Ajuste de los parámetros cinéticos a modelos secundarios

El efecto combinado de los factores ambientales estudiados (temperatura, nivel de pH, concentración de cloruro sódico y de nitrito sódico) sobre el crecimiento de L. mesenteroides se determinó en caldo MRS en condiciones de aerobiosis y anaerobiosis. Mediante los datos de absorbancia obtenidos con el analizador Bioscreen C y ajustados a la ecuación de Baranyi y Roberts (1994), obtendremos los principales parámetros cinéticos, tasa máxima específica de crecimiento (µmax), fase de adaptación (λ) y

densidad máxima de población (yEnd), con los que se elaborarán los modelos predictivos secundarios de crecimiento de L. mesenteroides subsp. mesenteroides.

Se realizará un análisis de varianza para establecer si existen diferencias significativas entre las distintas condiciones experimentales estudiadas. Además se confeccionará una matriz de correlación con el fin de determinar el efecto que ejercen los factores ambientales en la respuesta de crecimiento de L. mesenteroides.

Los parámetros cinéticos de crecimiento de L. mesenteroides estimados (µmax, λ

e yEnd) se relacionarán con los factores ambientales estudiados mediante la obtención de los modelos predictivos secundarios de Respuesta en Superficie (RS) y Redes Neuronales (RN).

La aptitud de los modelos predictivos elaborados para describir el crecimiento de L. mesenteroides será determinada mediante una serie de herramientas matemáticas, como son el valor del Coeficiente de regresión múltiple (R2), el estadístico Raíz del error cuadrático medio (RMSE), el error estándar de las predicciones (SEP) y de los índices Sesgo (Bf) y Exactitud (Af) desarrollados por Ross (1996). Para el cálculo de

estos estadísticos e índices se compararán los valores obtenidos mediante las ecuaciones predictivas con los valores observados en las mismas condiciones y que fueron utilizados para elaborar los modelos.

4.2.2.8.1. Modelo de Respuesta en Superficie

El modelo de RS se estructura a partir de los valores de tasa de crecimiento, fase de adaptación y densidad máxima de población obtenidos mediante el modelo primario. En la elaboración del modelo secundario se toman el 75% de los datos totales y el 25% restante para la validación interna o generalización del modelo.

Para elaborar el modelo de regresión lineal de Respuesta en Superficie se utilizó el programa SPSS 8.0. En las ecuaciones polinómicas desarrolladas para los tres parámetros cinéticos se incluirán términos que contengan los cuadrados y los productos cruzados de las variables estudiadas. Las ecuaciones serán simplificadas teniendo en cuenta los errores residuales y eliminando aquellos términos no estadísticamente significativos (p>0.05). Debido a que la variación normalmente se incrementa al aumentar la velocidad o tasa de crecimiento o el tiempo, se emplearán distintas transformaciones matemáticas con el fin de normalizar la varianza.

4.2.4.2. Modelo de Redes Neuronales Artificiales

La red neuronal se estructura a partir de los valores de tasa de crecimiento y fase de adaptación obtenidos a partir del modelo primario. En la elaboración de la red neuronal se toman el 75% de los datos totales para la fase de entrenamiento o aprendizaje del modelo y el 25% restante para la fase de generalización o validación interna.

La red inicial presenta una estructura con cuatro entradas, que son las variables experimentales (temperatura, pH, concentración de cloruro sódico y concentración de nitrito sódico), una capa intermedia u oculta y la salida, que son la tasa máxima

específica de crecimiento (µmax), la fase de adaptación (λ) y la densidad máxima de

población (yEnd) (Figura 6). La estructura de la red se expresa de la siguiente forma: "nº de nodos de entrada": "nº de nodos ocultos" s: "nº de nodos de salida" l donde: s significa que la función de transferencia hacia los nodos de la capa oculta es sigmoidal y l significa que la función de transferencia hacia los nodos de salida es lineal.

