SOLUCIONES NUMERICAS A SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES METODO DEL PUNTO FIJO PARA SISTEMAS
La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es: 1 1 2
2 1 2
1 2
( ,
,...,
)
0
( ,
,...,
)
0
...(1)
( ,
,...,
)
0
n n
n n
f x x
x
f x x
x
f x x
x
donde cada
f
iestá definida de nen . El sistema (1) puede representarse definiendo una función F de n en n por:F(x1,x2,……,xn) = (
f
1 (x1,x2,……,xn),……f
n (x1,x2,……,xn)) tUsando notación vectorial se tiene:
F
(
X
)
O
donde X = (x1,x2,……,xn)A los
f
i se le llama funciones coordenadas de F.Debemos recordar las definiciones de límite y continuidad de funciones de n en n. En seguida daremos un teorema para la continuidad.
TEOREMA 1 Sea f una función de D
nen y xo D. Si existen constantes
>0 yK
> 0 con( )
jf X
K
x
para cada j=1,2,..n siempre quex
x
o <
yX
D
,entonces f es continua en Xo.DEFINICION.-Se dice que una función G de D
nen n tiene un punto fijo en P
D
si G (P) = P.El teorema siguiente nos permite determinar los puntos fijos TEOREMA.-Sea D={(x1,x2,……,xn)
t
/ ai ≤ xi ≤ bi
i
1
,
2
,
3
,...,
n
} para alguna colección deconstantes a1,a2,a3…. an y b1,b2,b3,….bn .
Supongamos que G es una función continua con primeras derivadas parciales continuas de D
n a n con la propiedad de que G(X) D para todoX
D
. Entonces G tiene un punto fijo en D. Además supóngase que existe una constanteK
< 1 con( )
i jg
K
X
x
n
siempre queX
D
Para cada j = 1,2,……,n y cada función componente
g
i. Entonces la sucesión{
X
(k)}
k0 definida por unX
(0) en D, seleccionada arbitrariamente y generada porX
( )k
G X
(
k1)
para cada1
k
, converge al punto fijo único P D y( ) (1) (0)
1
kk
K
X
P
X
X
K
donde i i
n i
1
x
y
máx
Y
X
Observación
A partir del Teorema se puede concluir:
1
(*)...
( )
ni j j
g
X
K
x
< 1
i
1
,
2
,
3
,...,
n
Lo que puede ser usado como criterio de convergencia.Ejemplo
Resolver el sistema
x1 – sen(x1 + x2) = 0
x2 – cos(x1 - x2) = 0
Si
(
x
10,
x
20)
(
0
.
75
;
0
.
75
)
en la región D = [0.6,1]x[0.6,1]. SoluciónSea G,D
IR
2
IR
2 definida por G(X)= (g1(x1,x2),g2(x1,x2))t donde:)
x
x
(
sen
)
x
,
x
(
g
x
1
1 1 2
1
2)
x
x
cos(
)
x
,
x
(
g
x
2
2 1 2
1
21º verifiquemos el criterio de convergencia (*). Como 0.6 ≤ x1 ≤ 1
y 0.6 ≤ x2 ≤ 1
1.2 ≤ x1 + x2 ≤ 2
0.6 ≤ x1 ≤ 1
-1 ≤ -x2 ≤ -0.6
-0.4 ≤ x1-x2 ≤ 0.4
cos(
x
x
)
cos(
x
x
)
2
cos(
x
x
)
2
cos
2
0
.
8323
k
1
x
g
x
g
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1
1
k
7788
.
0
)
4
.
0
(
sen
2
)
x
x
(
sen
2
)
x
x
(
sen
)
x
x
(
sen
x
g
x
g
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2
Como k1 y k2 son aproximaciones a 1 entonces la convergencia será lenta.
2º G(X)D
x
D
?
1
.
2
x
1
x
2
2
2
x
x
2
.
1
1 2
x
x
2
2
1
2
sen
1
.
