Notas de análisis numérico con MATLAB

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NOTAS DE ANÁLISIS NUMÉRICO CON MATLAB

Luis Eduardo Olivar Robayo Héctor Andrés Granada

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA 2019

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Olivar Robayo, Luis Eduardo

Notas de análisis numérico con MATLAB / Luis Eduardo Olivar Robayo, Héctor Andrés Granada. -- 1ª. Ed.

-- Universidad del Tolima, 2019.

190 p. : il., tablas

Contenido: Conceptos básicos -- Aritmética del Computador -- Solución de Ecuaciones no Lineales – Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales – Aproximación de Funciones a Partir de Datos.

ISBN: 978-958-5569-16-4

1. Ecuaciones no lineales - Soluciones numéricas 2. Ecuaciones lineales I. Título II. Granada, Héctor Andrés 519.5

O48n

Primera edición electrónica

ISBN electrónico: 978-958-5569-16-4 Número de páginas: 190

Ibagué-Tolima

Facultad de Ciencias Básicas

Notas de análisis numérico con MATLAB Grupo de Investigación Matemáticas del Tolima publicaciones@ut.edu.co

leolivar@ut.edu.co

Impresión, diseño y diagramación por PROVEER PRODUCTOS Y SERVICIOS S.A.S

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Contenido

Prólogo ... 11

Capítulo 1

Conceptos Básicos ... 17

1.1. Conceptos básicos de Matlab ...19

1.1.1. Introducción a Matlab ...20

1.1.2. Operaciones con vectores y matrices ...24

1.1.3. Gráficas en Matlab ...27

1.1.4. Gráficos en 2D y 3D ...28

1.1.5. Programación en Matlab ...34

1.1.6. Funciones en Matlab ...37

1.2. Conceptos Básicos Matemáticos ...46

1.2.1. Límites, Continuidad y Diferenciabilidad ...46

1.2.2. Redondeo...64

1.2.3. Notación de O mayúscula y o minúscula ...67

1.2.4. Orden de convergencia ...70

1.2.5. Multiplicación anidada (W.G Horner 1756-1837) ...71

1.2.6. Sistemas de Ecuaciones Lineales ...73

1.2.7. Propiedades de las Matrices ...74

1.3. Ejercicios ...79

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Capítulo 2

Aritmética del computador ... 85

2.1. Números de Punto Flotante y Error de Redondeo ...87

2.2. Algoritmo para transformar números reales a binarios ...92

2.3. Números de Máquina Próximos ...96

2.4. Operaciones con Error de Punto Flotante ...101

2.5. Propagación del Error ...105

2.5.1. Análisis del error de propagación ...105

2.6. Procesos inestables y mal condicionados ...106

Capítulo 3

Solución de Ecuaciones no Lineales ... 113

3.1. Método de Bisección ...115

3.1.1. Interpretación Gráfica ...116

3.1.2. Análisis del Error...121

3.2. Método de Newton Raphson...123

3.2.2. Fracaso del Método de Newton ...127

3.2.3. Análisis de Errores ...127

3.3. Método de la Secante ...131

3.3.2. Análisis de Errores y Orden de Convergencia ...133

Capítulo 4

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales ... 139

4.1. Solución de Sistemas Lineales ...141

4.2. Permutaciones y Matrices Triángulares ...143

4.3. La factorización LU y la factorización de Cholesky ...144

4.4. Eliminación gaussiana con pivote ...147

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Capítulo 5

Aproximación de Funciones a Partir de Datos ... 153

5.1. Interpolación Polinomial ...155

5.1.1. Forma de Newton del polinomio de interpolación ...157

5.1.2. El error de la interpolación polinomial ...159

5.2. Otros comandos en Matlab ...160

5.3. Forma de Lagrange para el polinomio de interpolación ...164

5.4. Diferencias Divididas ...165

5.5. Interpolación de Hermite ...171

Referencias Bibliográficas ... 179

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Listado de figuras

Figura 1.1. Editor - Ventana de Comandos ...20

Figura 1.2. Asignación de valores ...21

Figura 1.3. Formatos Numéricos ...21

Figura 1.4. Quitar asignación de variables ...22

Figura 1.5. Ventana de Ayuda ...22

Figura 1.6. Tutorial Interactivo ...23

Figura 1.7. Generando una partición de un intervalo ...24

Figura 1.8. Operaciones con las componentes de un vector ...25

Figura 1.9. Matrices y Operaciones con componentes ...25

Figura 1.10. Tipos de Gráficas ...27

Figura 1.11. Gráfica de puntos ...29

Figura 1.12. Dos gráficas en una pantalla ...30

Figura 1.13. Subgráficas en una pantalla ...30

Figura 1.14. Propiedades gráficas ...31

Figura 1.15. Comando Fill3 ...32

Figura 1.16. Comando plot3 ...33

Figura 1.17. Comando surf ...34

Figura 1.18. Editor de texto o Script ...35

Figura 1.19. Comandos básicos para programar ...35

Figura 1.20. Creación de un Script ...36

Figura 1.21. Cambiar de Folder ...36

Figura 1.22. Ejecución del Script ...37

Figura 1.23. Creación de una función ...38

Figura 1.24. Creación de subfunciones...38

Figura 1.25. Proporciones con Matlab...40

Figura 1.26. Bucle Switch - Case ...40

Figura 1.27. Bucle Try - Catch ...40

Figura 1.28. Bucle for ...41

Figura 1.29. Bucle parfor ...42

Figura 1.30. Comparación bucle for con bucle parfor ...42

Figura 1.31. Configuración modo paralelo ...43

Figura 1.32. Comando parfor en modo paralelo ...44

Figura 1.33. Bucle While ...44

Figura 1.34. Ejemplo bucle While ...44

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Listado de cuadros

Figura 1.35. Comando if - elseif -else ...45

Figura 1.36. Ejemplo if - elseif -else ...45

Figura 1.37. Ejemplo Comando break - continue - return ...46

Figure 1.38. Gráfica de una Sucesión...49

Figura 1.39. Comparación del polinomio y la Función del Ejemplo 1.2.3 ...58

Figura 1.40. Comparación entre S y P del Ejemplo 1.2.4 ...63

Figura 1.41. Combinación lineal de vectores columna ...76

Figura 2.1. Representación de un número en punto flotante del Ejemplo 2.1.1 ...91

