Monterrey, Nuevo León a
Lic. Arturo Azuara Flores:
Director de Asesoría Legal del Sistema
Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra titulada
en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución y reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO.
El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas anteriormente de la obra.
Diseño Automático e Implementación de un Controlador de un
Solo Parámetro con Ajuste de Robustez-Edición Única
Title Diseño Automático e Implementación de un Controlador de un Solo Parámetro con Ajuste de Robustez-Edición Única
Authors Arturo Enrique Jasso Garduño Affiliation ITESM-Campus Monterrey Issue Date 2006-05-01
Item type Tesis
Rights Open Access
Downloaded 19-Jan-2017 11:23:10
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISION DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
DISEÑO AUTOMATICO E IMPLEMENTACION DE UN CONTROLADOR DE UN SOLO PARAMETRO CON AJUSTE
DE ROBUSTEZ
T E S I S
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA
OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACION
POR:
ARTURO ENRIQUE JASSO GARDUÑO
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
DISEÑO AUTOMÁTICO E IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR DE UN SOLO PARÁMETRO CON AJUSTE DE ROBUSTEZ.
TESIS
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACIÓN
POR:
ARTURO ENRIQUE JASSO GARDUÑO
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Arturo Enrique Jasso Garduño sea aceptado como requisito
parcial para obtener el grado académico de: Maestro en Ciencias
Especialidad en Automatización
Agradecimientos
Agradezco primeramente a Dios, por todo lo que me ha dado en la vida, salud, inteligencia y el amor de toda mi familia.
Agradezco a mi abuelo el Ing. León Garduño Gautier por sus consejos y por haberme inculcado el cariño por el estudio y por las matemáticas principalmente. Así como a mi abuelita Isabel Estrada por su cariño y consejos.
A mis padres por haberme dado la vida y por apoyarme siempre, y darme ánimos con su cariño. Así como a mi hermana por su cariño.
Agradezco especialmente a mis tíos Ale, Flor, Horacio, Cristi por su apoyo y cariño, a mis tios y primos en general, por su apoyo y sus consejos.
Agradezco también a mis amigos y amigas que hicieron de esta ardua labor, algo más sencillo y ameno.
Agradezco el interés y aportaciones hechas a este proyecto de mi asesor el Dr. José de Jesús Rodríguez Ortiz, así como mis sinodales el Dr. Jorge Limón y el M.C. Luis Rosas.
Resumen
____________________________________
El objetivo original del presente trabajo de tesis se refiere a la automatización del diseño del controlador de diferencias , el cual es un controlador digital por cancelación, que requiere únicamente de un parámetro de ajuste para modificar su desempeño, Barba Ávila [1]. Sin embargo, este controlador como todos los controladores por cancelación, presentan algunas restricciones, las cuales han limitado considerablemente su aplicación en sistemas en tiempo real. Como parte de la contribución de esta tesis y ante estas limitantes, se propuso un controlador que tiene características similares a las del controlador de diferencias, en realidad, su dinámica en seguimiento es igual a la propuesta por Alvarado Calva [3], mientras que la dinámica en regulación es muy similar, por lo que hablando de términos de desempeño, puede decirse que el controlador propuesto toma como base la dinámica del controlador de diferencias, pero sin presentar todas sus desventajas ya que en lugar de usar la estrategia de Cancelación , utiliza Pole Placement ,Åström K. J. [10], como técnica alterna de diseño. La complejidad en los cálculos para el diseño del controlador no aumenta de manera significativa, ya que únicamente se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales para poder diseñarlo, para lo cual existen una serie de algoritmos numéricos que tienen una confiabilidad más que
probada y optimizada. Adicionalmente al parámetro de desempeño con que cuenta
el controlador de diferencias, se agrega un nuevo parámetro "n", el cual permite modificar la robustez del controlador, lo que da al controlador una gran versatilidad, pudiéndolo adaptar a distintas circunstancias, como condiciones de no linealidades y/o variaciones en la dinámica del proceso. Para hacer su correcta sintonización se evalúa el valor máximo de la función de sensibilidad, Rosas Luis [6], de manera que se busca que el controlador tenga siempre un balance adecuado entre desempeño y robustez, pudiendo el usuario modificar dicho balance para hacer más robusto al controlador o hacerlo más rápido.
Índice General
____________________________________
1. Introducción
1.1. Antecedentes .1
1.2. Definición del Problema ...3
1.3. Objetivos ...4
1.3.1. Objetivos Particulares...4
1.4. Hipótesis ...4
1.5. Contenido del Documento 5
2. Marco Teórico
2.1. Análisis de sistemas de control digital ..6
2.1.1. El teorema de muestreo ..7
2.1.2. Ecuaciones de diferencias ..7
2.1.3. Transformada Z ..8
2.1.4. Elementos de un sistema de control digital ..10
2.2. Controlador PID digital ...11
2.2.1. Técnicas de discretización de controladores
continuos ...11
2.2.2. Auto-sintonización de controladores PID 13
2.3. Métodos de Identificación comunes ...18
2.3.1. Métodos basados en al respuesta transitoria 18
2.3.2. Métodos Basados en la respuesta en frecuencia ..19
2.3.3. Métodos basados en análisis estadístico ..19
2.3.4. Estimación de parámetros mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios
(MCO) ..22
2.3.5. Algoritmo de Mínimos Cuadrados Recursivos (MCR) ...23
2.3.6. Propiedades Estadísticas del Estimador de Mínimos Cuadrados 30
2.3.7. Prueba de Correlación ..31
2.3.8. Pruebas de Excitación al sistema .33
2.4. Control de Diferencias (Antecedentes) ...36
2.4.1. Control de diferencias modificado ...43
2.5. Diseño de Controladores mediante el método de Colocación de Polos (Pole
2.5.1. Solución de la Ecuación Diofantina .52
2.5.2. Elecciones Comunes del Polinomio Característico .58
2.6. Interpretación de la función de transferencia obtenida ...60
2.7. Teoría de control robusto 60
2.7.1. Estabilidad Absoluta 60
2.7.2. Estabilidad Relativa .60
2.7.3. Función de Sensibilidad ...61
2.7.4. Función de Sensibilidad Complementaria ...62
2.7.5. Propiedades de la función de sensibilidad ...63
2.7.6. Criterios de Robustez ...64
3. Metodología de Diseño
3.1. Introducción 66
3.2. Selección del tiempo de muestreo ...67
3.3. Identificación del Proceso ...72
3.3.1. Validación estadística del modelo ...72
3.4. Esquema de control propuesto 80
3.4.1. Teorema del Binomio ..81
3.4.2. Acción Integral y Ajuste de la Ganancia .82
3.5. Diseño del controlador con un parámetro de ajuste de robustez variable ...86
3.5.1. Evaluación de la función de sensibilidad 89
3.5.2. Ajuste de la multiplicidad algebraica del polinomio característico
utilizando n ...92
3.6. Caso de estudio ...94
