Ajuste de las ganancias de un compensador lineal

dor por adelanto para un sistema no lineal particular. Nuestra intención es plantear, durante el desarrollo de este diseño particular, algunos de los pasos necesarios que de manera general se deben seguir para realizar sat- isfactoriamente las pruebas y simulaciones del comportamiento dinámico de sistemas no lineales regulados por medio de compensadores lineales. Debido a su gran versatilidad y propiedades de cómputo, esta sección está orientada al uso de Matlab (R) como herramienta auxiliar en el diseño.

En particular, en el ejemplo ilustrado, las ganancias calculadas para el

diseño linealizado deben ser ajustadas para el sistema no lineal. El dise- Reajuste de las ganancias del controlador para el sistema no lineal ño se hace entonces en dos etapas: en la primera se calcula el controlador

reajustan las ganancias de tal manera de mejorar la respuesta del sistema no lineal. Es interesante que en la práctica este procedimiento es natural, los diseños calculados en el papel siempre pasan por un proceso de recali- bración o reajuste al momento de ser efectivamente implementados.

Matlab 5.1: Red de compensación en adelanto para un sistema de suspen- sión magnética

Consideremos el sistema de suspensión magnética, Modelo 8, en la página 14. Ya habiamos analizado este sistema más temprano en este mismo capíıtulo. Su función de transferencia está dada por(5.6), de la página 121,

GX(s) = yδ(s) uδ(s) =x1δ(s) uδ(s) = 2 L q cg mX s3₊R Ls2− g Xs − Rg LX (5.6*)

dondeyδ(t) = −x1(t)corresponde a la señal de salida en la representación en variables de

estado. Este sistema es, evidentemente, inestable en lazo abierto (recuerde la pregunta de la página 59). Considere los valores de los parámetros dados en(5.8). Para este conjunto de pará- metros los polos del sistema en lazo abierto están ubicados ens1= −100,s2= −14ys3= 14.

Como vemos presenta una raiz inestable.

Supondremos que se desconoce el tipo de compensador que será empleado en el diseño. Por lo tanto, debemos realizar primeramente un análisis del comportamiento actual del sistema.

Consideremos, primeramente, el sistema en lazo cerrado dado por un compensador de tipo P (proporcional) y la plantaGX(s). Este esquema se presenta en la Figura 5.10. La Figura 5.4,

mostrada con anterioridad, ilustra el lugar de las raíces asociado a dicho esquema. Se observa claramente que el sistema en lazo cerrado presenta raíces inestables, independientemente del valor que pueda asumir la gananciaK.

Para resolver este problema se intuye que el posible compensador debería poseer un ceroz1

a la derecha del polos = −pg/X. Este cero debe ser tal que Re(z1) < 0, lo cual nos permitiría

“atraer” la ubicación en lazo cerrado de los polos inestables hacia la parte izquierda del plano complejo de tal forma que todas las raíces del polinomio característico en lazo cerrado presenten parte real negativa ( Re(si)lazo cerrado< 0).

Para que el compensador sea efectivamente realizable debe aparecer, además, un polop1

tal que la función de tranferencia asociada sea al menos propia, tal que el grado del denominador

Función de transferencia propia

sea igual o mayor al grado del numerador. Adicionalmente, este polo no debe afectar sustancial- mente la dinámica en lazo cerrado generada por el ceroz1, esto es, el polop1debe ser ubicado

satisfaciendo la restricciónp1 < z1(en la práctica se sugiere quep1este colocado entre 5 a 15

veces el valor dez1).

El compensador resultante está dado por la siguiente expresión:

Gc(s) = uδ(s) eδ(s) = Kc s + z1 s + p1 (5.18)

el cual, dadas las consideraciones anteriores, corresponde a un compensador en adelanto. El

Compensador por

adelanto sistema en lazo cerrado resultante dado porGc(s)en serie conGX(s), se muestra en la Figura

5.11.

5.5 AJUSTE DE LAS GANANCIAS DE UN COMPENSADOR LINEAL 135

Figura 5.11: Esquema de compensación por adelanto

Para efectos de resolver el problema planteado, fijemos valores adecuados de los parámetros del compensador en adelanto. Tomemos por ejemploz1= −10yp1= −50, los cuales satisfacen

las especificaciones de diseño planteadas.

