando β3 =-200° en P3
Fuente: Elaboración propia
Fig. 4.83 Angulo μ4, cuando β3 = -200° en P4
Los esquemas plasmados en las figuras 4.64 – 4.83 se resumen en la tabla 4.16 Tabla 4.16 Angulo de transmisión, donde el mecanismo cumple las restricciones (β3)
𝛃3 𝛍1 𝛍2 𝛍3 𝛍4 -160° 21.81° 66.16° 3.09° 84.67° -170° 21.16° 66.69° 6.37° 89.98° -180° 20.31° 67.64° 15.26° 85.06° -190° 17.54° 71.03° 22.45° 82.54° -200° 15.34° 73.08° 30.40° 81.05°
Fuente: Elaboración propia
Observamos que, conforme el ángulo β3 va aumentando (de -160° a -200°):
- El ángulo de transmisión en P1 (𝛍1) va decreciendo, con un intervalo total de 6°
- El ángulo de transmisión en P2 (𝛍2) aumentando, con una variación total de 7°
- El ángulo de transmisión en P3 (𝛍3) va creciendo
- El ángulo de transmisión en la posición 4 (𝛍4) alcanza un valor máximo en β3 = -170°,
luego tiene una tendencia decreciente.
De igual manera que para β2 y de acuerdo a la mecánica del movimiento en la bicicleta,
son de importancia para el estudio los puntos donde se aplica fuerza al mecanismo (fig.4.35), entonces simplificamos la tabla 4.16
Tabla 4.17 Angulo de transmisión para los puntos de interés, según iteración de β3
𝛃3 𝛍P4 𝛍P1 𝛍P2 -160° 84.67° 21.81° 66.16° -170° 89.98° 21.16° 66.69° -180° 85.06° 20.31° 67.64° -190° 82.54° 17.54° 71.03° -200° 81.05° 15.34° 73.08°
Fuente: Elaboración propia
Nota: los ángulos mayores a sus correspondientes del mecanismo inicial están
Claramente en las siguientes configuraciones, se obtuvo que todos los ángulos son mayores a los ángulos de transmisión iniciales, excepto cuando el eslabón está en el punto P2, de manera que para la variación de β3tenemos 5 posibles opciones que
mejoran en dos posiciones el ángulo de transmisión.
Tabla 4.18 Ángulos de transmisión de las posibilidades (β3) que optimizan μinicial
Puntos 𝛍 inicial (β3=-172.31°) 𝛍 modif (β3= -160°) 𝛍 modif (β3= -170°) 𝛍 modif (β3= -180°) 𝛍 modif (β3= 190°) 𝛍 modif (β3=-200°) P4 72.70° 84.67° 89.98° 85.06° 82.54° 81.05° P1 2.68° 21.81° 21.16° 20.31° 17.54° 15.34° P2 83.27° 66.16° 66.69° 67.64° 71.03° 73.08°
Fuente: Elaboración propia
Finalmente, después de todo el análisis, tenemos que para la variación de β2 tenemos
3 opciones de posible solución. Para la variación de β3 tenemos 5 opciones que mejoran
ángulo de transmisión. Entonces verificaremos la optimización de estos ángulos de transmisión, atreves de la evaluación de otro parámetro importante: Ventaja Mecánica. En efecto calcularemos la ventaja mecánica para cada una de las 8 posibilidades de mejora, al final obtendremos una tabla donde se elegirá la opción óptima.