3.6.1. Robustez del esquema de control propuesto ante variaciones
paramétricas ...100
3.7. Algoritmo de ajuste automático de y n para obtener una respuesta
rápida .101
3.8. Ajustes manuales de y n ..102
3.9. Comentarios Finales ..103
4. Implementación Computacional
4.1. Introducción ..105
4.2. Panel principal del programa 105
4.3. Ejemplo de aplicación de diseño ...117
5. Evaluación del Método
5.1. Introducción ..124
5.2. Procesos de primer y segundo orden en simulación .126
5.2.1. Modelo 1 (Primer Orden) ...127
5.2.2. Modelo 2 (Primer Orden) ...135
5.2.3. Comparación entre el controlador de 1 parámetro (C1P) y el controlador de diferencias modificado en desempeño y en
robustez ..141
5.2.4. Modelo 3 (Segundo Orden) ...144
5.3. Pruebas en tiempo real ..152
5.3.1. Interfase de adquisición-recepción de datos ..153
5.3.1.1.Microcontrolador .153
5.3.1.2. Convertidor Analógico-Digital ...156
5.3.1.3. Convertidor Digital-Análogo ..157
5.3.1.4. Acondicionamiento 158
5.3.1.5. Descripción del funcionamiento de la tarjeta .160
5.3.1.6. Comentarios finales 163
5.4. Resultados de la metodología en un proceso real de temperatura 163
5.4.1. Resultados de la metodología en tiempo real linealizando el
sensor .171
5.4.2. Pruebas agregando tiempo muerto a la dinámica del proceso ...181
5.5. Observaciones de las pruebas ...190
6. Conclusiones e Investigaciones Futuras
6.1. Conclusiones .194
6.2. Recomendaciones para trabajos futuros 195
Bibliografía .198
A. Apéndice A
A.1. Introducción .200
A.2. Modelo 4 ..200
A.3. Modelo 5 ..206
A.4. Modelo 6 ..214
A.5. Modelo 2, evaluación de la robustez con aumento del 100% en la
ganancia ...221
A.6. Modelo 5, evaluación de la robustez con aumento del 100% en la
Índice de figuras
1. Capítulo 1
1.1. Lazo de control retroalimentado ...1
2. Capítulo 2
2.1. Circuito RC ...8
2.2. Elementos de un Sistema de Control Digital ..10
2.3. Control PID en tiempo continuo .11
2.4. Gráfica del error en un controlador PID ante una entrada escalón .12
2.5. Esquema de operación de un relevador ..14
2.6. Esquema de un relevador con Histéresis 14
2.7. Prueba de auto-sintonización para controladores PID 15
2.8. Matriz de Varianzas y Covarianzas de los parámetros estimados mediante
Mínimos Cuadrados 30
2.9. Registro de corrimiento para una prueba PRBS .34
2.10. Duración mínima requerida de un pulso para identificar la ganancia ...35 2.11. Esquema del control de diferencias para un retraso d igual a cero ..40 2.12. Esquema del control de diferencias donde se observa la cancelación del
numerador de la planta 40
2.13. Esquema del control de diferencias para un retraso d mayor a cero ..43 2.14. Esquema del control de diferencias modificado para eliminar el efecto del
timbre ..44
2.15. Lazo de control retroalimentado 48
2.16. Lazo de control retroalimentado con estructura más versátil.. ..50
2.17. Manipulación del lazo de control retroalimentado para obtener funciones de transferencia pulso con el mismo denominador tanto en la entrada en
referencia como en la salida del proceso ....50
2.18. Manipulación del lazo de control retroalimentado separando el
denominador de la función de transferencia que procesa a la entrada en referencia...50 2.19. Manipulación del lazo de control retroalimentado moviendo el punto de suma a la izquierda del denominador de la función de transferencia que
procesa a la entrada en referencia ..50
2.20. Esquema 1 general de un controlador con procesamiento en la salida,
entrada y referencia usando Pole Placement ...51
2.21. Esquema 2 general de un controlador con procesamiento en la salida,
entrada y referencia usando Pole Placement ...51
2.22. Solución Matricial de la ecuación diofantina .55
2.23. Ejemplo de solución de la ecuación diofantina ..56
2.24. Controlador con dinámicas de regulación y seguimiento separadas .59
2.25. Esquema clásico de un lazo de control con una perturbación a la salida...61
3. Capítulo 3
3.1. Metodología de diseño propuesta ...67
3.2. Prueba tipo escalón para determinar la ganancia de un sistema .69
3.3. Prueba tipo pulso y tipo relevador para la obtención del tiempo de muestreo
T ...71
3.4. Etapa de adquisición y acondicionamiento de datos ...79
3.5. Algoritmo de identificación propuesto ...79
3.6. Esquema de un sistema de control para una planta que no tiene una propiedad
integradora ..84
3.7. Esquema de control alterno propuesto al control de diferencias 85
3.8. Esquema de control propuesto con acondicionamiento numérico en el
polinomio característico ..87
3.9. Lazo de control equivalente al de la figura 3.8 pero estable .. ...88
3.10. Controlador final propuesto ...88
3.11. Esquema de un sistema regulador sin entrada en referencia y entrada en
perturbación 89
3.12. Esquema alterno de un sistema regulador sin entrada en referencia y
entrada en perturbación . ..89
3.13. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad 92
3.14. Controlador con =0.3 y n=1 . 94
3.15. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad para el controlador
con =0.3 y n=1 ..95
3.16. Controlador con =0.3 y n=2 .95
3.17. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad para el controlador
con =0.3 y n=2 ..96
3.18. Controlador con =0.3 y n=3 .96
3.19. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad para el controlador
con =0.3 y n=3 ..97
3.20. Controlador con =0.3 y n=4 .97
3.21. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad para el controlador
con =0.3 y n=4 ..98
3.22. Controlador con =0.3 y n=5 .98
3.23. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad para el controlador
con =0.3 y n=5 ..99
3.24. Controlador con =0.3 y n=6 ...99
3.25. Respuesta a la frecuencia de la función de sensibilidad para el controlador
con =0.3 y n=6 100
3.26. Respuesta del controlador con =0.3 y n=4 ante un cambio en la ganancia del 100%...101 3.27. Algoritmo de diseño automático del controlador para una respuesta
rápida .102
4. Capítulo 4
4.1. Panel principal del programa 106
4.2. Panel de introducción del modelo de simulación .108
4.4. Panel de introducción de la magnitud del ruido 111
4.5. Panel de sintonización del controlador PID ..112
4.6. Panel de resultados del algoritmo de
identificación .113
4.7. Panel de control de los algoritmos RST y C1P .114
4.8. Panel de desplegado de los polinomios R, S y T ..116
4.9. Lazo de control conteniendo la dinámica actuador-planta ...117
4.10. Panel de inicio de selección de T, Tu y Ku .119
4.11. Ejecución de la rutina de identificación automática y diseño automático
del controlador de 1 parámetro .120
4.12. Valores obtenidos para el tiempo de muestreo y los parámetros de los controladores mediante el algoritmo de diseño automático y ajustando el controlador de 1 parámetro a un valor máximo de la función de sensibilidad
de 6db 121
4.13. Respuesta del controlador con robustez media (6db) ante cambios en
referencia simulando un proceso no lineal 122
4.14. Respuesta del controlador con robustez media (6db) ante una perturbación
de carga simulando un proceso no lineal ..123