Figura 2.2. Ubicación del Número Redondeado y Truncado de x ...96

Figura 3.1. Cuando f (a) f (c) < 0 ...116

Figura 3.2. Cuando f (c) f (b) < 0 ...116

Figura 3.3. Gráficas del ejemplo 3.1.1 ...119

Figura 3.4. Primer caso fracaso de método ...121

Figura 3.5. Segundo caso de fracaso ...121

Figura 3.6. Gráfica del Método de Newton ...126

Figura 3.7. Fracaso del Método de Newton ...126

Figura 3.8. Método de la Secante ...132

Figura 5.1. Nodos y polinómio Interpolador ...156

Figura 5.2. Puntos Interpolados del ejemplo 5.2.1 (2) ...162

Figura 5.3. Error entre interpolación y exactos del ejemplo 5.2.1 (2) ...163

Figura 5.4. Gráfica del ejemplo 5.2.1 (3) ...163

Cuadro 1.1. Operaciones con los elementos de un vector. ...24

Cuadro 1.2. Operadores matriciales. ...26

Cuadro 1.3. Funciones y matrices especiales ...27

Cuadro 1.4. Estilo de la línea de la gráfica ...29

Cuadro 1.5. Operadores relacionales ...39

Cuadro 1.6. Conectivos lógicos ...39

Cuadro 2.1. Notación Científica Normalizada ...87

Cuadro 5.1. Datos en general...155

Cuadro 5.2. Valores del ejercicio 5.1.1 ...159

Cuadro 5.3. Valores del ejercicio 5.1.2 ...160

Cuadro 5.4. Solución del ejemplo 5.1.2 ...160

Cuadro 5.5. Valores del ejemplo 5.4.1 ...169

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Listado de códigos

Código 1.1. Graficación y generación de Polinomio de Taylor ...58

Código 1.2. Procedimiento en Matlab para encontrar el polinomio de Taylor ...59

Código 1.3. Procedimiento en Matlab para general el polinomio de Taylor alrededor de un punto ...59

Código 1.4. Graficación y Comparación de Polinomio de Taylor ...63

Código 1.5. Comando Taylor de Matlab ...64

Código 2.1. Transformación de un Número entero a Binario ...95

Código 2.2. Transformación de un Número Fraccionario a Binario ...96

Código 2.3. Utilización del código 2.2 en el Ejemplo 2.3.1 ...99

Código 2.4. Cálculo del épsilon de máquina ...103

Código 2.5. Otro código en Matlab para encontrar épsilon ...104

Código 3.1. Programa de Bisección ...118

Código 3.2. Función para utilizar con el código 3.1 ...119

Código 3.3. Utilización del código bisec.m para el ejemplo 3.1.1 ...120

Código 3.4. Método de Newton Raphson ...125

Código 3.5. Derivada de f del ejemplo 3.2.1 ...125

Código 3.6. Función del ejemplo 3.2.1 ...126

Código 3.7. Función del ejemplo 3.2.1 ...126

Código 4.1. Solución de sistema triangular ...146

Código 4.2. Solución de sistema triangular ...146

Código 5.1. Interpolación polinomial ...160

Código 5.2. Utilización del comando de Matlab poly2sym ...161

Código 5.3. Interpolación de 200 puntos y graficación ...161

Código 5.4. Error en la interpolación de los 200 puntos ...162

Código 5.5. Interpolación de f en 10 puntos y graficación ...162

Código 5.6. Diferencias divididas ...170

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Dedicado a mi esposa Aydee, mis hijos y mis hermanos Luis Eduardo

Dedicado a Wilson y Luz Marina mis padres Silvana y Juan Esteban mis hijos Érika mi esposa Hector Andrés

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11 PRÓLOGO

Fuente: Freepik.es

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F

recuentemente en las carreras de matemáticas, ingeniería y ciencias afines nos enfrentamos a problemas en los cuales se requiere resolver un sistema de ecuaciones para el cual es necesario visualizar u obtener su solución y no se puede hacer por métodos analíticos. Los métodos numéricos nos permiten obtener soluciones exactas o aproximadas y resolver sistemas de ecuaciones entre muchas otras cosas apoyados en un ordenador; además de la obtención explícita de resultados obtenidos por cada método es necesario realizar análisis teórico a través de la teoría del error, condicionamiento y estabilidad numérica.

El análisis numérico se ha convertido en una rama del conocimiento fundamental para los investigadores en matemáticas y matemáticas aplicadas y en muchas investigaciones y publicaciones actuales su utilización potencia los resultados obtenidos. Algunas de las publicaciones científicas actuales que utilizan el análisis numérico como una potente herramienta son: [12, 30] dentro de los problemas inversos, pero también son utilizados en diferentes campos del conocimiento para conocer resultados y para interpretar soluciones como en sismología [6], o en odontología [5]. Pero donde se encuentra el mayor número de aplicaciones es en las diferentes líneas de la ingeniería donde podemos encontrar gran número de publicaciones como [29, 20] y muchos otros.

En particular, como profesores de métodos numéricos y de análisis numérico por alrededor de 10 años en los programas de matemáticas con énfasis en estadística, ingenierías y afines; en la universidad del Tolima y la universidad Nacional de Colombia nos hemos dado cuenta de la evidente dificultad que presentan los estudiantes de estos cursos porque tienen que enfrentar problemas que enmarcan capacidades de programación, de análisis y de síntesis al mismo tiempo, esto obliga al estudiante a

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Notas de análisis numérico con MATLAB recurrir a varios libros de programaci ón, de análisis matemático y de

métodos numéricos, de los cuales algunos son de difícil comprensión, escritos en otros idiomas y con altos costos. Y como consecuencia de lo anterior los cursos presenten bajo nivel y resultados poco favorables tanto para el profesor como para el estudiante. Estos inconvenientes, nos motivaron a escribir este libro de texto que está acorde con las necesidades metodológica y de bajo costo que permita subsanar las dificultades antes mencionadas. Los lectores en general tendrán un texto clave de fácil comprensión y lo más importante, autocontenido. En un principio lo pensamos para estudiantes de matemáticas por su rigurosidad y énfasis en las demostraciones, pero sin dejar de lado la parte computacional y aplicada que en este caso la desarrollamos con el software Matlab R2017b, pero por su carácter autocontenido puede ser utilizado por la comunidad universitaria en general, o por cualquier persona con interés de aprender métodos numéricos y con algunas bases de matemáticas.

Por ser un libro de texto, los contenidos y resultados en su gran mayoría no son originales, es una recopilación organizada de diferentes textos y de nuestra experiencia con las notas de clases, los cuales constituyen un material de consulta obligada para los estudiantes, lo que les generará un diálogo directo con los profesores que orienten este curso.

