Adelanto y tardanza mínimos con fecha de entrega común

Un trabajo que termina antes de su fecha de entrega puede ser tan costoso como el que está listo después de esa fecha. En ese caso, una medida adecuada puede ser la suma del adelanto y la tardanza:

Ésta no es una medida normal. En consecuencia, el tiempo ocioso puede mejorar el objetivo y una secuencia no necesariamente implica un programa. Ahora se examinará el caso especial de una fecha de entrega común.

Suponga que que ocurre si todos los trabajos se mandan en el mismo ca- mión o si todos forman la misma orden. Se numeran los trabajos en el orden TPL, es decir,

Se tienen dos casos, fecha de entrega no restringida y fecha de entrega restringida. Para el caso no restringido se sabe (Baker, 1995) que:

1. No hay tiempo ocioso insertado entre trabajos, pero puede haber tiempo ocioso al princi pio del programa.

2. Domina un programa en forma de V (trabajos a tiempo en TPL, trabajos tardíos en TPC). 3. Algún programa óptimo tiene un trabajo, digamos

4.En algún programa óptimo, j* eá el trabajo cuya posición es el menor entero mayor o igual

Si n es par se tiene el mismo número de trabajos antes y después de la fecha de entrega. Si n es impar hay un trabajo más después de la fecha de entrega que antes.

Sea

Si el problema es no restringido y los trabajos se programan de manera que Cr = D. La

secuencia

es una de muchas secuencias óptimas. El programa puede necesitar tiempo ocioso al principio para que

Ejemplo 8-9. Adelanto/tardanza para MetalFrame. MetalFrame tiene 10 trabajos distintos para un cliente en particular. En cuanto todos están terminados, se colocan en un camión para mandarlos al cliente. La compañía trata de entregar las órdenes en 10 días hábiles. Terminar un trabajo antes causa problemas, porque se cuenta con poco espacio para almacenar producto terminado antes de enviarlo. Terminar después de los 10 días hábiles reduce el servicio al cliente. Casi todos en Metal-Frames piensan que la sanción por terminar antes es más o menos la misma que por terminar con retraso. Los trabajos y sus tiempos de procesado (en horas) se dan en la tabla 8-7.

TABLA 8-7

Datos de adelanto/ tardanza para MetalFrame

Solución. Este problema se puede modelar como de una sola máquina con el objetivo de minimizar la suma del adelanto y la tardanza. La fecha de entrega común para los trabajos es de 80 horas (hábiles) a partir de ahora. La tabla 8-8 contiene los resultados de los cálculos para la secuencia óptima de trabajos.

Primero se ordenan los trabajos de forma que el trabajo 1 tiene el tiempo de procesado más largo, el trabajo 2 tiene el segundo más largo, etc. Los tiempos de procesado ordenados están dados en el primer renglón de la tabla 8-8. Aquí,

[ j *] = [10/ 2] = 5

El trabajo 9 está en la quinta posición de la secuencia en V dada en el segundo renglón, por lo que j* = 9 y

Esta suma se da en el renglón 4. Como D > ∆ , se trata de un problema no restringido y se quiere tener C9 =

80, de manera que se comienza el programa en el tiempo 7, que da los tiempos de terminación en el renglón 5. Para terminar, el adelanto y la tardanza de este programa óptimo se dan en los dos últimos renglones. La sanción total y su suma es 240. Otros programas producen la misma sanción.

Del análisis y el ejemplo, se puede intuir que si se puede establecer la fecha de entrega, la mejor opción es A.

Suponga que éste es un problema restringido y es NP-duro. Los hechos 1 y 2 para el caso no restringido todavía se cumplen, pero 3 y 4 no. Un trabajo puede quedar alrededor de la fecha de entrega si comienza antes de D y termina después. Un programa óptimo puede comenzar con tiempo ocioso.

Sundararaghavan y Ahmed (1984) desarrollaron y probaron un procedimiento heurístico, el cual construye un programa en forma de V comenzando en el tiempo cero. El trabajo más largo se coloca al principio del programa si hay más tiempo entre cero y la fecha de entrega, que entre la fecha de entrega y la suma de los tiempos de procesado. De otra manera se coloca al final. Este procedimiento se repite hasta que se colocan todos los trabajos en la secuencia. Formalmente se tiene

de otra manera

se asigna el trabajo k a la posición a a <r- a - 1

A < - A - pk

Paso 2. Se hace k <- £ + 1. Si k < n se va al paso 1.

Baker (1995) demuestra que si más de la mitad de los trabajos están adelantados, el programa se puede mejorar retrasando su inicio de manera que el último trabajo adelantado termine en el tiempo D.

Ejemplo 8-10. Adelanto/tardanza restringidos en MetalFrame. Suponga que la política de en- trega en MetalFrame es de siete días hábiles; es decir D = 56 horas. ¿Cuál es el programa adecuado? Solución. De los cálculos anteriores, este problema tiene una fecha de entrega restringida. Se usa el algoritmo de S&A (Sundararaghavan y Ahmed, 1984) para resolver el problema. La tabla 8-9 mues- tra los cálculos en cada paso. La secuencia que se obtiene es 2-5-7-9-10-8-6-4-3-1; si el primer traba- jo comienza en cero, el vector de tiempo de terminación es (23,38,48,53,57,65,76,93,111,136). Los primeros cuatro trabajos están adelantados; de manera que el programa no se puede mejorar re- trasando el inicio para que el último trabajo adelantado (8, C8 = 53) termine en la fecha de entrega 56.

Esta secuencia da un programa con adelanto y tardanza de 264. No es necesariamente el programa óptimo.

TABLA 8-9 B b A a Posición

Pasos del algoritmo k Pk 56 1 80 10 —

heurístico de S&A 1 25 56 1 80 10 10 2 23 56 1 55 9 1 3 18 33 2 55 9 9 4 17 33 2 37 8 8 5 15 33 2 20 7 2 6 11 18 3 20 7 7 7 10 18 3 9 6 3 8 8 8 4 9 6 6 9 5 8 4 1 5 4 10 4 3 5 1 5 5

El heurístico existe para problemas en los que el costo del adelanto difiere del costo de la tardanza, donde las sanciones por adelanto/tardanza dependen del trabajo, y para fechas de en- trega distintas. Vea más información en Baker (1995).