5. Capítulo 5
5.1. Desempeño en seguimiento (modelo 1 nominal) ..128
5.2. Desempeño en regulación para el control PID (modelo 1 nominal) .129
5.3. Desempeño en regulación controladores RST y C1P (modelo 1 nominal)..130 5.4. Desempeño en seguimiento del controlador PID (modelo 1 variando la
ganancia 50%) ...131
5.5. Desempeño en seguimiento para los controladores C1P y RST (modelo 1
variando la ganancia 50%) 132
5.6. Desempeño en regulación del controlador PID (modelo 1 variando la
ganancia 50%) ...133
5.7. Desempeño en regulación de los controladores C1P y RST (modelo 1
variando la ganancia 50%) 134
5.8. Desempeño en seguimiento (modelo 2 nominal) ..136
5.9. Desempeño en regulación (modelo 2 nominal) 137
5.10. Desempeño en seguimiento del control PID (modelo 2 variando la
ganancia 50%) ...138
5.11. Desempeño en seguimiento para los controladores C1P y RST (modelo 2
variando la ganancia 50%) 139
5.12. Desempeño en regulación (modelo 2 variando la ganancia 50%) ...140
5.13. Desempeño en seguimiento para los controladores C1P y Control de
Diferencias para el mismo índice de robustez ..143
5.14. Desempeño en seguimiento (modelo 3 nominal) .145
5.15. Desempeño en regulación para el controlador PID (modelo 3
nominal) 146
5.16. Desempeño en regulación para los controladores C1P y RST (modelo 3
5.17. Desempeño en seguimiento para el controlador PID (modelo 3 variando la
ganancia 50%) ..148
5.18. Desempeño en seguimiento para los controladores C1P Y RST (modelo 3
variando la ganancia 50%) 149
5.19. Desempeño en regulación para el controlador PID (modelo 3 variando la
ganancia 50%) ...150
5.20. Desempeño en regulación para los controladores C1P y RST (modelo 3
variando la ganancia 50%) 151
5.21. Diagrama de bloques de la interfase de adquisición recepción de
datos ..155
5.22. Diagrama de pines del microcontrolador .156
5.23. Diagrama de pines del convertidor analógico-digital ..156
5.24. Diagrama de pines del convertidor digital-analógico ..158
5.25. Acondicionamiento de la señal para el ADC ...159
5.26. Acondicionamiento de la señal a la salida del DAC 159
5.27. Diagrama de flujo del programa del microcontrolador 162
5.28. Desempeño en seguimiento para el controlador de 1 parámetro (en tiempo
real sin linealizar el sensor) ...165
5.29. Desempeño en seguimiento para el controlador RST (en tiempo real sin
linealizar el sensor) ...166
5.30. Desempeño en seguimiento para el controlador PID (en tiempo real sin
linealizar el sensor) ...167
5.31. Desempeño en regulación para el controlador de 1 parámetro (en tiempo
real sin linealizar el sensor) ...168
5.32. Desempeño en regulación para el controlador RST (en tiempo real sin
linealizar el sensor) ...169
5.33. Desempeño en regulación para el controlador PID (en tiempo real sin
linealizar el sensor) ...170
5.34. Desempeño en seguimiento para el controlador de 1 parámetro (en tiempo
real linealizando el sensor) 174
5.35. Desempeño en seguimiento para el controlador RST (en tiempo real
linealizando el sensor) ...175
5.36. Desempeño en seguimiento para el controlador PID (en tiempo real
linealizando el sensor) ...176
5.37. Desempeño en regulación para el controlador de 1 parámetro (en tiempo
real linealizando el sensor) 178
5.38. Desempeño en regulación para el controlador RST (en tiempo real
linealizando el sensor) ...179
5.39. Desempeño en regulación para el controlador PID (en tiempo real
linealizando el sensor) ...180
5.40. Desempeño en seguimiento ascendente para el controlador de 1 parámetro
(en tiempo real agregando tiempo muerto) ...182
5.41. Desempeño en seguimiento descendente para el controlador de 1
parámetro (en tiempo real agregando tiempo muerto) ..183
5.42. Desempeño en seguimiento para el controlador RST (en tiempo real
5.43. Desempeño en seguimiento para el controlador PID (en tiempo real
agregando tiempo muerto) 185
5.44. Desempeño en regulación para el controlador de 1 parámetro (en tiempo
real agregando tiempo muerto) .186
5.45. Desempeño en regulación para el controlador PID (en tiempo real
agregando tiempo muerto) 187
5.46. Desempeño en regulación para el controlador RST (en tiempo real
agregando tiempo muerto) 188
5.47. Prueba tipo pulso y tipo relevador para la obtención del tiempo de
muestreo T cuando existe demasiado ruido en la medición ..190
6. Capítulo 6
6.1. Diagrama de un controlador DSTR (Deterministic Self-Tuning
Regulador)... ..196
6.2. Diagrama de un controlador híbrido Difuso-Lineal ..196
A. Apéndice A
A.1. Desempeño en seguimiento (modelo 4 nominal) .202
A.2. Desempeño en regulación (modelo 4 nominal) ...203
A.3. Desempeño en seguimiento (modelo 4 variando la ganancia 50%) 204
A.4. Desempeño en regulación (modelo 4 variando la ganancia 50%) ...205
A.5. Desempeño en seguimiento (modelo 5 variando la ganancia 50%) 207
A.6. Desempeño en regulación para el controlador PID (modelo 5 nominal) .208 A.7. Desempeño en regulación para los controladores C1P y RST (modelo 5
nominal) ...209
A.8. Desempeño en seguimiento para el controlador PID (modelo 5 variando la
ganancia 50%) ..210
A.9. Desempeño en seguimiento para los controladores RST y C1P (modelo 5
variando la ganancia 50%) ...211
A.10. Desempeño en regulación para el controlador PID (modelo 5 variando la
ganancia 50%) ..212
A.11. Desempeño en regulación para los controladores RST y C1P (modelo 5
variando la ganancia 50%) ...213
A.12. Desempeño en seguimiento (modelo 6 nominal) ...215
A.13. Desempeño en regulación (modelo 6 nominal) .216
A.14. Desempeño en seguimiento para el controlador PID (modelo 6 variando la
ganancia 50%) ..217
A.15. Desempeño en seguimiento para los controladores C1P y RST (modelo 6
variando la ganancia 50%) ...218
A.16. Desempeño en regulación para el controlador PID(modelo 6 variando la
ganancia 50%) ..219
A.17. Desempeño en regulación para los controladores C1P y RST (modelo 6
Índice de tablas
2. Capítulo 2
2.1. Ejemplo de numeración de los datos por instantes de muestreo ..32
2.2. Ejemplo de cálculo del vector de errores de predicción ...33
2.3. Parámetros que posibilitan la longitud máxima de una PRBS .35
5. Capítulo 5
5.1. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el primer modelo ..127 5.2. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID para el
primer modelo 127
5.3. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el primero
modelo (nominal) ...128
5.4. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el primer
modelo (nominal) ...130
5.5. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el primer
modelo (variando la ganancia 50%) ..132
5.6. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el primer
modelo (variando la ganancia 50%) ..134
5.7. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el segundo modelo...135 5.8. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID para el
segundo modelo .135
5.9. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el segundo
modelo (nominal) ...136
5.10. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el segundo
