Control de
Sistemas No Lineales
Linealización aproximada, extendida, exacta
Hebertt Sira-Ramírez, CINVESTAV-IPN Richard Márquez, ULA
Franklin Rivas-Echeverría, ULA Orestes Llanes-Santiago, ISPJAE
Contenido
Notación XIII
Introducción 1
1. Algunos Modelos de Sistemas No Lineales 3
1.1. Introducción . . . 4
1.2. Clase de sistemas bajo estudio . . . 5
1.3. Puntos de equilibrio . . . 5
1.4. Sistemas de naturaleza física real . . . 8
1.5. Modelos empleados a lo largo del texto . . . 11
1.6. Ejercicios propuestos . . . 20
1.7. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 23
Parte I: Control Lineal de Sistemas No Lineales:
Linea-lización Aproximada
29
2. Linealización aproximada 31 2.1. Motivación . . . 322.2. Linealización aproximada: expansión en serie de Taylor . . . . 32
2.3. Sistema linealizado: espacio de estado . . . 34
2.4. Validez del modelo linealizado . . . 41
2.5. Primer ejemplo en Matlab (R) . . . 44
2.6. Ejercicios propuestos . . . 49
2.7. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 51
3. Realimentación del vector de estados 53 3.1. Motivación . . . 54
3.2. Diseño de controladores mediante linealización aproximada . 54 3.3. Ejemplos en Matlab (R) . . . 62
3.4. Ejercicios propuestos . . . 72
3.5. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 76
4. Observadores dinámicos de estado 78
4.1. Introducción . . . 78
4.2. Reconstrucción del vector de estado . . . 79
4.3. Observador de Luenberger: convergencia . . . 83
4.4. Observador de Luenberger: separabilidad . . . 88
4.5. Observadores de orden reducido . . . 99
4.6. Ejercicios propuestos . . . 112
4.7. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 114
5. Síntesis de compensadores clásicos 116 5.1. Introducción . . . 116
5.2. Diseño de reguladores del tipo P, PI y PID . . . 117
5.3. Ejemplos basados en la regla de Ziegler-Nichols . . . 121
5.4. Método del controlador-observador clásico . . . 125
5.5. Ajuste de las ganancias de un compensador lineal . . . 133
5.6. Ejercicios propuestos . . . 142
5.7. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 147
Parte II: Control No Lineal de Sistemas No Lineales:
Linealización Extendida
149
6. Realimentación no lineal del vector de estado 151 6.1. Introducción . . . 1516.2. Realimentación no lineal basada en asignación de polos in-variantes en familias de modelos parametrizados . . . 154
6.3. Controlador no lineal basado en linealización extendida . . . . 156
6.4. Ejemplos de diseño . . . 158
6.5. Ejercicios propuestos . . . 169
6.6. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 172
7. Diseño de observadores dinámicos de estado no lineales basa-dos en linealización extendida 180 7.1. Introducción . . . 181
7.2. Observador dinámico no lineal . . . 181
7.3. Linealización de la dinámica del error de observación . . . 182
7.4. Ganancia no lineal del observador . . . 184
7.5. Ejemplos . . . 185
7.6. Ejercicios propuestos . . . 201
7.7. Resumen del capítulo . . . 203
8. Sintesis de compensadores no lineales G(·) 204 8.1. Introducción . . . 204
8.2. Diseño de reguladores no lineales del tipo P, PI y PID median-te linealización exmedian-tendida . . . 206
CONTENIDO V
8.3. Compensadores no lineales basados en el esquema
controlador-observador clásico . . . 217
8.4. Ejercicios propuestos . . . 224
8.5. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 224
Parte III: Control No Lineal de Sistemas No Lineales:
Linealización Exacta
227
9. Introducción a la linealización exacta 229 9.1. Motivación: método del control calculado . . . 2299.2. Linealización exacta de sistemas en la forma canónica contro-lable . . . 241
9.3. Sistemas no lineales reducibles a la forma canónica controlable244 9.4. Condiciones de existencia para la transformación a la Forma Canónica Controlable . . . 249
9.5. Ejercicios propuestos . . . 255
9.6. Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 255
10.Linealización exacta de sistemas no lineales 256 10.1.Introducción . . . 256
10.2.Nociones básicas de geometría diferencial . . . 256
10.3.Interpretación geométrica del corchete de Lie y teorema de Frobenius . . . 256
10.4.Nueva formulación de las condiciones de existencia para la transformación a la forma canónica controlable . . . 256
10.5.El caso de sistemas lineales . . . 256
10.6.Ejemplos . . . 256
10.7.Ejercicios propuestos . . . 256
10.8.Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 256
11.Linealización entrada-salida 257 11.1.Introducción . . . 257
11.2.Dinámica de los ceros y linealización entrada-salida . . . 257
11.3.Primer ejemplo . . . 257
11.4.Formulación de la linealización entrada-salida usando her-ramientas de geometría diferencial . . . 257
11.5.Ejercicios propuestos . . . 257
11.6.Resumen del capítulo y Lecturas adicionales . . . 257
12.Observadores no lineales con error lineal 258 12.1.Introducción . . . 258
12.2.Linealización del error de reconstrucción . . . 259
Índice de figuras
1.1. Diagrama de Bloques de un Sistema no lineal . . . 6
1.2. Avión en vuelo horizontal . . . 7
1.3. Péndulo simple . . . 9
1.4. Satélite mono-axial (cuerpo que gira alrededor de un eje me-diante expulsión de gases) . . . 10
1.5. Esquema de un artefacto espacial que requiere control de su orientación a un valor deseado (θ = Θ) . . . 12
1.6. Convertidor de potencia DC–DC tipo “Boost” . . . 13
1.7. Sistema de suspensión magnética . . . 14
1.8. Manipulador robótico de unión rígida . . . 15
1.9. Motor serie de corriente continua . . . 17
1.10.Representación simplificada del comportamiento del TCP . . . 18
1.11.Aro rotatorio sobre el que desliza un anillo cuya posición an-gular se desea controlar . . . 20
1.12.Sistema masa–resorte–amortiguador . . . 21
1.13.Circuito de Chua controlado . . . 22
1.14.Balanceo de una esfera sobre una barra . . . 23
1.15.Tanque de reacción continuamente agitado . . . 26
2.1. Relación entre las variables originales y las variables incre-mentales . . . 36
2.2. Representación entrada-salida del sistema linealizado . . . 37
2.3. Motor de corriente continua . . . 40
2.4. Sistema de un tanque con pérdida de líquido . . . 42
2.5. Perturbación de la señal de entrada al tanque . . . 42
2.6. Péndulo invertido sobre una plataforma móvil . . . 45
2.7. Comportamiento local del sistema lineal (línea continua —) y el sistema no lineal (trazos - -) . . . 49
2.8. Manipulador robótico flexible . . . 50
3.1. Relación entre las variables originales y las variables incre-mentales . . . 55
3.2. Sistema lineal que describe, en forma aproximada, el compor-tamiento de las perturbaciones . . . 55
ÍNDICE DE FIGURAS VII
3.3. Sistema lineal realimentado linealmente . . . 56 3.4. Esquema de control lineal por realimentación del vector de
estado para sistemas no lineales . . . 56 3.5. Ubicación de los polos del sistema (3.2) en lazo abierto . . . . 59 3.6. Polos del sistema (3.2) en lazo cerrado . . . 60 3.7. Esquema de realimentación lineal de estados para el sistema
de levitación magnética . . . 61 3.8. Ubicación de polos, en el plano complejo, para el artefacto
es-pacial en lazo cerrado . . . 64 3.9. Comportamiento en lazo cerrado del artefacto espacial
con-trolado . . . 65 3.10.Comportamiento del artefacto espacial obtenido por
simula-ción del sistema controlado, para desviaciones iniciales signi-ficativas del punto de equilibrio . . . 66 3.11.Respuesta en lazo cerrado del sistema de fermentación
esta-bilizable . . . 71 3.12.Sistema de dos conductores acoplados magnéticamente . . . . 73
4.1. Esquema de realimentación lineal con medición total de las componentes del vector de estado . . . 80 4.2. Esquema de realimentación lineal del sistema aproximado
con medición total de las componentes del vector de estado . . 80 4.3. Esquema de aproximación del comportamiento entrada-salida
del sistema no lineal . . . 81 4.4. Observador dinámico de estado . . . 82 4.5. Esquema de realimentación lineal de salida para un sistema
no lineal, utilizando un observador dinámico de estado . . . . 82 4.6. Estructura del observador dinámico de estado . . . 85 4.7. Esquema de control realimentado de salida del sistema lineal
que aproxima al sistema no lineal . . . 89 4.8. Respuesta del sistema de orientación de un artefacto
espa-cial mediante realimentación lineal de la salida utilizando un observador dinámico . . . 92 4.9. Respuesta de un sistema aro – anillo controlado mediante
re-alimentación completa del vector de estado . . . 97 4.10.Respuestas del sistema aro – anillo controlado por realimentación
lineal de la salida utilizando un observador dinámico de estado 99 4.11.Sistema de tanques en cascada . . . 103 4.12.Esquema de control realimentado lineal de la salida para un
sistema de tanques mediante el uso de un observador de or-den reducido . . . 106 4.13.Estructura de un observador dinámico de orden reducido . . . 109 4.14.Estructura de control por realimentación lineal de la salida,
a base de un observador dinámico de orden reducido . . . 110 4.15.Medición de la altura en el péndulo simple (cm = centro de
5.1. Determinación de la frecuencia última ω0y la ganancia
últi-ma K0 . . . 119
5.2. Esquema de control PID para Sistemas No Lineales . . . 121 5.3. Gráfico de Nyquist de la función de transferencia para el
sis-tema de suspensión magnética . . . 122 5.4. Lugar de las raíces para el sistema de suspensión magnética . 123 5.5. Gráfico de Nyquist de la función de transferencia del modelo
promedio de un convertidor de corriente continua tipo “Boost” 123 5.6. Lugar de las raíces del modelo promedio del convertidor Boost 124 5.7. Esquema de regulación promedio basado en un controlador
PI para un convertidor tipo “Boost” . . . 125 5.8. Interpretación del diseño en variables de estado . . . 127 5.9. Representación del esquema controlador-observador clásico . 127 5.10.Esquema básico de compensación . . . 134 5.11.Esquema de compensación por adelanto . . . 135 5.12.Lugar de las raíces para el sistema compensado . . . 136 5.13.Detalle del lugar de las raíces para el sistema compensado.