Nos queda por asignar la gananciaKc. Para ello, obtengamos el lugar de las raíces para el

sistema compensadoGc(s)GX(s), el cual se ilustra en la Figura 5.12.

El valor deKca proponer debe permitir seleccionar una ubicación de los polos del sistema

en lazo cerrado tal que el sistema pueda comportarse en forma adecuada y, además, que todas las raíces tengan parte real negativa. Utilizaremos Matlab (R) para obtener de manera simple el valor deKc. Del lugar de las raíces constatamos que al aumentarKc, una de las raíces se va

acercando a−10(la ubicación del ceroz1 anterior) y al mismo tiempo se alejan en los polos

complejos conjugados. Un criterio es proponer un valor deKctal que se obtenga la respuesta

más rápida para el compensador propuesto, esto es en particular, cuando coinciden las partes reales de las tres raíces en lazo cerrado más cercanas al eje imaginario.

El valor deKcse obtiene por ensayo y error. Empleando el comandorlocfindde Matlab (R)

sobre el lugar de las raíces de la Figura 5.12, y ubicando el polo deseado de tal forma que este cerca de Re(s)lazo cerrado> z1, se obtiene aproximadamente un valor deKc= 29,72de tal forma

que las tres raíces tienen parte real de alrededor−8,08. La Figura 5.13 ilustra la ubicación de las raíces dominantes en lazo cerrado (la raiz más alejada está ubicada cerca de−126).

Por otro lado, un valor deKcinferior a 11.0680, nos da un sistema en lazo cerrado inestable,

esto se puede observar del diagrama de Nyquist de la Figura 5.14.

Note que estas conclusiones son ciertas en tanto nos encontremos en una vecindad sufi- cientemente pequeña del punto de equilibrio. De hecho el valor de ganancia obtenido deberá finalmente ser corregido para, por ejemplo, ampliar el conjunto de condiciones iniciales para las cuales el sistema no lineal es asintóticamente estable. Observe la simulación numérica más ade- lante.

Como recordaremos, para realizar las simulaciones de los sistemas estudiados siempre ll- evamos las ecuaciones obtenidas a una representación en variables de estado. De aqui que la función de transferencia del compensador en adelanto(5.18)debe ser representada en esta for-

ma. Una realización o programación de esta función de transferencia se puede obtener mediante Programación o realización de una función de transferencia

los siguientes pasos:

EscribaGc(s)en la forma de una fracción estrictamente propia más un término constante:

uδ(s) eδ(s) = Kc s + z1 s + p1 = Kc+ Kc z1− p1 s + p1 (5.19) Haciendo ˆ uδ(s) eδ(s) = Kc z1− p1 s + p1 (5.20)

se puede deducir, a partir de(5.19), la expresión parauδ(t):

uδ(t) = Kceδ(t) + ˆuδ(t) (5.21)

De(5.20)resulta la siguiente representación dinámica parauˆδ(t):

˙ˆ

5.5 AJUSTE DE LAS GANANCIAS DE UN COMPENSADOR LINEAL 137

Figura 5.13: Detalle del lugar de las raíces para el sistema compensado. El signo ‘*’ indica la ubicación aproximada de los polos para la ganancia Kc = 29,72

Figura 5.14: Diagrama de Nyquist del sistema compensado para Kc = 10. El sistema

Figura 5.15: Comportamiento dinámico del sistema de suspensión magnética en lazo cerrado con el compensador en adelanto diseñado

En definitiva, la representación en variables de estado del compensador en adelanto(5.18)

resulta, a partir de las ecuaciones(5.21)y(5.22), en el subsistema:

uδ(t) = Kceδ(t) + ˆuδ(t)

˙ˆ

uδ(t) = Kc(z1− p1)eδ(t) − p1ˆuδ(t)

Este subsistema tiene como entradaeδ, como salidauδy como variable de estadouˆδ.

A continuación, comprobaremos el desempeño de la estrategia de control propuesta. Em- plearemos, para ello, simulaciones numéricas del comportamiento del sistema compensado en lazo cerrado. Haremos uso de la funciónode45; esta función permite una mayor precisión numéri- ca que laode23.