Este libro de texto reúne los siguientes capítulos: conceptos básico de matemáticas y Matlab, aritmética del computador, solución de ecuaciones no lineales, solución de sistemas de ecuaciones lineales y aproximación de funciones. Cada sección está acompañada de ejemplos ilustrativos que permitan la aplicación directa de la teoría y de esta manera que los estudiantes puedan asimilar poco a poco los conceptos teóricos y adquirir los conocimientos requeridos en su formación universitaria. Al final de cada sección aparecen ejercicios propuestos, donde los estudiantes pueden medir el grado de comprensión adquirido.

Esperamos que este libro sirva a los estudiantes y en general a la comunidad universitaria con deseo de profundizar en varios de los temas y para enfrentar los ejercicios de otros libros, como el libro de Kincaid (ver [13]), el libro de Burden (ver [4] ), el libro del profesor de la un universidad nacional de Bogotá, Mantilla (ver [16]), las notas del profesor Mejía (ver [18] ), o uno más reciente como Ryaben’kii (ver [24]); otros más aplicados

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Prólogo

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como [20, 7]. Un libro que contiene una gran cantidad de referencias bibliográficas es el deW. Smith [26]. Esperamos que al hacer un riguroso seguimiento de nuestro libro, el estudiante o lector quede en capacidad de resolver los ejercicios de los libros mencionados anteriormente, o cualquiera de los libros de métodos numéricos para ingeniería. Este libro se puede utilizar para el desarrollo de un semestre normal con 4 horas de presencialidad y 12 horas de trabajo independiente del estudiante.

Agradecemos, inicialmente a la universidad del Tolima por darnos la oportunidad de orientar los cursos de métodos numéricos y análisis numérico por varios años; de igual forma a las otras universidades mencionadas al comienzo de éste prólogo. También agradecemos al doctor Juan Carlos Muñoz, profesor de planta de la universidad de Valle y quien orienta los cursos de métodos y análisis numérico a nivel de pregrado y posgrado en su universidad, por habernos revisado inicialmente este libro y hacernos algunas sugerencias para mejorarlo. Por último, a todos los estudiantes que pasaron por nuestros cursos de métodos numéricos y análisis numérico desde el año 2001, por su colaboración y porque muchos de sus aportes y correcciones quedaron reflejadas en este libro.

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17 Capítulo 1

CONCEPTOS BÁSICOS

Fuente: Freepik.es

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19 1.1. Conceptos básicos de Matlab

Como lo indicamos en el título, daremos algunos elementos básicos para que el lector sin bases en Matlab pueda introducirse en este software y trabajar los ejercicios y ejemplos, los interesados en temas más completos y avanzados pueden ver [22, 19].

MATLAB es un entorno de computación técnica que posibilita la ejecución del cálculo numérico y simbólico de forma rápida y precisa, acompañado de características gráficas y de visualización avanzadas, aptas para el trabajo científico y la ingeniería. La arquitectura de MATLAB es abierta y ampliamente extensible, permitiendo la relación con Excel, C, Fortran y otras aplicaciones externas muy utilizadas e importantes. El nombre MATLAB viene de la abreviatura, “Laboratorio de Matrices”.

En la versión del software Matlab R2017b, la ventana de comandos o ventana principal del Matlab (ver Figura 1.1) aparece apenas iniciamos el programa. Podemos utilizar el comando ver que brinda información de las herramientas que tiene Matlab.

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Notas de análisis numérico con MATLAB

1.1.1. Introducción a Matlab

Para asignar valores a las variables se hace de una manera natural como se muestran en los ejemplos de la Figura 1.2. Se puede apreciar que los resultados se pueden visualizar en diferentes formatos; pero por defecto, Matlab muestra los resultados en formatos numéricos cortos “short”, lo que indica que sólo mostrará 4 cifras decimales. Existen otros formatos como el “rat”, que expresa los resultados como un número racional, el formato “long” que muestra hasta con 16 cifras decimales y si se quiere visualizar una cantidad deseada de dígitos se puede emplear la función de valor de precisión aritmética “vpa”. Otros formatos numéricos que pueden ser empleados se presentan en la Figura 1.3, los cuales pueden obtenerse al escribir en la ventana de comandos “help format.” (ver Figura 1.3) éstos luego pueden ser borrados a través del comando “clc”, pero aquí las variables quedan almacenadas como lo muestra la subventana “Workspace”, situada en la parte inferior izquierda de la ventana principal. Ahora, si queremos borrar la asignación de variables, se emplea el comando “clear all” en la ventana de Matlab, para este caso la subventana “Workspace” quedará vacía.

Figura 1.1. Editor - Ventana de Comandos

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Conceptos básicos

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Figura 1.2. Asignación de valores

Figura 1.3. Formatos Numéricos

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Notas de análisis numérico con MATLAB Cuando estamos trabajando en la ventana de comandos, queremos

que no se sature con mucha información, puesto que al asignar un valor a una variable y al teclear enter, aparecerá de nuevo, indicando que la variable ya fue asignada. Para evitar que vuelva a aparecer, podemos finalizar la asignación con un punto y coma, como se muestra en la Figura 1.4.

Figura 1.4. Quitar asignación de variables

Para pedir ayuda con alguna función podemos digitar en la pantalla de comandos la palabra “help” seguida de la función. Por ejemplo, si queremos saber como es la sintaxis de la función exponencial, podemos digitar “help exp” como se muestra en la Figura 1.5.

Figura 1.5. Ventana de Ayuda

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Conceptos básicos

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Al dar click en la página de referencia mostrada en la Figura 1.5, podemos encontrar información adicional de la función exponencial, como sintaxis, argumentos de entrada y de salida, gráficos y ejemplos.

Con la tecla F1 podemos encontrar una ventana interactiva que le proporciona al aprendiz un tutorial sobre los conceptos básicos para iniciar en Matlab, la ventana interactiva se muestra en la Figura 1.6.

Figura 1.6. Tutorial Interactivo

Para iniciar se recomienda que el lector interactúe con las opciones

“Getting Started with MATLAB”, el cual le enseñará los elementos básicos del escritorio, definir matrices y arreglos, variables en el Workspace, trabajar con texto y caracteres, realizar llamado de funciones, gráficas en 2D y 3D, elaboración de programas y scripts, finalmente mostrará ayuda y documentación, todas las funciones tienen documentación de respaldo.

