Análisis de resultados del programa

Las Ec. (1.4) y Ec. (2.37) que expresan matricialmente la mecánica de vibración del sensor tubo-líquido, en donde aparece la frecuencia angular de resonancia ω como autovalores de las matrices por determinar. A partir del desarrollo de las matrices que ya han sido evaluados mediante el programa Script en GNU Octave [29] y que después de haber calculado dichos valores, resaltan los siguientes aspectos importantes:

Conforme se incrementa el número de elementos finitos de discretización del sensor tubo-fluido, el tamaño del rango de las matrices aumentan el orden (2xelemento+2) x (2xelemento+2), es decir, para los 52 elementos finitos, el rango de la matriz es 2x52+2 =106, luego el tamaño de las matrices es del orden de 106x106 =11236 elementos.

Para cada una de las cuatro matrices cuadradas dadas, los elementos de las cuatro matrices en total dan 44944 elementos (elementos de matrices), constituyéndose la parte más laboriosa del trabajo, en si.

La frecuencia angular de resonancia de las matrices cuadrados en cuyo diagonal está el cuadrado de la frecuencia angular al cuadrado, de tal manera que una matriz de dos elementos finitos discretos 2x2+2=6 que es el rango de la matriz, por lo

tanto, las matrices de [6x2] elementos generan doce raíces y así mismo la matriz de [106x2] tiene 212 raíces en total.

La cantidad de raíces aumentan según el número de elementos finitos en que se discretiza el tubo y luego el rango de las matrices también aumentan, por lo tanto, no todas las raíces son de interés físico, a pesar de que provienen del problema de origen físico.

Las raíces que se obtienen son autovalores en todos los casos y son de carácter de números complejos, luego para obtener un valor real, se tiene que hallar la norma dos a las raíces a los autovalores obtenidos para determinar la frecuencia angular de resonancia |ω|. La obtención de números complejos como resultado es muy importante puesto que implica que el sistema es oscilatorio.

Según los cálculos realizados con los primeros uno o dos elementos finitos, el valor de la frecuencia angular de resonancia que se obtiene es muy incierta, como se observa en la Fig 3.1 o la Tab. 3.1, A partir de un número, por ejemplo, cuatro elementos finitos, aparece la frecuencia angular de resonancia y converge conforme se aumentan el número de elementos finitos en que se divide el tubo sensor.

Por lo tanto, es necesario discretizar el sensor tubo recto en varios elementos finitos, dichos cálculos se ejecutan por Método de Elementos Finitos mediante programa en GNU Octave, que según los investigadores, el uso del comando Polyeig es el método más recomendable. [21].

De todas las raíces posibles se toma el menor autovalor convergente, en el presente trabajo se ha tomado |ω| =723,6 rad/s y para propósitos prácticos | | rad/s para una longitud de 0,75 m y con una rapidez del fluido de V=5,0 m/s.

Ahora bien, si se aplica una vibración externa a un sensor de tubo recto que conduce el fluido como se muestra en la Fig.4.1, una frecuencia angular de

resonancia |ω|, cuyo sentido positivo se considera convencionalmente en el sentido contrario a las manecillas de las agujas del reloj, en este caso se considera sentido negativo en el punto medio el sensor, el sentido de la frecuencia angular. El tubo sensor se distorsiona como muestra el esquema de la Fig.4.1 en donde el fluido que ingresa por la zona m entra a una velocidad ⃗ experimenta una descomposición de velocidades en ⃗ y una velocidad ⃗ los que originan una aceleración de Coriolis que de manera general se expresa como ⃗⃗ ⃗ el mismo que genera una fuerza de Coriolis sobre la masa del líquido que circula a una velocidad ⃗ a lo largo del tubo que conduce fluido, cuya expresión es la fuerza vectorial de Coriolis sobre la masa del fluido en la zona de entrada m tiene dos componentes, figura 4.2,

[ ⃗ | | ] (4.1) | | | | (4.2)

de manera análoga, la fuerza de Coriolis sobre la masa del fluido en la región n también tiene dos componentes [ ⃗ | | ] (4.3) | | | | (4.4)

Figura 4.3: Momento de fuerza que se origina

Nota: en la Fig. 4.3 se observa el efecto de los momentos de fuerza ejercida sobre el sensor tubo recto.

las fuerzas de Coriolis que se origina a lo largo de las zonas de entrada m y salida n causan dos efectos importantes sobre el fluido en movimiento.

El primer efecto es el momento de fuerzas que se generan sobre el tubo describe como sigue. Considerando el momento de fuerza Mk con respecto al eje

⃗⃗ [ ⃗ ] (4.5)

A partir del cual surge un momento de fuerza resultante en la zona m

⃗⃗⃗⃗ _{⃗ (4.6)}

en la zona de salida n, de manera análoga se tiene el momento de fuerza

correspondiente como se puede ver en la Figura 4.3

⃗⃗ [ ⃗ ] (4.7) ⃗⃗ _{⃗ (4.8)}

En la Fig. 4.3 se observa el efecto de los momentos de fuerza ejercida sobre el sensor tubo recto, expresado por las ecuaciones Ec.(4.6) y Ec.(4.8).