El signo ‘*’ indica la ubicación aproximada de los polos para la ganancia Kc = 29,72 . . . 137
5.14.Diagrama de Nyquist del sistema compensado para Kc = 10.
El sistema es inestable en lazo cerrado . . . 137 5.15.Comportamiento dinámico del sistema de suspensión
mag-nética en lazo cerrado con el compensador en adelanto diseñado138 5.16.Simulación para Kc= 29,72 para x1(0) = 0,07 . . . 140
5.17.Simulación para Kc= 20 para x1(0) = 0,07 . . . 141
5.18.Descenso suave controlado en un planeta sin atmósfera . . . . 142 5.19.Las figuras en Matlab (R) . . . 145
6.1. Esquema de control no lineal obtenido para el satélite mono-axial . . . 160 6.2. Comportamiento del satélite mono-axial controlado
median-te realimentación no lineal del vector de estados basada en linealización extendida . . . 161 6.3. Comportamiento del satélite mono-axial controlado por
linea-lización extendida, limitando la señal de control mediante Um´ax—-; sin limitar - - - . . . 162
6.4. Esquema de control no lineal obtenido para el satélite mono-axial con ley de control limitada por el valor Um´ax . . . 162
6.5. Comportamiento del brazo manipulador robótico controlado por linealización extendida . . . 166 6.6. Posición angular del brazo manipulador robótico controlado
por linealización extendida para diferentes condiciones iniciales166 6.7. Posición angular del brazo manipulador robótico para
ÍNDICE DE FIGURAS IX
7.1. Diagrama de bloques del observador dinámico de estados para el satélite mono-axial, basado en linealización extendida . . . 187 7.2. Diagrama de bloques en lazo cerrado del sistema de control
de un satélite, considerando un observador dinámico no lineal 187 7.3. Comportamiento de un satélite mono-axial controlado sobre
la base de un observador dinámico de estados obtenido por linealización extendida . . . 190 7.4. Diagrama de bloques en lazo cerrado de un manipulador
robóti-co, considerando un observador dinámico no lineal . . . 193 7.5. Comportamiento de un manipulador robótico controlado
so-bre la base de un controlador y un observador dinámico de estados, obtenidos por linealización extendida . . . 194 7.6. Diagrama de bloques en lazo cerrado de un manipulador
robóti-co, considerando un observador dinámico no lineal . . . 198 7.7. Comportamiento de un sistema de dos conductores acoplados
magnéticamente controlado sobre la base de un controlador y un observador dinámico de estados, obtenidos por linealiza-ción extendida . . . 200 7.8. Tanque reactor continuamente agitado, no isotérmico . . . 201
8.1. Diagrama de bloques en lazo cerrado del modelo promedio del convertidor Boost, controlado mediante un PI no lineal . . . . 208 8.2. Comportamiento del modelo promedio de un convertidor Boost
regulado mediante un PI no lineal obtenido por linealización extendida . . . 208 8.3. Diagramas de Nyquist del sistema de tanques en cascada
para diferentes valores de n . . . 212 8.4. Diagrama de bloques en lazo cerrado de un sistema de
tan-ques regulado mediante un PID no lineal . . . 214 8.5. Simulación del comportamiento de un sistema de tres
tan-ques en cascada controlados por intermedio de un PID no lineal214 8.6. Simulación del comportamiento de un sistema de tres
tan-ques en cascada controlados por intermedio de un PID no lineal216 8.7. Esquema no lineal controlador-observador . . . 218 8.8. Esquema de control no lineal controlador-observador para el
manipulador robótico . . . 225 8.9. Respuesta en lazo del manipulador robótico, regulado
me-diante una ley no lineal basada en el controlador-observador clásico . . . 226
9.1. Diagrama de bloques del sistema aro – anillo . . . 230 9.2. Diagrama de bloques del sistema “linealizado” . . . 231 9.3. Simulación numérica del sistema aro-anillo controlado . . . . 233 9.4. Posición angular del anillo y señal de control para diferentes
condiciones iniciales . . . 234 9.5. Diagrama de bloques del manipulador robótico . . . 234
9.6. Manipulador robótico transformado a una cadena de dos in-tegradores . . . 237 9.7. Respuesta en lazo del control de un brazo manipulador
robóti-co usando el método del robóti-control calculado . . . 238 9.8. Diagrama de bloques del sistema en forma canónica controlable242
Índice de cuadros
1.1. Nomenclatura empleada para el TRCA, modelo 2 . . . 27
2.1. Simulación del sistema no lineal spend.m . . . 47 2.2. Simulación del sistema lineal y presentación gráfica lpend.m . 48
3.1. Programa de simulación del artefacto espacial sejem1.m . . . 67 3.2. Simulación del artefacto espacial: modelo ejemplo1.m . . . 68 3.3. Programa de simulación del proceso incontrolable de
produc-ción de etanol sejem2.m . . . 70 3.4. Modelo y ley de control ejemplo2.m empleados para la
simu-lación . . . 72 3.5. Parámetros usados en el sistema del péndulo invertido sobre
una plataforma móvil . . . 72
4.1. Programa de simulación del artefacto espacial controlado me-diante un observador de Luenberger sejem3.m . . . 93 4.2. Simulación del artefacto espacial: modelo y observador ejemplo3.m 94 4.3. Programa de simulación del aro rotatorio controlado
median-te una ley de realimentación del vector de estados sejem4.m . 96 4.4. Simulación del aro rotatorio controlado: modelo ejemplo4.m . 98 4.5. Programa de simulación del comportamiento del aro rotatorio
controlado usando un observador sejem5.m . . . 100 4.6. Simulación del aro rotatorio: modelo y sistema dinámico del
observador ejemplo5.m . . . 101
5.1. Parámetros KP, TI, TDdel método de Ziegler-Nichols . . . . 119
5.2. Parámetros K1, K2, K3del método de Ziegler-Nichols . . . . 120
5.3. Programa de simulación del sistema de suspensión magnética smgto.m . . . 139 5.4. Modelo y compensador en adelanto mgto.m . . . 140 5.5. Programas para generar los gráficos de Nyquist y del lugar
de las raíces . . . 144
6.1. Parámetros del sistema de balance de un péndulo invertido . . . 170 XI
6.2. Programa de simulación del satelite mono-axial, modelo de Cayley-Rodrigues sejext1.m . . . 174 6.3. Modelo y control de un saliélite mono-axial ejext1.m . . . 175 6.4. Programa de simulación del satelite mono-axial con actuador
saturado sejext1b.m . . . 176 6.5. Modelo y control saturado ejext1b.m . . . 177 6.6. Programa de simulación del manipulador robótico sejext2.m . 178 6.7. Modelo + control no lineal por linealización extendida (se
in-cluye además el control linealizado) ejext2.m . . . 179
7.1. Programa de simulación de la dinámica de un satélite mono-axial regulado mediante un controlador y un observador no lineales sejext3.m . . . 188 7.2. Modelo, control y observador no lineales ejext3.m empleados
para la simulación . . . 189 7.3. Programa de simulación de un manipulador robótico
regula-do mediante una realimentación y un observaregula-dor no lineales, basados en linealización extendida srobleob2.m . . . 195 7.4. Modelo de un manipulador robótico y ley de control con
obser-vador no lineal basada en linealización extendida robleob2.m 196 7.5. Programa de simulación de un sistema de dos conductores
regulado mediante una ley de control no lineal, basada en un
observador diseñado mediante linealización extendida sconexob.m199 7.6. Modelo y ley de control con observador no lineal basada en
linealización extendida conexob.m . . . 201
8.1. Programa de simulación del comportmiento del modelo prome-dio del convertidor Boost, regulado mediante un PI nol lineal sboostex.m . . . 209 8.2. Modelo del convertidor Boost y regulador PI no lineal boostext.m210 8.3. Programa de simulación del sistema de tanques controlados
mediante un PID no lineal stanqext.m . . . 215 8.4. Modelo del sistema de tanques e implementación del
contro-lador PID no lineal tanqext.m . . . 216
9.1. Programa de simulación del sistema aro-anillo regulado me-diante control calculado sarole.m . . . 235 9.2. Simulación del sistema aro-anillo: modelo y observador arole.m236 9.3. Programa de simulación del control del manipulador robótico
usando el método del torque calculado srobexa.m . . . 239 9.4. Simulación del manipulador robótico: modelo y control por el
Notación
En muchas ocasiones repetiremos ecuaciones o expresiones que han si-do ya vistas a lo largo del texto. Estas expresiones serán numeradas de la manera como originalmente fueron presentadas. Para diferenciarlas, se añadirá un asterisco “*” indicando que fueron empleadas anteriormente, de manera de no confundir al lector con la numeración que viene siguiendo. Por ejemplo, la ecuación (5.6) es reutilizada en la página 134, lo cual se indica mediante la etiqueta (5.6*).