En la opción “Functions in MATLAB”, se muestran todas las funciones internas del Matlab por orden alfabético o por categoría. También puede consultar la página web de Matlab [17].

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Operación Descripción

x (n) Elemento n-ésimo de x

x (a : b) Elementos de x situados entre el a-ésimo y b-ésimo x (a : p : b) Separados de a p posiciones iniciando con a, (a < b) x (b : — p : a) Separados de a — p posiciones iniciando con b (a < b)

Cuadro 1.1. Operaciones con los elementos de un vector.

Para trabajar con las componentes de un vector podemos utilizar los comandos de la Tabla 1.1 y en la Figura 1.8 se muestran algunos ejemplos de estos comandos al emplear los vectores definidos en la Figura 1.7.

Figura 1.7. Generando una partición de un intervalo

1.1.2. Operaciones con vectores y matrices

Para generar una partición del intervalo [a, b] mediante un vector conformado por N puntos equiespaciados del intervalo, se puede proceder de la siguiente forma:

1. Emplear comando linspace.

b - a

2. Se calcula ∆x = ——— como incremento.

N-1

En la Figura 1.7 se calcula la partición del intervalo [2,5] en 10 puntos equiespaciados de las dos formas.

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Conceptos básicos

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Figura 1.8. Operaciones con las componentes de un vector

Para definir una matriz de tamaño m × n, separamos los elementos de una fila por una coma o un espacio, y las columnas por un punto y coma, como se muestra en la Figura 1.9(a). Al emplear los comandos de la Tabla 1.1 se pueden obtener los componentes de una matriz, como también submatrices de una matriz, algunos ejemplos de estos comandos se muestran en la Figura 1.9(b).

(a) Definiendo Matrices (b) Operando con las componentes de Matrices

Figura 1.9. Matrices y Operaciones con componentes

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Notas de análisis numérico con MATLAB Matlab puede operar con matrices por medio de operadores como

suma (+), producto (*) y traspuesta (’), y funciones como invertir inv( ). En la Tabla 1.2 se muestran los operadores (u operaciones) matriciales elementales con su respectiva descripción, donde A(i, j) es la componente de la matriz A que está en la fila i y la columna j, por ejemplo en la Figura 1.9(b) se tiene A(3, 2) = 0. Y en la Tabla 1.3 se presenta la sintaxis de algunas funciones y los comandos para generar matrices especiales. Estos operadores se aplican también a las variables o valores escalares, aunque con algunas diferencias Todos estos operadores son coherentes con las correspondientes operaciones matriciales, no se puede, ejemplo sumar matrices que no sean del mismo tamaño. Si los operadores no se usan de modo correcto se obtiene un mensaje de error.

Operación Descripción

A + B Suma

A — B Resta

A * B Producto usual

A . * B Producto por componentes A (i, j) * B (i, j)

A \ B inv (A) *B

A . \ B B(i, j) / A (i, j)

A / B A * inv (B)

A . / B A (i, j) / B (i, j) A . ^ n Potenciación usual A . ^ B A (i, j)^{B(i, j)}

A.' Transpuesta

Cuadro 1.2. Operadores matriciales.

Función Descripción

diag (A) Extrae la diagonal de A

det (A) Determinante de A

inv (A) Inversa de A

trace (A) Traza de A

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Conceptos básicos

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Función Descripción

expm (A) Matriz exponencial de A log (A) Matriz logaritmica de A eye (m,n) Matriz con unos en la diagonal zeros (m,n) Matriz nula

ones (m,n) Matriz de unos

rand (m,n) Matriz aleatoria con 0 < A_{i j} < 1

magic (n) Suma de filas, columnas y diagonal constante

Cuadro 1.3. Funciones y matrices especiales

Figura 1.10. Tipos de Gráficas

1.1.3. Gráficas en Matlab

Matlab ofrece una gama amplia de opciones a la hora de realizar representaciones gráficas. Entre ellas curvas planas y superficies, las representaciones de funciones pueden realizarse en coordenadas implícitas,

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Notas de análisis numérico con MATLAB explícitas y paramétricas. También permite realizar gráficas de barras,

líneas, estrellas, histogramas, poliedros, mapas geográficos y animaciones.

Algunas de las gráficas que se pueden realizar aparecen en la Figura 1.10.

El comando plot (X, Y, S) grafica los puntos (X ,Y), siendo X;Y 2 ℝⁿ^; con las funciones definidas en S mediante dígitos entre comillas, el primero de los cuales fija el color de la línea del gráfico y el segundo fija el caracter a usar en el gráfico. En la Tabla 1.4 se muestran las opciones que se pueden definir en S.

1.1.4. Gráficos en 2D y 3D

Para acceder a la ayuda de los gráficos bidimensionales, se puede introducir el comando “help graph2d”. En lo que sigue se mostrarán varios ejemplos que permiten practicar los gráficos en Matlab.

Ejemplo 1.1.1. En la Figura 1.11 se presentan los gráficos de los puntos (1, 2), (-1, 0), (3, 1) y (2, 3) al utilizar varias configuraciones de la Tabla 1.4.

Ejemplo 1.1.2. En la Figura 1.12 se presentan los gráficos de las funciones Y1 = sin(X) y Y2 = cos(X) en el intervalo [-π, π].

Ejemplo 1.1.3. Para generar subgráficas en una sola pantalla gráfica se utiliza el comando subplot(m, n, v), aquí se genera una matriz de tamaño m × n y se reserva las posiciones asignadas en el vector v para originar el gráfico de cada subfigura. La Figura 1.13 muestra una matriz de tamaño 2 × 3, asignando los espacios 3 y 6 de la matriz para realizar el gráfico mediante el comando subplot(2, 3, [3 6]).

Símbolo Color Símbolo Marcadores

y amarillo . puntos

m magenta o círculos

c cyan x x

r rojo + +

g verde * *

b azul s cuadrados

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Conceptos básicos

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w blanco d diamantes

k negro ^ triángulo apuntando arriba

v triángulo apuntando abajo Símbolo Estilo de línea > triángulo apuntando derecha

- líneas continuas < triángulo apuntando izquierda : líneas a puntos p estrella de 5 puntas -. líneas barra - punto h estrella de 6 puntas - - líneas a trazos

Cuadro 1.4. Estilo de la línea de la gráfica

Figura 1.11. Gráfica de puntos

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Figura 1.12. Dos gráficas en una pantalla

Figura 1.13. Subgráficas en una pantalla

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Conceptos básicos

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Figura 1.14. Propiedades gráficas

Luego se abre la ventana gráfica f2 y sobre ella se grafica la función w de color negro, con el comando hold on se pega sobre este gráfico la otra función y de color rojo, con el comando legend colocamos en orden las respectivas Podemos realizar varias gráficas ubicadas en pantallas diferentes, mediante el comando figure, también dar nombre a los ejes, con los comandos xlabel y ylabel, para agregar una leyenda a una pantalla gráfica que tiene varios gráficos se emplea el comando legend, y se puede dar un título a un gráfico con el comando title. También se puede controlar el valor máximo y mínimo en X y en Y con el comando axis, agregar una cuadrícula a la gráfica con grid. Como lo veremos en el Ejemplo 1.1.4.