Los programas desarrollados en Matlab (R) se muestran en los Listados 5.3 y 5.4. La respues- ta del comportamiento en lazo cerrado del sistema no lineal de suspensión magnética, usando el compensador diseñado, se muestra en la Figura 5.15. Para ejecutar la simulación desde la ven- tana de comandos de Matlab (R), recuerde:

Matlab from MathWorks, Inc. > smgto

La simulación presentada en la Figura 5.15 se realizó para una condición inicial en reposo relativamente cercano a la posición de equilibrio deseada (enx1(0) = 0,06). Supongamos que

nos alejamos un poco más. Parax1(0) = 0,07, el compensador no logra llevar el sistema a su

5.5 AJUSTE DE LAS GANANCIAS DE UN COMPENSADOR LINEAL 139

Listado 5.3: Programa de simulación del sistema de suspensión magnética smgto.m

%% smgto.m

%% Programa para simular el comportamiento dinamico en lazo cerrado %% del sistema de suspension magnetica, controlado usando

%% un compensador por adelanto. Utiliza el programa mgto.m clear all

ti = 0.0; %% tiempo inicial tf = 1.0; %% tiempo final % variables empleadas

global C M G X R L U Kc A B YREF % parametros del sistema

C = 1; M = 0.1; G = 9.8; R = 1; L = 1e-2; % parametros del compensador

Kc = 29.72; A = 10; B = 50; %% sennal de referencia

%% respecto de la salidad incremental YREF = 0.0;

% punto de equilibrio X = 0.05; U = R*sqrt(M*G*X/C);

%% Diferentes condiciones iniciales que se pueden usar en las simulaciones x0 = [X*0.9 0 sqrt(M*G*X/C) 0]’;

[t,x] = ode45(’mgto’,[ti tf],x0);

subplot(221),plot(t,x(:,1)) title(’Posicion de la esfera’) xlabel(’tiempo t’) ylabel(’x1’)

subplot(222),plot(t,x(:,2)) title(’Velocidad vertical’) xlabel(’tiempo t’) ylabel(’x2’)

subplot(223),plot(t,x(:,3)) title(’Intensidad de corriente’) xlabel(’tiempo t’) ylabel(’x3’)

ery = 0 - (x(:,1)-X); u = U+Kc*ery+x(:,4); subplot(224),plot(t,u) title(’Tension de entrada’) xlabel(’tiempo t’) ylabel(’u’) %% fin de smgto.m

Listado 5.4: Modelo y compensador en adelanto mgto.m

function xdot = mgto(t,x) %% mgto.m

%% Este programa presenta la programaci\’on del sistema de control %% en lazo cerrado para el sistema de suspension magnetica. Se %% emplea un compensador en adelanto como estrategia de control. global C M G X R L U Kc A B YREF

y = -(x(1)-X); %% salida incremental del sistema %% --> Recuerde los principios basicos %% de la linealizacion aproximada eyref = YREF - y; %% error incremental

udelta = Kc*eyref+x(4); %% sennal de entrada incremental u = udelta+U; %% control para el sistema no lineal xdot = [x(2);

G - C/M*x(3)^2/x(1); -R/L*x(3)+1/L*u; (A-B)*Kc*eyref-B*x(4)]; %% fin mgto.m

5.5 AJUSTE DE LAS GANANCIAS DE UN COMPENSADOR LINEAL 141

en la Figura 5.17, la cual no solo presenta una respuesta que converge a la posición de equilibrio deseada sino que además es algo menos oscilatoria que la obtenida en la Figura 5.15.

t Este ejemplo ilustra uno de los procedimientos más comunes y más difíciles que puede conseguir un ingeniero en la pra´ctica, el proceso de entonación o ajuste de las ganancias y parámetros de un controlador. Entonación de

ganancias

5.6.

Ejercicios propuestos

Ejercicio 5.1: Diagramas de diseño

En base a los desarrollados presentados, el lector puede proponer el esquema de diseño y aplicación de un compensador lineal sobre el sistema no lineal estudiado. Sugerencia: Recuerde los conceptos de variables incrementales y de punto de equi- librio. Observe los diagramas presentados anteriormente, como el de la Figura 4.5,

en la página 82, por ejemplo. (?)

