Implementación Computacional
4.3 Ejemplo de aplicación de diseño
4.3.1 Actuadores No Lineales
Un lazo de control típico incluye los siguientes elementos, figura 4.9:
Figura 4.9: Lazo de control conteniendo la dinámica Actuador-Planta
Idealmente la función de transferencia de un actuador debería ser una función lineal como: 0 ) ( ) ( ) ( ) (s f U s U s U s (4.2) a manera de que las manipulaciones enviadas por el controlador al proceso o planta, lleguen íntegras. Sin embargo, esto rara vez ocurre en los sistemas físicos reales. Un ejemplo típico de un actuador no lineal son las válvulas. Åström [11], menciona que la dinámica de dichas válvulas puede ser modelada, por ejemplo, por:
0 ) ( ) ( ) ( ) (s f U s U4 s U s (4.3)
En este caso, aunque el sistema a controlar sea lineal o se haya linealizado alrededor de un punto de operación, el sistema en su conjunto actuador-proceso será no lineal. De esta manera se puede ahora modelar al sistema de la siguiente manera, suponiendo que el sistema a controlar es un sistema de primer orden con tiempo muerto con la función de transferencia:
1 ) ( 0 s Ke s G s t (4.4) y si se considera un actuador con una dinámica descrita por:
0 ) ( ) ( 01 . 0 ) ( ) (s f U s U2 s U s (4.5)
se tiene discretizando el modelo de primer orden con retenedor de orden cero (ROC) mediante la transformada z modificada:
1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( z a z b z b z z Y z G d d (4.6) donde: T mT mT T e e K b e K b e a T T T t floor t m 2 1 1 0 0 1 1 (4.7)
de manera que considerando la no linealidad del actuador, se tiene que la manipulación discreta que recibe el proceso (z 1) está en función de U(z 1), por lo que:
) ( 01 . 0 ) ( ) (z 1 f U z 1 U2 z 1 (4.8)
Ahora bien, obteniendo la ecuación de diferencias para el modelo de primer orden se tiene: d k d k k k a y b b y 1 1 1 1 2 2 (4.9) pero: 2 01 . 0 k k u (4.10) por lo que: 2 2 2 2 1 1 1 1 k 0.01 k d 0.01 k d k a y b u b u y (4.11)
Por lo que el sistema se convierte en un sistema no lineal, aunque debido a que sigue siendo lineal en los parámetros, Åström [11], el método de mínimos cuadrados sigue siendo una muy buena opción para identificar los parámetros de este tipo de modelos.
Como sugerencia para implementar en simulación este tipo de modelos, ecuación 4.11, se sugiere no inicializar al modelo cuando se hace un cambio en el periodo de muestreo ya que debido a la no linealidad del modelo las reglas de inicialización para los modelos lineales no aplican de igual manera para este tipo de modelos, por lo que solo al comenzar las simulaciones se debe inicializar con ceros ambos regresores, sin valores en estado estable o Uss 0 yYss 0. Por lo que al hacer un cambio en el periodo de muestreo basta con recalcular los parámetros a1,b1 yb2 usando las ecuaciones 4.7 sin hacer ningún tipo de inicialización.
Este modelo representa una buena opción para observar el comportamiento del controlador ante la presencia de no linealidades, por lo que a continuación se presenta la aplicación de la metodología de diseño al modelo de la ecuación 4.1:
1.- Primeramente se selecciona el modo de simulación.
2.- A continuación se hace clic en el botón de PARAMETROS para introducir los parámetros del modelo mostrado anteriormente que es el que que se va a simular. Se Selecciona actuador no lineal, y le damos condiciones iniciales de Uss 0 yYss 0. 3.- Se hace clic en el botón grande de IR para correr el programa, y se introduce una manipulación del 40% en el numércio Manipulación . Una vez que se haya estabilizado el sistema se hace clic en Sel. T Muestreo para seleccionar el tiempo de muestreo más adecuado para el sistema, obtener el periodo último y la ganancia última, mostrándose estos valores al finalizar esta prueba, además, en el panel de identificación se mostrará el tiempo muerto real del proceso estimado y se hará el cambio en el tiempo de muestreo de manera automática. Primeramente al iniciar esta prueba aparecerá una ventana que le comunicará al usuario la operación que se va a realizar, y los pasos que debe seguir para finalizar el diseño automático del controlador. Figura 4.10.
4.- Al finalizar la etapa de selección del tiempo de muestreo, el usuario deberá asegurarse que el selector de control Selector CTRL. se encuentre en C.1.P. y hacer clic ahora, en el panel de identificación, en el botón pequeño de IR , y con esto correrá el algoritmo de identificación y diseño automático del controlador, figura 4.11. Al finalizar esta rutina, se mostrarán los valores de las correlaciones del modelo identificado, el número de parámetros, sus valores, sus desviaciones estándar y el error residual, y por último se mostrarán los valores de los coeficientes de los polinomios calculados para el diseño del controlador.
Figura 4.11: Ejecución de la Rutina de Identificación automática y diseño automático del controlador de 1 parámetro
Al finalizar este proceso, el usuario podrá visualizar en el panel principal los valores finales de y n, figura 4.7, con los cuales el valor máximo de la función se sensibilidad se ubica en el rango de:
db
7 (j ) 8db
max
Figura 4.12: Valores obtenidos para el tiempo de muestreo y los parámetros de los controladores mediante el algoritmo automático de diseño y ajustando el controlador de 1 parámetro a un valor máximo de la
función de sensibilidad de 6db
Finalmente se cambia de modo manual a automático y se introduce un valor para la referencia de 25 , y una vez que se haya estabilizado el sistema en ese valor, se selecciona IR en el interruptor de Par Desemp , con lo que se efectuará una prueba escalón que le dirá al usuario cual es el desempeño del controlador en seguimiento en parámetros como el sobre giro, tiempo de establecimiento y la integral del valor absoluto del error. Si el usuario lo desea puede aumentar un poco la velocidad del controlador aumentando el valor del parámetro , preferentemente en incrementos de 0.02, y haciendo clic en Diseñar C. , cuidando únicamente que el valor mostrado en el numérico Smax no exceda preferentemente los 8db 3%.
Figura 4.13: Respuesta del controlador con robustez media (6db) ante cambios en referencia simulando un proceso no lineal
La prueba del desempeño del sistema en regulación se realiza introduciendo una perturbación al sistema con ganancia unitaria, constante de tiempo de 5 seg. tiempo muerto de 1 seg. y una magnitud de la entrada en perturbación del 20%, de manera que la perturbación tiene como función de transferencia:
1 5s e s P s
La figura 4.13 muestra el comportamiento del sistema ante la acción de perturbaciones de carga. Por otra parte, el programa permite cambiar nuevamente los parámetros de la planta a simular, de manera que se puede observar el comportamiento del controlador ante variaciones paramétricas y por lo tanto su robustez, se pueden agregar no linealidades con la inclusión de un actuador no lineal, se puede simular la acción de perturbaciones sobre el sistema, se puede añadir ruido a la medición de la variable, y además se puede comparar el desempeño de los distintos algoritmos de control, por lo que se tiene una herramienta para hacer control muy completa.
Figura 4.14: Respuesta del controlador con robustez media (6db) ante una perturbación de carga simulando un proceso no lineal
En el capítulo siguiente se mostrarán los resultados obtenidos con el controlador propuesto con distintos modelos en simulación, un proceso real, y se dará una explicación del funcionamiento de la interfase de adquisición-recepción de datos diseñada en este proyecto de investigación.