2
sen
(
x
1
x
2)
1
sen
(
2
)
sen
(
x
1
x
2)
1
sen
(
2
)
sen
(
x
1
x
2)
1
0
.
9093
g
1(
x
1,
x
2)
1
4
.
0
x
x
4
.
0
1
2
0
.
4
x
1
x
2
0
0
x
1
x
2
0
.
4
0.9211
g x x
2( ,
1 2) 1
G
(
X
)
D
3º G es continua en D?4161
.
0
)
2
cos(
)
x
x
cos(
x
g
2 1 1
1
cos(
x
x
)
cos(
2
)
0
.
4161
x
g
2 1 2
1
3894
.
0
)
4
.
0
(
sen
)
x
x
(
sen
x
g
2 1 1
2
sen
(
x
x
)
sen
(
0
.
4
)
0
.
3894
x
g
2 1 2
2
Como las derivadas parciales de g1 y g2 están acotadas en D, el teorema 1 implica que estas
funciones son continuas en D, consecuentemente, G es continua en D. Además
x
D
(
X
)
0
.
4161
x
g
j
i
i
1
,
2
j
1
,
2
Y de esto la condición de la 2da parte del teorema de punto fijo se satisface con K=0.8322 (
( )
0.4161
0.8322
2
ij
g
K
X
K
x
)Notemos que i i
x
g
es continua en D
i
1
,
2
,
j
1
,
2
,
Por teorema, G tiene un punto fijo en D y el sistema no lineal tiene una solución en D. Aplicando el algoritmo tenemos:
)
x
x
(
sen
)
x
,
x
(
g
x
k2 11 k 1 1
k 2 1 k 1 1 k 1
)
x
x
cos(
)
x
,
x
(
g
x
k2 11 k 1 1
k 2 1 k 1 2 k 2
k
1 k
x
x
k2
k 1 kx
x
0 0.75 0.75
1 0.9974949866 1 0.25
2 0.9103370262 0.9999968625
15 0.9350820642 0.9980200581
16 0.9350826641 0.9980200582 10-10
17 0.9350820641 0.9980200582 0
x
(
x
,
x
)
(
x
,
x
)
(
x
x
,
x
x
)
x
k k 1 1k 2k 1k 1 k2 2 1k 1k 1 2k 2k 1máx
{
x
x
,
x
x
k2 1}
k 2 1 k 1 k 1
METODO DE NEWTON PARA SISTEMAS
Para construir el algoritmo que nos llevo a un método apropiado de punto fijo en el caso unidimensional, tratamos de encontrar una función
con la propiedad de que:
g x
( )
x
( ) ( ),
x f x
diera convergencia cuadrática, al punto fijo P de g. De esta condición surgió el método de Newton, escogiendo
( )
1
'( )
x
f x
.Usando un enfoque similar para el caso n-dimensional es necesaria una matriz.
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
a
)
X
(
A
nn 2
n 1
n
n 2 22
21
n 1 12
11
donde cada una de las componentes
a
i j( )
X
es una función de IRn en IR. El procedimiento requiere que se encuentre A(X) tal que
G X
( )
X
( ( ))
A X
1F X
( )
dé convergencia cuadrática a la solución de
F X
( )
0
, dado que A(X
) sea no singular en el punto fijo de G.El siguiente teorema nos da un enfoque para determinar A(X).
TEOREMA.- Supóngase que P es una solución de
G X
( )
X
para alguna función 1 2( ,
,...
n)
tG
g g
g
, que manda de n en n. Si existe un número δ > 0 con la propiedad de que:i) j i
x
g
es continua en Nδ = {
X
/ ||X
- P|| < δ} para cada i=1,2,…n y j=1,2,…nii)
k j
i 2
x
x
g
es continua y
M
x
)
X
(
g
k j i 2
para alguna constante M, siempre que X
Nδ paraiii)
0
x
)
P
(
g
j
i
Para cada i = 1, 2, 3,….n y j = 1, 2,….n entonces existe un número
tal que la sucesión generada porX
(k)
G
(
X
k1)
converge cuadráticamente a P para cualquier X (0) siempre que
P
X
(k 1) .Además,(k 1) 2 2
) k (
P
X
2
M
n
P
X
para cada k ≥ 1Utilizando el teorema anterior, se tiene que A(X) = J(X) donde
n n 2
n n
n
n 2 2
2 2
2
n 1 2
1 1
1
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
x
)
X
(
f
)
X
(
J
se llama matriz jacobiana.
