Reducci´ on en los subespacios de Krylo - Modelos lineales cl´ asicos para cuantificar la rela

lineales invariantes en el tiempo

2.3. Modelos lineales cl´ asicos para cuantificar la rela ci´ on r´ıo-acu´ıfero en la utilizaci´ on conjunta

2.4.4. Reducci´ on en los subespacios de Krylo

Los métodos de reducción en subespacios de Krylov se basan en la generación iterativa de un subespacio ortogonal que permite reducir el SLIT original aproximando convenien- temente una fracción del espectro de modos del sistema. El uso de este tipo de métodos implica la generación de los subespacios de Krylov asociados al sistema a reducir, para lo cual existen dos métodos iterativos: Lanczos (1950) y Arnoldi (1951). La iteración de

Lanczos puede aplicarse tanto a matrices simétricas como no simétricas, en cuyo caso deberá usarse la versión por dos lados o no simétrica del algoritmo. Por el contrario, la iteración de Arnoldi se usa de forma general cuando se tienen matrices no simétricas.

El M´_{etodo de Lanczos (MLAN) ha sido empleado para la reducción de modelos en mu-} chas áreas de la ingenier´ıa. En particular, como lo señalan algunos investigadores (Grimme, 1997; Olson, 2005; Heres, 2005), el primer campo en proponer esquemas de reducción para obtener la eficiencia en las simulaciones temporales fue el análisis estructural por elementos finitos, ámbito en el cual es ampliamente extendido el uso del método de Lanczos simétrico y no simétrico (Nour-Omid y Clough, 1984; Kim y Craig Jr., 1988, 1990; Bathe, 1996).

Dunbar y Woodbury (1989) reconocen la utilidad de los métodos de Krylov en el campo de la hidrogeolog´ıa, y usan MLAN para reducir modelos de flujo subterráneo en acu´ıferos sintéticos homogéneos y heterogéneos, discretizados en elementos finitos. Ellos utilizan una transformación inversa de la matriz de transmisividades para la generación del subespacio ortogonal de proyección del modelo, con lo cual se ajustan mejor autovalores del modelo que se encuentran más cercanos al eje imaginario, es decir, los menores. Además, reconocen la necesidad de usar el principio de superposición para lograr la reducción eficiente de los modelos en régimen transitorio. Los resultados mostrados en este trabajo muestran una disminución considerable del tamaño del modelo de flujo, con mejores aproximaciones para la estimación de las alturas piezométricas en algunos puntos cr´ıticos del acu´ıfero.

Gambolati (1993) compara el MLAN y el MAV para la reducción de dos modelos de flujo sintéticos en acu´ıferos discretizados finamente mediante elementos finitos. Sus resultados demuestran que, cuando la variable de interés es la altura piezométrica cercana a pozos de extracci´_{on o condiciones de contorno, el MLAN proporciona mejores estimacio-} nes que el MAV. Igualmente, afirma que la carga computacional que implica estimar el espectro completo de la solución por autovalores es excesiva, proponiendo un esquema de truncamiento modal eficiente que busca aproximar mejor los autovalores más pequeños.

El MLAN también ha sido aplicado para reducir modelos de flujo subterráneo más realistas y complejos. Zhang et al. (2000) lo usan para simular el flujo en un acu´ıfero con porosidad dual, mientras que Woodbury y Zhang (2001) afrontan el problema de modelar el flujo en medio poroso con fracturas discretas. En ambos casos, el planteamiento ma- temático del modelo es mucho más complejo que la ecuación matricial vectorial para un medio heterogéneo. Si a ello se le agrega el hecho de que la discretización del acu´ıfero debe ser muy fina en ciertas zonas para capturar adecuadamente la variabilidad y hetero- geneidad de sus caracter´ısticas espaciales, el resultado es un modelo de gran tamaño, con varios cientos de miles de nodos y varios millones de elementos. As´ı, se hace necesario una herramienta de reducción eficiente para posibilitar la simulación numérica. Los resultados obtenidos en ambos trabajos muestran un ahorro de más del 80 % de trabajo computacional para lograr una representación adecuada de las alturas piezométricas. Igualmente, Woodbury y Zhang (2001), siguiendo las recomendaciones propuestas por Farrell (1997), proponen el uso del MLAN, usando una transformación inversa y desplazamiento modal, para la generación del espacio de proyección para reducción, con la ventaja de que se puede escoger la parte del espectro modal del problema que se desea representar mejor.

