Representaci´ on geom´ etrica

Como vimos en la secci´on anterior una forma de representar poliedros convexos es mediante un conjunto de desigualdades lineales. En esta secci´on veremos otra forma de representaci´on de tipo geom´etrica. Inicialmente presentaremos la terminolog´ıa utilizada para denotar elementos de car´acter geom´etrico enRn.

3.2. POLIEDROS CONVEXOS CERRADOS 77 Definici´on 3.13 (Combinaci´on lineal)

Sea V t. V1_{, , V}p_{u un conjunto de vectores en R}n _{y a}

1, , ap escalares

enR, un vector de la forma de la forma@°i : 1¤i¤p: aiVi

D

ser´a llamado una combinaci´on lineal de los vectores V. El conjunto vectores formado por todas las combinaciones lineales de V ser´a llamado subespacio lineal generado

por el conjunto de vectores. l

Definici´on 3.14 (Envoltura c´onica)

Dado un conjunto finito de vectoresV t. V1_{, , V}p_uyµ

1, , µpescalares en

R (n´umeros reales positivos) un vector de la forma@°i : 1¤i¤p: µiVi

D ser´a llamado una combinaci´on lineal positiva de los vectores V. El conjunto de todas las combinaciones positivas de un conjunto V ser´a llamado envoltura

c´onica3 deV. l

Una intuici´on geom´etrica de este conjunto es pensarlo como el m´ınimo cono proyectado al infinito, con v´ertice en el origen de coordenadas cartesianas y que contiene todos los puntos deV.

Definici´on 3.15 (Envoltura convexa)

Dado un conjunto finito de vectores V t. V1, , Vpuy escalares λ1, , λp

pertenecientes a R tal quex°i : 1¤i¤p: λiy 1, un vector de la forma

@°

i : 1¤i¤p: λiVi

D

ser´a llamado combinaci´on lineal convexa de los vec- tores V. El conjunto de todas las combinaciones convexas de V ser´a llamado

envoltura convexa4_deV.

l

Una intuici´on geom´etrica de este conjunto es pensarlo como el m´ınimo poliedro que contiene los puntos deV.

Definici´on 3.16 (V´ertice)

Un v´ertice de un poliedro convexoP P Poly ser´a un vectorS P P que no es combinaci´on lineal convexa de otros vectores enP. Esto es, para todo conjunto finito de vectores V t. Vi_{, , V}p_{u con V „ P y para todo conjunto de}

escalares positivosλ1, , λpP R tal que x

° i : 1¤i¤p: λiy 1 entonces @ @i : 1¤i¤p: λi0 _ ViS D . _l

Puede demostrarse que un poliedro contiene solo una cantidad finita de v´ertices. Definici´on 3.17 (Rayo)

Dado un poliedro convexo no vac´ıoP PPoly, unrayo del mismo ser´a un vector no nuloRtal que existe una semirrecta paralela al vector incluida enP, esto es

x @µ, V :µP R ^V PP : V µRPPy .

Se dir´a que dos rayos R yR1 son iguales si ambos vectores son dependientes y tienen la misma direcci´on, esto es six Dµ :µP R : RµR1y.

Un rayo extremo R de un poliedro P ser´a un rayo que no es combinaci´on lineal positiva de otros rayos del poliedro. Esto es, para todo conjunto finito de rayosR t. Ri, , Rpu en el poliedro y para todo conjunto de escalares positivosµ1, , µpP R tales queR

@° i : 1¤i¤p: µiRi D entonces @ @i : 1¤i¤p: µi0 _ RiR D . _l

3_{Conical hullen ingl´es.} 4_{Convex hullen ingl´es}

78 CAP´ITULO 3. GENERACI ´ON DE INVARIANTES LINEALES De manera intuitiva si un rayo extremo es trasladado sobre un v´ertice, la se- mirrecta desde ese v´ertice hacia la direcci´on del rayo coincide con un borde de una cara del poliedro. Con esta definici´on se pueden definir un´ıvocamente los rayos de un poliedro m´odulo la igualdad entre ellos definida anteriormente. Puede demostrarse que un poliedro contiene solo una cantidad finita de rayos extremos.

Definici´on 3.18 (L´ınea)

Dado un poliedro no vac´ıo P P Poly, una l´ınea ser´a un vector no nulo D tal queD y el mismo son rayos del poliedro, esto es

x @u, V :uP R ^V PP : V uDPPy . _l

Un poliedro que tenga al menos una l´ınea ser´a llamado cilindro. Diremos que dos l´ıneas son iguales si son linealmente dependientes.

Para poder representar un poliedro con v´ertices rayos y l´ıneas necesitaremos tambi´en de los siguientes conceptos.

Definici´on 3.19 (Variedad lineal)

Un subconjunto de un espacio vectorial resultante del traslado de un subespacio vectorial por un vector ser´a llamadovariedad lineal5_{. Esto es, dadoEun espacio}

vectorial, M „ E es una variedad lineal si existe un subespacio L „ E y un elementoV PE tal queM tV L|LPLu. l

Notar que bajo esta definici´on el subespacio L est´a definido un´ıvoca- mente mientras V lo est´a solamente m´odulo L, esto es si M M1 con

M tV L|LPLuyM1 tV1 L|LPL1uentonces LL1 yV V1PL. A partir de esta observaci´on, ladimensi´on de la variedad lineal Mpuede defi- nirse como la dimensi´on deL. Si la dimensi´on del espacio vectorialE esny la de una variedad linealM„E esn1 diremos queMes unhiperplano y si la dimensi´on es 1 diremos que es unarecta. De esta forma tambi´en podemos definir l´ınea como una variedad de dimensi´on 1. Ladimensi´on de un poliedro convexo

P ser´a definida como la dimensi´on de la menor variedad lineal que contiene aP. Dada una variedad lineal M t. V L|LPLu con el subespacio L ge- nerado por una base B . Bi_{PL|1¤i¤m¤n}( _{diremos que la varie-}

dad M est´a generada por pV,Bq. Adem´as, una variedad lineal definida como

MK . V L|LPLK( con LK el subespacio ortogonal a L, ser´a llamada

variedad ortogonal a M.

