Análisis del error en el método de momentos

En los problemas de radiación y dispersión electromagnética, generalmente los operadores integrales empleados no son auto-adjuntos, por lo que las soluciones clásicas de convergencia de los métodos numéricos basados en estos operadores no son aplicables [10]. Para analizar el error asociado en estos problemas, se contaba con dos enfoques principales: métodos de validación y el punto de vista analítico matemático. El primero consiste en hacer ensayos comparativos en problemas de prueba respecto a soluciones analíticas o mediciones realizadas. Este enfoque es indirecto porque los errores obtenidos para los casos de prueba podrían no extrapolarse confiablemente a otros problemas debido a fenómenos intrínsecos de estos, tales como resonancia, efectos de borde, o defectos de segmentación.

En el segundo enfoque las dificultades computacionales se incrementan. Este consiste en revisar las condiciones de frontera sobre el conductor e inferir la exactitud de los campos o corrientes calculados. Otra manera consiste en determinar las soluciones numéricas para una serie de segmentaciones de refinamiento creciente, con lo cual es posible calcular la exactitud del problema al suponer que la convergencia se rige por una ley de potencias de dichas soluciones. Aunque las pruebas comparativas siempre consisten esencialmente en verificar los métodos numéricos, las estimaciones teóricas del error son preferibles para grandes colecciones de casos de prueba

La solución de error del método de momentos decae asintóticamente de acuerdo a alguna potencia del tamaño de los elementos de la segmentación conforme ésta se hace más pequeña. El exponente se determina por las características de la superficie del radiador y la elección de las funciones base. Estos resultados se obtienen desde el punto de vista de los espacios de Sobolev de orden fraccionario5, los cuales pueden interpretarse físicamente como funciones espaciales de corrientes y campos incidentes evaluados en superficies: el rango y el dominio de los operadores integrales de radiación y dispersión.

5 _{Un espacio de Sobolev es un espacio normado de funciones obtenidas al imponer sobre una función}

f y sus derivadas débiles arriba de

algún orden k la condición de una norma infinita _Lp_{, para un valor dado de 1}

p≥ . Su nombre es en honor de Sergei L. Sobolev. Los

espacios de Sobolev admiten la norma natural:

( )

(

)

∑

∑ ∫

Una pregunta incluso más fundamental que la tasa de convergencia asintótica de un método numérico es, en primer lugar, sí o no la solución converge a la respuesta correcta para un problema dado. La exactitud del método de momentos depende del problema físico a resolver, la segmentación usada para representarlo y la técnica seleccionada. Los parámetros que afectan la exactitud son:

• Problema:

1. Características de la superficie radiadora: Bordes, esquinas y puntos singulares. 2. Geometría del radiador: Resonancias ficticias y reales para cavidades abiertas. 3. Campo electromagnético incidente o excitación: Ángulo de incidencia, tipos de

fuentes.

4. Fenómenos en bajas frecuencias.

5. Tipo de resultado numérico final: Corriente, campo eléctrico total o campo dispersado.

• Segmentación:

1. Densidad de segmentación: Elementos por unidad de longitud de onda. 2. Irregularidad del tamaño de los elementos y defectos de la segmentación. 3. Error geométrico en la discretización: Facetas planas o curvas.

• Técnica numérica:

1. Formulación de la ecuación integral: EFIE, MFIE, CFIE. 2. Funciones base y peso: Tipos y orden de los polinomios.

3. Reglas de cuadratura usadas para evaluar los elementos de las matrices. 4. Algoritmos de solución de sistemas lineales de ecuaciones: Factorización

directa o iterativa.

Los errores más bajos están asociados con radiadores de superficies suaves, segmentaciones de alta densidad, segmentos regulares, facetas curvas que conforman su superficie, funciones base polinomiales de alto grado y reglas de cuadratura de alto orden. Aunque lo inverso no es cierto, todos los factores que determinan la tasa de decaimiento asintótico también afectan al error inicial. Para simplificar el problema del análisis del error, sólo se estudia la dependencia de la densidad de segmentación en la tasa de decaimiento asintótico, sin tomar en cuenta los demás factores.