Los ejemplos se terminan con el símbolo. Los ejemplos en Matlab (R) se terminan con t y los modelos se concluyen con la letraM. Los ejercicios indican la dificultad mediante una (?) o varias (??).
Consideraremos, salvo indicación expresa de lo contrario, la siguiente notación a todo lo largo del texto:
x, u, y representan, respectivamente, las variables de es-tado, entrada y salida.
(X, Y, U ) valores de equilibrio (punto de operación) para x, y y u, respectivamente.
t el tiempo
t0 el instante t = t0.
x(t) “la variable x es función de t”, “valor de x en el instante t”, “respuesta (solución) de x en función del tiempo t”.
˙ x = dx
dt derivada (tasa de variación) de x(t) respecto de t. A, B generalmente representan, respectivamente, la
matriz del sistema y la matriz del control.
Introducción
[a completar]
Se ha preferido utilizar los archivos tipo “script” y “function” de Mat-lab porque pueden ser ejecutados en cualquiera de las versiones 5.1, 6.1 o 6.5, con variaciones mínimas en la sintáxis. Sin embargo, los archivos Simulink (R) para la versión 6.5 están disponibles en la página web de este texto http://www.ing.ula.ve/~marquez/snl/.
Este curso no es una introducción al uso de Matlab (R) para simulación, para ello referimos al lector a las muchas y excelentes referencias en el tema. Muchas de ellas están disponibles en Internet.
1
Algunos Modelos de
Sistemas No Lineales
Foto
Nuestra atención estará centrada en los sistemas de tipo no lineal que puedan ser representados por modelos que involucren el uso de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales1. En este capítulo precisaremos el tipo de sistemas que serán uti-lizados a lo largo de esta monografía. Vamos a introducir algunos modelos que serán empleados a lo largo del texto. A medida que avancemos iremos encontrando diferentes modelos matemáticos, por medio de los cuales se ha intentado representar de manera aproximada el comportamiento de sistemas reales. Las relaciones planteadas tienen su origen en la física, la química, la temrodiná dinámica, el balance de masa, energía, información, procedimien-tos empíricos, etc. Muchos de esprocedimien-tos modelos se encuentran a todo lo largo de la literatura existente de control automático.
1De allí que los métodos de análisis y diseño presentados NO se aplican a sistemas más
complejos, conocidos con el nombre de sistemas a parámetros distribuidos, descritos, por lo general, por ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales parciales.
Ilustraremos algunos conceptos, tales como el de punto de
equi-librio, fundamentales para el estudio de los capítulos posteriores.
1.1.
Introducción
Desde los inicios de la humanidad, el hombre ha tratado de entender y aprender de su medio ambiente a través de observaciones. A partir de estas observaciones se fue creando en su cerebro un modelo de la realidad circun-dante. Los diferentes modelos que formaba le servían para actuar dentro de su medio y para tratar de solventar sus problemas en la caceria, construc-ción de vivienda, etc. Con el paso del tiempo, y en virtud de los cambios en sus necesidades, estos modelos se fueron convirtiendo en modelos más sofisticados desde el punto de vista abstracto. Desde el punto de vista in-genieril, los modelos linguísticos y gráficos (diagramas, dibujos, etc.), los cuales transmitía a sus semejantes, le sirvieron para entender mejor y en una forma más sistemática su entorno, pero a la vez le permitieron afrontar problemas cada vez más complicados, como por ejemplo los sistemas de reg-ulación de la posición y de la velocidad en los molinos de viento, y los dis-positivos más simples, pero no menos ingeniosos, usados para controlar el nivel del líquido en los relojes de agua (clepsidra). Estos modelos, linguís-ticos y gráficos, constituyeron el origen de lo que posteriormente serían los llamados modelos matemáticos.
Newton tuvo mucha razón cuando dijo que el lenguaje de la naturaleza es la matemática. La realidad física que nos rodea la hemos tratado de in-terpretar de diferentes maneras. Los modelos matemáticos constituyen una forma idónea de resolver muchos de los problemas que se nos presentan al enfrentarnos a esa realidad.
Un modelo matemático de un sistema real constituye una represen-tación abstracta realizada en términos de lenguaje y simbología matemáti-ca (ecuaciones algebraimatemáti-cas, ecuaciones diferenciales, en diferencias, etc.) la cual resalta propiedades importantes del sistema en estudio. En nuestro ca-so, estaremos interesados en que el modelo presente las propiedades “más importantesrelativas al comportamiento dinámico (en el tiempo) del sis-tema a controlar, tomando en cuenta los requerimientos y la disponibilidad de recursos respecto a beneficios, costos, precisión y exactitud en represen-tar el comportamiento del sistema, seguridad o riesgos, etc. Por ejemplo, un modelo del comportamiento de varias sustancias en un reactor químico podría ser representado mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que reflejan un comportamiento muy preciso y una inversión muy costosa, contrastando con muchas situaciones en las cuales es suficiente representar el sistema dado en la forma de ecuaciones algebraicas de las relaciones estáticas entre las sustancias, el cual resulta un modelo con un costo muy inferior al anterior. En el caso de un avión esto no puede ser
1.2 CLASE DE SISTEMAS BAJO ESTUDIO 5
así, el modelo a emplear tiene que ser lo suficientemente sofisticado co-mo para tomar en cuenta todas las variables necesarias: vientos, presión, condiciones climatológicas, etc. debido al elevado riesgo de vidas humanas involucradas.
Un modelo matemático, obtenido por medio de leyes y relaciones de tipo físico, químico o de alguna otra índole, servirá para captar algunas de las propiedades importantes del sistema bajo estudio, dependiendo de las necesidades. Además de brindar la posibilidad de estudiar un sistema cualquiera, los modelos nos proporcionan las bases necesarias para tener una idea de cómo influenciar (regular o controlar) el comportamiento del sistema real. En último término, éste es el interés práctico del modelo en sí, brindar información relevante del sistema susceptible de ser controlado.
Los sistemas de control de maquinaria, motores, aviones, reactores quí-micos, etc., están formados por procesos y plantas, habitualmente repre-sentados a través de modelos matemáticos que expresan las diferentes pro-piedades o comportamientos que satisfacen tales sistemas. Los sistemas dinámicos que estudiaremos describen procesos reales de naturaleza no li-neal. La herramienta matemática para su descripción está constituida por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales a parámetros agrupados.
1.2.
Clase de sistemas bajo estudio
Considérese el siguiente conjunto de ecuaciones que representan un sis-tema no lineal con una sola entrada y una salida:
˙
x(t) = f (x(t), u(t)), x(t0) = x0
y(t) = h(x(t)) (1.1)
donde x(t) es una función vectorial del tiempo la cual toma valores en el
espacio de n-dimensiones y representa el estado del sistema, x(t) ∈ Rn, u(t) Representación
en variables de estado es una función escalar del tiempo y toma valores en la recta real, u(t) ∈ R.