modelo (nominal) ...138
5.11. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el segundo
modelo (variando la ganancia 50%) ..139
5.12. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el segundo
modelo (variando la ganancia 50%) ..141
5.13. Índices de robustez para distintos valores de en el controlador
propuesto 141
5.14. Índices de robustez para distintos valores de en el controlador de
diferencias ..142
5.15. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores C1P y de diferencias, con índices de robustez equivalentes (C1P =0.81 y C. Dif. Modificado
=0.4) .143
5.16. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el cuarto modelo 144 5.17. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID para el
cuarto modelo .144
5.18. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el tercer
modelo (nominal) ...145
5.19. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el tercer
5.20. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el tercer
modelo (variando la ganancia 50%) ..149
5.21. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el tercer
modelo (variando la ganancia 50%) ..151
5.22. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el proceso de
temperatura sin linealizar el sensor .164
5.23. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID sin
linealizar el sensor ..164
5.24. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores (sin linealizar
el sensor) 167
5.25. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores (sin linealizar el
sensor) 170
5.26. Caracterización del sensor para su linealización ..171
5.27. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el proceso de
temperatura (linealizando el sensor) ..173
5.28. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID
(linealizando el sensor) ..173
5.29. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores (linealizando
el sensor) 176
5.30. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores (linealizando el
sensor) 180
5.31. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el proceso de
temperatura (agregando tiempo muerto) 181
5.32. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RSt y PID (agregando
tiempo muerto) ...181
5.33. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores (agregando
tiempo muerto) ...185
5.34. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores (agregando
tiempo muerto) ...188
A. Apéndice A
A.1. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el cuarto modelo .201 A.2. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID para el
cuarto modelo .201
A.3. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el cuarto
modelo (nominal) ...202
A.4. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el cuarto
modelo (nominal) ...203
A.5. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el cuarto
modelo (variando la ganancia 50%) ..204
A.6. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el cuarto
modelo (variando la ganancia 50%) ..206
A.7. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el quinto modelo .206 A.8. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID para el
A.9. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el quinto
modelo (nominal) ...208
A.10. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el quinto
modelo (nominal) ...209
A.11. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el quinto
modelo (variando la ganancia 50%) ..211
A.12 Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el quinto
modelo (variando la ganancia 50%) ..213
A.13. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el sexto modelo .214 A.14. Parámetros obtenidos para el diseño de los controladores RST y PID para el
sexto modelo ..214
A.15. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el sexto
modelo (nominal) ...215
A.16. Parámetros de desempeño en regulación para los controladores en el sexto
modelo (nominal) ...216
A.17. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el sexto
modelo (variando la ganancia 50%) ..218
A.18. Parámetros de desempeño en seguimiento para los controladores en el sexto
modelo (variando la ganancia 50%) ..220
A.19. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el segundo modelo en
pruebas de alta robustez .221
A.20. Parámetros de desempeño en seguimiento para distintos valores de y n
con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el segundo modelo
(nominal) 221
A.21. Parámetros de desempeño en regulación para distintos valores de y n con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el segundo modelo
(nominal) 222
A.22. Parámetros de desempeño en seguimiento para distintos valores de y n
con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el segundo modelo
(variando la ganancia 100%) .. ...222
A.23. Parámetros de desempeño en regulación para distintos valores de y n con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el segundo modelo
(variando la ganancia 100%) .. ...222
A.24. Parámetros obtenidos con la metodología de diseño para el quinto modelo en
pruebas de alta robustez .222
A.25. Parámetros de desempeño en seguimiento para distintos valores de y n
con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el quinto modelo
(nominal) 223
A.26. Parámetros de desempeño en regulación para distintos valores de y n con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el quinto modelo
(nominal) 223
A.27. Parámetros de desempeño en seguimiento para distintos valores de y n
con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el quinto modelo
A.28. Parámetros de desempeño en regulación para distintos valores de y n con 6db en el valor máximo de la función de sensibilidad, en el quinto modelo (variando
Capítulo 1
Introducción
____________________________________
1.1 Antecedentes
Gran parte de los sistemas de control utilizados en la actualidad se encuentras implementados en computadoras digitales, las cuales han encontrado un buen acomodo, debido al avance de la micro-electrónica y a un bajo costo, lo que las ha hecho altamente prácticas. Dentro del área de computadoras digitales se cuenta con diversos dispositivos de procesamiento que se pueden agrupar dentro de esta categoría como las computadoras personales (PC), los sistemas mínimos basados en microprocesador (que es el equivalente a una PC con los recursos mínimos, sin periféricos de salida como monitor), los microcontroladores que son computadoras de propósito específico, y los DSP s (Digital Signal Processors) que son computadoras diseñadas de manera similar a los microcontroladores pero que contienen la arquitectura necesaria para procesar información a gran velocidad. Particularmente, este último dispositivo, es que ha encontrado mayor acomodo en los sistemas de control por computadora, debido a su alta capacidad de procesamiento y a su alta robustez para funcionar en ambientes hostiles, como en las industrias, en sistemas de defensa como misiles, en motores de combustión interna entre otros.
