Matemática Superior aplicada
Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz JTP: Dr. Juan Ignacio Manassaldi Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
A A A
B B B
x Pv p x Pv p
T
P PvA
A A B
P pA pB
¡No se cumple para mezclas no ideales!
A A A
B B B
x Pv y P x Pv y P
Vapor gas ideal
• El equilibrio de una mezcla binaria ideal se representa mediante la Ley de Raoult:
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Como primera aproximación a la no idealidad, se utiliza un modelo de actividad.
• A bajas presiones podemos asumir que el vapor se comporta de manera ideal.
• La condición de equilibrio líquido-vapor a partir del coeficiente de actividad corresponde a:
A A A A
B B B B
x Pv y P x Pv y P
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Comenzamos a armar el sistema de ecuaciones
A A A A
B B B B
x Pv y P x Pv y P
• ¿Qué otra ecuación conocen?
A B 1
x x xB 1 xA
B 1 A
y y
1
1
A A A A
B A B A
x Pv y P
x Pv y P
• Reemplazamos
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Planteamos el problema del calculo de la presión de rocío (dew point pressure).
• Datos:
1
1
A A A A
B A B A
x Pv y P
x Pv y P
yA T
2 ecuaciones 4 incógnitas
A B x PA
• ¿Se puede resolver?
• No se puede resolver, se deben agregar
ecuaciones para representar al coeficiente de actividad.
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Uno de los modelos mas sencillos corresponde al de Margules con dos sufijos:
2
2
ln ln
A B
B A
Ax Ax
• Formamos el sistema final:
2
2
1 1
ln 1
ln
A A A A
B A B A
A A
B A
x Pv y P
x Pv y P
A x
Ax
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Sistema final:
2
2
1 1
ln 1
ln
A A A A
B A B A
A A
B A
x Pv y P
x Pv y P
f x A x
Ax
A
A B
x x P
2
2
0
1 1 0
ln 1 0
ln 0
A A A A
B A B A
A A
B A
x Pv y P
x Pv y P
A x
Ax
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
Caso de estudio 1:
• Mezcla de Agua (A) y Metanol (B)
• Datos:
265 265
0.4 365
0.75261 2.705 0.6833
A
A B
y
T K
Pv bar
Pv bar
A
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Reemplazamos en el sistema:
265 265
0.4 365
0.75261 2.705 0.6833
A
A B
y
T K
Pv bar
Pv bar
A
2
2
0.75261 0.4
1 2.705 0.6 ln 0.6833 1
ln 0.6833
A A
B A
A A
B A
x P
x P
f x x
x
A
A B
x x P
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Resolución:
2
2
0.75261 0.4 1 2.705 0.6 ln 0.6833 1 ln 0.6833
A A
B A
A A
B A
x P
x P
f x x
x
A
A B
x x P
A
A B
x x P
0.75261 0.4 0.75261 0
2.705 0.6 0 1 2.705
2 0.6833 1 0 1 0
2 0.6833 0 0 1
A A
B A
A
A
A
B
x
x J x x
x
¿Jacobiano?
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• ¿Valor de arranque?
• ¡Ley de Raoult!
A A A
B B B
x Pv y P x Pv y P
0.75261 0.4 1 2.705 0.6
A A
x P
x P
0.75261 1 2.705
A A
x x P
0.752610.75261 1 2.705
0.4
A
A A
x x x
0.75261 1 2.705 1.881525
A A A
x x x
0.705545
x A P 1.3275 bar
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
(0)
0.705545 1.3275 1
1 x
0.705545
x A P 1.3275 bar
1(1) (0) (0) (0)
0.7870393 1.515948 1.0264512 1.4187191 x x J x F x
(1) (0)
0.4670967 x x
(1) 0.1181059f x
(3)
0.7779367 1.5138665 1.0342683 1.5121278 x
(3) 0.0000143f x
(4)
0.7779346 1.5138641 1.0342697 1.5121326 x
(3) 2.946 10-11f x
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
Caso de estudio 2:
• Mezcla de Agua (A) y Metanol (B)
• Datos:
• Valor experimental:
322.91 322.91
0.5259 322.91
0.122232 0.548176 0.6833
A
A B
y
T K
Pv bar
Pv bar
A
*
*
0.8782
0.20932 bar xA
P
Ejemplo: Equilibrio líquido vapor no ideal
• Ley de Raoult: x A 0.832628 P 0.193523 bar
(0)
0.832628 0.193523 1
1 x
(1)
0.910879 0.211951 1.001243 1.562750 x
(4)
0.895141 0.209622 ... 1.0075414
1.728948 x
(4) 3.114 10-10
f x
*
*
0.8782
0.20932 bar xA
P
*
0.895141 0.209622 1.0075414 1.728948 x
Solución
Valor experimental 1.93%
0.14 %
xA
P
Error Error