La variable y(t) es también una función escalar del tiempo y representa la salida del sistema, y(t) ∈ R. Las funciones f(·) y h(·) son funciones con-tinuas, diferenciables al menos una vez con respecto a cada uno de sus argumentos, definidas de tal forma que f : Rn
× R → Rn
y h : Rn
→ R. Representaremos este sistema no lineal mediante el diagrama de bloques mostrado en la Figura 1.1. Recordemos que ˙x = dx/dt representa la tasa de variación de la variable x respecto al tiempo.
1.3.
Puntos de equilibrio
Como veremos con más detalle posteriormente, nuestro objetivo es di-señar leyes o estrategias de control para la regulación del comportamiento en lazo cerrado del sistema estudiado. En forma precisa, se deseará regular
Figura 1.1: Diagrama de Bloques de un Sistema no lineal
el comportamiento de las variables representativas del sistema alrededor de valores de referencia deseados. A estos valores de referencia se les llama puntos de operación, los cuales están estrechamente ligados a los puntos de equilibrio del sistema, presentados a continuación.
Los puntos o trayectorias de equilibrio de un sistema no lineal se ob-Punto de
equilibrio, punto de operación
tienen de resolver la ecuación ˙x ≡ 0, ver (1.1), esto es, cuando la tasa de variación de x es cero:
f (x(t), U ) = 0 ⇒ x(t) = X(U ) (1.2)
De la ecuación (1.2) resulta claro que, para calcular el punto de equi-librio (X, U ), debemos resolver una ecuación implicita que depende de la señal de control en el equilibrio, dada por el valor U .
Consideraremos sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma (1.1) que poseen puntos de equilibrio constantes, los cuales pueden están dados por:
u(t) = U ; x(t) = X(U ); y(t) = Y (U ) = h(X(U )), para todo t. (1.3) En este caso, diremos que el punto de equilibrio está parametrizado en fun-Parametrización
con respecto al control
ción de la señal de control2constante U .
Nótese que, en general, pueden existir múltiples puntos de equilibrio, con o sin sentido físico. Más aún, es posible que ni siquiera exista tal punto de equilibrio constante. A los sistemas donde aparezcan tales fenómenos los llamaremos casos patológicos.
Ejemplo 1.1: No existe ningún punto de equilibrio
Considere el sistema
˙ x(t) = 1
x(t)+ u(t) y(t) = x(t)
2Por supuesto, un punto de equilibrio podrá estar parametrizado por cualquier otra variable
del sistema. De tal forma que, en función de un valor constante X del estado, tenemos: u(t) = U (X); x(t) = X; y(t) = Y (X) = h(X), para todo t
1.3 PUNTOS DE EQUILIBRIO 7
Evidentemente, siu = U = 0, no existe ningún punto de equilibrio para la variable de estado
x(t). Sin embargo, siu = U 6= 0entonces si existe un punto de equilibrio, el cual toma el valor
x(t) = X(U ) = −1/U.
Ejemplo 1.2: Dos o más puntos de equilibrio
El sistema descrito por
˙
x = u(x2− 2) y = x
tiene parau = U 6= 0solamente dos puntos de equilibrio ubicados enx = ±√2. Sin embargo, siu = U = 0entonces el sistema tiene infinitos puntos de equilibrio, ya que, en este caso, para cualquierx = X =constante, se cumple que dx/dt = 0.
Los conceptos estudiados en este capítulo, y en capítulos posteriores, serán ilustrados mediante modelos matemáticos cuyo origen puede ser físi-co o no. Consideremos el siguiente modelo simplificado de un avión en vuelo horizontal.
Primer modelo Modelo 1: Avión en vuelo horizontal
Considere las ecuaciones diferenciales que describen la trayectoria de un avión que vuela des-cribiendo un círculo de radioRa una cierta altura sobre el nivel del mar (cuyo valor no interesa), en un plano de dos dimensiones paralelo al plano tangente a la tierra (ver Figura 1.2). El plano tiene por funciones coordenadasx1yx2, las cuales describen la posición del avión en cada
in-stante. El parámetro de control es la funciónu, la cual representa la dirección del avión relativa a las coordenadas fijas(x1, x2), la cual puede cambiarse a voluntad. El modelo del sistema es el
siguiente: ˙ x1= V cos u ˙ x2= V sen u y = q x2 1+ x22− R (1.4)
La salida del sistema representa la distancia a un círculo imaginario, trazado sobre el plano, con centro en el origen de coordenadas y radioR.
Figura 1.2: Avión en vuelo horizontal
M
Ejemplo 1.3: Punto de equilibrio en el avión en vuelo horizontal
En este caso no existe ningún punto de equilibrio constante pues el par de ecuaciones diferen-ciales igualadas a cero representan, para un valor fijoU deu, un sistema incompatible que no
posee solución alguna. Si expresamos el sistema anterior en coordenadas polares, a partir de la transformación de coordenadas dada por:
ρ = q x2 1+ x22, θ = arctan x2 x1 x1= ρ cos θ, x2= ρ sen θ obtenemos: ˙ ρ = V cos(θ − u) ˙ θ = V sen(θ − u) y = ρ − R
Es fácil ver que, para una dirección fijaθ = Θ, el valor del controlu = U = Θproduce un ángulo de dirección constante, en equilibrio, dado precisamente porθ = Θ, a partir de la segunda ecuación diferencial. Sin embargo, el radio vector crece o decrece a una rata constanteV y por lo tantoρno tiene equilibrio constante.
No queremos inducir al lector a pensar que lo común es que no se dispon-ga de puntos de equilibrio constantes para los sistemas dinámicos. La mayo-ría de los sistemas que trataremos (de origen eminentemente real: mecáni-co, eléctrimecáni-co, químimecáni-co, biológimecáni-co, etc.) poseen puntos de equilibrio constantes. De hecho, la mayor parte de la tecnología de regulación automática en sis-temas de producción industrial está basada en esta sola premisa!
1.4.
Sistemas de naturaleza física real
Veremos ahora algunos modelos en los cuales se establece, posiblemente bajo algunas condiciones, un punto de equilibrio único.
Modelo 2: Gas confinado a un recipiente cerrado
La ecuación diferencial que describe los cambios de presión de un gas dentro de un tanque, del cual se permite cierto escape en régimen subcrítico, está dada por:
dP dt = − RT K0A0 V p P0(P − P0) + RT V u (1.5)
dondeues el volumen de gas por unidad de tiempo, con que se alimenta el tanque usando un compresor. Este valor, se supone, no depende de la presión. La alimentación se lleva a cabo de tal manera que los cambios de presión del gas son suficientemente lentos como para considerarlos isotérmicos.V es el volumen del recipiente,A0yK0son constantes que dependen de la válvula
de entrada y del gas considerado.Res la constante universal de los gases yT es la temperatura a la que se lleva a cabo el proceso.P0es igualmente una constante.
M
Ejemplo 1.4: Punto de equilibrio: Gas confinado a un recipiente cerrado
Evidentemente, si no alimentamos gas alguno al tanque,u = U = 0, el punto de equilibrio de la presión esP = P0. Si, por el contrario, inyectamos una cantidad constante de gasu = U 6= 0, el
punto de equilibrio para la presión resulta ser ahora:
P (U ) = P0+ 1 P0 U K0A0 2 (1.6)
el cual es mayor que el valor de equilibrio anterior, como es lógico suponer.
1.4 SISTEMAS DE NATURALEZA FÍSICA REAL 9
Figura 1.3: Péndulo simple
Modelo 3: Péndulo sin amortiguamiento
El modelo de un péndulo simple sin amortiguamiento (ver Figura 1.3) está dado por:
˙ x1= x2 ˙ x2= − mgL J cos x1+ 1 Ju y = x1 (1.7)
dondex1 = θ,x˙1 = x2= ˙θrepresentan la posición y la velocidad angular de la barra respecto
al eje de referencia.urepresenta el torque aplicado por un servomotor.mes la masa total de la barra concentrada en su centro de masa;grepresenta la aceleración de gravedad,Les la distancia desde el origen hasta el puntocmyJcorresponde al momento de inercia de la barra respecto al centro de masa.
M
Ejemplo 1.5: Punto de equlibrio: Péndulo sin amortiguamiento
El punto de equilibrio parax2es, simplemente,x2= 0. Sin embargo, siu = U = 0, entonces para
todo valor del ángulox1que hagacos x1= 0, tendremos infinitos puntos de equilibrio constante
parax1. En efecto,x1 = ±k π/2, k = 1, 2, 3, . . ., son puntos de equilibrio del sistema. Sin
embargo, si restringimos el espacio de estados a una región dondex1pertecenece al intervalo
x1 ∈ [π/2 − δ, π/2 + δ], para unδsuficientemente pequeño, entonces el sistema (1.7) poseerá
un único punto de equilibrio sobre ese rango de valores. Fisicamente, este punto de equilibrio correpondería a la posición vertical, inestable, del péndulo.