A pesar de la gran cantidad de ventajas que ofrecen las computadoras digitales, muchas de sus capacidades, se encuentran subutilizadas en la mayoría de la aplicaciones, ya que solo se han limitado a emular el comportamiento de algunos controladores continuos como el controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo), el cual ha sido utilizado durante la mayor parte del siglo XX en el control de un gran número de procesos. Sin embargo, debido a las nuevas exigencias de la industria, donde cada vez se requiere mayor velocidad de producción con mayores estándares de calidad, ha provocado que en muchas aplicaciones en la actualidad, el controlador PID no sea suficiente para satisfacer las necesidades de las industrias. Muchas teorías de control fueron desarrolladas desde la década de los 30 s, más sin embargo debido a la falta de medios físicos para implementarlos, no hicieron su aparición sino hasta la década de los 60 s debido al advenimiento de la micro-electrónica originada a partir de la invención del transistor en 1947. Durante las décadas siguientes, muchas de las teorías que se habían dejado de lado, reaparecieron, siendo las principales la teoría de espacio de estados y los sistemas de control muestreados. Dentro de este último se desarrollaron la teoría de la transformada z , usada para describir el comportamiento de sistemas que operan en instantes de tiempo discretos (muestras). Los primeros intentos de hacer control en tiempo discreto se limitaron a emular el comportamiento de controladores en tiempo continuo como el PID. Posteriormente vinieron los primeros intentos por diseñar controladores puramente digitales, siendo uno de estos primeros intentos los controladores por cancelación como el controlador Dahlin-Higham, el cual fue muy popular en los inicios del control digital de procesos debido a que su diseño es muy simple. Sin embargo, debido a que este controlador cancela todos los polos y los ceros de la planta, no puede haber polos o ceros fuera del círculo unitario (región de estabilidad para un sistema de control digital). Además, se observó otro problema debido a timbre en la manipulación, el cual se debe a la cancelación de ceros estables pero mal localizados Åström K. J. [10].
propuesto por Barba Ávila [1]. Adicionalmente se ofrecen otra serie de elementos los cuales permiten automatizar todo el proceso de diseño del controlador, de manera que el usuario tenga una mínima intervención.
1.2 Definición del Problema
Para poder diseñar un controlador digital es necesaria la participación de un ingeniero en control que sea capaz de realizar una serie de pasos, los cuales son:
1.- Seleccione el tiempo de muestreo más adecuado
2.- Obtenga un modelo matemático discreto de la planta (normalmente vía identificación experimental)
3.- Realice la síntesis de control 4.- Implemente el controlador.
El problema de la selección del tiempo de muestreo, debe realizarse de manera experimental, para lo cual existen algunas técnicas que han probado su efectividad, más sin embargo, el uso de dichas técnicas se encuentra poco difundido, por lo que usualmente la selección de dicho tiempo de muestreo se realiza en base a la experiencia del ingeniero en control. El problema de la modelación es crítico, ya que una buena síntesis de control depende de que tan buena sea la modelación que se haga de la dinámica de la planta con algunas restricciones. La realización de la síntesis de control, debe basarse en distintos criterios, como, comportamiento esperado en lazo cerrado, tolerancia a no linealidades y/o dinámicas no modeladas y complejidad de la síntesis de control. Finalmente, una vez que todos los aspectos anteriores han sido considerados, la síntesis de control debe ser implementada en algún sistema computacional, de manera que deben hacerse otras consideraciones adicionales, como: plataforma más adecuada para implementar el algoritmo de control, capacidad del hardware disponible. Todas estas tareas crean una exagerada dependencia al ingeniero en control el cual debe ejecutar todas estas tareas para poner en marcha un sistema de control digital.
En tesis anteriores se propusieron distintas alternativas para solucionar cada uno de estos problemas y disminuir la necesidad de un ingeniero en control en un sistema de control digital. Primeramente García Q. [4] presentó un método de identificación automática que permite eliminar parcialmente la dependencia del experto en la etapa de identificación. Posteriormente Treviño E. [5], presentó una metodología que buscaba solucionar el resto de los problemas, dando buenos resultados de manera parcial. Algunas de las cuestiones que quedaron pendientes, fueron el diseño de la síntesis de control que considerase variaciones imprevistas en la dinámica de la planta así como aspectos referentes a la implementación de dicha síntesis de control. Por otra parte, dentro de este apartado de la síntesis de control, existen preguntas respecto a la confiabilidad del controlador de diferencias en aplicaciones en tiempo real, ya que el problema del timbre y la estabilidad resultan críticos en aplicaciones con procesos físicos reales.
diferencias, pero que cuenta con mejores características de estabilidad, desempeño y robustez. Además de una metodología que mejora en algunos aspectos la metodología presentada por Treviño E. [5]. Y finalmente, se presenta una alternativa para hacer una buena implementación en cualquier proceso mediante un dispositivo electrónico de bajo costo. Todo esto, en vías de buscar un controlador Plug & Play que sea confiable y fácil de usar.
1.3 Objetivos
El objetivo del presente trabajo es el diseño de un sistema que sea capaz de realizar la identificación de algunos procesos dinámicos, diseñar un controlador de un parámetro de ajuste de robustez variable basado en el modelo obtenido del proceso y además realizar el control en lazo cerrado del proceso identificado. Con este sistema se busca obtener un controlador que pueda adaptarse a algunos procesos realizando un control que supere el desempeño de controladores tradicionales, además de evitar que el usuario tenga que hacer mediciones y cálculos manualmente.
1.3.1 Objetivos Particulares
Este proyecto tiene como objetivos específicos obtener los siguientes puntos:
1. Desarrollar un sistema que sea capaz de realizar una óptima identificación de un proceso y su dinámica.
2. Desarrollar un sistema capaz de diseñar un controlador con un solo parámetro de ajuste de robustez variable (C1P) basado en los parámetros del modelo de una planta además de realizar el control de dicha planta.
3. Integrar ambos sistemas a manera de obtener un sistema que pueda adaptarse para realizar el control de cualquier sistema dinámico susceptible de ser controlado, eliminando la necesidad de hacer una identificación y un diseño y/o sintonización del controlador manual.
4. Realizar el diseño electrónico necesario para poder aplicar ambos sistemas (identificación y control) en cualquier proceso que emplee señales electrónicas análogas. 5. Realizar las pruebas experimentales necesarias para garantizar que el sistema funcione dadas las especificaciones antes mencionadas.
6. Se propone comparar los resultados experimentales obtenidos para el desempeño
del controlador de un parámetro de ajuste de robustez variable, contra el desempeño de un controlador PID auto-sintonizado y el controlador RST propuesto en la metodología de Treviño E. [5].
1.4 Hipótesis
procedimientos de modelación de la dinámica de un proceso y de diseño del controlador para dicho proceso.
La hipótesis general anterior está soportada por las siguientes hipótesis particulares:
1. La metodología presentada por Treviño E. [5] para la selección del tiempo de muestreo y el empleo de la técnica de Pole Placement para el diseño de controladores con buena confiabilidad para aplicaciones en tiempo real.
2. El método de identificación automático mediante mínimos cuadrados presentado
por García Q. [4], el cual mostró ser eficiente.
3. El controlador de diferencias modificado presentado por Alvarado C. [3], el cual busca en cierto modo emular a Pole Placement mediante la conservación de los ceros de la planta en la dinámica de lazo cerrado.
4. Las consideraciones para obtener un diseño robusto en un controlador, presentadas por Rosas Cobos L. [6] y Åström K. J. [10].
5. En base a lo anterior, se puede diseñar de manera automática un controlador que emule al controlador de diferencias modificado, pero que supere a éste en estabilidad, desempeño y robustez. Siendo posible además diseñar el hardware necesario para hacer una implementación de bajo costo que permita conectar al software de diseño automático con procesos físicos reales.