Figura 4.4: desfasaje en las pendientes

Nota: Desfasaje producido por los efectos de momentos de fuerza sobre el sensor tubo recto

Tabla 4.1: Cambio de fase vs velocidad Ec.(4.9) Número Velocidad

[m/s]

[rad] Número Velocidad [m/s] [rad] 1 0.5 0,135293 14 13 0,005206 2 1 0,067647 15 14 0,004835 3 2 0,033824 16 15 0,004513 4 3 0,022549 17 16 0,004231 5 4 0,016912 18 17 0,003983 6 5 0,013530 19 18 0,003762 7 6 0,011276 20 19 0,003564 8 7 0,009665 21 20 0,003386 9 8 0,008457 22 21 0,003225 10 9 0,007518 23 22 0,003079 11 10 0,006767 24 23 0,002946 12 11 0,006152 25 24 0,002823 13 12 0,005640 26 25 0,002711

tubo recto y el fluido, en donde la componente de momento de fuerza en la zona n es la Ec.(4.8).

El segundo efecto es que la diferencia de momentos de fuerza que se originan, según las Ec.(4.6) y Ec.(4.8), producen una diferencia fase de ángulos con respecto al punto medio del tubo, el cual se mide mediante una magnitud llamado diferencia de fase dado en radianes. La diferencia de fase o el ángulo de desfasaje se calcula con la expresión propuesta por [22] que se expresa a continuación y otros [23], [24], [25] y [26] ( )( )( ( ) ( ) ( ) ( )) (4.9)

Esta diferencia de fase entre los ángulos que se forman debido al momento de fuerza neta que resulta sobre el tubo que conduce el fluido, donde dicho momento es resultante del efecto Coriolis en el que están involucrados varios parámetros, algunos de ellos son constantes que provienen de la solución general [22] como son: , y otros como diferencia de frecuencias al cuadrado ( ) que es la frecuencia de sensores ubicados en punto críticos se puede expresar como frecuencia angular y , es una diferencia de modos de vibración entre modo uno y modo dos cuya diferencia es despreciable de manera que se puede aproximar la frecuencia de resonancia, además es proporcional a la distribución de masa del fluido por longitud. Es inversa a la longitud del tubo, inversa a la suma de la distribución de masa de fluido y del tubo, al cuadrado de frecuencias.

Por otro lado en Ec.(4.9) interviene la posición de la ubicación de sensores que son simétricos al punto medio del tubo sensor. La diferencia de fase en la Ec. (4.9) es directamente proporcional , es decir, si es mayor velocidad (rapidez) mayor es la diferencia de fase. pero intervienen las frecuencias que están en función de la velocidad. Se presenta un programa script en GNU Octave, ver Apéndice B, para calcular la diferencia de fase. cuyos resultados se presentan en la Tab.4.1 y Fig.4.5 respectivamente en función de velocidad.

Figura 4.5: Cambio de fase vs velocidad

Nota: Gráfica de cambio de fase en función de velocidad a partir de Tab. 4.1

Tabla 4.2: Flujo de masa de Coriolis vs velocidad Número Velocidad [m/s] [kg/s] Número Velocidad [m/s] [kg/s] 1 0,5 0,035675 14 13 0,927297 2 1 0,071331 15 14 0,998628 3 2 0,142661 16 15 1,069959 4 3 0,213992 17 16 1,141289 5 4 0,285322 18 17 1,212619 6 5 0,356653 19 18 1,283950 7 6 0,427983 20 19 1,355281 8 7 0,499314 21 20 1,426611 9 8 0,570645 22 21 1,497942 10 9 0,641975 23 22 1,569272 11 10 0,713306 24 23 1,640603 12 11 0,784636 25 24 1,711934 13 12 0,855967 26 25 1,783264 Nota: Flujo de masa obtenido a partir de la ejecución de Ec.(4.10)

Flujo de masa calculado por el método de Coriolis [22]

̇ ( )

(4.10)

Una vez calculado , Ec.(4.10) se elabora un programa Script en GNU Octave y se calculan los resultados y se obtiene la Tab. 4.2 y Fig. 4.6 correspondientes. como expresa la (4.10), el flujo de masa depende de varios parámetros que intervienen, algunos son valores constantes y otros parámetros en función de la velocidad definido según la Ec. (4.10). Fundamentalmente lo que más afecta al flujo de masa es el cambio de fase que se estable, en este caso se ha calculado como consecuencia de efecto de momentos de fuerza causado por el efecto Coriolis.

Con todos los parámetros involucrados se calcula el flujo de masa, se denomina flujo de masa por el método de efecto Coriolis, como se observa en la Tab.4.2 y Fig.4.6 en donde se observa en función de la velocidad del fluido ⃗ .

Figura 4.6: Flujo de masa por efecto Coriolis vs velocidad

Nota: gráfica de flujo de masa a partir de la tabla 4.2