Ejemplo 1.1.4. Las dos primeras líneas de comandos que aparecen en la Figura 1.14 permiten obtener dos ventanas gráficas, sobre la variable f1 le asignamos una ventana gráfica de color rgb y con nombre Pantalla Gráfica 1 sin numeración, y de forma análoga se hace con f2 de nombre Pantalla Gráfica 2 y de color blanco.

Posteriormente, se hace una partición regular de 100 puntos sobre el intervalo [−1, 1] y este vector lo asignamos a la variable x. Procedemos a generar las funciones y, z y w, se abre la ventana gráfica f1 y sobre ella se genera una matriz de subgráficos de tamaño 2 × 2, en el primer espacio, se hace referencia mediante subplot(2,2,1) y se grafica la función y de color negro con líneas a trazos, con un ancho de línea de 2 puntos. Seguimos con el subplot(2,2,2) en el cual se grafica la función z con círculos azules, finalmente en el subplot(2,2,[3 4]) se grafica la función w de color rojo.

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Notas de análisis numérico con MATLAB funciones, como se muestra en la leyenda de la ventana f2, con xlabel y ylabel

colocamos los nombres a los ejes coordenados, con title podemos colocar un título en el gráfico, además el comando axis permite controlar los rangos de los ejes en los cuales se quiere ver el gráfico, el comando grid on genera una malla y el comando text, permite ingresar textos dentro del gráfico, iniciando en las coordenadas deseadas.

Para acceder a la ayuda de los gráficos tridimensionales se puede introducir el comando “help graph3d”. Los comandos más empleados para hacer superficies y curvas en ℝ³ son fill3, plot3 y surf, para entender cómo funcionan mostraremos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.1.5 (Comando fill3). El comando fill colorea el interior de un polígono, utilizando este comando, podemos realizar el gráfico de un plano en ℝ³. ℝ³ por ejemplo, para graficar el plano dado por la ecuación z = 1.

Primero debemos delimitar el plano dando coordenadas en 2 ≤ x ≤ 5 y en 1

≤ y ≤ 3, el plano se podría representar por el polígono limitado por los puntos (2; 1; 1) ; (5; 1; 1) ; (5; 3; 1) ; (2; 3; 1) U ℝ³, al tener en cuenta estos puntos se puede graficar como se muestra en la Figura 1.15.

Figura 1.15. Comando Fill3

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Conceptos básicos

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Figura 1.16. Comando plot3

Ejemplo 1.1.6 (Comando plot3). El comando plot3 es similar al comando plot y nos sirve para graficar curvas en ℝ³. ℝ³ Por ejemplo, para graficar la curva parametrizada por t U [0;10] con ecuaciones x(t) = 2* cos(t), x(t) = 2 * sin(t) y z(t) = 2 * cos(t) podemos realizar los comandos que se muestran en la Figura 1.16.

Ejemplo 1.1.7 (Comando surf). El comando surf nos permite graficar superficies en ℝ³. Por ejemplo, para graficar la superficie generada por la

sin (√x²+y²+0.5)

ecuación z = con dominio [-8, 8] × [-5; 5] lo podemos √x²+y²+0.5

realizar con los comandos que se muestran en la Figura 1.17. Donde el comando meshgrid nos da como resultado dos matrices x y y que representan el mallado del dominio.

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Figura 1.17. Comando surf

1.1.5. Programación en Matlab

Matlab puede utilizarse como un lenguaje de programación de alto nivel que incluye estructuras de datos, funciones, instrucciones de control de flujo, manejo de entradas/salidas e incluso programación orientada a objetos. los programas de Matlab se escriben en archivos conocidos como M-ficheros. En los M- Ficheros podemos ejecutar una serie de comandos o funciones que aceptan argumentos de entrada y producen una salida.

Estos se crean empleando el editor de texto o Script (ver Figura 1.18), en este editor de texto aparece una numeración por cada renglón empleado, la cual permite identificar los errores que se muestran en la ventana de comandos. Los comandos más utilizados para programar se muestran en la Figura 1.19.

Los scripts con los M-ficheros más sencillos no tienen argumentos de entrada ni de salida, simplemente están formados por instrucciones que se ejecutan secuencialmente y que podrían escribirse igualmente desde la ventana de comandos. Los scripts operan con datos existentes en el espacio de trabajo o con nuevos datos creados por el propio Script.

(35)

Conceptos básicos

35

Sobre la pestaña de un Script aparece el nombre Untitled, lo cual indica que no ha sido guardado, y para poder ejecutar las instrucciones, debemos guardarlo en una carpeta y ejecutarlo con el comando Run (ver óvalo azul) de la pestaña EDITOR del Matlab (ver óvalo rojo) de la Figura 1.20.

Figura 1.18. Editor de texto o Script

Figura 1.19. Comandos básicos para programar

(36)

36

Las instrucciones numeradas hasta el renglón 9 pueden ser ejecutadas al dar click sobre el Item Run. Por primera vez, aparecerá una ventana con el nombre Select File for Save As, en la cual, podemos colocarle el nombre al Script (ver óvalo naranja), es importante no modificar la opción del ítem Tipo. Finalmente, buscamos la carpeta en la cual queremos guardar y le damos click en Guardar, posteriormente, aparecerá una ventana como la que se muestra en la Figura 1.21, que al darle click en la opción Change Folder ejecuta el código del Script como se muestra en la Figura 1.22. Note que se ha ubicado la ruta donde se guardó el Script (ver óvalo rojo) con el nombre que hemos puesto previamente (ver óvalo naranja).

