Realice las siguientes actividades, prestando atenci´on a cualquier cosa que observe mientras construye cada diagrama. podr´a responder muchas de las preguntas planteadas aqu´ı, escribien- do una o dos afirmaciones directamente en el diagrama de Sketchpad. Escriba sus observa- ciones claramente mediante afirmaciones completas. Intente pensar en explicaciones para las cosas que observa.
Guarde el trabajo de cada actividad, ya que el trabajo posterior a veces se basa en el trabajo anterior. UseDocument Optionsen el men´uFile, para configurar y guardar su trabajo de estas actividades en un documento de Sketchpad de varias p´aginas.
Todas estas actividades han sido elaboradas por el autor de este trabajo. Actividad exploratoria 1. Uso de The Geometer’s Sketchpad
1. Use las herramientas Punto y Regla para construir un cuadril´atero. Compruebe si su bosquejo es consistente (din´amico) moviendo uno de los v´ertices y viendo si la figura sigue siendo un cuadril´atero.
dios de los lados del cuadril´atero. Conecte estos puntos medios en orden. ¿Qu´e tipo de figura se forma?. Complete la siguiente proposici´on:
“Si los puntos medios de un cuadril´atero arbitrario est´an conec- tados en orden, el cuadril´atero resultante de los puntos medios es ...”.
Deslice los v´ertices del cuadril´atero original para ayudarle a decidir si su conjetura es siempre correcta.
3. Use la herramienta Marcador para marcar los ´angulos de los puntos medios de este cuadril´atero y una opci´on en el men´uMeasurepara medir estos ´angulos. ¿Qu´e observa acerca de estos ´angulos?.
4. Puede medir el ´area de un pol´ıgono haciendo clic en cada uno de sus v´ertices, construyendo su interior usando una opci´on en el men´uConstruct, y luego usando la opci´on apropiada en el men´uMeasure. Mida las ´areas del cuadril´atero original y del cuadril´atero de sus puntos medios. ¿Qu´e observa acerca de estas ´areas?. Exprese esta observaci´on como una conjetura, completando la siguiente proposici´on:
“Si los puntos medios de un cuadril´atero arbitrario est´an conectados en el sentido de las agujas del reloj, el ´area del cuadril´atero resultante de los puntos medios ser´a ...”.
Deslice los v´ertices del cuadril´atero original. ¿La conjetura sigue siendo v´alida?.
Actividad exploratoria 2. Uso de The Geometer’s Sketchpad
1. En la siguiente p´agina de su documento de Sketchpad, construya y etiquete un cua- dril´atero arbitrario, W XY Z. Dibuje las diagonalesW Y yXZ. El diagrama ser´a m´as f´acil de analizar, si usa una opci´on en el men´uDisplaypara elegir diferentes colores para algunas de las l´ıneas.
2. Trate de manipular el cuadril´atero para que las diagonales no se crucen entre s´ı. ¿Qu´e observa acerca de la forma del cuadril´atero?.
al completar las siguientes proposiciones:
“Si las diagonales de un cuadril´atero se intersecan, entonces el cua- dril´atero es ...”.
“Si las diagonales de un cuadril´atero no se intersecan, entonces ...”.
4. ¿Y si las diagonales se bisecan? (Dos segmentos de recta se bisecan, si se inter- secan entre s´ı en sus puntos medios). ¿Puede construir un cuadril´atero con esta propiedad?.
Escriba una conjetura para resumir lo que aprendi´o en esta exploraci´on, comple- tando la proposici´on:
“Si las diagonales de cuadril´atero se bisecan, entonces ...”.
5. Lo contrario de una conjetura es una proposici´on que intercambia el papel de la hip´otesis (la parte del si) y la conclusi´on (la parte del entonces) de la proposici´on. Escriba lo contrario (inversa) de una o mas de las conjeturas que ha formulado en esta actividad. ¿La inversa (contrario) dice lo mismo que la proposici´on original?.
Actividad exploratoria 3. Uso de The Geometer’s Sketchpad
1. Construya un tri´angulo arbitrario y mida sus ´angulos interiores.
2. Use la opci´on en el men´u Number para calcular la suma de estas medidas de ´angulo. Complete la siguiente proposici´on:
“La suma de las medidas de los ´angulos interiores de un tri´angulo arbitrario es ...”.
Deslice los v´ertices del tri´angulo para ayudarle a decidir si su conjetura es siempre correcta.
3. Repita este experimento para un cuadril´atero arbitrario y escriba una conjetura so- bre la suma de ´angulos de un cuadril´atero. Deslice los v´ertices para ver si su con- jetura se mantiene siempre.
4. ¿Las conjeturas sobre la suma de ´angulos para tri´angulos y la suma de ´angulos para cuadril´ateros est´an relacionadas entre s´ı? ¿Por qu´e s´ı, o por qu´e no?.
Actividad exploratoria 4. Uso de The Geometer’s Sketchpad
1. Construya un c´ırculo con punto centralC. Luego, construya tres puntosP, QyR
en el c´ırculo. Aseg´urese de que ninguno de estos puntos son puntos de definici´on del c´ırculo.