Modelo 4: Tanque de reacción biológica continuamente agitado
Las siguientes ecuaciones diferenciales describen el crecimiento del metanol en un tanque de reacción biológica continuamente agitado que utiliza organismos conocidos como metilomonas. Six1 representa la densidad de células de metilomonas yx2 representa la concentración del
metanol, el sistema se describe como:
˙ x1= Aµx2 B + x2 x1− u x1 ˙ x2= − Aσx2 B + x2 x1+ u(Af− x2) y = x2 (1.8)
dondeues la tasa de disolución del substrato yAf es la concentración del substrato en la
ali-mentación del tanque, la cual puede ser considerada constante.AµyAσson constantes
conoci-das.
Ejemplo 1.6: Punto de equilibrio del tanque de reacción biológica
Para valores constantes de la tasa de disolución,u = U, el sistema tiene dos puntos de equilibrio constantes. Uno de ellos ubicado en(0, Af)y el otro en:
x1= X1(U ) = Aµ Aσ (AfAµ− (Af+ B)U ) Aµ− U ; x2= X2(U ) = BU Aµ− U (1.9) Como hemos visto, no solo la existencia sino la naturaleza misma de los puntos de equilibrio de un sistema no lineal dependen en alto grado del valor del punto de equilibrio del control. En aquellos casos en que el punto de equilibrio de las variables de estado y la variable de salida sean calcula-bles en términos del valor U de la señal de entrada u, diremos que el pun-to de equilibrio se encuentra parametrizado por el valor del control. Tales parametrizaciones son muy importantes en la teoría de la linealización y sus extensiones recientes.
Sin embargo, la parametrización de los puntos de equilibrio no es potes-tativa únicamente en términos del valor constante de la señal de control. También es posible parametrizar la familia de puntos de equilibrio posibles de un sistema en términos de un valor constante de alguna de las variables Parametrización
con respecto al estado
de estado en particular. Veamos el siguiente ejemplo.
Figura 1.4: Satélite mono-axial (cuerpo que gira alrededor de un eje mediante expulsión de gases)
Modelo 5: Satélite mono-axial (Cayley-Rodrígues)
Considérese un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo en el espacio ingrávido accionado por torques, los cuales son producidos gracias a la expulsión controlada de gases, mediante un sis-tema de toberas de reacción adosadas al cuerpo en forma opuesta, tal como se ilustra en la Figura 1.4. El modelo que se presenta está asociado al problema de orientación de un satélite mono-axial cuyo ángulo de orientación, respecto de un eje oblicuo no coincidente con el eje principal, se mide utilizando la representación de Cayley-Rodrígues dada por:
1.5 MODELOS EMPLEADOS A LO LARGO DEL TEXTO 11 ˙ x1= 0,5 (1 + x21) x2 ˙ x2= 1 Ju y = x1 (1.10)
dondex1es el ángulo de orientación del satélite medido respecto de un eje oblicuo, no coincidente
con el eje principal;x2es la velocidad angular respecto al eje principal; la variableurepresenta el
torque aplicado.
M
Ejemplo 1.7: Parametrización respecto a un estado X en equilibrio
Como se observa, en el equilibrio, la entradauestá dada porU = 0y, además, para los estados tenemosx1 = X1 (constante arbitraria) yx2 = 0. Evidentemente, en este caso el punto de
equilibrio se parametriza en términos de la posición angularX1y no del valor del control el cual
debe ser cero, necesariamente, en el equilibrio.
En este capítulo no insistiremos más en parametrizaciones particulares, pues ellas tendrán realmente importancia cuando estudiemos el método de la Linealización Extendida más adelante. Así en lo sucesivo, expresaremos el punto de equilibrio asociado al sistema (1.1) como un conjunto dado por (U, X, Y ). En ocasiones, cuando la salida no sea considerada en forma espe-cial o de manera explícita, simplemente nos referiremos al punto de equlib-rio mediante (U, X).
1.5.
Modelos empleados a lo largo del texto
En esta parte presentaremos un número significativo de sistemas no li-neales controlados. A pesar de que esta lista puede estar incompleta, estos modelos han sido escogidos de tal forma que sean representativos e
ilustra-tivos de las diferentes áreas donde pueden encontrarse sistemas controla- Modelos de naturaleza química, eléctrica, mecánica, etc. dos, representados por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias no
li-neales. Estos ejemplos, y otros que presentaremos en secciones posteriores, serán empleados a lo largo del texto para ilustrar el diseño de las diferentes estrategias de control empleadas.
En lo sucesivo, se propone al lector, como ejercicio, verificar los pun-tos de equilibrio de algunos de espun-tos sistemas, tengan sentido físico o no. Nótese que se podrán presentar complicaciones al momento de obtener parametrizaciones particulares respecto del punto de operación deseado y, por lo tanto, se debe recurrir en algunos casos a métodos numéricos (¡y
has-ta simulaciones!) para obtener los valores adecuados. Parametrización del punto de equilibrio respecto de cualquier variable Por razones de índole didáctico, hemos tratado de presentar aquellos
modelos que permitan, en lo posible, obtener parametrizaciones particula-res particula-respecto a un valor nominal de la señal de control, u = U . Sin embargo, el lector también encontrará sistemas cuyo punto de equilibrio esta para-metrizado respecto al valor nominal de alguna variable específica, sea ésta una variable de estado particular xi = X, o de salida y = Y .
Figura 1.5: Esquema de un artefacto espacial que requiere control de su orientación a un valor deseado (θ = Θ)
Modelo 6: Control de la orientación de un artefacto espacial
Supóngase que deseamos controlar la posición angularθde un artefacto espacial, como el que se muestra en la Figura 1.5. Para controlar este artefacto se dispone de una tobera que puede girar alrededor de su base sobre un pivote especial. El ángulo de orientación de la tobera respecto al eje principal del cuerpo de la astronave esβ. La tasa de variación del ángulo de la tobera es directamente proporcional au.Les la distancia desde el punto de apoyo de la tobera en el cuerpo del artefacto hasta el centro de gravedad de la nave (cg). Se supone que la fuerzaFde reacción, debida a la expulsión de los gases de la combustión del motor del artefacto, está aplicada sobre el punto de apoyo de la tobera. Como consecuencia de la fuerzaFel artefacto gira alrededor de su centro de gravedad en uno u otro sentido. El problema de control consiste en mantener el ángulo
θen un valor fijoΘ, usando como control la velocidad de variaciónudel ánguloβde la tobera.
Los sistemas aeroespaciales siempre han constituido una fuente muy rica de modelos y sistemas a controlar
Las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento del sistema se obtienen de la segunda Ley de Newton:
Jd
2θ
dt2 =torque neto aplicado=fuerza×brazo= F sen βL (1.11)
El ánguloβcrece, o decrece, de acuerdo al control aplicadoumediante la ley de variación: dβ
dt = Ru (1.12)
dondeRes una constante conocida que representa una cierta ganancia estática del actuador o transductor que convierte el comandouen velocidad de variación del ánguloβ. Supondremos que existe cierta limitación en los valores deu, los cuales adscribiremos, arbitrariamente, al intervalo cerrado[−1, 1].
Las variables de estado del sistema se escogen como:
x1= θ; x2=
dθ
dt= ω; x3= β
A partir de las ecuaciones(1.11) y(1.12), el sistema no lineal se describe de la manera siguiente: ˙ x1= x2 ˙ x2= F L J sen x3 ˙ x3= Ru (1.13)
1.5 MODELOS EMPLEADOS A LO LARGO DEL TEXTO 13
M
Ejemplo 1.8: Punto de operación: dinámica del artefacto espacial
El punto de equilibrio del sistema, físicamente significativo, se obtiene haciendo cero el miembro derecho de cada ecuación de estado. Este resulta ser:
x1=arbitrario= Θ; x2= 0; x3= 0; u = 0 (1.14)
Nótese que el valorx3 = ±kπtambién califica como punto de equilibrio, pero no es fisicamente
factible “introducir la tobera dentro de la nave". De hecho, la posición angular de la tobera se debe restringir a valores que están contenidos estrictamente dentro del intervalo[−π/2, +π/2], es decir,
−π/2 < βm´ın< β < βm´ax< +π/2.