Los método de reducción por subespacios de Krylov también han sido aplicados en la modelación eficiente del transporte de masa en el agua subterránea. Li et al. (1999) usan el MLAN no simétrico para modelar el transporte de radionucleidos con decaimiento ex- ponencial. Zhang (2000) extiende dicho estudio para el flujo y el transporte en acu´ıferos fracturados. Woodbury et al. (1990) aplican el método de Arnoldi para resolver la ecua- ción de advección-dispersión usando una discretización por elementos finitos. La elección de Arnoldi en vez de Lanczos se debe a que la matriz de conductividad no es simétrica.

Extensiones de trabajo de Zhang (2000) permitieron resolver eficientemente la EDP del transporte de radionucleidos en acu´ıfero con porosidad dual (Zhang y Woodbury, 2000). El problema de la simulación eficiente del transporte multi-especie en acu´ıferos fracturados mediante el método de Arnoldi ha sido tratado por Zhang y Woodbury (2002), quienes demuestran las ventajas computacionales de usar un método de Krylov racional con desplazamiento para la reducción junto con una implementación de métodos iterativos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales recurrentes que surgen en la generación del subespacio ortogonal de proyección. All´ı se concluye que la introducción del desplazamien- to de los modos del sistema mejora las propiedades de las diagonales dominantes de las matrices de los elementos finitos y aumenta las propiedades de convergencia del método de Arnoldi, con lo cual la reducción del modelo resulta ser más efectiva.

2.5. EDP lineal de flujo de agua subterr´anea

En acu´ıferos bidimensionales lineales, con parámetros hidráulicos y condiciones de contorno invariantes en el tiempo, el flujo de agua subterránea en un medio poroso saturado, anisótropo y heterogéneo, donde los ejes de anisotrop´ıa coinciden con las direcciones principales de an´_{alisis, se describe mediante la siguiente EDP:}

L{h} + Q(x, y) = S(x, y)∂h

∂t (2.8)

donde el operador matem´atico L {h}, se define como: L{h} = ∂ ∂x Tx ∂{h} ∂x + ∂ ∂y Ty ∂{h} ∂y (2.9) siendo Tx y Ty [L2/T] son las componentes principales del tensor de transmisividades en

las direcciones x e y, respectivamente. Por su parte, S(x, y) [adimensional] es el coeficiente de almacenamiento, Q(x, y) [L/T] son las acciones exteriores actuando sobre el acu´ıfero, h = h(x, y, t) [L] es el nivel o altura piezom´etrica, y t [T] es el tiempo.

El t´ermino Q(x, y) agrupa la suma de todas las acciones exteriores distribuidas y puntuales actuando sobre el acu´ıfero y se expresa como sigue:

Q(x, y) = Qd(x, y) +

Qpδ(x − xp, y − yp) (2.10)

donde Qd(x, y) [L/T] representa la acción distribuida, Qp [L3/T] es la p-ésima acción

puntual de bombeo o inyecci´on y δ(x, y) es la funci´on delta de Dirac [1/L2].

2.6. Condiciones inicial y de contorno

Para obtener la unicidad en solución de la ecuación (2.8), deben definirse una condición inicial y condiciones de contorno, como se presenta a continuación.

In document Simulación eficiente de las relaciones río-acuífero en sistemas de utilización conjunta mediante técnicas de reducción de modelos lineales invariantes en el tiempo (página 67-69)