Figura 6. Representación esquemática de la estructura de la red neuronal artificial

Para empezar a procesar los datos, cada una de las variables de entrada y de salida deben ser escaladas en el rango comprendido entre 0.1 y 0.9 para evitar problemas de saturación en la función sigmoidal de la red y mejorar el proceso de aprendizaje (Najjar y col., 1997; Hervás y col., 2000, 2001a, b; García- Gimeno y col., 2002). Las funciones sigmoidal y lineal son usadas para los nodos de entrada y de salida respectivamente. Las nuevas variables escaladas serán T*, pH*, NaCl* y NaNO2*, y los

parámetros de salida, l* (fase de adaptación- lag time-), g* (tasa máxima de crecimiento- growth rate-) e y* (densidad máxima de población).

h1 hi hm wyi wgi wlb2 wgb2 wyb2 wli wib1 wiNaNO2 wiNaCl wipH wiT SESGO 1 SESGO 2 NaNO2* pH* T* N1 Ni Nm l* g* y* T pH NaCl NaNO2 Ln λ µmax yEnd wym wlm wgm w1b 1 w1T wmT w1pH wmpH w1NaCl wmNaCl w1NaNO2 wmNaNO2 wl1 wg1 wy1 wmb 1 NaCl*

Para escalar cada una de las variables se utilizará una expresión como la siguiente:

siendo X* el valor escalado de la variable (T, pH, NaCl o NaNO2), X el valor

original y Xmax y Xmin los valores máximos y mínimos de dicha variable.

De esta manera, las salidas de las neuronas de la capa intermedia las obtendremos mediante la expresión

Los parámetros de crecimiento de cada curva se expresarán de la forma:

El último paso será desescalar para obtener los valores de los parámetros en su rango original, y así, para la fase de adaptación:

X*= 0.8 + 0.1

Xmax- Xmin X- Xmin

(27)

hi=

1+ exp -(wi,b1 + wi,T T* + wi,pH pH* + wi,NaCl NaCl* + wi,NaNO2NaNO2*)

1

(28)

l*= wl,b2+ wl,1h1 +...+ wl,i hi +...+ wl,m hm

g*= wg,b2+ wg,1h1 +...+ wg,i hi +...+ wg,m hm

y*= wy,b2+ wy,1h1 +...+ wy,i hi +...+ wy,m hm

(29a)

(29c) (29b)

Ln λ=`Ln lag´= + min lag 0.8

Y análogamente para la tasa máxima de crecimiento, el valor desescalado será:

Y para la densidad máxima de población:

Se realiza la generación al azar de 100 redes con la misma topología y diferentes pesos y conexiones. Mediante un algoritmo de retropropagación se lleva a cabo una búsqueda en paralelo con dos fases: la selección y la mutación y cruce de pesos. Cuando la red no mejora de forma significativa por estos procesos se lleva a cabo la poda mediante un algoritmo de poda y se repite de nuevo todo el proceso (generación, selección, mutación y cruce) hasta otra generación a la cual se le aplica el algoritmo de poda; tras esta segunda generación se dice que la red ha convergido (Hervás y col., 2001b), algoritmo el cual se ha desarrollado en lenguaje C.

El algoritmo de retropropagación busca la función de aptitud de la red y lo hace mediante el método de mínimos cuadrados en la selección, mutación y cruce y mediante la búsqueda de los mínimos pesos en la fase de poda. Todo este proceso se repite 10 veces (runs) y se escoge el modelo mejor, es decir, con menor error y menor número de conexiones. El error se estima mediante el SEP de la siguiente forma:

donde obs: valor observado; pred: valor predictivo o estimado; media obs: valor promedio de los valores observados; n: numero de datos usados.

µmax=`g rate´= + min g rate

0.8

(max g rate - min g rate) ×(g* -0.1) ₍₃₁₎

yEnd= + min yEnd 0.8

(max yEnd - min yEnd) ×(yEnd* -0.1) ₍₃₂₎

n pred obs obs media SEP=

∑

La técnica de poda reduce el tamaño de la red modificando no sólo los parámetros de conexión (pesos), sino también la estructura de la red durante el entrenamiento; de esta forma, partiendo de una red diseñada con un excesivo número de nodos, gradualmente se irán eliminando aquellos nodos y conexiones innecesarias (Le Cun y col., 1990; Hassibi y Stork, 1993).

4.2.5. Validación de modelos predictivos de crecimiento de L. mesenteroides