La función G se define como:
G X
( )
X
J X
(
)
1F X
( )
y el procedimiento de iteración funcional surge de seleccionarX
0 y de generar, para K≥ 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1
(
)
(
)
(
)
k k k k k
X
G X
X
J X
F X
Este método se llama METODO DE NEWTON PARA SISTEMAS NO LINEALES y se espera que generalmente dé convergencia cuadrática siempre y cuando se conozca un valor inicial lo suficientemente exacto y que (J (P)) -1 exista.
Ejemplo: Resolver:
x
0
.
7
senx
0
.
2
cos
y
0
y
0
.
7
cos
x
0
.
2
seny
0
SoluciónDefinimos: f(x,y) =
x
0
.
7
senx
0
.
2
cos
y
0
g(x,y) =y
0
.
7
cos
x
0
.
2
seny
0
Calculando las derivadas parciales:
1
0
.
7
cos
x
x
f
0
.
2
seny
y
f
0
.
7
senx
x
g
1
0
.
7
cos
y
y
g
senx
7
.
0
*
seny
2
.
0
)
y
cos
7
.
0
1
)(
x
cos
7
.
0
1
(
y
cos
7
.
0
1
senx
7
.
0
seny
2
.
0
x
cos
7
.
0
1
x
g
x
g
y
f
x
f
)
X
(
J
Analizando el jacobiano en el punto (x,y)=(0,0) observamos que J(X)≠0
Entonces el algoritmo de Newton:
)
X
(
J
)]
y
,
x
(
y
f
*
)
y
,
x
(
g
)
y
,
x
(
y
g
*
)
y
,
x
(
f
[
x
x
n n n n n n n n n 1 n
n n n n n n n n n n n n 1 nsenx
7
.
0
*
seny
2
.
0
)
y
cos
7
.
0
1
)(
x
cos
7
.
0
1
(
)]
seny
2
.
0
)(
seny
2
.
0
x
cos
7
.
0
y
(
)
y
cos
7
.
0
1
)(
y
cos
2
.
0
senx
7
.
0
x
[(
x
x
)
X
(
J
)]
y
,
x
(
x
fg
*
)
y
,
x
(
f
)
y
,
x
(
x
f
*
)
y
,
x
(
g
[
x
y
n n n n n n n n n 1 n
n n n n n n n n n n n n n 1 n senx 7 . 0 * seny 2 . 0 ) y cos 7 . 0 1 )( x cos 7 . 0 1 ( )] senx 7 . 0 )( y cos 2 . 0 senx 7 . 0 x ( ) x cos 7 . 0 1 )( seny 2 . 0 x cos 7 . 0 y [( y y Construimos nuestra tabla a partir del punto inicial (x,y)=(0,0)
n xn yn
0 0 0
1 0.6666666 0.5833333
2 0.5362400 0.5088490
3 0.5265620 0.5079319
4 0.5265226 0.5079197
5 0.5265226 0.5079197
Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones será aproximadamente (x,y) = (0.5265226, 0.5079197)
Ejemplo
Considere el sistema no lineal: x2 - 2x - y + 0.5 = 0 x2 + 4y2 – 4 = 0
Usando el método de Newton tomando el punto inicial (2,1/4), calcule (x1 , y1), (x2 , y2) y (x3,y3).
