Método Newton Raphson Sistemas No Lineales

M´

etodo de Newton-Raphson para Sistemas No

Lineales

J. Armando Lara R. Ingenier´ıa Electr´onica

Instituto Tecnol´ogico de L´azaro C´ardenas Invierno 2011-2012

M´etodo de Newton-Raphson Ejemplos

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1 M´etodo de Newton-Raphson

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

2 Ejemplos

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1 M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

M´etodo de Newton-Raphson Ejemplos

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1 M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

2 Ejemplos

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1 M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

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1 M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Introducci´

on

En el presente documento se presenta la construcci´on del m´etodo de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales desde un punto de vista meramente matricial, haciendo uso primeramente del polinomio de Taylor hasta llegar a hacer uso de la matriz Jacobiana en cada una de las iteraciones. Posteriormente se desarrollan tres ejemplos de aplicaci´on del presente m´etodo.

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1 M´etodo de Newton-Raphson

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Considerense dos ecuaciones con dos incognitas f0(x0, x1) = 0

f1(x0, x1) = 0 (1)

cada una define una curva en el plano (¯x = [x0x1]T ∈ R2). Las soluciones a (1) son puntos de intersecci´on de las dos curvas en R2. Denotaremos un punto de intersecci´on por

¯

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Suponiendo que ¯x0 = [x0,0x0,1]T es un punto inicial de aproximaci´on a la ra´ız ¯p. Asumiendo que f0 y f1 son lo

suficientemente suaves para procesar una expansi´on de series de Taylor de dos dimensiones,

f0(x0, x1) = f0(x0,0, x0,1) + ∂f0 ∂x0(x0,0, x0,1)(x0− x0,0) + ∂f0 ∂x1 (x0,0, x0,1)(x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2f0(x0,0, x0,1) ∂x2 0 (x0− x0,0)2 + 2∂ 2_f 0(x0,0, x0,1) ∂x0∂x1 (x0− x0,0)(x1− x0,1) +∂ 2_f 0(x0,0, x0,1) ∂x2₁ (x1− x0,1) 2 ) + · · ·

Desarrollo del M´

etodo

f1(x0, x1) = f1(x0,0, x0,1) + ∂f1 ∂x0 (x0,0, x0,1)(x0− x0,0) + ∂f1 ∂x1 (x0,0, x0,1)(x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2f1(x0,0, x0,1) ∂x2₀ (x0− x0,0) 2 + 2∂ 2_f 1(x0,0, x0,1) ∂x0∂x1 (x0− x0,0)(x1− x0,1) +∂ 2_{f1(x0,0, x0,1)} ∂x2 1 (x1− x0,1)2 ) + · · · (2)

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

las cuales tienen una forma m´as comparta usando la notaci´on de vectores como f0(¯x) = f0( ¯x0) + ∂f0( ¯x0) ∂x0 (x0− x0,0) + ∂f0( ¯x0) ∂x1 (x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2f0( ¯x0) ∂x2 0 (x0− x0,0)2+ 2∂ 2_{f0( ¯x0)} ∂x0∂x1 (x0− x0,1) +∂ 2_{f0( ¯x0)} ∂x2 1 (x1− x0,0)2 ) + · · ·

Desarrollo del M´

etodo

f1(¯x) = f1( ¯x0) + ∂f1( ¯x0) ∂x0 (x0− x0,0) + ∂f1( ¯x0) ∂x1 (x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2_f 1( ¯x0) ∂x2₀ (x0− x0,0) 2_{+ 2}∂2f1( ¯x0) ∂x0∂x1 (x0− x0,1) +∂ 2_f 1( ¯x0) ∂x2 1 (x1− x0,0)2 ) + · · · (3)