Figura 1.6: Convertidor de potencia DC–DC tipo “Boost”
Modelo 7: Modelo promedio de un convertidor DC-DC del tipo “Boost”
En la Figura 1.6 se presenta el circuito eléctrico correspondiente a un convertidor tipo “Boost” Los convertidores de potencia constituyen sistemas no lineales prácticos por excelencia
DC-DC de corriente continua. Este circuito se puede describir mediante el siguiente sistema de ecuaciones de estado3: ˙ x1= −ω0x2+ u ω0x2+ b ˙ x2= ω0x1− ω1x2− u ω0x1 y = x2 (1.15) dondex1= I √ L,x2= V √
C, representan las variables normalizadas de la corriente de entrada a la bobinaLdel convertidor y la tensión de salida del condensadorC, respectivamente.b = E/√L > 0es el valor numérico normalizado de la fuente externa de tensión constanteE. Las constantesω0= 1/
√
LCyω1= 1/RCreciben el nombre, respectivamente, de frecuencia natural
de oscilación del circuitoLC de entrada y constante de tiempo del circuitoRCde salida. La variableudenota la función de posición del interruptor, la cual actua como variable de control, tomando valores en el conjunto discreto{0, 1}. Esta señal es sintetizada mediante transistores.
Consideremos el modelo promedio, con variables normalizadas, del convertidor tipo ”Boost”
regulado mediante un esquema de conmutación por modulación de ancho de pulsos: Modelo promedio del convertidor Boost ˙ z1= −ω0z2+ µ ω0z2+ b ˙ z2= ω0z1− ω1z2− µ ω0z1 y = z2 (1.16)
dondez1representa la corriente normalizada promedio de entrada,z2es la tensión normalizado
promedio de salida. La señal de controlu, de tipo discontinuo, se reemplaza aquí por la función
3Nótese que este modelo es del tipo bilineal, es decir, presenta productos de la forma x iu.
Se dice que un sistema de control es bilineal si, al observar el control y el estado independien-temente, el sistema es lineal en el control u y es lineal respecto al estado x.
continuaµ, denominada relación de trabajo del conmutador electrónico. La variable de controlµ
satisface la relación de saturación0 ≤ µ ≤ 1.
En electrónica de potencia, sobretodo en el caso de convertidores de potencia DC–DC, se acostumbra emplear este tipo de modelos promedios para control y análisis de los circuitos. Estos modelos permiten aproximar “en promedio” el comportamiento real conmutado que presentan es-tos convertidores. Detalles sobre este tópico pueden ser encontrados en [SR89, SNLV89, KBBL90, SV91].
M
Ejemplo 1.9: Punto de equilibrio del modelo promedio del convertidor Boost
El punto de equilibrio se obtiene a partir del modelo del convertidor(1.16), para una relación de trabajo constanteµ = U, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones (no lineales):
−ω0Z2+ U ω0Z2+ b = 0
ω0Z1− ω1Z2− U ω0Z1= 0
De aquí resultan los valores constantes de corriente y tensión promedio normalizados:
µ = U ; Z1(U ) = b ω1 ω2 0(1 − U )2 ; Z2(U ) = b ω0(1 − U ) (1.17)
Figura 1.7: Sistema de suspensión magnética
Modelo 8: Sistema de levitación magnética
La Figura 1.7 muestra un sistema de suspensión magnética que permite mantener levitada una
Este ejemplo será utilizada muchas veces a lo largo del texto
pequeña esfera metálica de masam. El objetivo del controlador será regular el valor de la corriente
idel circuito del electroimán, de tal forma que la esfera se mantenga suspendida a una distancia constantex = Xdel electromagneto. La tensión (voltaje) aplicado al circuito esv(t)y actúa como variable de control.
Las ecuaciones diferenciales que describen el sistema están dadas por:
Ldi dt= −Ri + v(t) md 2x dt2 = mg − fm= mg − ci2 x (1.18)
dondeies la corriente del circuito yxes el desplazamiento de la esfera medido desde el elec-tromagneto.Les la inductancia del electromagneto yces una constante conocida. La fuerzafm
de atracción que ejerce el magneto sobre la esfera se supone inversamente proporcional a la dis-tanciaxy directamente proporcional al cuadrado de la corriente. La salida se obtiene a través de
1.5 MODELOS EMPLEADOS A LO LARGO DEL TEXTO 15
un fotosensor mediante el cual se realiza la medición de la altura de la esfera metálica suspendi-da en el aire. Este modelo aunque aproximado describe con cierta precisión el fenomeno de la levitación magnética. Sin embargo, tal modelo no es válido para distancias muy pequeñas o cero. Véase la referencia [CKS93], donde se puede conseguir un enfoque muy similar al utilizado para la obtención de este modelo.
Escogemos como variables de estado y como variable de control del sistema a las siguientes variables físicas,
x1= x ; x2= ˙x ; x3= i ; u = v(t) ,
y reescribimos las ecuaciones diferenciales anteriores(1.18)como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, dado por
˙ x1= x2 ˙ x2= g − c m x2 3 x1 ˙ x3= − R Lx3+ 1 Lu y = x1 (1.19) M
Ejemplo 1.10: Varias parametrizaciones del punto de equilibrio: sistema de levitación magnética
Los puntos de equilibrio se obtienen igualando a cero los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales anteriores conu = U =constante. Obtenemos entonces los puntos de equilibrio en términos de una parametrización del valor deseadoXde la distancia:
x1= X1(X) = X ; x2= 0 ; x3= X3(X) = r mgX c ; u = U (X) = R r mgX c (1.20)
Una parametrización diferente está constituida por aquella que utiliza el valor constanteUdel control. Tal parametrización está dada por:
x1= X1(U ) = cU2 mgR2 ; x2= 0 x3= X3(U ) = U R; u = U
Modelo 9: Manipulador robótico de una sola unión rígida
Considérese el manipulador robótico de una sola unión que se muestra en la Figura 1.8. El modelo no lineal de este sistema se puede representar mediante las siguientes ecuaciones:
˙ x1= x2 ˙ x2= − B Jx2− c Jsen x1 N +1 Ju y = x1 (1.21)
dondex1 = θp(Posición angular),x2 = ˙θp (velocidad angular), son las variables de estado y
la variable de control está dada por el torque aplicadou = τ. El parámetroN corresonde al factor de reducción angular del juego de engranajes que acopla el eje del motor al eje del brazo manipulador; Bes el coeficiente de fricción viscosa y J es el momento de inercia;c es una constante empírica que iguala al triple del productoM gL, dondeMes la masa del brazo,ges la aceleración de la gravedad yLes la distancia del eje al centro de masa del brazo manipulador.
M
Ejemplo 1.11: Varias parametrizaciones del punto de equilibrio: Manipu-lador robótico
El punto de equilibrio del sistema(1.21), parametrizado con respecto a la posición angular desea-daX, está dado por:
x1(X) = X; x2(X) = 0; u = U (X) = c sen
X N
(1.22)
El punto de equilibrio del sistema, parametrizado con respecto al torque nominalUque pro-duce la posición angular deseadaX, está dado por:
x1= X(U ) = N sen−1
U c
; x2(U ) = 0; u = U (1.23)
donde, evidentemente, debe cumplirse queU < c.
Modelo 10: Tanque de reacción continuamente agitado (TRCA)
Considérese el siguiente modelo sencillo, de naturaleza no lineal, de un tanque de reacción contin-uamente agitado (continuous stirred tank reactor, en inglés) en el cual se lleva a cabo una reacción química, en fase líquida, de carácter isotérmica entre multicomponentes:
˙ x1= −(1 + Da1)x1+ u ˙ x2= Da1x1− x2− Da2x22 y = x1+ x2 (1.24)
dondex1representa la concentración normalizada (adimensional)CP/CP0de una cierta especie
P en el reactor. Designaremos porY = CP0 a la concentración nominal total de las especiesP
yQ, medida en[mol.m−3]. La variable de estadox2 representa la concentración normalizada
CQ/CP0 de la especieQ. La variable de controluse define como la relación de la tasa de
ali-mentación molar por unidad volumétrica de la especieP, designada medianteNP F, y la
concen-tración nominalCP0, es decir,u = NP F/F CP0dondeF es la tasa volumétrica de alimentación
en[m3s−1]. Las constantesDa1yDa2se definen respectivamente comok1V /F yk2V CP0/F
siendoV el volumen del reactor, en[m−3], y las constantesk1yk2son las constantes de primer
orden, dadas en[s−1]. Se puede tomar como valores de las constantesDa1= 1yDa2= 1.
