Las tres ecuaciones fundamentales para el análisis de una estructura son:
R = Af (equilibrio)
d = Bu (compatibilidad)
f = kd (fuerza-deformación)
Para cada caso de carga R, aplicando las ecuaciones fundamentales antes planteadas, se puede esquematizar la solución de una viga de celosía estáticamente determinada de la siguiente manera:
1. Calcular la fuerza axial en cada barra utilizando la ecuación matricial R = Af. Donde
A representa la matriz transformada carga-fuerza que es función de la geometría de la estructura únicamente. R es el vector de cargas nodales externas y f es el vector de fuerzas axiales.
2. Calcular las deformaciones en cada barra utilizando la ecuación matricial f = kd. Donde k representa la matriz de rigidez de la estructura que es función de las propiedades mecánicas de las barras únicamente, y d es el vector de deformaciones. 3. Calcular los desplazamientos nodales utilizando la ecuación matricial d = Bu. Donde
B es la matriz transformada deformación-desplazamiento que además es la transpuesta de la matriz A, y depende únicamente de la geometría de la estructura; u es el vector de desplazamientos.
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Aplicación en SAP2000
El procedimiento anterior requiere la solución de varios sistemas de ecuaciones que, expresados en forma de matrices, pueden ser resueltos utilizando el álgebra matricial aplicada en Excel. Los pasos a seguir son un tanto laboriosos, más aún si la viga de celosía posee muchos nodos, debido a que las matrices deben plantearse a mano antes de resolverlas en Excel. Como una alternativa a este proceso en la práctica profesional surge el uso de programas como el SAP2000, en los cuales el trabajo por parte del usuario está básicamente representado por la creación del modelo estructural. Sin embargo, a nivel estudiantil, la enseñanza y aplicación de las ecuaciones matriciales ayudan a entender en qué se basan los algoritmos utilizados por programas como el SAP2000 y brinda la posibilidad de crear programas propios, por ejemplo en VBA, que se ajusten a necesidades especiales del usuario.
En el uso de programas comerciales se debe prestar especial cuidado al hecho de que la mayoría de éstos consideran deformaciones por cortante y por axial además de la deformación por flexión, mientras que un método matricial como el antes desarrollado generalmente no toma en cuenta las dos primeras. Sin embargo, modificando las matrices involucradas en el proceso se puede lograr la inclusión de dichos efectos en la deformación, pero esto escapa a los alcances del curso. Más adelante, en los cursos superiores de Estructuras y Análisis Matricial se ilustrará el tema con mayor detalle. El hecho de considerar las deformaciones por axial y por cortante puede variar los resultados de las solicitaciones obtenidas sin tomar en cuenta tales efectos. Aunque las diferencias entre uno y otro valor, en la mayoría de los casos, no son muy notorias, si se desean comprobar los resultados obtenidos entre un proceso manual y otro por computadora, es necesario lograr que el proceso por computadora se asemeje lo más posible al manual para así realizar una comparación efectiva.
La mayoría de los programas de cálculo estructural permiten al usuario escoger si se desean tomar en cuenta las deformaciones por axial y por cortante al momento de ejecutar el análisis, en el caso particular del SAP2000, el usuario puede variar los factores modificadores de las propiedades de la sección para indicar cuales son los efectos a considerar. Por ejemplo, para una viga de celosía en la que se desean obtener valores de fuerza axial similares por medio de un análisis manual y otro por computadora, se debe indicar al programa SAP2000 que desprecie las deformaciones por axial y por cortante, para ello se modifican los valores de las áreas que se oponen al cortante y a la axial, para cada sección que posea el modelo estructural, como se indica a continuación:
1. En el menú Define seleccione la opción Frame Sections..., esto activa el cuadro de diálogo Define Frame Sections en el cual aparecen listadas todas las secciones definidas para el modelo estructural.
2. En el cuadro de diálogo anterior se selecciona una de las secciones listadas y se presiona el botón Modify/Show Section, esto activa el cuadro de diálogo para las propiedades de la sección. (Los pasos 2 a 4 se repiten para cada sección)
Capítulo VI: Vigas de Celosía
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3. En el cuadro de diálogo anterior presionar el botón Modification Factors, esto activael cuadro de diálogo Analysis Property Modification Factors. En este cuadro de diálogo, en la zona Property Factors se muestran 6 campos correspondientes a los multiplicadores para: Cross-section (axial) area, Torsional constant, Moment of inertia about 3 axis, Moment of inertia about 2 axis, Shear area in 2 directon y Shera area in 3 direction respectivamente. Inicialmente cada multiplicador tiene el valor de uno, es decir que cada una de las propiedades antes nombradas posee el valor derivado de la geometría de la sección multiplicado por su factor correspondiente, que al ser uno no se altera; pero si se cambian todos los multiplicadores por un valor igual a diez, por ejemplo, entonces cada propiedad tendrá un valor diez veces mayor sin que se hallan variado las dimensiones de la sección.
4. Si cambiamos el multiplicador para Cross-section (axial) area a un valor muy grande, por ejemplo 1000, el área que se opone a la deformación axial será mil veces mayor que la original sin que hayamos alterado las dimensiones de la sección y por ende, sin que se alteren las demás propiedades (inercia, peso, etc.). Al hacer esto, el programa realizará el análisis del modelo estructural sin tomar en cuenta la deformación por axial. De igual forma, si se cambian los multiplicadores para Shear area in 2 direction y Shear area in 3 direction a cero, el área a considerar será cero, y esto es interpretado por el programa como una condición para despreciar la deformación por cortante.
Con el proceso anterior el programa arrojará valores para la fuerza axial idénticos a los obtenidos a partir de un cálculo manual. Para cualquier estructura se pueden aplicar las condiciones anteriores y así lograr que los cálculos manuales de las solicitaciones coincidan con los suministrados por el programa.
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Atención: Cuando se modifican los factores para las propiedades de la sección también se alteran los valores para las rotaciones y los desplazamientos que dependen de dichas propiedades. Para obtener los valores reales se deben colocar los factores multiplicadores originales.Francisco D’Amico, UNIMET Método de Cross