Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3.
I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(9n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(4n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(125n) ?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(9n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(4n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(125n) ?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(9n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(4n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(125n) ?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
S´ı, por ejemplo 7×(143) = 1001. Por lo tanto, el menor valor que puede tomarS(7n) es 2.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
S´ı, por ejemplo 7×(143) = 1001. Por lo tanto, el menor valor que puede tomarS(7n) es 2.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
S´ı, por ejemplo 7×(143) = 1001. Por lo tanto, el menor valor que puede tomarS(7n) es 2.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
S´ı, por ejemplo 7×(143) = 1001. Por lo tanto, el menor valor que puede tomarS(7n) es 2.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Sea k un entero positivo. Determine en funci´on de k el menor valor que puede tomar la expresi´on S(11· · ·1
| {z }
kveces
n).
Se demuestra que el menor valor esk y se consigue, por ejemplo, paran = 1.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Sea k un entero positivo. Determine en funci´on de k el menor valor que puede tomar la expresi´on S(11· · ·1
| {z }
kveces
n).
Se demuestra que el menor valor esk y se consigue, por ejemplo, paran = 1.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Sea k un entero positivo. Determine en funci´on de k el menor valor que puede tomar la expresi´on S(11· · ·1
| {z }
kveces
n).
Se demuestra que el menor valor esk y se consigue, por ejemplo, paran = 1.
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Determine el menor entero positivo n para el cual los n´umeros S(n) y S(n+ 1) son ambos m´ultiplos de 7.