Figura 1.20. Creación de un Script

Figura 1.21. Cambiar de Folder

(37)

Conceptos básicos

37 1.1.6. Funciones en Matlab

Matlab además de poseer funciones predeterminadas, tiene la opción para definir funciones, estas se realizan en M-ficheros con el comando function, precedido de los argumentos de salida, el nombre de la función que deseamos crear, y es el mismo con el que se especifican los argumentos de entrada, esta función deberá guardarse en una carpeta de trabajo y puede ser empleada por otro Script o M-fichero que se encuentre en la misma carpeta. Es necesario que figure la ruta de la carpeta donde se guardó la función y el nombre de la función deberá ser el mismo con el que se guarde el Script. También se puede utilizar el comando pwd, que nos informa en qué ubicación, dentro del sistema de archivo, estamos trabajando.

Figura 1.22. Ejecución del Script

Ejemplo 1.1.8 (Creando una función). En la Figura 1.23 se muestra la construcción de una función llamada ejemplo1, que dados 2 números reales x₁ y x₂, calcule su promedio aritmético. Al guardar el Script con el nombre de la función (ver óvalo rojo), podemos ejecutar la función desde la ventana de comandos, previamente se ubique la ruta de la carpeta donde se guardó la función (ver ovalo azul).

Para crear subfunciones dentro de un Script, se debe iniciar con la función principal que llevará el nombre del archivo, esta empleará las subfunciones y deben ir en la parte de abajo del mismo M-fichero como se muestra en la Figura 1.24.

(38)

38 1.1.7. Bucles y Comandos Básicos de programación

El uso de funciones recursivas, condicionales y definidas a trazos es muy común en matemáticas. Para la definición de este tipo de funciones es necesario el manejo de los bucles básicos de programación (ver la Figura 1.19). En la tabla 1.5 se muestran los comandos para trabajar con las relaciones de equivalencia y de orden. En la Tabla 1.6 se presenta la sintaxis para trabajar con los conectivos. Estas tablas nos permitirán construir proposiciones simples y compuestas como se puede ver en la Figura 1.25, las proposiciones son utilizadas en los bucles.

Figura 1.23. Creación de una función

Figura 1.24. Creación de subfunciones

(39)

Conceptos básicos

39

Operador Descripción

≤ Menor que

<= Menor o igual que

> Mayor que

>= Mayor o igual que

= = Igual a

~ = Diferente a

Cuadro 1.5. Operadores relacionales

Operador Función Equivalente

A&B and (A,B)

A|B or (A,B)

~A not (A)

Cuadro 1.6. Conectivos lógicos

1.1.7.1. Bucle Switch-Case-Otherwise

El bucle Switch-Case-Otherwise sirve para ejecutar un segmento de código al cual llamaremos Caso, este se ejecuta cuando sea llamado o la condición que satisface dicho caso se cumple. Un ejemplo de este bucle se puede ver en la Figura 1.26.

1.1.7.2. Bucle Try-Catch

Se usa para probar si cierto comando en el código genera un error, si el error se produce dentro del bloque try, Matlab salta inmediatamente al bloque catch. En la Figura 1.27 se muestra un ejemplo de este bucle. Dadas dos matrices A y B, si las matrices son compatibles se realiza el producto, de lo contrario muestra un mensaje informando que el producto no se puede realizar y da como resultado NaN, que significa que el resultado No es numérico!. Nótese que a pesar que el producto no se puede realizar, se puede seguir con las demás líneas del código, en caso de que existan, sin que se salga del programa.

(40)

40

Figura 1.25. Proporciones con Matlab

Figura 1.26. Bucle Switch - Case

Figura 1.27. Bucle Try - Catch

(41)

Conceptos básicos

41

Figura 1.28. Bucle for

1.1.7.3. Bucle for

Se emplea para fórmulas de recurrencia, donde for k = a : p : b indica que la variable k se incrementa cada vez en p unidades desde a hasta llegar a b cada vez que termina las líneas de código internas en el bucle for. El Script de la Figura 1.28 muestra los números pares 2 ≤ x ≤ [N].

1.1.7.4. Bucle parfor

El concepto del comando parfor es similar al de un bucle for, en el sentido que la serie de sentencias dentro del cuerpo del bucle se ejecuta para determinado rango de valores. Cuando ejecutamos el comando parfor, parte del cuerpo del bucle se ejecuta en el cliente (donde se emite el parfor) y otra parte se ejecuta en paralelo en los trabajadores, a medida que se van obteniendo los resultados de los trabajadores se envían al cliente.

En la Figura 1.30 se puede apreciar que el bucle parfor no necesariamente opera en forma ordenada como lo hace el bucle for. La ventaja de trabajar con el parfor se hace evidente cuando se cuenta con varios trabajadores en bucles con varias iteraciones que requieran de realizar varias operaciones en cada iteración.

1.1.7.5. Configuración en modo paralelo

Para configurar el modo en paralelo, ubique en la pestaña Home la opción parallel y de click en la opción Parallel Preferences, de donde se abre la ventana de Preferences, sobre esta ventana se especifica el número

(42)

42

Notas de análisis numérico con MATLAB de trabajadores, finalmente, damos click en ok. El número de trabajadores

está limitado y depende de la cantidad de núcleos que tenga el ordenador.

En la Figura 1.31 se puede apreciar la forma de configuración en modo paralelo.

Figura 1.29. Bucle parfor

Figura 1.30. Comparación bucle for con bucle parfor

(43)

Conceptos básicos

43

Figura 1.31. Configuración modo paralelo

En la Figura 1.32 se presenta una comparación de los bucles for con el parfor, donde al configurar el modo paralelo con 4 trabajadores, el bucle parfor realiza la misma actividad que el bucle for con menor tiempo de cálculo. Para el trabajo de prueba se crea un vector a de 100 componentes con a(k) = máx {σMagic(10k) }, donde Magic(10k) es una matriz mágica de tamaño 10k, cuya suma por diagonales, filas y columnas, es igual a una constante, σ_A representa el conjunto formado por los módulos de los valores propios σ(A) de la matriz A.

1.1.7.6. Bucle While

En la Figura 1.33 se presenta la sintaxis del bucle while, el cual permite ejecutar de forma repetitiva un comando o grupo de comandos, un número determinado de veces para mientras se cumpla una condición lógica específica.

En la Figura 1.34 se presenta una función que permite reescribir un vector dado de la última componente a la primera. Nótese que para realizar comentarios se puede utilizar el símbolo %.