Figura 5.18: Descenso suave controlado en un planeta sin atmósfera Modelo 28: Descenso suave controlado en un planeta sin atmósfera

Considere el siguiente sistema dinámico controlado que representa la dinámica del módulo de descenso vertical que se muestra en la Figura 5.18:

˙ x1= x2 ˙ x2= g − σα x3 u ˙ x3= −αu y = x1− K (5.23)

dondex1es la posición o altura medida sobre el eje vertical, orientada positivamente hacia abajo,

es decir,x1 < 0para alturas reales sobre la superficie,x2 es la velocidad de descenso yx3

5.6 EJERCICIOS PROPUESTOS 143

La variableues el control y el productoαurepresenta la velocidad de consumo de combustible por unidad de tiempo;uestá restringida a tomar valores entre 0 y 1. La constanteσes la velocidad relativa de eyección de los gases yαes una constante de proporcionalidad, tal queσαresulta ser la fuerza máxima de frenaje que puede imprimir la máquina al módulo en su descenso;ges la aceleración de la gravedad del planeta en cuestión.

La salida del sistema representa el error de posición respecto a una altura fija de valorK < 0. Por lo general esta altura es pequeña (inferior a un metro o algo así) de tal manera que el problema de control consiste en llevar la alturax1al valorx1 = K(es deciry = 0). Mantener el módulo

flotando a esta altura por un brevísimo tiempo y luego apagar el motor para lograr un descenso en caída libre desde muy baja altura.

El punto de equilibrio de este sistema es el siguiente:

x1=arbitrario= X; x2= 0; x3=arbitrario= X36= 0; u = 0

M

Ejercicio 5.2: Diseño de observadores: descenso suave controlado

Considere el sistema (5.23). Diseñe observadores de orden reducido y de orden completo asociados basados en el modelo incremental del sistema dado. (?) Ejercicio 5.3: Gráficos de Nyquist y del lugar de las raíces en Matlab 6.1 o mayor

En Listado 5.5 se presentan los programas necesarios para generar las Figuras 5.3, 5.4, 5.5 y 5.6. Estudie las propiedades de los gráficos generados en Matlab. Marque mediante el cursor alguna posición en particular del gráfico estudiado. Vea que características del sistema se mencionan. Vea en la Figura 5.19 un ejemplo.

(?)

Ejercicio 5.4: Compensador Proporcional–Derivativo PD

Demuestre que el caso del compensador PD es equivalente al empleo de la es- trategia de asignación de polos por realimentación del vector de estados. Ayuda: Haga un ejemplo de primer o segundo orden y desarrolle los cálculos complementa-

mente. Luego, generalice sus resultados. (?)

Ejercicio 5.5: Simulación en Matlab (R): respuesta del modelo promedio del convertidor “Boost” controlado por medio de un compensador PI

Simule la respuesta en lazo cerrado para un modelo promedio de un convertidor tipo “Boost", cuyos parámetros están dados por (5.9), empleando el controlador PI desarrollado en este capítulo. Deseamos estabilizar la tensión de salida normalizada promedio Z2(U ) a un valor de equilibrio de:

X2(0,8) = 0,3354 (5.24)

(?) Ejercicio 5.6: Respuesta del sistema en lazo cerrado con Matlab (R): mani- pulador robótico de una sola unión rígida

Deduzca los pasos necesarios para obtener la expresión en variables de estado (5.17) del esquema de conpensación propuesto en la página 129. Realice las simu- laciones correspondientes para comprobar la efectividad de la estrategia de control

Listado 5.5: Programas para generar los gráficos de Nyquist y del lugar de las raíces Sistema de levitación magnética linealizado

%% Parametros del sistema de levitacion magnetica %% c = 1; g = 9.8; m = 0.1; R = 1; L = 0.01; X = 0.05; figure(1) nyquist([2/L*sqrt(c*g/m/X)],[1 R/L -g/X -R*g/L/X]) axis([-1 0 -0.06 0.06]) xlabel(’Eje real’) ylabel(’Eje imaginario’) title(’Diagrama de Nyquist’) figure(2) rlocus([2/L*sqrt(c*g/m/X)],[1 R/L -g/X -R*g/L/X])

xlabel(’Eje real’) ylabel(’Eje imaginario’) title(’Lugar de las ra\’{\i}ces’)