1.5 Contenido del Documento
A continuación se presenta brevemente el orden y el contenido de este documento:
1. Capítulo 2: Se presenta una amplia recopilación de la teoría necesaria para poder desarrollar y aplicar la metodología presentada posteriormente.
2. Capítulo 3: Se presenta la contribución de la presente tesis, aplicando los
conceptos vistos en el capítulo 2 buscando proponer soluciones que lleven a la obtención de buenos resultados prácticos.
3. Capítulo 4: Se presenta la descripción del programa realizado, de manera que se
pueda tener una idea de los elementos del software realizado y su utilidad.
4. Capítulo 5: Se presentan los resultados de la contribución de la tesis, incluyendo,
el funcionamiento de la metodología que incluye, óptima selección del tiempo de muestreo, óptima identificación y diseño automático del controlador con un parámetro de ajuste de robustez variable, comparando su desempeño con los controladores PID modificado auto-sintonizado y RST propuesto en la metodología de Treviño E. [5]. Dentro de los resultados en tiempo real, se describe el hardware realizado como parte del diseño del sistema Plug &Playasí como los resultados obtenidos en los procesos de temperatura reales. Y finalmente se dan importantes observaciones y recomendaciones sobre la base de las pruebas realizadas.
5. Capítulo 6: Se presentan las conclusiones generales del trabajo de tesis y se dan
Capítulo 2
Marco Teórico
____________________________________
2.1 Análisis de Sistemas de Control Digital
En la actualidad una gran cantidad de sistemas utilizan control por computadora digital, a diferencia de los que se usaron hasta hace algunas décadas en las que el control se hacia mediante dispositivos analógicos como válvulas neumáticas, amplificadores operacionales (computadoras analógicas) u otros dispositivos. En su mayoría eran controles proporcionales que tenían una aplicación limitada, los más sofisticados, eran los que se implementaban mediante amplificadores operacionales, y había desde compensadores de adelanto atraso, hasta controles PID (Proporcional + Integral + Derivativo).
electrónico o dispositivos electromecánicos, mientras que los DSP s se utilizan para tareas donde se requiere una alta capacidad de procesamiento, por ejemplo en sistemas donde es necesario un control muy preciso, como control de aeronaves, misiles, barcos, procesos industriales críticos etc.
La base matemática del procesamiento en tiempo continuo es la transformada de La Place (transformada s ), mientras que en tiempo discreto está la transformada z . Muchas de las ideas usadas en el análisis de sistemas en tiempo discreto, son extensiones de las ideas para sistemas en tiempo continuo. Algunas ideas básicas referentes al análisis de sistemas en tiempo discreto son las siguientes:
2.1.1 El teorema de muestreo
Debido a que todos los sistemas de control computarizado operan en valores de las variables del proceso en tiempo discreto, es muy importante saber las condiciones bajos las cuales, la señal puede ser recuperada a partir de puntos discretos únicamente. Esto fue explorado por Nyquist, quien mostró que para recuperar una señal sinusoidal a partir de sus muestras, era necesario hacer al menos dos muestras de la señal por periodo. En otras palabras:
U
T 2 [10] (2.1)
lo que significa que la frecuencia de muestreo T debe ser al menos, dos veces mayor a la frecuencia más alta presente en el sistema U o frecuencia última.
2.1.2 Ecuaciones de diferencias
Las primeras bases de la teoría de los sistemas muestreados aparecieron en conexión con el análisis de ciertos sistemas de control. El comportamiento de un galvanómetro de barra de interruptor, investigado en Oldenburgo y Sartorios (1948) [10], fue una de las primeras contribuciones a la teoría. Se mostró que muchas de las propiedades de este sistema podían ser entendidas analizando una ecuación de diferencias lineal e invariante en el tiempo. De esta manera, se reemplazaba la ecuación diferencial en tiempo continuo por una ecuación de diferencias en tiempo discreto.
En una ecuación de diferencias se tiene un número de valores finito en un intervalo de tiempo para una determinada variable, a diferencia de una ecuación diferencial donde la variable de la ecuación puede tomar un número de valores infinito en un intervalo de tiempo. Así por ejemplo, en la ecuación:
2 2 1 1 1
1 k k k k a y bu b u
y (2.2)
entrada al sistema un instante antes uk 1 y dos instantes antes uk 2 , siendo el tiempo transcurrido entre cada instante de tiempo el tiempo de muestreo o periodo de muestreo
T .
2.1.3 Transformada Z
Los orígenes de la transformada z se remontan a los años durante y después de la segunda guerra mundial, cuando se puso especial atención en el análisis de los sistemas de radar. Estos sistemas son esencialmente muestreados debido a que una posición medida es obtenida una vez por cada revolución de la antena. Debido a que las técnicas de transformación de un dominio a otro por ejemplo del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia han sido tan útiles, se trató de desarrollar una teoría equivalente a la transformada de La Place en tiempo continuo para sistemas muestreados (o sistemas en tiempo discreto). Los primeros pasos en esta dirección fueron dados por Hurewicz [10] (1947). El introdujo la transformada de una secuencia f(kT) definida por:
0
) ( )
(
k
k f kT
z kT
f
Z (2.3)
dónde k es el instante de muestreo y T es el intervalo de tiempo entre cada instante de muestreo.
Esta transformada es similar a la función generadora, la cual ha sido exitosamente usada en muchas áreas de las matemáticas aplicadas. Esta transformada fue posteriormente definida como la transformada z por Ragazzini y Zadeh (1952).
La transformada z guarda una relación directa con las ecuaciones de diferencias, de la misma manera en que la transformada de La Place guarda una relación directa con las ecuaciones diferenciales. Así por ejemplo, la ecuación diferencial de un circuito RC como el de la figura 2.1:
Figura 2.1: Circuito RC
es, aplicando análisis de nodos:
RC u RC
la cual tiene la transformada de La Place: 1 1 ) ( ) ( RCs s U s Y
Cuando un sistema continuo como el anterior es muestreado, para obtener un modelo discreto de dicho sistema debe agregarse un término adicional antes de aplicar la transformada z a dicho modelo ya que usualmente la señal de entrada para un sistema muestreado entre instantes de muestreo permanece constante, por lo que dicha dinámica se representa por el retenedor de orden cero (ROC), el cual físicamente estaría representado por el convertidor digital-analógico (DAC), que matemáticamente tiene la siguiente función de transferencia:
s e ROC Ts 1 (2.4)
de manera que para el ejemplo anterior, la función de transferencia junto con el ROC sería: 1 1 1 ) ( ) ( RCs s e s U s Y Ts
aplicando la transformada z , se tiene que la función de transferencia pulso en tiempo discreto es: 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( az cz z e z e z U z Y T RC T RC quitando denominadores: ) ( ) ( ) 1
( az 1 Y z cz 1U z
finalmente pasando a una ecuación de diferencias:
1 1 k k
k ay cu
y
2.1.4 Elementos de un sistema de control digital
Un sistema de control digital típico esta compuesto por los siguientes elementos, figura 2.2:
Figura 2.2: Elementos de un Sistema de control Digital
Computadora digital: Es el dispositivo (Microcontrolador, Microprocesador, DSP) que
se encarga de procesar los datos de entrada (Referencia y Señal del ADC) mediante un comparador del valor deseado (Referencia) y el valor actual de la variable de control y un algoritmo de control (Filtro digital, lógica difusa etc. ) mediante el cual se genera una salida que es enviada de la computadora digital a un DAC.