M
Ejemplo 1.12: Punto de equilibrio: TRCA
El punto de equilibrio parametrizado en función de la concentración de la especiePes:
x1=arbitrario= X, x2= 1 2Da2 hp 1 + 4Da1Da2− 1 i ; u = (1 + Da1)X (1.25)
1.5 MODELOS EMPLEADOS A LO LARGO DEL TEXTO 17
Figura 1.9: Motor serie de corriente continua
Modelo 11: Motor serie de corriente continua
La Figura 1.9 representa el diagrama esquemático de un motor de corriente continua que posee conexión en serie de su circuito de armadura (subíndicea) y su circuito de alimentación del campo (subíndicef). Las ecuaciones de estado que describen este sistema no lineal están dadas por:
˙ x1= x2 ˙ x2= KmKf J x 2 3 ˙ x3= − KbaKf Lf x2x3− Ra+ Rf Lf x3+ 1 Lf u (1.26)
dondex1= θcorresponde al ángulo del eje del motor,x2= ω, es la velocidad angular del eje del
motor,x3 = ia= if representa la corriente común que fluye por los circuitos de armadura y del
campo. La señal de controlu = VTcorresponde a la tensión de alimentación de la red.
M
Ejemplo 1.13: Punto de equilibrio: Motor serie de corriente continua
El punto de equilibrio del sistema(1.26), parametrizado respecto a uno de los estados, es el siguiente:
x1=arbitrario= X ; x2= 0 ; x3= 0 ; u = 0
Modelo 12: Control de un reactor de fisión
El siguiente sistema no lineal representa, de manera muy aproximada, la dinámica de una reacción atómica en un proceso de fisión nuclear:
˙ x1= u − β L x1+ λx2 ˙ x2= β Lx1− λx2 (1.27)
dondex1representa la población de neutrones,x2es la población de “precursores” y la variable
de controlurecibe el nombre de reactividad. Los parámetrosβ,λyLson constantes conocidas. M
Ejemplo 1.14: Punto de equilibrio: Control de un reactor de fisión
El objetivo del control planteado para el sistema(1.27)será el de mantener la población de neu-trones a un nivel constanteN, preestablecido. El punto de equilibrio parametrizado en términos de la población deseada de neutronesN, está dado por:
x1= X1(N ) = N ; x2= X2(N ) =
βN
Figura 1.10: Representación simplificada del comportamiento del TCP
Modelo 13: Control de congestión de datos en Internet: TCP
El protocolo de control de transmisión o TCP (siglas en inglés de Transmission Control Protocol) es el protocolo de transmisión de datos más utilizado hoy en día para el envío de datos en Internet. Los protocolos HTTP, FTP, etc., lo utilizan para hacer sus conexiones. Una conexión se establece
Los mecanismos dinámicos inherentes a Internet constituyen hoy en día una parte importante del estudio en teoría de control
entre una computadora fuente y una destino. El comportamiento TCP se ilustra en la Figura 1.10. Después de enviado un paquete, el destino genera una señal ACK (acuse de recibo), de confir-mación de la recepción del mismo. Estudiemos la etapa de congestión. Si la fuente se encuentra enviandoW paquetes (desde el punto de vista de la fuente, en la red están circulando en este instantenpaquetes que no tienen acuse de recibo), se dice que la ventana de congestión de la fuente es deW paquetes. Por cada ACK, el tamaño de la ventana aumenta en1/W. Al recibir un número deW acuses de recibo, se dice que ha transcurrido unRTT(round trip time por su siglas en ingés), y el TCP hace que la ventana, entonces, aumente aW + 1. La ocurrencia de una pérdida de un paquete (no hay confirmación de recepción) constituye una indicación de que la red puede estar congestionada, e inmediatamente el tamaño de la ventana se reduce a la mitadW/2. Es decir, si no hay pérdidas de paquetes el tamaño de la ventana aumenta de manera aditiva, y cuando hay pérdidas, el tamaño de la ventana se disminuye a la mitad (se multiplica por 1/2). De esta forma, el TCP está incluido en los llamados algoritmos de incremento aditivo–decremento multipllicativo o AIMD por sus siglas en inglés.
Este algoritmo ha sido intensamente estudiado en los últimos años, ver por ejemplo [Kel01, HMTG02]. Un modelo promedio propuesto, que representa de manera simplificada el comport-miento de este sistema es el siguiente [MASA04] (véase también [Low03]):
RTTdx dt = a − a + 2b 2 − bx µ (1.29)
dondeaes el parámetro de incremento aditivo ybes el parámetro de decremento multiplicativo; los valores nominales de estos parámetros sona = 1yb = 1/2. Las variablesxyµ, representan respectivamente el tamaño de la ventana de congestión, medido en número de paquetes, y la tasa temporal de pérdida de paquetes (la entrada); el parámetroRTTestá dado en segundos.
M
Ejemplo 1.15: Punto de equilibrio del TCP
Para un valor constante de la tasa de pérdida de paquetesµ = U =RTT/T, el punto de equilibrio del sistema(1.29)está dado por:
X =a(2 − b) 2b 1 − U U = a(2 − b) 2b T RTT− 1 (1.30) Modelo 14: Proceso de producción de etanol
1.5 MODELOS EMPLEADOS A LO LARGO DEL TEXTO 19
siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias:
˙
x1= x2− x1u
˙
x2= −x2+ (1 − x2)u
(1.31)
dondex1representa la concentración de etanol,x2describe la concentración de azúcar yues la
tasa de alimentación del substrato que actúa como variable de control.
M
Ejemplo 1.16: Punto de operación: proceso de producción de etanol
Se desea regular la concentración de etanol a un valor constantex1 = E. El punto de equilibrio
del sistema se obtiene a partir de las ecuaciones diferenciales, igualando a cero las derivadas de las variables de estado:
x1= X1(E) = E; x2= X2(E) = 1 − E; u = U (E) =
1 − E
E (1.32)
Puesto que ambas concentraciones deben ser, necesariamente, positivas; tenemos las si-guientes restricciones en equilibrio para el sistema:
0 < X1(E) = E < 1; U > 0; 0 < X2(E) < 1 (1.33)
Modelo 15: Sistema de nivel de líquido en un conjunto de tanques dis-puestos en cascada
Considere el problema general de controlar la altura del líquido en el último tanqueTn, de una
serie dentanques idénticos y no interactuantes, cuya entradau(t)está representada por el flujo (no negativo),u ≥ 0, entregado al primer tanque y la salida está constituida por la altura del líquido en eln-ésimo tanque. Si designamos porxila altura en el i-ésimo tanque, el modelo dinámico que
describe el sistema es el siguiente:
˙ x1= − c A √ x1+ 1 Au ˙ xi= − c A √ xi+ c A √ xi−1; i = 2, 3, . . . , n y = xn (1.34)
dondeces una constante que representa la resistencia a la salida de líquido yAes el área de la base de cualquiera de los tanques.
M
Ejemplo 1.17: Punto de equilibrio: Sistema de nivel de líquido en tanques
Para un valor constante del flujo de entradau = U, el punto de equilibrio del sistema es, simple-mente: u = U ; xi(U ) = Xi(U ) = U2 c2 ; i = 1, 2, . . . , n ; y(U ) = Y (U ) =U 2 c2 (1.35) Modelo 16: Posición de un anillo sobre un aro rotatorio
Considerese el caso de un anillo que se desliza sin roce sobre un aro que se puede hacer girar a velocidad angularω, regulable a voluntad (ver Figura 1.11).
Se desea mantener el valor del ánguloθen un valor constante deseado dado porθ = Θ. La variable de control en este caso esta constituida por el cuadrado de la velocidad angularu = ω2.
El radio del aro, que se supone indeformable por efecto de la fuerza centrífuga, está dado pora. El modelo del sistema está dado por:
ad
2θ
dt2 = −g sen θ + aω
Figura 1.11: Aro rotatorio sobre el que desliza un anillo cuya posición angular se desea controlar
Este modelo lo podemos reescribir de la manera siguiente:
˙ x1= x2
˙ x2= −
g
asen x1+ u sen x1cos x1
(1.36)
M
Ejemplo 1.18: Posición de equilibrio de un anillo sobre un aro rotatorio para una velocidad U constante
Al parametrizar en términos de la posición angularx1 = Θ, el punto de equilibrio se expresa
como:
x1(X) = X = Θ; x2(X) = 0; u(X) = U =
g
a cos X (1.37)
Debemos recalcar que el punto de equilibriox1 = 0carece de interés, pues para lograrlo basta
con detener el movimiento del aro alrededor de su eje.
Para un valor fijou = Udel cuadrado de la velocidad angular tenemos el siguiente punto de equilibrio: x1(U ) = arc cos g aU ; x2(U ) = 0; u = U
Es fácil ver queΘno puede adoptar por valores de equilibrio±π/2, ±3π/2, . . . , (2k + 1)π/2
parai = ±1, ±2, . . .. Para estos puntos de equilibrio es necesario imprimirle al aro una velocidad angular infinitamente grande, lo cual es imposible físicamente. Igualmente, en(1.36)se puede ver que para los valores antes mencionados, se hace cero el término que acompaña al control, anulando el canal de entrada al sistema y perdiendo, por ende, la controlabilidad.
1.6.
