Acu´ıfero parcialmente conectado y acci´ on puntual

En la figura 3.3, gr´aficos (i ) y (iii ), se presentan esquemas de la configuraci´on del acu´ıfero rectangular parcialmente conectado con el r´ıo. En ellos, e es el espesor de la capa semipermeable, ˆK es su conductividad hidr´aulica, y B es el espesor saturado del acu´ıfero. Este caso, para acu´ıfero finito, es el mismo que resolvi´o Hantush (1965) para un acu´ıfero semi-infinito. Los autovalores y las autofunciones para conexi´on parcial y acci´on puntual son id´enticos a los obtenidos para la acci´on exterior distribuida, seg´un (3.36) y (3.37), dado que ´estos no dependen de las acciones exteriores actuando sobre el acu´ıfero. Por el contrario, la expresi´on para los coeficientes de reparto es diferente y viene dada como:

bi=

4 cos(πρixp/2L) sen(πρi)

πρi[1 + (1/πρi) sen(πρi)]

(3.40) donde todas la variables han sido definidas previamente. La variaci´on del coeficiente de reparto en funci´on del par´ametro de conexi´on ω se muestra en la tabla 3.2 para los cinco primeros dep´ositos virtuales. En ´esta se observa que, de forma an´aloga a la soluci´on para acci´on distribuida, a medida que la conexi´on entre el r´ıo y el acu´ıfero aumenta, el valor del factor de reparto del primer dep´osito virtual se aleja de uno. Lo anterior indica que se debe usar una mayor cantidad de t´erminos en la sumatoria para lograr una representaci´on m´as adecuada de la detracci´on del r´ıo al acu´ıfero. Al respecto, Pulido-Vel´azquez et al. (2005) comparan las detracciones al r´ıo causadas por un bombeo puntual constante, localizado en diferentes sitios del acu´ıfero, calculadas mediante algunas soluciones anal´ıticas existentes (Glover y Balmer, 1945; Hantush, 1965; Hunt, 1999) con las obtenidas usando el MPE. La bondad de las soluciones anal´ıticas se calcula con respecto a los resultados obtenidos en un modelo num´_{erico por DF de referencia. Los resultados obtenidos por Pulido-Vel´azquez et}

al. muestran que el MPE obtiene mejores resultados que cualquier otra soluci´on anal´ıtica considerada, tanto para conexi´on perfecta como para conexi´on parcial, a un bajo costo computacional puesto que, en general, se necesitan menos de cinco dep´ositos virtuales para obtener un error casi nulo, cuando se consideran intervalos temporales de un mes, que son los habituales en modelos de simulaci´on para la planificaci´on de recursos h´ıdricos.

3.6.

Caso de referencia

Se considera un acu´ıfero con la configuraci´on mostrada en las figuras 3.2 y 3.3. Su transmisividad es T = 500 m2/d, su almacenamiento espec´ıfico es S = 0.1, la distancia del borde impermeable al r´ıo es L = 5000 m y el ancho entre paredes impermeables es W = 7500 m. Se examina el MPE para dos tipos de acciones exteriores: (i) una recarga distribuida uniforme sobre el dominio espacial del acu´ıfero, variable en el tiempo actuando durante 1000 d´ıas y (ii ) un bombeo puntual de extracci´on constante de Q = 2000 m3_/d

actuando durante 950 d´ıas en el centro del acu´ıfero. En ambos casos, se ha considerado conexi´on parcial entre el r´ıo y el acu´ıfero con par´ametros B = 100 m, e = 0.2 m y seis diferentes conductividades hidr´aulicas de lecho del r´ıo, ˆK. Para analizar la bondad de las simulaciones mediante los MPE planteados, se han implementado seis modelos num´ericos en DF con configuraciones id´enticas a las previamente comentadas, cada uno formado por una malla cuadrada de 50 × 75 = 3750 nodos activos y 75 nodos de conexi´on r´ıo-acu´ıfero, con lo cual el n´umero total de nodos es n = 3825, asignando un tama˜no de bloque de 100 m. La conexi´on r´ıo-acu´ıfero ha sido modelada mediante una condici´on de contorno de tipo Cauchy, donde el grado de interacci´on entre acu´ıfero y r´ıo viene expresado en funci´on de una conductancia dada, asumiendo que dicho r´ıo penetra completamente al acu´ıfero. Los valores de ˆ_{K para los MPE se han seleccionado para representar una variaci´on logar´ıtmica} de la conductancia del r´ıo, C [L2/T], seg´un su definici´_{on para modelos por DF (McDonald} y Harbaugh, 1988): C = ˆ K ∆x ∆y e ⇒ ˆK = C e ∆x ∆y (3.41)

donde ∆x = B y ∆y = 100 m. Para efectos pr´acticos, la conductancia var´ıa entre 5000 m2/d y 5 m2/d, obteni´endose conductividades hidr´aulicas de lecho con valores entre 0.1 m/d y 0.0002 m/d, las cuales cubren diferentes grados de conexi´on entre el r´ıo y el acu´ıfero, comenzando por una casi perfecta y finalizando con una pr´acticamente nula.

