Abstracci´ on

Procederemos a construir nuestro dominio abstracto como una extensi´on pun- tual de la misma forma que lo hicimos conPredyPredLen el cap´ıtulo1. De esta forma primero estudiaremos el conjunto de poliedros convexos cerrados en Rn

(denominadoPoly) como el dominio abstracto para el conjunto de predicados simplesPred.

El posetpPoly, „ q(poliedros con la inclusi´on est´andar) es un reticulado cu- yas operaciones binarias de ´ınfimo y supremo son la intersecci´on y la envoltura convexa respectivamente. La primera operaci´on puede calcularse utilizando la representaci´on del poliedro como sistema de restricciones y la segunda utilizando la representaci´on como marco; sean dos poliedrosp, q PPoly cuyas representa- ciones como sistema de restricciones y marco son

pJA1X¤B1KrJpS1,R1,D1qKm

q_JA2X ¤B2KrJpS2,R2,D2qKm .

Con estas definiciones las operaciones binarias de ´ınfimo y supremo del reticu- lado pueden expresarse como:

p X q . _JA1X ¤B1^A2X ¤B2Kr ([enPoly)

p_ q . _JpS1YS2, R1YR2, D1YD2qKm (\enPoly) ,

con lo cual, para calcular estas operaciones es necesario conocer ambas repre- sentaciones justificando el uso de la doble representaci´on de poliedros ya men- cionada.

Para calcular la relaci´on de orden (inclusi´on) del poset tambi´en haremos uso de ambas representaciones. Sean dos poliedrosp, q:Poly entonces se puede demostrar que la inclusi´onp „ q se cumple si y solo s´ı los v´ertices depest´an

90 CAP´ITULO 3. GENERACI ´ON DE INVARIANTES LINEALES incluidos en q y los rayos y l´ıneas de pson tambi´en rayos (no necesariamente rayos extremos) y l´ıneas deq respectivamente. Para el caso de los v´ertices solo se debe comprobar que los mismos satisfagan las restricciones de q. Para el caso de las l´ıneas se puede demostrar que una linea pertenece a un poliedro si la misma satura (definici´on 3.20, p´ag. 83) sus restricciones. En el caso de los rayos es necesario comprobar que los rayos del poliedro psean tambi´en de los semiespacios definidos por las restricciones deq. Veremos a continuaci´on cuales son las restricciones que se deben comprobar: seaRun rayo depyAX¤buna restricci´on deq, utilizando la definici´on3.17(p´ag.77) tenemos:

x @µ, V :µP R ^V Pq: ApV µRq ¤by

{Distributividad, conmutatividad con escalar}

x @µ, V :µP R ^V Pq: AV µAR¤by

Realicemos un an´alisis separado de los casosAR¤0 y AR¡0: Caso(AR¤0)

x @µ, V :µP R ^V Pq: AV µAR¤by

ð {Por casoµAR¤0 }

x @µ, V :µP R ^V Pq: AV µARµAR¤by

{Aritm´etica}

x @µ, V :µP R ^V Pq: AV ¤by

{V pertenece al poliedro entonces satisface la desigualdad}

T Caso(AR¡0) x @µ, V :µP R ^V Pq: AV µAR¤by {Aritm´etica} x @µ, V :µP R ^V Pq: µ¤ pbAVq{ARy {µno est´a acotado} F

En consecuencia, un rayoRdepes tambi´en deqsi y solo siAR¤0 para toda desigualdadAX¤bdeq. A partir de este an´alisis podemos deducir la relaci´on de orden en el poset pPoly, „ q: si p . JpS,R,DqKm y q

.

JAX ¤ BKr

entonces

p „ q .

x @S, R, D :SPS^RPR^DPD: AS¤B^AR¤0^AD0y .

El reticulado posee adem´as m´ınimoK(el conjunto vac´ıo_∅) y m´aximoJ(Rn_).

En general el poset pPoly,„q no es cpo local ni co-cpo11 _{por lo tanto no es}

un reticulado completo12_{. Este hecho puede verificarse considerando el limite de}

11_{El caso particular de poliedros convexos cerrados enR(intervalos cerrados) es completo.} 12_{Esta incompletitud es la que dificulta la utilizaci´on de otro marco de interpretaci´on abs-}

tracta basado en la definici´on de una funci´on de abstracci´on o por medio de conectores de Galois.

3.3. INVARIANTES EN EL DOMINIO DE POLIEDROS CONVEXOS 91 una cadena de poliedros convergente hacia una esfera, la cual no es un poliedro y cualquier poliedro inscripto en ella puede ser refinado agregando un v´ertice en la misma.

A continuaci´on enumeraremos algunas propiedades de este dominio: Propiedades 3.27

Seanp, q, rPPolypoliedros, entonces 1. pYq „ p_ q

2. p X pq _ rq … pp X qq _ pp X rqy su dual, 3. p…rñpX pq _rq … ppX qq _ ry su dual.

Cabe mencionar que el reticulado no es modular ni distributivo, aunque cumple las dos ´ultimas propiedades afines por ser reticulado.