(44)

44

Figura 1.32. Comando parfor en modo paralelo

Figura 1.33. Bucle While

Figura 1.34. Ejemplo bucle While

(45)

Conceptos básicos

45

Figura 1.35. Comando if - elseif -else

Figura 1.36. Ejemplo if - elseif -else

1.1.7.7. Comandos if - elseif- else

En la Figura 1.35 se presenta la sintaxis de los comandos if, el cual permite ejecutar una serie de comandos mientras se cumpla la condición dentro del comando condicional if. También se puede condicionar dentro de un comando if, para esto se utiliza el comando elseif que realiza los comandos internos mientras se satisfaga la condición. El comando else (de lo contrario) permite ejecutar las siguientes lineas de comandos sino se satisfacen las condiciones especificadas en los anteriores if o elseif.

En la Figura 1.36 se muestran dos ejemplos del uso de los comandos if, elseif y else para calcular el número mayor de dos y tres números dados.

(46)

46 1.1.7.8. Comandos return - break- continue

break: Sale del bucle en el que aparece (for o while). En bucles anidados, el control pasa al siguiente bucle exterior.

Figura 1.37. Ejemplo Comando break - continue - return

continue: Omite las declaraciones restantes en el bucle actual (for o while). El control pasa a la siguiente iteración del mismo bucle.

return: Se emplea en cualquier parte. Inmediatamente sale de la función en la que aparece, retorna al llamado de la función.

En la Figura 1.37 se presenta un ejemplo del uso de los comandos break, continue y return. Para ello, dado un número a como argumento de entrada, si el número a < 0 emplea el comando return para salir de la función sin ejecutar el bucle. En el caso que a > 0 se genera aleatoriamente un número entero sU2 {1, ...,10} y se hace una actualización para a = a + 1, posteriormente entrará en el bucle while, dentro de este se preguntará si a <= s, en caso que no lo sea (else) se muestra un mensaje de texto con el comando sprintf del último número aleatorio generado s y se ejecuta el comando break que terminará con el programa sin ingresar más al bucle. En caso contrario, es decir a >= s se generará un listado de los valores que satisfacen a >= s donde s y a se están actualizando cada vez que se ejecuta el bucle while.

1.2. Conceptos Básicos Matemáticos

1.2.1. Límites, Continuidad y Diferenciabilidad

Los interesados en las demostraciones de este capítulo, que son fundamentales para el desarrollo posterior del curso las pueden ver en los

(47)

Conceptos básicos

47

libros [1, 27]. Aquí se plantean como ejercicios de repaso fundamental.

También referenciamos el libro de cálculo de Leithold para ejercicios de esta sección [14].

Definición 1.2.1.

1. Una sucesión de números reales (o simplemente una sucesión), es una función f : ℕ D ℝ; que a un número natural n le asigna un número real denotado como a_n; esta función escrita como conjunto de parejas ordenadas es

{(1,a₁), (2,a₂),..., (n,a_n),...}

y este conjunto lo escribimos de forma resumida {a₁, a₂,..., a_n,...}

y lo denotamos por {a_n}_n_2ℕ (o {a_n}).

2. Dada una sucesión {a_n} de números reales, una serie infinita de números reales (o simplemente una serie), generada por {a_n}, es una sucesión {s_n} definida por

s₁ = a₁

s₂ = s₁ + a₂ (= a₁+ a₂) ...

s_k = s_{k -1}+ a_k (= a₂+ a₂+ ... + a_k)

...

Los números a_n son llamados los términos de la serie y los números s_k son llamados las sumas parciales de la serie. Si lím s_n existe (esto es si la sucesión {s_n} converge) decimos que la serie es convergente y llamamos este límite la suma o el valor de esta serie. Si este límite no existe, decimos que la serie {s_n} es divergente. Se utiliza la notación

(1.2.1)

para denotar la serie generada por la sucesión {a_n}, y cuando la serie converge ∑^∞_n=1a_n= l´ım_n→∞s_n, en el caso que exista el límite. Así los símbolos (1.2.1) puede ser considerado como una forma de mostrar una serie, que queremos saber si converge o diverge. Puede consultar más sobre series en [23].

nDT

∑

^aⁿ ^o

∑

^∞

n=1an,

(48)

48

Notas de análisis numérico con MATLAB 3. Si tenemos funciones definidas en los reales de la forma f_n(x) = a_n(x-c)

n, con a_n U ℝ para n = 0,1,... podemos hablar de la sucesión de funciones { f_n(x)}, (o simplificada {f_n}) y por lo tanto, podemos formar la serie de funciones ªf_n(x) o ªf_n. Esta serie se conoce como una serie de potencias alrededor del punto x = c U ℝ. Esto es

∑

∞ n=0

an(x − c)ⁿ. Si c = 0 entonces

∑

∞ n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ ···+ anxⁿ+ ···.

Si la sucesión {|a_n|¹ⁿ} acotada, establecemos ρ = l´ımsup(|an|¹ⁿ); si esta sucesión no es acotada establecemos ρ = ∞ . Definimos el radio de convergencia 1/ρ por

El intervalo de convergencia es el intervalo abierto (‒R,R).

En la Figura 1.38 podemos visualizar los puntos o gráfica de una sucesión, la cual es una serie de puntos en el plano.

Definición 1.2.2.

1. Decimos que una función f : A=ℝDℝ tiene un límite α cuando x tiende a a; en símbolos

si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

si 0 < |x‒a| < δ implica que | f (x) ‒ α| < ε .

2. Decimos que una sucesión {a_n} tiene un límite α cuando n tiende a infinito, en símbolos

0 si ρ = ∞,

1

ρ si 0 < ρ < ∞,

∞ si ρ = 0.

x→al´ım f (x) = α ,

(49)

Conceptos básicos

49

si para todo ε > 0 existe N U ℕ tal que

si n > N implica que |a_n ‒ α| < ε

Teorema 1.2.1.

1. El límite si existe es único.

2. El límite de una suma o resta de funciones o sucesiones es la suma o resta de los límites de las respetivas funciones o sucesiones, siempre que estos límites existan. En símbolos: si l´ım

x→af (x) = α1, l´ım

x→ag(x) = α2 entonces De forma

similar para sucesiones.

1 2 3 n

a₁

a₂

a3

an

n + 1 a_{n+ 1}

ℕ ℝ

(1, a1)

(n, an)

Figure 1.38. Gráfica de una Sucesión

3. Si λ es un número real fijo y l´ım_x→af (x) = α entonces _x→al´ımλ f (x) = λα De forma similar para sucesiones.

4. El límite de un producto de funciones o sucesiones es igual al producto de los límites, siempre que estos existan; y el límite de un cociente de funciones o sucesiones es igual al cociente de los límites, siempre que la función del denominador o sucesión sea diferente de cero y

n→∞l´ıman= α , o a_n→ a

x→al´ım( f + g )(x) = l´ım

x→af (x) + l´ım

x→ag(x) = α₁+ α₂.