Controlador: Es el programa de computadora que procesa numéricamente los datos de
entrada y produce una salida numérica, que puede ser enviada al DAC.
Convertidor Digital-Análogo y Retenedor de Orden Cero (DAC): Es un dispositivo
electrónico que convierte datos en formato binario (0 o 5V) en una señal analógica (Voltaje o Corriente) que se usa para operar los actuadores.
Actuadores: Son los dispositivos mecánicos, eléctricos u electrónicos que son
manipulados, con el objetivo de afectar la variable física de la planta o proceso (presión, temperatura, altitud, velocidad etc.) que se desea controlar.
Planta o proceso: Es el sistema físico cuya dinámica puede ser observada a través de la
medición de alguna variable física (presión, temperatura, altitud, velocidad etc.).
Sensor: Es el elemento capaz de medir las variaciones en la variable que se desea
controlar y de transformar dichas variaciones en una señal (normalmente eléctrica) que puede ser registrada.
Filtro supresor de ruido: Es un dispositivo electrónico que elimina frecuencias (altas
motores, torres de alta tensión etc, y que corrompen la precisión de la señal de entrada al ADC.
Convertidor Análogo-Digital, circuito de muestreo y retención: Es un dispositivo
electrónico que convierte un nivel de voltaje, en un equivalente binario (digital) que puede ser enviado a la computadora para su procesamiento.
Perturbaciones: Son fenómenos externos al proceso que se va a controlar que afectan su
dinámica, o a la medición que se realiza de la variable controlada y que por lo tanto inciden en el control de dicho proceso.
2.2 Controlador PID digital
En un comienzo, la mayoría de los procesos industriales operaban con controladores en tiempo continuo. El controlador más común era el PID continuo, el cual tiene la siguiente función de transferencia, ecuación 2.5:
) ( 1
1 )
( T s E s
s T K s
U d
i c
(2.5)
es decir, figura 2.3:
Figura 2.3: Control PID en tiempo continuo
donde U(s)es la entrada (manipulación) del proceso, Y(s)es la salida (medición de la variable) del proceso, Kces la constante de ganancia proporcional P, Ti es la constante
de ganancia integral I y Td es la constante de ganancia derivativa D; este controlador
genera una señal de control cuando se detecta un error (Referencia Y(s)) distinto de cero.
2.2.1 Técnicas de discretización de controladores continuos
-Diferencias hacia atrás:
T z
s 1 1
(2.6)
-Diferencias hacia delante:
T z
z
s 1
1
1
(2.7)
-Aproximación de Tustin o transformación bilineal:
1 1
1 1 2
z z T
s (2.8)
Donde T es el tiempo o periodo de muestreo.
De manera que una forma de obtener la función de transferencia de un controlador en tiempo discreto que emule al controlador PID en tiempo continuo es usar, por ejemplo, diferencias hacia atrás sustituyendo la variable de La Place s por su equivalente, de manera que el controlador discretizado quedaría como se muestra en la ecuación 2.9:
2 1 1
1 k d k 2 k k
i k k c k
k e e e
T T e T T e e K u
u (2.9)
La ecuación del PID ideal presenta algunos inconvenientes prácticos, el término derivativo no puede, y no debería ser implementado, por la razón que a continuación se explica:
Figura 2.4: Gráfica del error en un controlador PID ante una entrada escalón
Como se muestra en la figura 2.4, en el instante en que hay un error entre la referencia y la salida, ante una entrada escalón por ejemplo, se tiene que la derivada del
error se hace teóricamente infinita ya que el error ek, el cual es
k k
k referencia salida
e , tiene una pendiente de 90 en el instante del cambio en
derivada de una pendiente de 90 es , lo cual puede llegar a dañar los actuadores, además de que la ganancia derivativa dará una gran amplificación del ruido de medición. La ganancia derivativa debe por lo tanto limitarse. Ante esto, Åström propone una modificación a la estructura original del PID, la cual fue nombrada como PID modificado o ISA, el cual tiene la siguiente función de transferencia:
) ( ) ( )
( 1 ) ( ) ( )
( E s T sbR s Y s
s T s Y s bR K s
U d
i
c (2.10)
en esta nueva estructura se agrega un nuevo parámetro b , el cual cuando es igual a 1, nos da como resultado el PID ideal. Mientras que cuando b=0, se tiene una estructura de un controlador más práctico que límita la acción del derivador. Prácticamente, como se verá mas adelante, se observa que su respuesta es mucho mejor que la del PID ideal, ya que además de presentar un sobregiro mínimo, las señales de manipulación son mucho menos violentas y más acotadas.
Tomando b=0, y aplicando nuevamente diferencias hacia atrás, se llega al controlador PID modificado discretizado, cuya ecuación es:
) *
2 (
* ) / ( * ) / (
* 1 1 2
1 c k k i k d k k k
k
k u K y y T e T y y y
u (2.11)
2.2.2 Auto-sintonización de controladores PID
La prueba del relevador, propuesta por Åström[10] , para determinar la ganancia última y el periodo último de un proceso, se basa en hacer oscilar al sistema de manera que dichas oscilaciones tengan amplitud y periodo constantes, para de esta manera poder calcular mediante las fórmulas de sintonización de Ziegler y Nichols la ganancia del controlador, la constante integral y la constante derivativa, con lo cual puede obtenerse un método de auto-sintonía para controladores PID, que evita la necesidad de ser sintonizado manualmente y con buenos resultados.
Dicho relevador tiene la siguiente forma:
error =punto medio de operación - salida
si error > 0; uk Umax
(2.12)
si error < 0; uk Umin
(2.13)
Figura 2.5: Esquema de operación de un relevador
prácticamente, puesto que la medición normalmente esta contaminada por ruido, aunque sea en pequeña escala, es necesario agregar una hístéresis al relevador, con el fin de evitar disparos en falso, principalmente al iniciar la prueba. El esquema quedaría ahora cómo se muestra en la figura 2.6:
si error > H;uk Umax
(2.14)
si error < H;uk Umin
(2.15)
Figura 2.6: Esquema de un relevador con histéresis
Figura 2.7: Prueba de auto-sintonización para controladores PID
Del esquema de la figura 2.7, se puede derivar el método como sigue:
1.- Dar una manipulación al sistema: Obviamente para que las variables involucradas en la prueba del relevador puedan tomar valores, es necesario que la manipulación de estado estable Uss sea distinta de cero, debido a lo cual es necesario poner al sistema en lazo abierto y darle una manipulación lo suficientemente grande, por ejemplo de un 40%.