Dado un sistema de transiciones TS p. L,S,

τ

,Θq definiremos el dominio abstractoPoly_LdePredLcomo la extensi´on puntual dePolysobre las locaciones

L, esto es

Poly_L . LÑPoly

y extenderemos puntualmente el m´aximo, m´ınimo, las operaciones de intersec- ci´on y envoltura convexa. DadosP, QPPoly_L definiremos:

J.l J. (JenPoly_L)

K.l K. (KenPoly_L)

pP X Qq.l . P.l X Q.l ([enPoly_L) pP _ Qq.l . P.l _Q.l (\enPoly_L) pP „ Qq.l x @. l :lPL: P.l „ Q.ly (orden en Poly_L) En esta secci´on utilizaremos como espacio de estados indistintamente a la funciones de las variables a los valores ΣÑ Ro aRn_{connla cantidad de varia-}

bles, en la forma que ya fue mencionada en la secci´on1.2. Esto ´ultimo permite ver al conjunto de poliedros como un subconjunto propio de los predicados, es decirPolyˆPred. Para simplificar a´un m´as la exposici´on, asociaremos directa- mente un poliedro con su representaci´on sint´actica de sistema de restricciones de la misma forma que abreviamos un predicado con su sintaxis (secci´on1.2.1). De esta forma, con el dominio sem´antico abstracto ya establecido procede- remos definir la funci´on de concretizaci´onγ_L :Poly_L ÑPredL como extensi´on puntual deγ :PolyÑPred. Esto es, si un poliedro pPPoly est´a representado de forma algebraica comop_JAX¤B_Krdefiniremosγcomoγ.p . AX¤B

abreviando la sem´antica con la sintaxis. Pensando a los poliedro como un sub- conjunto propio de los predicados tambi´en podemos definir aγcomo la inyecci´on identidad:

γ:PolyÑPred

γ . Id

y con esta definici´on la funci´on de concretizaci´on ser´a:

γ_L:Poly_LÑPredL

92 CAP´ITULO 3. GENERACI ´ON DE INVARIANTES LINEALES o simplemente γ_L . Id utilizando la extensi´on puntual de la identidad en L. De esta forma la abstracci´on utilizada ser´a pPredL,PolyL, γLq.

3.3.2

Funci´on sem´antica abstracta

Como ya mencionamos en el ejemplo 3.2la funci´on sem´antica concreta ser´a el transformador de propagaci´on hacia adelante Fτ,Θ : PredL Ñ PredL, con lo

cual la funci´on sem´antica abstracta debe estar relacionada con aquella seg´un la definici´on 3.3 o su lema equivalente 3.4. Para lograrlo vamos a construir un sistema de transiciones abstracto y una jerarqu´ıa de transformadores en el dominio abstracto an´aloga a la definida en el cap´ıtulo1. Dado un sistema de transiciones concretoTS p. L,S,

τ

,Θqtendremos

• para cada sentenciasPS construiremos un sentencia abstractas7las que formar´an parte del conjuntoS7,

• una relaci´on de transiciones abstracta

τ

7 igual que la concreta pero rela- cionando sentencias abstractas, esto es

τ

7.l.s7.l1

τ

.l.s.l1,

• un conjunto de estado iniciales abstractos Θ7: Poly_L construido a partir de su contraparte concreta tal que Θ „ γ_L.Θ7, o simplemente Θ „ Θ7ya queγ_L es la funci´on identidad.

Con estos elementos definiremos TS7 p. L,S7,

τ

7,Θ7q como el sistema de transiciones abstracto deTS p. L,S,

τ

,Θq.

Dado en sistema de transicionesTS p. L,S,

τ

,Θqel transformadorFτ,Θse

defini´o comoFτ,Θ.X . ΘY SP.

τ

.X el cual a su vez est´a definido en base al

transformador sp en Pred. En esta secci´on haremos lo mismo para definir una funci´on sem´antica F_τ7_7,Θ7 :Poly_LÑPoly_L que cumpla con aquella definici´on y en base a un transformador sp7enPoly. Dado queFτ,Θen el dominio concreto

est´a definida (secciones2.3.1y1.6.1) como

Fτ,Θ.X . Θ Y SP.

τ

.X con SP.

τ

.P.l1 . A ¤ l, s :

τ

.l.s.l1: sp.s.pP.lq E ,

de manera an´aloga definiremos la funci´on sem´antica abstracta:

F_τ77_,Θ7.X7 . Θ7 _ SP7.

τ

7.X7 con SP7.

τ

7.P.l1 . A

_

l, s7 :

τ

7.l.s7.l1: sp7.s7.pP.lq E ,

reemplazando la cuantificaci´on sobre la uni´on finita en Pred por la envoltura convexa enPolyy dejando para m´as adelante las definiciones de las transiciones, sentencias, estados iniciales y transformador sp7 abstractos.

En este punto veremos una condici´on suficiente para cumplir el lema3.4que define la funci´on sem´antica abstracta. DadoP :Poly_L tenemos

Fτ,Θ.pγL.Pq „ γL.pF_τ77,Θ7.Pq

{Definici´on deFτ,Θ yF_τ77,Θ7.γL es la identidad. }

3.3. INVARIANTES EN EL DOMINIO DE POLIEDROS CONVEXOS 93 ð { Extensi´on puntual de propiedad3.27(1)}

Θ „ Θ7^SP.

τ

.P „ SP7.

τ

7.P

{ Definici´on de SP y SP7, l´ogica de predicados}

Θ „ Θ7^ A

@

l1 :l1PL : A ¤ l, s :

τ

.l.s.l1: sp.s.pP.lq E „A

_

l, s7 :

τ

7.l.s7.l1 : sp7.s7.pP.lq EE ð { Propiedad3.27(1)} Θ „ Θ7^ @ @l, s :lPL^sPS : sp.s.pP.lq „ sp7.s7.pP.lqD ð { L´ogica de predicados} Θ „ Θ7^ @ @p, s :pPPoly^sPS: sp.s.p „ sp7.s7.pD

por lo tanto, si podemos construir sentencias abstractas a partir de sentencias concretas y tenemos un transformador de poliedros sp7.s7 tal que para todo poliedrop:Polyse cumple sp.s.p „ sp7.s7.phabremos conseguido nuestra fun- ci´on sem´antica abstracta. A continuaci´on veremos como construir las sentencias abstractas y el transformador de poliedros sobre las mismas.

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