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Si ¯x0 est´a cerca de ¯p, entonces de (2) y (3), tenemos 0 = f0(¯p) ≈ f0( ¯x0) +∂f0( ¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) + ∂f0( ¯x0) ∂x1 (p1− x0,1) + 1 2! ( ∂2f0(¯x0) ∂x2 0 (p0− x0,0)2+ 2∂ 2_f0(¯x0) ∂x0∂x1 (p0− x0,1)(p1− x0,1) +∂ 2_f0(¯x0) ∂x2₁ (p1− x0,0) 2 ) · · · (4)

Desarrollo del M´

etodo

0 = f1(¯p) ≈ f1( ¯x0) + ∂f1( ¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) + ∂f1( ¯x0) ∂x1 (p1− x0,1) + 1 2! ( ∂2_f 1(¯x0) ∂x2₀ (p0− x0,0) 2_{+ 2}∂2f1(¯x0) ∂x0∂x1 (p0− x0,1)(p1− x0,1) +∂ 2_f 1(¯x0) ∂x2 1 (p1− x0,0)2 ) · · · (5)

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Si ignoramos los t´erminos de ´ordenes m´as altos (segundas derivadas y derivadas de mayores ´ordenes), entonces obtenemos

∂f0(¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) +∂f0(¯x0) ∂x1 (p1− z0,1) ≈ −f0(¯x0), ∂f1(¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) +∂f1(¯x0) ∂x1 (p1− z0,1) ≈ −f1(¯x0). (6) Para una notaci´on m´as compacta, definimos

fi,j = (¯x0) =

∂fi(¯x0) ∂xj

Desarrollo del M´

etodo

as´ı las ecuaciones (6) se convierten en

(p0− x0,0)f0,0(¯x0) + (p1− x0,1)f0,1(¯x0) ≈ −f0(¯x0), (7) (p0− x0,0)f1,0(¯x0) + (p1− x0,1)f1,1(¯x0) ≈ −f1(¯x0). (8) Multiplicando (7) por f1,1(¯x0), y multiplicando (8) por f0,1(¯x0). Extrayendo la segunda ecuaci´on de la primera nos da

(p0− x0,0)[f0,0(¯x0)f1,1(¯x0) − f1,0(¯x0)f0,1(¯x0)]

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Ahora multiplicando (7) por f1,0(¯x0), y multiplicando (8) por f0,0(¯x0). Extrayendo la segunda ecuaci´on de la primera nos da

(p1− x0,1)[f0,1(¯x0)f1,0(¯x0) − f0,0(¯x0)f1,1(¯x0)] ≈ −f₀(¯x0)f1,0(¯x0) + f1(¯x0)f0,0(¯x0). (10) Ahora de (9) y (10), obtenemos p0 ≈ x0,0+ −f0(¯x0)f1,1(¯x0) + f1(¯x0)f0,1(¯x0) f0,0(¯x0)f1,1(¯x0) − f0,1(¯x0)f1,0(¯x0) , (11) p1 ≈ x0,1+ −f₁(¯x0)f0,0(¯x0) + f0(¯x0)f1,0(¯x0) f0,0(¯x0)f1,1(¯x0) − f0,1(¯x0)f1,0(¯x0) . (12)

Desarrollo del M´

etodo

Debemos asumir que el miembro derecho de (11) y (12) es la siguiente aproximaci´on a ¯p. x1,0 ≈ x0,0+ −f0f1,1+ f1f0,1 f0,0f1,1− f0,1f1,0      ¯ x0 , (13) x1,1 ≈ x0,1+ −f₁f0,0+ f0f1,0 f0,0f1,1− f0,1f1,0      ¯ x0 . (14)

(¯x1 = [x1,0x1,1]T), donde las funciones y derivadas est´an evaluadas en ¯x .