La principal dificultad con las estimaciones asintóticas es que no proporcionan información sobre el error para una segmentación dada, porque sólo se provee el exponente de decaimiento o el orden del error. Este orden es independiente de la frecuencia, geometría del radiador y efectos físicos como la resonancia. Al calcular las soluciones en dos o más segmentos que son suficientemente pequeños, el exponente de decaimiento puede usarse para estimar el error absoluto, sin embargo, en problemas prácticos de electromagnetismo, el más llano cambio en la segmentación es difícil de programar. Otra limitación es que sólo se dispone de estimaciones asintóticas para la corriente en el radiador, por lo que en parámetros derivados, como la impedancia de la antena, esta información no se tiene. Las estimaciones de error asintótico están dadas también en términos de normas de Sobolev, que podrían no ser computables.

Los principios más simples del análisis del error en el método de momentos son el de la aproximación y la optimización. En el primero, de todas las posibles combinaciones lineales de funciones base, se obtiene una aproximación para la corriente obtenida por el método de

momentos, en la cual existe una función que es óptima o la más cercana a la corriente exacta del radiador, definida con respecto a la norma de Sobolev de la solución de error. El término de aproximación del error está dado por el error de esta solución óptima relativa a la solución exacta. En general, un método numérico no devuelve la mejor o más óptima solución posible en la aproximación buscada. Sin embargo, en muchos casos, la solución numérica se acerca a la óptima combinación de funciones base. Esto proporciona al análisis del error un primer intento para demostrar que la solución numérica obtenida con el método de momentos es cercana a la solución óptima, de tal forma que la solución de error es cercana a la aproximación del error. Con tal resultado, el problema del análisis del error se reduce al siguiente: Dado un particular conjunto de funciones base, ¿cuál es el error de la mejor combinación lineal posible relacionada con la corriente exacta? Esta pregunta puede responderse sin un conocimiento detallado de los métodos numéricos o incluso de la solución exacta, todo lo que se requiere es cierta clase de suavidad en la solución.

Existen dos tipos de resonancias que afectan las simulaciones con el método de momentos. La primera es la resonancia interna. En un conductor eléctrico perfecto cerrado, existen frecuencias en las cuales el interior del conductor entra en resonancia. Ya que el modo de resonancia interna no puede ser excitado por campos externos, no hay impacto físico en las propiedades radiativas del objeto. Sin embargo, existe un impacto numérico en el método de momentos, ya que el modo de resonancia conduce al eigen-valor cero para el operador de la EFIE. Esto provoca que la matriz del método de momentos se haga singular, lo que produce un error cuando el sistema de ecuaciones se resuelve. El segundo tipo de resonancia física ocurre en cavidades abiertas. Para un cuerpo conductor perfecto las cavidades resonantes abiertas tienen un factor Q finito y pueden ser excitadas por campos externos, lo que conduce a un eigen-valor de la matriz del método de momentos con una pequeña pero finita parte real que representa las pérdidas del modo resonante a través de la cavidad abierta al exterior.

En los párrafos anteriores se ha supuesto que los elementos de la matriz del método de momentos pueden evaluarse exactamente. En las simulaciones numéricas se usan reglas de integración de alto orden, de tal forma que los elementos de la matriz son efectivamente exactos. El error en la cuadratura numérica reduce la tasa de convergencia de la solución asintótica del método de momentos.

En la práctica se puede incurrir en errores al resolver el sistema lineal de ecuaciones usando métodos de factorización directa o algoritmos iterativos. En estructuras radiativas grandes, el número de incógnitas requeridas por el método de momentos puede ser enorme, por lo que el uso de métodos iterativos puede ser inevitable. Estos métodos generan una solución aproximada en cada paso del algoritmo, con un costo computacional de una o dos multiplicaciones matriciales por iteración. El algoritmo debe ejecutarse en tal número de pasos que el error de la solución aproximada sea pequeño comparado con los otros tipos de errores. La pregunta en relación con esta técnica es: ¿Cuántas iteraciones se requieren para que un método iterativo converja con un error dado? En la práctica, el número de iteraciones requeridas es altamente sensible al tipo de problema resuelto. Un método podría converger en decenas de iteraciones para un simple problema de prueba, y en muchos cientos para una geometría más complicada. Esto conduce a una falta de robustez y confiabilidad para los programadores del método de momentos. Al cambiar la formulación integral puede, en algunos casos, reducirse el número de iteraciones requeridas, pero para algunos problemas la convergencia es lenta a pesar del tipo de formulación. Por lo tanto, los estudios teóricos que analizan la convergencia de métodos iterativos en problemas de electromagnetismo computacional son de interés.