Solución
2
x
2
x
2
x
2
y
8
))
y
,
x
(
j
(
cof
y
8
x
2
1
2
x
2
y
g
x
g
y
f
x
f
)
y
,
x
(
J
2
x
2
x
2
1
y
8
))
y
,
x
(
J
(
adj
, luego
2
x
2
x
2
1
y
8
x
2
y
16
xy
16
1
)
y
,
x
(
J
1
4
y
4
x
5
.
0
y
x
2
x
2
x
2
x
2
1
y
8
x
2
y
16
y
x
16
1
y
x
y
x
2 1 k 2 1 k 1 k 1 k 2 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k k)
4
y
4
x
)
5
.
0
y
x
2
x
(
y
8
(
x
2
y
16
y
x
16
1
x
x
k 1 2k 1 k 1 k 1 2k 1 2k 11 k 1 k 1 k 1 k 1 k
k
))
4
y
4
x
(
)
2
x
2
(
)
5
.
0
y
x
2
x
(
x
2
(
x
2
y
16
y
x
16
1
y
y
2k12 1 k 1 k 1 k 1 k 2 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k
k
K Xk Yk
0 2 0.25
1 1.90625 0.3125
2 1.90069 0.31121
3 1.900677 0.311219
EJERCICIOS.
1. El sistema no lineal
3
x
12
x
22
0
3
x
1x
22
x
13
1
0
Tiene una solución cerca de (1/2,3/4) t
a) encuentre una función G y un conjunto D
IR2 tal que G: D
IR2 y G tenga un punto fijo único en D.b) Aplique iteración funcional para aproximar las soluciones dentro de 10-3, usando
2. Aplique la iteración funcional para aproximar las soluciones dentro de 10-4, usando a) t x x 2 1 3 2 3 2 1
60
3
10
e
*
20
1
,
03
.
0
3125
.
0
x
*
25
1
,
3
5
.
0
)
x
x
cos(
)
x
,
x
,
x
(
G
1 2
b)
t 3 2 2
1 3 3
2 2 3
2 1
7
x
631
.
7
,
10
x
x
54
.
11
,
12
x
4
x
3
17
.
7
)
x
,
x
,
x
(
G
D
{(
x
,
x
,
x
)
t/
0
x
i1
.
5
i
1
,
2
,
3
}
3 2
1
c)
G
(
x
1,
x
2,
x
3)
1
cos(
x
1,
x
2,
x
3),
1
(
1
x
1)
1/4
0
.
05
x
32,
x
12
0
.
1
x
22
0
.
01
x
2
1
tD
{(
x
,
x
,
x
)
/
0
.
1
x
10
.
1
0
.
1
x
20
.
3
0
.
5
x
31
.
1
}
t 3 2
1
;
;
Método de Newton
1. Encuentre una solución a los siguientes sistemas no lineales usando el método de Newton, y calcule la cota de error dada en el teorema. Itere hasta que
x
(i)x
(i 1)10
5
a)
x
12
10
x
1
x
22
8
0
x
1x
22
x
1
10
x
2
8
0
b)
3
x
12
x
22
0
3
x
12x
22
x
13
1
0
0
c)
0
2
x
4
x
)
x
x
(
sen
2
1
2 12
1
)(
e
e
)
e
x
2
e
x
0
4
1
1
(
2x1 2
1
d)
12
x
1
3
x
22
4
x
3
7
.
17
x
12
10
x
2
x
3
11
.
54
x
32
7
x
3
7
.
631
e)
2
x
1
x
2
x
3
4
0
x
1
2
x
2
x
3
4
0
x
1x
2x
3
1
0
Encontrar una solución diferente de (1, 1, 1) t
2. Los sistemas no lineales siguientes tienen matrices jacobianas singulares en la solución. El método de newton puede aun ser usado ¿Cómo se afecta la razón de convergencia?
a)
3
x
1
cos(
x
2x
3)
0
.
5
0
x
12
625
x
22
0
0
3
3
10
x
20
e
x1x2
3