3.6.1.

Autovalores, autofunciones y factores de reparto

Para realizar una reducci´_{on eficaz de un modelo de flujo por el MAV es necesario} analizar en detalle los seis conjuntos de autovalores, autofunciones y factores de reparto, obtenidos al resolver el PRSL asociado a cada conductividad hidr´aulica considerada. Ini- cialmente, en la figura 3.4 se presentan los primeros trece autovalores, ordenados de forma ascendente, calculados usando la ecuaci´on (3.37) para todas las conductividades de lecho de r´ıo asignadas a los MPE planteados, que corresponden a valores de conductancias de 5000, 200, 100, 50, 20 y 5 m2_{/d en los modelos num´}

ericos por DF an´alogos. En dicha figura se observa que la amplitud espectral de los modelos, de acuerdo con la soluci´on del PRSL correspondiente, aumenta a medida que la conexi´on r´ıo-acu´ıfero disminuye, b´asica- mente por que los primeros cinco autovalores disminuyen dram´aticamente, de acuerdo con la relaci´on establecida por el factor ρ2

1, primera ra´ız de la recurrencia (3.38). Por ejemplo,

considerando los primeros 25 autovalores para la conexi´on perfecta se obtiene una ampli- tud espectral λ25/λ1 = 2209, mientras que para una conexi´on parcial con conductividad

hidr´aulica del lecho de ˆK = 0.0004 m/d se obtiene que λ25/λ1 = 4525, m´as del doble

de la anteriormente mencionada. De la misma forma, puede afirmarse que la relaci´on r´ıo- acu´ıfero que corresponde a una conductancia de 5000 m2_{/d en la configuraci´on geom´etrica}

rectangular planteada es pr´acticamente perfecta debido a que del par´ametro de conexi´on alcanza un valor de ω = 2.5 × 106, es decir, infinito a efectos pr´acticos.

1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 i[d-1]

0.1 0.004 0.002 0.001 0.0004 0.0002

1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 i[d-1]

Figura 3.4. Distribuci´on de los primeros trece autovalores en orden ascendente para seis dife-

rentes conductividades hidr´aulica del lecho del r´ıo, ˆK, correspondientes al acu´ıfero rectangular de referencia estudiado por el MAV.

0.01 0.1 1 10 100 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |F i | [ m ] i 0.1 0.004 0.002 0.001 0.0004 0.0002 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |Fi | [ m ] i

Figura 3.5. Distribuci´on de los primeros trece valores absolutos de los vol´umenes bajo las au-

tofunciones correspondientes para el acu´ıfero rectangular estudiado para diferentes valores de conductividad hidr´aulica del lecho del r´ıo, ˆK.

Los valores absolutos del volumen por debajo de las autofunciones, |Fi|, para las seis

conductividades asociadas a los MPE, se presentan en la figura 3.5, donde el eje de las ordenadas se encuentra en escala logar´ıtmica. Usando las ecuaciones (3.18), (3.36) y (3.37), puede deducirse que, para todos los casos tratados en este cap´ıtulo, Fi se expresa como:

Fi = s 8LSW πρi(πρi+ sen[πρi]) senhπρi 2 i i = 1, 2, 3, . . .

donde todas las variables han sido previamente descritas. Los valores de Fi tienen signos

positivo y negativo alternados para cada modo; adem´as, los resultados presentados en la figura 3.5 muestran que, para todos las ˆK consideradas, el volumen bajo la primera autofunci´on, F1(x, y), es mucho mayor que las calculadas para los modos superiores.

En dicha figura tambi´en se observa que |Fi| disminuye progresivamente hacia cero

mientras i tiende a infinito, es decir, las autofunciones asociadas a los modos superiores tienen asociados vol´umenes casi nulos. Por el contrario, F1 aumenta cuando decrece el

grado de conectividad entre el r´ıo y el acu´ıfero, variando de 555 m para conexi´on casi perfecta hasta 2226 m para una conductividad hidr´aulica de lecho del r´ıo de ˆK = 0.0002 m/d. M´as a´un, la velocidad de aproximaci´on al volumen nulo con respecto a i depende del nivel de conexi´on r´ıo-acu´ıfero. En general, |Fi| tiende a cero m´as r´apidamente para los

menores valores de ˆK, lo cual es una consecuencia l´ogica de que la primera autofunci´on contiene un mayor volumen bajo de s´ı a medida que la conexi´on entre el r´ıo y el acu´ıfero tiende a la perfecci´on. Esto indica que las primeras autofunciones tienen mayor preponde- rancia en el c´alculo de las variables espaciales del flujo subterr´aneo, como lo son las alturas piezom´etricas y los vol´umenes de agua almacenados en ciertas regiones del acu´ıfero.

