La palabra Griega para la geometr´ıa,γεωµετ ρια, que significamedici´on de la tierra, fu´e usada por el historiadorHerodotus (484dc–425ac), quien escribi´o que en el antiguo Egipto la gente usaba la geometr´ıa para restaurar sus tierras despu´es de la inundaci´on del Nilo. As´ı, el uso te´ori- co de figuras para fines pr´acticos se remonta a la antig¨uedad pre - Griega. La tradici´on sostiene queThales of Milet (639 dc–546 ac)conoc´ıa algunas propiedades de tri´angulos congruentes y usaba ellas para la medici´on indirecta y quePythagoras (572–492 ac)junto con su escuela tuvo la idea de sistematizar este conocimiento por medio de pruebas.
As´ı los Griegos, hicieron dos contribuciones vitales a la Geometr´ıa: hicieron geometr´ıa abstracta y deductiva. Partiendo de premisas incuestionables (o axiomas) y leyes b´asicas del pensamiento, razonaron y demostraron este conocimiento previamente injustificado. Todo este proceso fue codificado por Euclid (300 ac)en su libro, los Elementos (Elements), el libro de texto cient´ıfico mas exitoso jam´as escrito. En este trabajo, podemos apreciar el conocimiento todo de la matem´atica de aquel tiempo, presentado como unsistema l´ogico.
La Geometr´ıa, con el uso actual, significa la rama de las Matem´aticas que trata con figuras espaciales. Dentro de las Matem´aticas, desarrolla un rol significativo. La Geometr´ıa consiste de una variedad de estructuras intelectuales, estrechamente relacionadas entre s´ı y con las expe- riencias originales deespacio y movimiento. Un breve relato hist´orico del desarrollo posterior de esta “ciencia del espacio” desde sus ra´ıces Griegas hasta los tiempos modernos se d´a ahora. En la antigua Grecia, sin embargo, todas las Matem´aticas eran consideradas como Geo-
metr´ıa. El ´Algebra se introdujo en Europa desde el Oriente Medio hacia el final de la Edad Media y se desarroll´o a´un mas durante el Renacimiento. En los siglos XVII y XVIII, con el desarrollo del An´alisis, la Geometr´ıa alcanzaba la paridad con el ´Algebra y el An´alisis.
Sin embargo, como se˜nal´oRene Descartes (1596–1650)las figuras y los n´umeros est´an es- trechamente relacionadas. Las figuras geom´etricas se pueden tratar algebr´aicamente (o anal´ıti- camente) por medio decoordenadas; rec´ıprocamente, hechos algebraicos pueden ser expresa- dos geom´etricamente.
La geometr´ıa anal´ıtica fue desarrollada en el siglo XVIII, especialmente por Leonhard Euler (1707–1783), quien por primera vez estableci´o una teor´ıa algebraica completa de curvas de segundo orden. Anteriormente, estas curvas hab´ıan sido estudiadas porApollonius of Perga (262 dc–200 ac)comosecciones c´onicas.
La idea de Descartes fue fundamental para el desarrollo del an´alisis en el siglo XVIII. Hacia fines de ese siglo, se aplic´o nuevamente el an´alisis a la Geometr´ıa. Gaspard Monge (1746–1818)puede considerarse como un precursor de la geometr´ıa diferencial. Carl Gauss (1777–1855) fund´o la teor´ıa de las superficies mediante la introducci´on de conceptos de la geometr´ıa de las superficies. La influencia que las investigaciones geom´etricas diferenciales de curvas y superficies han ejercido sobre las ramas de la Matem´atica, F´ısica e ingenier´ıa ha sido profundo.
Sin embargo, no podemos decir que el m´etodo anal´ıtico es siempre la mejor manera de tratar con problemas geom´etricos. El m´etodo de considerar figuras directamente sin usar coordenadas es llamadogeometr´ıa sint´etica. En este sentido, un nuevo campo llamadogeometr´ıa proyectiva fue creado porG´erard Desargues (1593–1662)yBlaise Pascal (1623–1662)en el siglo XVII. Este campo alcanz´o su desarrollo en el siglo XIX.
Por otro lado, el axioma de las paralelasen los Elementos de Euclides ha sido un objeto de cr´ıtica desde la antig¨uedad. En el siglo XIX, negando la validez a priori de la Geometr´ıa Euclidiana, J´anos Bolyai (1802–1860) y Nikolai Lobachevsky (1793–1856) formularon la Geometr´ıa no-Euclidiana.
En Geometr´ıa Anal´ıtica, los espacios f´ısicos y planos, como se conoce, son representados como espacios Euclidianos tridimensionales o bidimensionales. Es f´acil generalizar estos es- pacios al espacio Euclidiano n-dimensional. La Geometr´ıa de este nuevo espacio es llamada laGeometr´ıa Euclideana n-dimensional. Obtenemos geometr´ıas proyectivas y no-Euclidianas
geometr´ıas en t´erminos te´orico grupales: llam´o “espacio” a un conjuntoS en el cual opera un grupoGy “geometr´ıa” al estudio de las propiedades deS invariantes bajo las operaciones de
G. La idea de Kleinno solo sintetizaba las geometr´ıas conocidas en ese momento, sino que tambi´en se convertia en un principio rector para el desarrollo de nuevas geometr´ıas.
Bernhard Riemann (1826–1866)inici´o otra direcci´on en las investigaciones geom´etricas cuando ´el investig´o las variedades n-dimensionales, en particular, las variedades Riemannia- nas y sus geometr´ıas. Algunos aspectos de la Geometr´ıa Riemannianase encuentran fuera de la geometr´ıa en el sentido de Klein. Este fu´e el punto de inicio para el amplio campo de la geometr´ıa diferencial moderna, esto es, la geometr´ıa de lasvariedades diferencialesde varios tipos. Se hizo necesario establecer una teor´ıa que reconcilie las ideas de Klein y Riemann;
Elie Cartan (1869–1951)logr´o esto introduciendo la noci´on deconexi´on.
La reexaminaci´on del sistema de axiomas de los Elementos de Euclides llev´o a David Hilbert (1862–1943)a establecer los fundamentos de la Geometr´ıa y la tendencia axiom´atica de la Matem´atica actual. El estudio de las curvas algebr´aicas, el cual comenz´o con el estudio de las secciones c´onicas, se desarroll´o en lageometr´ıa algebr´aica.
Otra rama de la Geometr´ıa es latopolog´ıa, que se ha desarrollado desde fines del siglo XIX. Su influencia en toda la Matem´atica de hoy es considerable.
La Geometr´ıa, hoy en d´ıa a incursionado en todas las ramas de la Matem´atica, y algunas veces es dif´ıcil distinguirla del ´Algebra o el An´alisis. Por lo tanto, la Geometr´ıa no es solo una subdivisi´on o una materia dentro de las matem´aticas, sino un medio de tornar im´agenes visuales en herramientas formales para la comprensi´on de otros fen´omenos matem´aticos.
La importancia de la intuici´on geom´etrica, sin embargo, no ha disminuido desde la an- tig¨uedad hasta hoy. Referencia [(Remsing, 2006)].