Se puede demostrar que cualquier variedad lineal contenida en un poliedro, que es un cilindro, est´a contenida en una variedadM t. V L|LPLucon

Lel subespacio vectorial generado por las l´ıneas del cilindro yV PP un punto del mismo. En este sentido se dice que las variedades lineales generadas por las l´ıneas de un poliedro sonmaximales con respecto a las contenidas en el poliedro. A partir de la definici´on de v´ertices, rayos y l´ıneas vamos a construir una representaci´on de poliedros convexos, comenzando con casos particulares hasta llegar a poliedros convexos generales.

Unpoliedro acotadoser´a aquel que no tiene l´ıneas ni rayos. Puede demostrar- se que cada punto del mismo es una combinaci´on lineal convexa de sus v´ertices,

3.2. POLIEDROS CONVEXOS CERRADOS 79 por lo cual el poliedro es la envoltura convexa de los mismos. De esta forma un poliedro acotado puede ser denotado por su conjunto de v´ertices ´unicamente.

Los puntos de un poliedro que no posee l´ıneas pueden expresarse como una combinaci´on lineal de sus v´ertices m´as una combinaci´on lineal positiva de sus rayos extremos. Esto es, dadoPun poliedro de esta clase, conS t. S1_{, , S}p_u

sus v´ertices yR t. R1_{, , R}q_{usus rayos extremos, siX PP entonces existen}

escalares positivos λ1, , λp, µ1, , µq P R con x

° i : 1¤i¤p: λiy 1 tal que X @°i : 1¤i¤p: λiSi D @° i : 1¤i¤q: µiRi D o de igual forma P t@°i : 1¤i¤p: λiSi D @° i : 1¤i¤q: µiRi D | λ1, , λp, µ1, , µq P R ^ x ° i : 1¤i¤p: λiy 1u

Con este resultado, un poliedro sin l´ıneas puede denotarse con su conjunto de v´ertices y rayos extremos asociados.

Para el caso general en que el poliedro posea l´ıneas (sea un cilindro) pro- cederemos de la siguiente forma: dado un poliedro convexo P tomaremos una variedad lineal MK ortogonal a la definida por sus l´ıneas. La intersecci´on de esta variedad con el poliedro ser´a llamada unasecci´on del poliedro. Puede de- mostrarse que una secci´on no posee l´ıneas y lo que es m´as importante, cual- quier punto del poliedro es igual a la suma de una una combinaci´on convexa de los v´ertices de su secci´on, una combinaci´on lineal positiva de sus rayos y una combinaci´on lineal de las l´ıneas del poliedro. Esto es, tomamos una base

D t. D1, , Dtudel subespacio generado por las lineas del poliedro, al cual llamaremosLD. A partir del mismo se obtiene su subespacio ortogonalLKDy una variedad de la formaMK . V L|LPLK_D(. El poliedro convexo definido comoP1 . P_XMK ser´a una secci´on del mismo. SeanS _t. S1_{, , S}p_ulos

v´ertices yR t. R1_{, , R}q_{ulos rayos extremos de P}1_{, entonces para todo ele-}

mentoX PPdel poliedro existen escalares positivosλ1, , λp, µ1, , µq P R

conx°i : 1¤i¤p: λiy 1 y escalares arbitrariosν1, , νtP Rtal que

X @°i : 1¤i¤p: λiSi D @° i : 1¤i¤q: µiRi D @° i : 1¤i¤t: νiDi D

con lo cual el poliedroP puede expresarse como el siguiente conjunto

P t@°i : 1¤i¤p: λiSi D @° i : 1¤i¤q: µiRi D @° i : 1¤i¤t: νiDi D |λ1, , λp, µ1, , µq P R ^ν1, , νq P R ^ x ° i : 1¤i¤p: λiy 1u .

La 3-upla pS,R,Dq ser´a llamada marco6 _{del poliedro. La parte derecha de la}

´

ultima ecuaci´on ser´a llamadaenvoltura convexa de un marco. La misma muestra que el poliedro se genera obteniendo primero su secci´on (a partir de sus v´ertices y rayos extremos) y trasladando la misma sobre sus l´ıneas.

80 CAP´ITULO 3. GENERACI ´ON DE INVARIANTES LINEALES A partir de este resultado cualquier poliedro convexo puede denotarse con su conjunto de v´ertices, rayos extremos y l´ıneas asociadas. SipS,R,Dqrepresenta el poliedroP escribiremos:

P . _JpS,R,Dq_Km .

El caso particular del poliedro vac´ıo ser´a representado por la tupla con tres conjuntos vac´ıos.

En funci´on de lo expuesto en esta secci´on y en la anterior, un poliedro con- vexo cerrado puede ser representado de dos formas:

• como el par pA, Bq con lo cual el poliedro ser´a el conjunto de soluciones del sistema de restricciones linealesAX¤B y

• como un marcopS,R,Dqcon lo cual el poliedro ser´a su envoltura convexa. En este trabajo se utilizar´an simult´aneamente las dos representaciones de un poliedro. La necesidad de esta doble representaci´on se debe a que algunas operaciones sobre poliedros son f´acilmente implementables solo en una de ellas. A continuaci´on se presentar´an algoritmos para hacer la conversi´on entre ambas representaciones.