SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
03.
= +
=
⋅ 29 5 7
6 y x
y x
También podemos despejar la "x" de la primera ecuación:
x = y 6
Sustituimos en la segunda:
7· y
6 + 5y = 29
y
42 + 5y = 29
42 + 5y2 = 29y 5y2 – 29y + 42 = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado:
y = 2 5
42 5 4 29
29 2
·
·
− ·
± =
10 1 29±
= 10 1 29±
=
y1 = 10
1 29+
= 3 y2 =
10 1 29−
= 2.8 x = y
6
y1 = 3 → x1 = 2 (2, 3)
y1 = 2.8 → x1 = 15/7 (15/7, 2.8)
05
=
=
− 6 3 3
xy y x
Despejamos la "y" de la primera ecuación:
– y = 3 – 3x y = – 3 + 3x Sustituimos en la segunda:
x (3x – 3) = 6 3x2 – 3x = 6 3x2 – 3x – 6 = 0
x2 – x – 2 = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x = 2 1
2 1 4 1 1
·
)
·(
· −
−
± =
2 8 1 1± +
= 2 3 1±
=
x1 = 2
3 1+
= 2 4 = 2
x2 = 2
3 1−
= 2
−2
= – 1 y = – 3 + 3x x1 = 2 → y1 = 3
(2, 3)
x1 = – 1 → y1 = – 6 (– 1, – 6)
07
=
−
=
⋅ 8 3 4
20 y x
y x
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x = y 20
Sustituimos en la segunda:
4· y
20 – 3y = 8
y
80 – 3y = 8
80 – 3y2 = 8y – 3y2 – 8y + 80 = 0
3y2 + 8y – 80 = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado:
y = 2 3
80 3 4 8
8 2
·
) (
·
· −
−
±
− =
6 1024 8±
− =
6 32 8±
− =
y1 =
6 32 8+
− =
6 24 = 4
y2 = 6
32 8−
− =
6
−40
= 3
−20
x = y 20
y1 = 4 → x1 = 5 (5, 4) y1 =
3
−20 → x1 = 3 (3, – 20/3) 08
−
=
−
−
=
⋅ 1 3 2
24 2
y x
y x
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
y = 2x
−24
= x
−12 Sustituimos en la segunda:
2x – 3 · x
−12
= – 1 2x2 + 36 = – x 2x2 + x + 36 = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x = 2 2
36 2 4 1 1
·
·
− ·
±
− =
4 287 1± −
− =
4 287
1± i
−
No tiene solución en el conjunto de los números reales
11. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
= +
= +
5 3
2 y
x y x
Resolución con lápiz y papel, por métodos algebraicos. Despejamos una incógnita de la ecuación de primer grado (que no esté al cuadrado en la otra):
x + y = 3 → y = 3 – x Sustituimos en la de segundo grado.
x2 + y = 5 x2 + (3 – x) = 5
x2 + 3 – x = 5 x2 – x + 3 = 5 x2 – x – 2 = 0
x = 2 1
2 1 4 1 1
·
)
·(
· −
−
± =
2 8 1 1± +
= 2 3 1± x1 = 2 ; x2 = – 1
y = 3 – x y1 = 1 ; y2 = 4
(1, 2) (– 1, 4)
13
= +
−
=
− 5 1
2 x y
x
y x
Despejamos la "y" de la primera ecuación:
– y = 1 – x y = – 1 + x Sustituimos en la segunda:
x2 – x + (– 1 + x) = 5 x2 – x – 1 + x – 5 = 0
x2 – 6 = 0 x2 = 6 x = ± 6 y = – 1 + x y1 = – 1 + 6 y2 = – 1 – 6 (x1, y1) = ( 6 , – 1 + 6 ) (x2, y2) = (– 6 , – 1 – 6 )
15
= +
= +
10 3
2
2 y
x y x
Despejamos una incógnita de la ecuación de primer grado:
y = 3 – x Sustituimos en la de segundo grado.
x2 + (3 – x )2 = 10 x2 + 9 + x2 – 6x = 10 2x2 + 9 – 6x – 10 = 0
2x2 – 6x – 1 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x = 2 2
1 2 4 36 6
·
)
·(
· −
−
± =
4 8 36
6± +
= 4 44 6±
= 4
11 4 6± ·
= 4
11 2 6±
x1 = 2
11 3+
; x2 = 2
11 3−
y = 3 – x
y1 = 3 – x = 3 – 2
11 3+
= 2
11 3 6− −
= 2 11 3−
y2 = 3 – x = = 3 – 2
11 3−
= 2
11 3 6− +
= 2
11 3+
( 2
11 3+
, 2
11 3−
)
( 2 11 3−
, 2
11 3+
)
20
= +
= +
24
2 290
2
y x
y x
Despejamos la "x" de la segunda ecuación:
x = 24 – y Sustituimos la "y" en la primera ecuación:
x2 + y2 = 290 (24 – y)2 + y2 = 290 576 + y2 – 2 · 24y + y2 = 290
576 + y2 – 48y + y2 = 290 2 y2 – 48y + 286 = 0
x = 24 – y x1 = 24 – 13 = 11 x2 = 24 – 11 = 13
Soluciones: (11, 13) ; (13, 11)
