Lorenzo J Blanco Nieto y Juan Pino Ceballos
3. OTRaS aCTIvIDaDES MaTEMáTICaS
A modo de ejemplo proponemos algunas actividades que hemos utilizado en las aulas de formación de profesores para mostrar que existen otros tipos de problemas diferentes a los que aparecieron en el cuestionario y que nos permiten trabajar contenidos curriculares. Debemos significar que en la elección de los problemas tuvimos en cuenta las recomenda- ciones de Santos (1996) ya que las tareas que se sugieren a los estudiantes eran accesibles en base a sus conocimientos previos y no requerían del uso de ideas sofisticadas, ilustraban
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ideas matemáticas importantes de tipo conceptual o procedimental, podría resolverse de diferentes maneras y provocaban debate entre los alumnos.
Veamos en la Figura 5 un problema de Geometría escolar.
Jaime y Paula quieren averiguar si una lámina del taller de matemáticas es realmente cuadrada. Jaime mide los lados, ve que son iguales y, consecuentemente, asegura que es cuadrada.
Paula mide las diagonales y, como obtiene la misma medida en ambas, concluye que la lámina es cuadrada.
¿Tienen razón los dos? ¿Sólo la tiene Jaime? ¿Sólo la tiene Paula? ¿No tiene razón ninguno de los dos? ¿Qué forma tiene la lámina?
figura 5. Problema de Geometría.
La resolución de este problema requiere del uso de conceptos matemáticos pero no plantea la aplicación de ningún algoritmo o fórmula, ni la respuesta es un dato numérico. Por ello, cuando planteamos esta actividad preguntamos a los estudiantes para profesores si se trata de un problema de matemáticas, la respuesta es negativa o de duda para muchos de ellos al observar que no hay que aplicar ninguna fórmula o realizar cálculo alguno. Sin embargo, cuando abordamos la tarea, reflexionamos sobre los conceptos implicados, los errores que surgen y la discusión que se genera cambian de opinión puesto que experi- mentan la necesidad de debatir y reconsiderar su conocimiento matemático sobre los cuadriláteros.
La situación planteada genera un debate acerca de las definiciones de los cuadriláte- ros, de las diferentes clasificaciones que se pueden adoptar al respecto y, muy importante en los procesos de formación de profesores, provoca la necesidad de clarificar el signifi- cado y diferenciación entre definición y concepto (Blanco y Contreras, 2002; Blanco, Cárdenas, Gómez y Caballero, 2011). Ello, además debe completarse con el análisis de los textos escolares para reconceptualizar los contenidos implicados en la resolución de la tarea propuesta.
Las actividades de cálculo mental son interesantes y sugeridas en el currículo. Por nuestra parte, proponemos un juego numérico que puede, además, favorecer reflexiones sobre estra- tegias para solucionar problemas de matemáticas. Así, describimos el juego de ‘llegar al 20’ (Figura 6).
Dos jugadores, alternativamente y partiendo de cero, van sumando 1 ó 2 a la cantidad del otro, y ganará el que llegue a 20
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Es un sencillo juego de cálculo en el que los estudiantes encuentran sin dificultad una secuencia ganadora a partir del descubrimiento de una estrategia partiendo de la solución y volviendo hacia atrás. Que es, por otra parte, una estrategia usual en la resolución de problemas de matemáticas. Ello nos permite, engancharles en el juego y proponerles modificaciones con otras cantidades y operaciones, admitiendo en algunos casos respuestas exactas o aproximadas.
Así, podemos proponer que partiendo de un número entre 1 y 5 y multiplicando por 1, 2, 3 4 ó 5 la cantidad dada por el compañero, llegar o acercarnos al 10.000. Nuestra experiencia nos dice que cuando introducimos números más grandes los EMP llegan a apre- ciar la importacia del cáculo mental, reconocer nuevas estrategias para su desarrollo y admi- tir la utilidad del uso de la calculadora (en nuestro caso a partir de la calculadora del móvil) para mejorar el cálculo numérico, al reconocer que el juego sería más ágil que con la utili- zación de lápiz y papel.
Como tercer ejemplo para desarrollar actividades alternativas en el aula mostramos una tarea para trabajar los algorítmos de las operaciones básicas (Figura, 7). Así, propusimos algu- nas actividades que permitían trabajar los algoritmos tradicionales:
Sustituir los asteriscos por números para darle sentido a la operación, indicando el por qué de la elección de los números:
4 7 * 0 X 3 8 * 8 0 8 * * 4 * 8 * * * * 0 * * *
figura 7. Problema para trabajar el algoritmo de la multiplicación
Este pasatiempo permite reflexionar sobre la lógica del algoritmo de la multiplicación y del sistema de numeración decimal. Asumiendo el interés de este tipo de actividad podemos realizar propuestas similares en diferentes niveles y con cualquier algoritmo aritmético o algebráico.
Finalmente, mostramos otro ejemplo (Figura 8) de problemas que pone de manifiesto que para resolver problemas no es suficiente con conocer los contenidos matemáticos implicados en la actividad, sino que se requiere conocer y dominar algunos procedimientos específicos de los que se indican en el capítulo 2 cuando se habla de la resolución de problemas como un contenido específico y en el capítulo 9 cuando se describe un Modelo General de Reso- lución de Problemas de Matemáticas.
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Dos amigos se encuentran por la calle después de mucho tiempo sin verse. Uno de ellos, tras los saludos correspondientes, pregunta acerca de las edades de los hijos del otro. Este, enigmático le contesta:
– El producto de las edades de mis tres hijas es 36, y su suma es el número de la casa de enfrente.
El amigo, tras escuchar la curiosa respuesta y observar el número de la casa, le respondió: – Me falta un dato
A lo que el primero añadió:
– Mi hija mayor toca el piano.
¿Qué edades tenían las hijas del intrigante amigo? ¿Cuál es el número de la casa de enfrente?
figura 8. Problema que requiere de contenidos específicos de la resolución de problemas
Son ejemplos que evidencian que existen diferentes tipos de problemas de matemáticas cuya resolución requiere del conocimiento de conceptos y procesos propios del currículo de primaria. Pero, además, su desarrollo pone de manifiesto la importancia de adquirir conoci- miento sobre el proceso de resolución de los problemas.
La experiencia docente e investigadora en diferentes niveles nos ha mostrado que los alumnos se sienten más motivados con estas actividades y que los objetivos de alcanzar a resolver problemas, en un ambiente de resolucíón de problemas, se consiguen más fácilmente.
bIbLIOgRafÍa
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¿Qué entiendo por problema de matemáticas?
Nombre y Apellidos: ...
Parte 1
1. Enuncia tres problemas de matemáticas
2. Señala por qué es importante la resolución de problemas de matemáticas en la enseñanza obligatoria.
3. Escribe reflexiones personales sobre tu experiencia en la resolución de problemas de matemáticas en primaria y secundaria
4. ¿Qué consideración te merece la resolución de problemas de Matemáticas?
5. Añade algo que te parezca significativo y no hayas escrito
Parte 2
Una vez analizadas las cinco cuestiones anteriores y tras mostrar los resultados a los estudiantes, se les pregunta: 6. ¿Creéis que existen otros tipos de problemas? En caso afirmativo, escribid dos ejemplos.