2. Construya las cuerdasP R, P QyQR. Mida ∠P QR. El ´anguloP QRes llamado
´angulo inscrito del c´ırculo. Deslice el punto Q alrededor del c´ırculo, o use una opci´on en el men´u Displaypara animar (Animate)Q. ¿Qu´e observa acerca de la medida de ∠P QR?. ¿Qu´e sucede cuando Q se mueve y pasa a ser el punto R?. ¿Qu´e sucede si cambia el radio del c´ırculo?. La familia de ´angulos que est´a apre- ciando cuandoQse mueve alrededor de la circunferencia del c´ırculo son ´angulos subtendidos por la cuerdaP R. Exprese su observaci´on en la forma de una con- jetura:
“Si P R es una cuerda fija de un c´ırculo y Q es un punto en ese c´ırculo, entonces la medida de∠P QRes ...”.
3. Ahora, construya los radiosCP yCR. Mida∠P CR, el cual es llamado un´angulo centraldel c´ırculo. (El uso de diferentes colores, puede hacer que su diagrama sea mas f´acil de analizar). ¿Qu´e observa acerca de las medidas de un ´angulo central y del ´angulo inscrito correspondiente de un c´ırculo?
4. Varie los puntos P, Q y R desliz´andolos alrededor del c´ırculo para que exami- nes muchos ´angulos diferentes. ¿Su observaci´on sigue siendo v´alida?. Exprese su observaci´on en una conjetura al completar esta proposici´on:
“Si∠P QRes un ´angulo inscrito de un c´ırculo centrado enC, enton- ces la medida de∠P QRser´a ... (comparado con) la medida de∠P CR”.
Actividad exploratoria 5. Uso de The Geometer’s Sketchapad
manera queP Rsea el di´ametro, no simplemente una cuerda del c´ırculo.
2. Construya un punto Q en el c´ırculo y mida ∠P QR. Mueva el punto Q, ¿qu´e se observa?. ¿Qu´e pasa siQse mueve mas all´a del puntoR?.
3. Realiza una conjetura acerca de esta situaci´on. ¿C´omo se relaciona esta conjetura con las que realiz´o en la Actividad 4?.
Actividad exploratoria 6. Uso de The Geometer’s Sketchpad
1. Construya un tri´angulo equil´atero usando Sketchpad. (No solo haga una estima- ci´on; use c´ırculos y puntos de intersecci´on para garantizar que su tri´angulo sea equil´atero). Una vez que haya construido este tri´angulo, elijaHidedel men´uDis- play para borrar cualquier objeto de construcci´on auxiliar de la pantalla, dejando solo el tri´angulo equil´atero.
2. Construya el punto P en el interior del tri´angulo. Construya segmentos de recta a partir deP que son perpendiculares a cada lado. Luego, borre los objetos extra que se us´o para hacer esto. Mida las longitudes de los tres segmentos y haga que Sketchpad calcule la suma.
3. DesliceP alrededor del gr´afico. Los segmentos deben permanecer perpendiculares a los tres lados. ¿Qu´e se observa?. Deslice P a uno de los v´ertices del tri´angulo. ¿Qu´e se observa?.
4. Realice una conjetura sobre esta situaci´on, completando la siguiente proposici´on: “Si P es un punto interior de un tri´angulo equil´atero, entonces la suma de las longitudes de los tres segmentos perpendiculares deP a los lados del tri´angulo es ...”.
5. Dibuje otro tri´angulo que no sea equil´atero y repita este experimento. ¿Qu´e se observa?. ¿Ocurre algo diferente cu´ando el tri´angulo es agudo u obtuso?.
Actividad exploratoria 7. Uso de The Geometer’s Sketchpad
1. Un rect´angulo puede ser definido como un cuadril´atero con cuatro ´angulos rectos. Construya un rect´angulo en Sketchpad. ¿Su construcci´on us´o la definici´on dada
aqu´ı, o us´o alguna propiedad adicional de un rect´angulo?.
2. Construya las diagonales de este rect´angulo y observe como ellas se intersecan. Exprese su observaci´on como una conjetura, completando la siguiente proposici´on:
“Si un cuadril´atero es un rect´angulo, entonces sus diagonales ...”.
3. Escriba la afirmaci´on inversa de su conjetura. Investigue cu´ando la inversa parece ser verdad.
Actividad exploratoria 8. Uso de The Geometer’s Sketchapad
1. Uncuadradose puede definir como un cuadril´atero regular. Un pol´ıgono se dice ser regular, si todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ´angulos tienen la misma medida.
Construya un cuadrado en Sketchpad. ¿Su construcci´on, us´o la definici´on dada aqu´ı o usa alguna propiedad adicional de un cuadrado?.
2. ¿Todo rect´angulo es un cuadrado o todo cuadrado es un rect´angulo?. Exprese su respuesta a esta pregunta como una conjetura, completando la siguiente proposi- ci´on:
“Si un cuadril´atero es un ..., entonces es un ...”.
3. Escriba la inversa de esta conjetura. ¿La inversa, ofrece la misma idea que la pro- posici´on original?.