2.- Una vez que el proceso se encuentre en estado estable, es decir, que la variable de salida haya alcanzado su valor final para esa manipulación, debe hacerse un monitoreo de la variable de salida con el objetivo de que si la salida presenta ruido, obtener el pico máximo y mínimo de dicho ruido. Esto debe hacerse con el objetivo de tener una banda en la cual el ruido no afecte a la oscilación de la manipulación. Esta banda de libertad o banda de histéresis, se calcula como:
2
) (
* 2 .
2 max min
max
Ruido Ruido
Y
Y ss
(2.16)
2
) (
* 2 .
2 max min
min
Ruido Ruido
Y
Y ss
(2.17)
% 10
max Uss
U (2.18)
% 10
min Uss
U (2.19)
4.- Calculados los valores máximo y mínimo de la manipulación puede comenzarse la prueba, para lo cual como se observa en la figura 2.7, se manda una manipulación máxima. Una vez que se mandado esta manipulación, el proceso va a comenzar a subir. Una vez que se haya cruzando la banda superior Ymaxdebe enviarse la manipulación mínima Umin tal y como se observa en el diagrama. Debido a la dinámica del proceso y dada su inercia va a tender a subir un poco y posteriormente comenzará a bajar. Una vez que el proceso bajando cruce la banda inferior Yminen ese momento se deberá enviar una manipulación maxima Umaxa manera que el sistema vuelva a subir. Nuevamente debido a la inercia del sistema, éste tenderá a bajar otro poco y posteriormente subirá hasta alcanzar nuevamente la banda máxima Ymaxpor lo que nuevamente se deberá enviar una manipulación mínima Umin, y así sucesivamente hasta que el sistema haya cruzado 5 veces por Ymaxtal y como se observa en el esquema anterior y en ese momento la manipulación debe regresar a ser Uss.
5.- Una vez que el sistema ha cruzado 2 veces por Ymax, puede ya comenzarse a registrar el periodo de oscilación y los puntos máximos y mínimos de la variable de salida. Tal y como esta indicado en la figura 2.7, los puntos máximos son el valor máximo que alcanza la variable cuando se encuentra por arriba de la banda , mientras que los mínimos, son el mínimo valor que alcanza la variable cuando esta por debajo de Ymin. El obtener dicho valor máximo y dicho valor mínimo, nos permitirá calcular el máximo y el mínimo de dicho periodo de oscilación. Por otra parte para obtener el periodo de oscilación, este puede contabilizarse a partir del tiempo que tarda el sistema en cruzar nuevamente por
max
Y , es decir por ejemplo, el tiempo que tarda el sistema desde ha hecho dos cruces hasta que hace el tercero, que como se ve en la figura 2.7, coincide obviamente con el periodo de las oscilaciones.
6.- Es necesario realizar al menos 4 ciclos completos de oscilación, ya que el primero se descarta y solo se toman en cuenta los tres restantes, por lo que una vez que se han obtenido los máximos, los mínimos y el periodo de estos tres ciclos, debe hacerse un promedio a manera de obtener una mejor estimación de la ganancia y periodo último. Dicho promedio se realiza de la siguiente manera:
riodos numerodepe
periodos imo
Periodoult
(2.20)
1
) ( )
1 ( 1 2
n
n
t n Asen n
(2.21)
Si se considera que el sistema dinámico a controlar se comporta como un filtro pasa-bajas, eso quiere decir que todas las frecuencias altas son atenuadas y se pueden despreciar, de manera que haciendo una aproximación, se puede decir que únicamente la frecuencia más baja no se atenúa es decir para n 1, además la señal de salida es, normalmente, aproximadamente senoidal y de la misma frecuencia que la señal de entrada y tiene una amplitud a , de manera que se puede concluir que el efecto de aplicar la entrada tipo relevador al sistema es similar al de aplicar una señal senoidal con frecuencia u (frecuencia última), de manera que dicha señal senoidal está dada por:
) sin( 4
t A
u (2.22)
ya que como se mencionó el sistema se comporta como un filtro pasa-bajos, donde la amplitud del relevador, "A", usualmente se especifica como un 10% de la escala total para la señal de entrada. Por otra parte la señal de salida está desfasada 180° respecto a la señal de entrada, y dado que es aproximadamente senoidal, se puede expresarla como:
)
sin( t
a u (2.23) donde a que es la amplitud de la variable del sistema cuando está oscilando, la cual puede obtenerse como:
2
valles media crestas
media a
(2.24)
Debido al desfazamiento de 180° entre ambas señales de entrada y salida, es posible darse cuenta que se ha llevado a la planta a su punto crítico, y por lo tanto la frecuencia de oscilación de ambas señales (que es la misma) es exactamente la frecuencia de cruce de la planta (frecuencia última). La ganancia de la planta en este punto crítico se puede obtener como la relación de amplitudes entre las señales senoidales de salida y entrada, y sabiendo que la ganancia última es el inverso de la ganancia de la planta en su punto crítico, se tiene entonces:
a A tima
gananciaul Ku
. * 4
(2.25)
7 . 1
tima gananciaul Kc
(2.26)
2
imo periodoult
i
(2.27)
8
imo periodoult
d
(2.28)
El controlador PID ha sido el controlador más usado en procesos industriales desde la aparición de los sistemas de control automático, sin embargo tiene algunas claras desventajas, entre las cuales están las siguientes:
-Presenta problemas para controlar procesos con grandes tiempos muertos, debido a la falta de un predictor que procese la señal de salida.
-Debido a su estructura fija, es difícil darle características de robustez que le permitan conservar un desempeño aceptable ante cambios en la dinámica del proceso, hay que recordar que la relación to es la que más afecta el desempeño de este tipo de controladores. Además las no linealidades y/o dinámicas de alto orden siempre presentes en procesos reales, limitan el rango de operación de este controlador, debido a esta misma falta de robustez y a la falta de reglas de sintonización para modelos mayores al primer orden con tiempo muerto.
Es por esto, que en procesos donde se requiere un desempeño superior al que ofrece un controlador PID, se han desarrollado técnicas para el diseño de controladores que buscan superar todas la limitantes de los controladores PID, como métodos de cancelación, colocación de polos y otras técnicas de control heurístico como el control difuso, etc. Más adelante se presentarán dos técnicas de diseño que son los controladores por cancelación de ceros y los controladores por colocación de polos.
2.3 Métodos de identificación comunes
Hasta ahora únicamente se ha considerado el ajuste del controlador, mediante pruebas experimentales, como lo es la prueba del relevador, sin embargo existen otras técnicas para sintonización de controladores PID o para el diseño de controladores más avanzados que requieren se tenga un modelo matemático de la planta que se va a controlar. Algunas de las técnicas usadas para obtener este tipo de modelos se describen a continuación:
2.3.1 Métodos basados en la respuesta transitoria