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Continuando este proceso para generar (¯xn) para n ∈ Z+ (as´ı en general ¯xn= [xn,0xn,1]T) de acuedo a

xn+1,0= xn,0+ −f0(¯xn)f1,1(¯xn) + f1(¯xn)f0,1(¯xn) f0,0(¯xn)f1,1(¯xn) − f0,1f1,0(¯xn)      ¯ x0 , (15) xn+1,1= xn,1+ −f1(¯xn)f0,0(¯xn) + f0(¯xn)f1,0(¯xn) f0,0(¯xn)f1,1(¯xn) − f0,1(¯xn)f1,0(¯xn)      ¯ x0 . (16)

Desarrollo del M´

etodo

Ahora definimos F (¯xn) =f0(xn,0, xn,1) f1(xn,0, xn,1)  =f0(¯xn) f1(¯xn)  (17) Tambi´en F(1)(¯xn) =f0,0(¯xn) f0,1(¯xn) f1,0(¯xn) f1,1(¯xn)  = JF(¯xn), (18)

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

Vemos que [JF(¯xn)]−1= 1 f0,0(¯xn)f1,1(¯xn) − f0,1(¯xn)f1,0(¯xn)  f1,1(¯xn) −f0,1(¯xn) −f_1,0(¯xn) f0,0(¯xn)  , (19)

Desarrollo del M´

etodo

as´ı que en notaciones de vectores (15) y (16) se convierten ¯

xn+1= ¯xn− [JF(¯xn)]−1F (¯xn) (20) para n ∈ Z+_{. Si ¯x}

n∈ Rm (por ejemplo, si consideramos m ecuaciones con n inc´ognitas), entonces

JF(¯xn) =      f0,0(¯xn) f0,1(¯xn) · · · f0,m−1(¯xn) f1,0(¯xn) f1,1(¯xn) · · · f1,m−1(¯xn) .. . ... ... fm−1,0(¯xn) fm−1,1(¯xn) · · · fm−1,m−1(¯xn)      ,

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Introducci´on

Desarrollo del M´etodo

Desarrollo del M´

etodo

y F (¯xn) =      f0(¯xn) f1(¯xn) .. . fm−1(¯xn)      . (22)

Por supuesto, ¯xn= [xn,0 xn,1 · · · xn,m−1]T ∈ Rm_{. Debemos} notar que el m´etodo falla si JF(¯xn) es singular en ¯xn. Tal como en el caso de una dimensi´on, el ´exito del m´etodo depende en la buena elecci´on de un punto inicial ¯x0.

Ejemplos

Ejemplo 1.- Se requiere resolver

f0(x0, x1) = x0− x20− 1 4x 2 1= 0 f1(x0, x1) = x1− x20+ x21 = 0. (23) Consecuentemente f0(¯xn) = xn,0− x2_n,0− 1 4x 2 n,1= 0 f1(¯xn) = xn,1− x2n,0− x2n,1= 0, (24)

M´etodo de Newton-Raphson

Ejemplos

Ejemplos

cuyas derivadas son

f0,0(¯xn) = 1 − 2xn,0= 0, f1,0(¯xn) = −2xn,0 f0,1(¯xn) = −1

2xn,1, f1,1(¯xn) = 1 + 2xn,1. (25) V´ıa (15) y (16), las ecuaciones deseadas son

xn+1,0= xn,0+ −(xn,0− x2n,0− 1 4x 2 n,1)(1 + 2xn,1) + (xn,1− x2n,0+ x2n,1)(− 1 2xn,1) (1 − 2xn,0)(1 − 2xn,1) − xn,0xn,1 , xn+1,1= xn,1+ −(xn,1− x2n,0+ x2n,1)(1 − 2xn,0) + (xn,0− x2n,0− 1 4x 2 n,1)(2xn,1) (1 − 2xn,0)(1 − 2xn,1) − xn,0xn,1 . (26)

Ejemplos

Si ejecutamos el proceso iterativo en (26), obtenemos x0,0 = 0,8000 x0,1 = 0,500

x1,0 = 0,9391 x1,1= 0,5562 x2,0 = 0,9193 x2,1= 0,5463 x3,0 = 0,9189 x3,1= 0,5461

Con lo cual vemos que la respuesta es correcta en cuatro cifras decimales en solo tres iteracones.