Convertidor de potencia DC-DC Boost

%% Parametros del modelo promedio del convertidor Boost %% w0 = 1.5811e3; w1 = 1.6667e3; b = 106.06; U = 0.8; Z1 = b*w1/w0^2/(1-U)^2; Z2 = b/w0/(1-U); figure(1) nyquist(-w0*Z1*[1 -b/Z1],[1 w1 w0^2*(1-U)^2]) xlabel(’Eje real’) ylabel(’Eje imaginario’) title(’Diagrama de Nyquist’) figure(2) rlocus(-w0*Z1*[1 -b/Z1],[1 w1 w0^2*(1-U)^2])

xlabel(’Eje real’) ylabel(’Eje imaginario’) title(’Lugar de las ra\’{\i}ces’)

5.6 EJERCICIOS PROPUESTOS 145

propuesta. Utilice el siguiente conjunto de parámetros: B = 0,1 [N/m/seg]; J = 0,25 [kg m2]; c = 1 [kg m2/seg2 ]; N = 10; X = 15π 180 [rad]. (?)

Modelo 29: TRCA, modelo 3

Considere el siguiente modelo de un TRCA en el cual una reacción exotérmicaA → Btoma lugar. El objetivo de control es regular la concentración de salida a través de la manipulación de la temperatura de la chaqueta. El calor de reacción es removido por medio de un líquido refrigerante que pasa a través de una chaqueta alrededor del reactor. El volumenV se considera constante.

Las ecuaciones diferenciales que modelan este sistema son las siguientes:

˙ x1= F V(c0− x1) − ax1e −b x2 ˙ x2= F V(T0− x2) + aL Cp x1e −b x2 − h V Cp (x2− u) y = x2− T (5.25)

donde la variable de estadox1representa la concentración del producto yx2representa la tem-

peratura del reactor. La variable de controlues la temperatura del agua de la chaqueta;F es el flujo de salida del reactor [lb/hr],c0 es la concentración del flujo de entrada [lb/lb],T0es la tem-

peratura del flujo de entrada, medida en [◦_R],C

pes la capacidad calorífica del material [BTU/lb.◦

R],V es el volumen del tanque [lb],Les el calor de la reacción [BTU/hr.◦_{R],bes una constante}

de activación [◦_{R],aes un factor pre-exponencial [hr}−1_{] yhes un parámetros de transferencia}

de calor [BTU/hr.◦R].

Se desea regular el sistema a una temperatura constanteT, la cual mantendrá de una manera “indirecta” la concentración dex1en un valor de equilibrio constante. El punto de equilibrio para

este sistema parametrizado en función de la temperatura fijada para el reactor es:

x2= T, x1= X1(T ) = c0 1 +_Fvae−Tb , u = U (T ) = T −CpF h (T0− T ) aLV h c0e− b T 1 +V_Fae−Tb

Algunos valores típicos de los parámetros antes mencionados son:

F = 2000[lb/hr]; c0= 0,5[lb/lb]; V = 2400[lb]; a = 7,08 × 1010[hr−1]; b = 15080 [◦R]

T0= 5320◦R; L = 600[BTU/lb]; Cp= 0,75[BTU/lb.R]; h = 15000[BTU/hr.R]

M

Ejercicio 5.7: Estudio de un tanque reactor continuamente agitado

Considere el tanque reactor continuamente agitado (5.25). Simule el comporta- miento en lazo abierto de este sistema ante señales de prueba tipo escalón unitario. Proponga especificaciones de diseño en el sentido de mejorar la respuesta obtenida. En el sistema real, ¿qué variable de proceso se escoge como variable de medición?. Basados en la salida o medición propuesta, diseñe diversos tipos de compensadores para este sistema, los cuales permitan satisfacer las especificaciones deseadas. In- cluya compensadores PI y PID obtenidos por el método de Ziegler-Nichols de respues- ta crítica y el método de Ziegler-Nichols de respuesta temporal (no estudiado aquí). Compare, por medio de simulaciones numéricas, el desempeño de los diferentes reg-