Ejercicios propuestos
En esta sección se presentan algunos ejercicios asociados al contenido estudiado en este capítulo. Nuestro objetivo es permitirle al estudiante aplicar y/o profundizar los conceptos ilustrados a lo largo del texto.
Ejercicio 1.1: Modelado de un sistema masa–resorte–amortiguador
Modele el sistema de dos masas de la Figura 1.12 y obtenga una representación en variables de estado de dicho modelo. Considere dos casos,
1.6 EJERCICIOS PROPUESTOS 21
Figura 1.12: Sistema masa–resorte–amortiguador
1. Caso lineal: Los términos g1, g2, k1, k2 son constantes y permiten obtener
relaciones lineales en el modelo.
2. Caso no lineal: asumimos que g1(·) y g2(·) son funciones que representan
la característica de cada resorte, es decir, representan fuerzas en función de la elongación del resorte de tal manera de considerar los llamados resortes suaves y resortes duros:
g1(ε) = a1ε + b1ε3
g2(ε) = a2ε + b2ε3
donde ε se corresponde a la elongación del resorte. Obtenga los puntos de equilibrio del sistema.
(?)
Ejercicio 1.2: Modelo en variables físicas originales del convertidor Boost Considere el Modelo 7 en la página 13. A partir del circuito mostrado en la figura 1.6, obtenga el modelo del circuito Boost, en términos de la tensión Vcen los
terminales del condensador y de la corriente ILque atraviesa la bobina. Compruebe
que el modelo normalizado (1.15) se obtiene a partir de éste.
Ayuda: En la página web http://www.ing.ula.ve/~marquez/snl/ se encuentra una descripción y algunos ejemplos acerca del modelado de este tipo de circuitos. (??)
Ejercicio 1.3: Convertidor ´Cuk: modelo en variables físicas originales En el artículo H. Sira-Ramírez y M.T. Prada-Rizzo, "Nonlinear Feedback Regu-lator Design for the Cuk Converter,"IEEE Transactions on Automatic Control. vol. 37, pp. 1173-1180, 1992, [SRPR92], aparece el modelo normalizado de un conver-tidor de potencia ´Cuk. Obtenga el modelo en variables físicas originales a partir de
las leyes de Kirchoff. Tome como variables de estado las intensidades de corriente en las bobinas, IL1e IL2, y la tensión Vcen el condensador. Compare con el modelo
normalizado presentado en ese artículo.
(?)
Ejercicio 1.4: Modelado de un circuito con una resistencia no lineal
Figura 1.13: Circuito de Chua controlado
Obtenga las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento del cir-cuito mostrado en la Figura 1.13. ¿Cuál es el punto de equilibrio resultante para un valor constante de la fuente If = constante? La tensión V en los extremos de la
resistencia no lineal RN corresponde a una función no lineal de la corriente i que
circula por la resistencia, dada por V = f (i). (??)
Ejercicio 1.5: Modelos de sistemas de levitación magnética
Se sugiere al lector revisar algunos modelos diferentes al Modelo 8 en la pági-na 14. Considere por ejemplo las siguientes referencias: D. Cho, Y. Kato, D. Spilman, “Sliding mode and classical controllers in magnetic levitation systems”, IEEE Con-tr. Syst. Mag., vol. 13, pp. 42–48, 1993; D. L. Trumper, S. M. Olson, P. K. Subrah-manyan, “Linearizing control of magnetic suspension systems”, IEEE Trans. Contr.
Syst. Technol., vol. 5, pp. 427–438, 1997. (??)
Modelo 17: Esfera sobre riel
Se desea balancear una esfera montada sobre el riel de una barra metálica, de tal forma de llevarla al medio de la barra. Ver Figura 1.14. Al aplicar un torque al centro de rotación, la barra puede rotar sobre el plano. La esfera puede desplazarse libremente sobre la barra. La esfera debe permanecer en contacto con el riel, sin deslizar. Escogiendoθ, el ángulo de la barra respecto a la horizontal, yr, la posición de la esfera, se obtienen las siguientes ecuaciones lagrangianas del movimiento: 0 = Jb R2 + M ¨ r + M g sen θ − M r ˙θ2 τ = (M r2+ J + J b)¨θ + 2M r ˙r ˙θ + M gr cos θ (1.38)
dondeτes el torque o par aplicado a la barra;Jes el momento de inercia de la barra;M yJb
son, respectivamente, la masa y el momento de inercia de la esfera; el radio de la esfera esRyg
1.7 RESUMEN DEL CAPÍTULO YLECTURAS ADICIONALES 23
Figura 1.14: Balanceo de una esfera sobre una barra
El modelo(1.38)puede simplificarse si se reemplaza el momentoτ. Haciendoθ = u¨ , de tal forma que τ = (M r2+ J + Jb)u + 2M r ˙r ˙θ + M gr cos θ (1.39) se obtiene entonces 0 = Jb R2 + M ¨ r + M g sen θ − M r ˙θ2 ¨ θ = u (1.40)
Los valores numéricos de los parámetros están dados por:M = 0,05kg,R = 0,01m,J = 0,02 kg-m2,J = 2 · 10−6kg-m2yg = 9,81m/s.
M
Ejercicio 1.6: Espacio de estado y punto de equilibrio de la dinámica de la esfera sobre el riel
Obtenga la representación en el espacio de estados para cada uno de los modelos (1.38) y (1.40), con entradas τ y u, respectivamente, usando las siguientes variables: x1= r, x2= ˙r, x3= θ y x4= ˙θ. La salida está dada por y = r. Calcule los puntos de
equilibrio para cada sistema resultante.
(?)
1.7.
Resumen del capítulo y Lecturas adicionales
En este capítulo se presentan algunos modelos ilustrativos que serán empleados a lo largo del texto para ilustrar los diferentes conceptos y dise-ños propuestos. Estos ejemplos sirven de base para el estudio del concepto de punto de equilibrio, una de las caracteríticas que será necesario tener bien clara en el desarrollo de las estrategias de control presentadas poste-riormente.Un tema íntimamente relacionado al contenido de este capítulo, aunque no lo hemos desarrollado directamente, es el modelado de sistemas físi-cos reales mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, también lla-mado modelado de procesos continuos.
La clave del modelado de procesos continuos, sean éstos de origen eléc-trico, mecánico, químico, biológico o de otra índole, está basada en cinco aspectos fundamentales:
Conocer de antemano cuál será el uso que se le va a dar al modelo: Uso
diseño de leyes de control, análisis del comportamiento del proceso, estimación de variables difíciles de medir, etc. Esto puede permitir tener una idea de los alcances del modelo y de la precisión con la cual se ejecutará el procedimiento de modelado.
En lo posible, conocer exhaustivamente el proceso. Esto viene de es-Conocer
el proceso tudiar el sistema y subsistemas (planta, sensores, y actuadores) y los posibles efectos e interrelaciones involucrados.
Aplicar los principios de la física, la química, la termodinámica, etc., traducidos finalmente en las ecuaciones de balance de masa, energía Balance de masa
y energía y/o información.
Proponer y fijar hipótesis simplificatorias razonables para hacer que Hipótesis
simplificatorias el modelo del sistema sea manejable o sea, al menos, de mediana com-plejidad.
Adicionalmente, el ingeniero o “modelador” debería tener una idea clara de sus propias limitaciones (falta de interés, poco conocimien-Limitaciones
del modelador to del área, etc.) al acometer esta tarea. En este caso, lo más impor-tante es estar conciente de que será necesario buscar la ayuda de un experto!
Para afianzar algunos de estos conceptos existen amplias y detalladas referencias al respecto. Puede ser de utilidad revisar e investigar la in-formación contenida en textos de circuitos lineales y no lineales, textos de mecánica racional (estática y dinámica), textos sobre procesos químicos (la parte referida a modelos dinámicos representados por ecuaciones diferen-ciales ordinarias), etc. Muchos de los textos relacionados con el control de sistemas lineales o no lineales proveen habitualmente algunos lineamien-tos básicos para enfrentar satisfactoriamente el modelado de cierto tipo de sistemas.
Al momento de acometer un proyecto de modelado, en el cual se necesita El modelo será
utilizado para hacer control
obtener un modelo suficientemente preciso de una planta o proceso real, para ser utilizado, por ejemplo, para el diseño de leyes de control en un proceso industrial, hace falta tener conocimientos más sólidos y algo más de experiencia.
Una buena práctica consistiría en replantear el modelado de algunos de los ejemplos presentados hasta este momento y entender cómo se obtuvo cada modelo y cuáles fueron las hipótesis simplificatorias involucradas (esto se deja como ejercicio al lector).
A continuación se ejemplifica el modelado de dos sistemas físicos bien conocidos. Se presenta, a través de un péndulo simple, un procedimiento de