Ahora bien, en la figura 3.6 se presentan los factores reparto acumulados tanto para acci´on exterior puntual (izquierda), como distribuida (derecha), calculados como:

bai= p

X

i=1

bi, i = 1, 2, . . . (3.42)

cuya variaci´on modal depende del tipo de excitaci´on considerada. De acuerdo con lo ante- rior, para el caso de acci´on exterior distribuida se observa un crecimiento mon´otono de bai,

hasta alcanzar el valor de uno. Por el contrario, para el caso de acci´on exterior puntual, bai

manifiesta una tendencia de aproximaci´on no mon´otona y sus valores fluct´uan alrededor la unidad con una amplitud que disminuye a medida que aumenta i. Este comportamiento se asocia a la existencia de coeficientes de reparto negativos, generados por la alternan- cia de signos en los vol´umenes acumulados bajo las autofunciones para cada modo. Para un caso de conexi´on perfecta entre r´ıo y acu´ıfero sobre el cual act´ua una acci´on exterior distribuida, seg´un los resultados representados por la l´ınea azul oscura en la gr´afica iz- quierda de la figura 3.6, se ha obtenido que la velocidad de convergencia a uno por parte del factor de reparto acumulado es m´as lenta que para los casos parcialmente conectados. Como se ha comentado antes, esto tiene como consecuencia tener que usar mayor cantidad de modos en las ecuaciones de estado para un MPE para conexi´on perfecta que en uno 0.01 0.1 1 10 100 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |F i | [ m ] i 0.1 0.004 0.002 0.001 0.0004 0.0002 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ba i i AE Distribuida 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ba i i AE Puntual

Figura 3.6. Distribuci´on de los primeros quince factores de reparto acumulados en orden as-

cendente para el acu´ıfero rectangular estudiado considerando diferentes valores de conductividad hidr´aulica del lecho del r´ıo, ˆK, y acciones exteriores distribuida (izquierda) y puntual (derecha).

planteado para conexi´on parcial, cuando se desea representar el caudal de descarga con el mismo error de truncamiento. En general, a medida que ˆK disminuye, el primer factor de reparto aumenta en todos los casos, por lo cual el n´umero de modos o dep´ositos virtuales necesarios para representar adecuadamente la descarga al r´ıo disminuye.

El comportamiento de los factores de reparto para una acci´on puntual es an´alogo al correspondiente a una acci´on distribuida, en el sentido de que la cancelaci´on de los efectos generados por factores de repartos de signo contrario es m´as lenta para la conexi´on perfecta (ver l´ınea de color azul oscuro en la gr´afica derecha de la figura 3.6), lo cual tiene la consecuencia de que es necesario utilizar mayor cantidad de dep´ositos virtuales para alcanzar un error bajo de truncamiento del MPE reducido. Las caracter´ısticas particulares asociadas con la tendencia de aproximaci´on a la unidad por parte de bai, para el caso

particular de bombeo localizado en el centro del acu´ıfero, permiten establecer criterios de reducci´on con el prop´osito de usar menos tanques virtuales que en el caso de acci´on exterior distribuida, para un error de truncamiento establecido a priori. En dicho caso, el MPE reducido se puede construir localizando los modos espectrales donde los factores de reparto acumulados se encuentran cerca de la unidad y seleccion´andolos apropiadamente. De la figura 3.6 se observa que para los ´ındices modales i = 3, 5, 7, 9, . . ., el factor de reparto correspondiente al t´ermino del residuo por conservaci´on de masa ser´ıa muy peque˜no. As´ı, es de esperarse que los modelos reducidos formados por p = 2, 4, 6, 8, . . . modos espectrales, es decir 3, 5, 7, 9, . . . dep´ositos virtuales, donde el modo final contiene al t´ermino residual que se construye para mantener la ecuaci´on de continuidad en el acu´ıfero, presenten un bajo error de truncamiento que disminuye a medida que se usan m´as dep´ositos. En los casos parcialmente conectados con ˆK < 0.002 m/d es posible aplicar un truncamiento directo sin analizar el comportamiento de bi para los modos correspondientes a i > 5,

aunque tambi´en ser´ıa posible aplicar el criterio previamente propuesto.