5.7 RESUMEN DEL CAPÍTULO YLECTURAS ADICIONALES 147

Ejercicio 5.8: Simulación de los actuadores y sensores en el tanque reactor continuamente agitado

Analice el tipo y ubicación de los sensores y actuadores en el sistema presentado anteriormente. Emule el sistema con todos los componentes propuestos. Incluya la información de la dinámica de los actuadores y sensores en los diseños realizados. Utilice Matlab (R) para realizar las simulaciones. Ayuda: Investigue en la literatura de control de procesos e instrumentación las diferentes características técnicas de sensores y actuadores utilizados para este tipo de procesos industriales. (??)

Ejercicio 5.9: Estudio del sistema de suspensión magnética en Matlab (R). Región de atracción.

Estudie nuevamente el ejemplo Matlab 5.1. Estudie el comportamiento del sis- tema no lineal en lazo cerrado para diferentes valores de Kcy diferentes condiciones

iniciales. Cambie de manera adecuada la ubicación del cero y del polo dados. Estudie la forma en que cambian los resultados y diga ¿qué compensador aparentemente da los mejores resultados? Nota: Esta pregunta no tiene una sola respuesta, de hecho posiblemente no tenga una respuesta adecuada en el senti- do general, la significancia de la frase “mejores resultados” solo depende del dis- eñador! Nuestro enfoque hasta ahora no ha incluido, por ejemplo, índices de desem- peño que permitan hacer comparaciones entre diferentes controladores sobre una base analítica. A pesar de lo extenso del tema y de los diferentes matices que puede tomar en la literatura, dejaremos al lector que ahonde por si mismo en estos delica- dos temas. Por ahora, dependeremos más de su intuición y de su experiencia en el diseño de controladores lineales.

Un problema interesante conectado directamente con la variación de las condi-

ciones iniciales es la determinación de la región de atracción. Definiremos informal- Región de atracción mente a la región de atracción alrededor de un punto de equilibrio dado como el

conjunto (compacto y conexo) de condiciones iniciales para las cuales las trayecto- rias del sistema tienden asintóticamente a dicha posición de equilibrio. Estudie el sistema de suspensión magnética en lazo cerrado con el compensador por adelanto para Kc= 20, determine la región de atracción. Ayuda: Este problema se resuelve

numéricamente. Una técnica utilizada es hacer simulaciones en reverso a partir de condiciones iniciales (estables) muy cercanas a la pposición de equilibrio. Una ref- erencia que puede investigar sobre este tópico es la siguiente: [por agregar]

(? ? ?)

5.7.

Resumen del capítulo y Lecturas adicionales

Con este capítulo termina el estudio de compensadores lineales para sis- temas no lineales. Hemos visto dos tipos de leyes de control basadas en la medición de una o varias variables del sistema: la primera basada en el di- seño de observadores dinámicos de estado y la presentada en este capítulo basada en la síntesis de compensadores clásicos. Los ejemplos presentados ilustran brevemente algunos procedimientos de diseño bien conocidos en la llamada teoría clásica de control. Nuestra intención fue extender los con- ceptos desarrollados en el espacio de estados para el caso no lineal al caso

de diseño de compensadores lineales. Nótese que aquí resultan igualemente importantes los conceptos de punto de equilibrio y de variables incremen- tales, vistos desde el principio de este texto.

Lecturas Recomendadas

Para esta parte le sugerimos consulte:

1. G.F. Franklin, J. David Powell, A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 3ra. Edición, Addison-Wesley, 1994.

2. K. Ogata, Modern Control Engineering, Prentice Hall, 1993.

3. S. Bahram, M. Hassul, Control System Design using Matlab, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995.

E diseño robusto de compensadores para sistemas de control realimen- tado, basado en desarrollos modernos fundamentados en factorizaciones co- primas y en el uso de la ecuación diofantina o de Bezout, a partir del algo- ritmo de Euclides, se puede conseguir en:

J.C. Doyle, B.A. Francis and A.R. Tannenbaum, Feedback Control The- ory, Macmillan, New York, 1992, [DFT92]. Una excelente introducción

In document Control de Sistemas No Lineales - Hebertt Sira (página 147-163)