(50)

50

Notas de análisis numérico con MATLAB los límites existan. Luego si l´ım_x→af (x) = α1, l´ım_x→ag(x) = α2, entonces

x→al´ım( f (x)g(x)) = α1α2 y _x→al´ım( f (x)/ g(x)) = α1/ α₂. De forma similar para sucesiones.

Omitimos la mayoría de demostraciones de esta parte por no ser el objetivo principal de este libro de notas, pero para las demostraciones referimos al lector a los libros [1, 27].

Definición 1.2.3.

Decimos que una función f : A = ℝDℝ, es continua en a U A si

x→al´ım f (x) = f (a), y por la definición 1.2.2, decimos que f : A = ℝDℝ es continua en a U A, si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si |x-a| < δ implica que | f (x) - f (a)| < ε.

Cuando f es continua en todos los puntos de A decimos que f es continua.

Nota 1.2.1.

Claramente las sucesiones no son continuas. Se deja como ejercicio demostrarlo.

Teorema 1.2.2.

(Continuidad por Sucesiones). Una función f : A = ℝDℝ , es continua en a U A si y solo si dada la sucesión {a_n} en A con a_n Da entonces {f (a_n)}

converge a f (a).

Demostración. Ejercicio.

Del teorema 1.2.1 podemos deducir el siguiente teorema de continuidad de funciones:

Teorema 1.2.3.

La función constante, la suma, resta, producto, cociente de funciones continuas, es continua.

Nota 1.2.2.

1. No mencionamos el caso de continuidad del producto de una constante por una función, porque es un caso particular del producto de funciones.

(51)

Conceptos básicos

51

2. Una función polinómica (o polinomio) la definimos así: dados a₁, a₂, ..., a_n números fijos en los reales, y x una variable real (no fija) tenemos

f (x) = a₀+ a₁x + ···+ a_{n− 1}x^{n− 1}+ a_nxⁿ=

∑

ⁿ

i=0a_ixⁱ.

Luego un polinomio es una función formada por sumas y productos y por el teorema 1.2.3 es continua.

Teorema 1.2.4.

(Teorema de Valor Intermedio). Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y f (a) < y < f (b), entonces existe un α U [a,b] tal que f (α) = y.

Demostración. Ejercicio

Definición 1.2.4.

1. Si A es un intervalo abierto en los números reales, decimos que una función f : A = ℝDℝ, es diferenciable en a U A si

h→0l´ım

f (a + h) − f (a) h

existe, en tal caso denotamos este límite como f '(a) y lo llamamos derivada de f en a. La derivada de f es otra función definida sobre A, y en general para n U ℕ, la derivada n-ésima (en símbolos f ⁽ⁿ⁾) es otra función definida en A.

2. El conjunto de todas las funciones continuas sobre A lo denotamos C (A). El conjunto de funciones para las que f ' es continua en A lo denotamos C ¹ (A). El conjunto de todas las funciones para las que f '' es continua en A lo denotamos C ² (A); de igual manera se define C ⁿ (A) para cada número natural n y se lee conjunto de funciones de clase c, conjunto de funciones de clase c uno, conjunto de funciones de clase c dos, y conjunto de funciones de clase c n respectivamente. Y C ^T(A) es el conjunto de funciones para las cuales todas sus derivadas son continuas en A (se lee conjunto de funciones de clase c infinito).

C⁽ⁿ⁾(A) = { f : A = ℝDℝ : f ⁽ⁿ⁾ existe y es continua, para n = 0,1,2, ... , T}

(52)

52 Teorema 1.2.5.

Se presenta una contenencia propia entre estos conjuntos, esto es:

C ^T (A) = C ^T-1 (A) = ... C ⁿ (A) = ... = C ¹ (A) = C (A) (1.2.2) Demostración. Ejercicio.

Ejemplo 1.2.1.

1. f (x) = e ^x U C ^T (ℝ).

2. f (x) = √x U C ([0,T)) pero no es C¹([0,T)) ya que f ʹ(x) = 1 no es continua en cero. 2 √x

Teorema 1.2.6.

Dada f definida sobre un intervalo abierto de los reales A y con derivada en a U A; entonces f es continua en a.

Utilizando las propiedades de los límites, obtenemos las siguientes propiedades de la derivada.

Teorema 1.2.7.

Dadas las funciones f, g definidas sobre un intervalo abierto de los reales A, y con derivada en a U A. Tenemos:

1. f )g es diferenciable en a, y (f ) g)'(a) = f ' (a) ) g' (a).

2. f·g es diferenciable en a, y (f.g)'(a) = f '(a).g(a)+f(a).g'(a) f

3. ‒‒ es diferenciable en a, con g(x) ≠ 0 para todo x U A, y g

ʹ ʹ ʹ

f

g (a) = f (a) ·g(a) − f (a) ·g (a)

[g(a)]² .

Las demostraciones de los siguientes resultados se pueden ver en [27].

(53)

Conceptos básicos

53 Teorema 1.2.8.

(Regla de la Cadena). Si g es diferenciable en a; y f es diferenciable en g(a), entonces f o g es diferenciable en a, y

(f o g)'(a) = f ' (g (a)) . g'(a)

Teorema 1.2.9.

(Teorema de Rolle). Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b), y f (a) = f (b), entonces existe un número z U (a,b) tal que f ' (z) = 0.

Teorema 1.2.10.

(Teorema del Valor Medio). Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b]

y diferenciable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un número h U (a,b) tal que

f (η ) =ʹ f (b) − f (a) b − a .

Corolario 1.2.11.

Sea A un intervalo abierto.

1. Si f es definida en A y f '(a) = 0 para todo a U A; entonces f es constante.

2. Si f '(a) > 0 para todo a U A, entonces f es creciente en A; si f '(a) <

0 para todo a U A, entonces f es decreciente en A.

Teorema 1.2.12.

Una serie de potencias puede ser derivada término a término en su intervalo de convergencia. Esto es si

f (x) =

∑

^∞ ʹ

n=0

a_nxⁿ, entonces f (x) =

∑

^∞

n=0

na_nxⁿ⁻¹, para |x| < R.

Estas nuevas series tiene radio de convergencia R.

Teorema 1.2.13.

(Fundamental del Cálculo). Sea f integrable en [a,b], definamos F sobre [a,b] por

F(x) = ^x

a f (τ )dτ