Segmentación no-equidistante en el método de momentos

Para el Método de Momentos

4.7. Segmentación no-equidistante en el método de momentos

Se ha comprobado que en cualquier proceso de interpolación, el fenómeno de Runge- Borel desaparece al considerar una interpolación no-equidistante. En especial se ha comprobado la eficiencia del uso de las raíces de los polinomios de Chebyshev y Legendre para realizar el procedimiento de interpolación; las raíces de los polinomios, mapeadas en el intervalo de interés

[ ]

a b, , sirven como los puntos

{

x x₁, ,₂ _⋯,x_n

}

en los cuales debe de muestrearse la función f x

( )

que será aproximada con el polinomio de Lagrange Pol_n₋₁

( )

x . De ambos tipos de raíces, las de Legendre son más efectivas que las de Chebyshev, sin embargo su desventaja está en poderlas determinar, ya que se requiere de algún algoritmo numérico que las calcule. A pesar de que las raíces de Chebyshev pueden determinarse por medio de una fórmula analítica, su desempeño es inferior aunque aceptablemente bueno respecto a las raíces de Legendre.

El método de momentos ha demostrado sus virtudes en transformar una ecuación operador en una simple ecuación matricial, que puede resolverse fácilmente con algoritmos computacionales. Al resolver la ecuación de Pocklington, los coeficientes de las funciones base forman un vector columna:

( )

[

1, , ,2

]

n N

c = c c _⋯ c (4.70)

el cual permite expandir la corriente en el alambre en términos de las funciones base:

( )

1 . N n n n I s c i s = ′ =

∑

′ (4.71)

En busca de un esquema de segmentación no-equidistante, las fórmulas anteriores siguen siendo válidas, pero ahora los valores de la corriente medidos en los puntos donde in

( )

s′ =1, que generalmente corresponden a los puntos centrales de los dominios de las funciones base, dejan de ser equidistantes, por lo que se necesita aplicar un método de interpolación para poder determinar en puntos equidistantes el valor de la corriente que necesita ser graficada. Al abordar el método de interpolación se tiene que garantizar la no aparición del fenómeno de Runge-Borel. Esto queda asegurado al utilizar las raíces de los polinomios de Legendre; por lo tanto, los puntos centrales de los dominios de las funciones base, deben de corresponder a las raíces del polinomio mapeadas en

[ ]

0,L . De aquí se desprende que el número de raíces debe de ser igual al número de funciones base, el cual no necesariamente es igual al número de segmentos en que se divide el alambre7.

El método de momentos, por medio de las funciones base subdominio, discretiza la ecuación de Pocklington. El dominio de cada una de ellas corresponde a uno o dos segmentos en que se divide el alambre. Por lo tanto, la discretización de la ecuación de Pocklington equivale a dividir la antena en N segmentos, los cuales son aproximadamente rectos y en los cuales la corriente total es aproximadamente constante. Si tomamos en cuenta que las funciones base deben de colocarse ahora bajo un esquema no-equidistante, entonces la distribución de las raíces del polinomio de Legendre implica otra discretización del dominio de la corriente I s

( )

′ . Por lo tanto, existen al menos dos formas de apostar las raíces en los segmentos de la antena: en el centro de cada uno de ellos o en los extremos de éstos. Al implementar esta última forma se ve que para N segmentos se necesitarían N+1 raíces; esto no parece ser muy natural, y de hecho al programarlo, las soluciones obtenidas se comportan muy inestablemente. La siguiente forma consiste en centrar cada raíz dentro de cada segmento; al implementar esta otra forma se necesitan N raíces para N segmentos. Esta solución, cuya naturalidad es evidente, se comporta sin inestabilidad alguna, por lo que fue el esquema utilizado en este trabajo de tesis.

Ahora que se sabe que cada raíz debe de estar en el centro de cada segmento, lo siguiente es determinar la longitud ∆_n de cada uno de ellos. Esta se determina por las diferencias de coordenadas de los extremo de éstos. Consideremos la Fig. 4.7. Ya que se conoce que cada raíz se localiza en el centro de cada segmento, entonces, las coordenadas de cada segmento son:

7_{Cuando las funciones base cubren más de un segmento, como las triangulares o pedazos senoidales, el número de funciones base es menor}

Figura 4.7. Segmentación no-equidistante en términos de las raíces de Legendre.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 1 1 0 0 1 0 2 2 1 1 2 1 3 3 2 2 3 2 4 4 3 3 4 3 5 5 4 4 5 4 6 6 5 5 6 5 0 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 . Seg

Seg s Seg Seg s Seg

= = − + = − = − + = − = − + = − = − + = − = − + = − = − + = − (4.72)

A partir de estas relaciones, resulta evidente la siguiente ecuación recursiva: 1

2 , 0,1, , ,

n n n

Seg = s −Seg ₋ n= _⋯ N (4.73)

donde Seg₀ =0. Como es de esperarse, la última coordenada del extremo del último segmento, debe ser igual a la longitud del alambre, es decir:

, 2 1, .

Seg =L N = m+ m∈ (4.74)

Sin embargo, esto sólo resulta cierto si N es un número impar. Para valores pares de N la relación anterior no se cumple, siendo SegN mayor que L. Esto no debe de verse como un

error en la forma en que se segmenta el alambre, ya que la ecuación (4.73) fuerza a que cada raíz se encuentre en el centro de cada segmento. Esto simplemente significa que para segmentaciones pares, la convergencia tiende a ser mucho menor que en el caso impar8_{. De}

hecho, conforme N crece, la igualdad (4.74) se cumple correctamente para N par:

lim _N , 2 , .

N→∞Seg =L N = m m∈ (4.75)

Puede verse que el fenómeno de la paridad aparece incluso si se comienza a medir a partir del extremo final del alambre hacia el inicio de éste. Las coordenadas de cada segmento se calculan recursivamente por:

1 2 , , 1, ,1,

n n n

Seg ₋ = s −Seg n=N N− _⋯ (4.76)

donde Seg_N =L. Ahora, para un valor par de N , se tiene que Seg₀<0.

8_{De hecho, en la mayoría de los métodos numéricos, la paridad tiende a ser un factor que determina la convergencia del método. Por}

ejemplo, en la interpolación trigonométrica, se aprovecha esta propiedad para acelerar la exactitud de la función interpolante; esto se logra al construir una función impar a partir de una par.

Desde este punto de vista, sin importar en qué sentido se calculen las coordenadas de cada segmento, la paridad de N hace aparecer el fenómeno. El hecho de que Seg₀<0 no debe verse tampoco como un error, simplemente significa que las segmentaciones pares convergen más lentamente que las impares. Conforme N crece se cumple la siguiente identidad:

lim 0 , 2 , .

N→∞Seg = N = m m∈ (4.77)

Podría pensarse también que el efecto desaparecerá al utilizar las raíces de algún otro polinomio, pero como se ve en las fórmulas (4.73) y (4.76), los valores de s_n podrían ser los de las raíces de cualquier polinomio. Esto significa que el tipo de raíces utilizadas no soluciona el fenómeno. El fenómeno de la paridad sólo desaparece si la segmentación es equidistante; de acuerdo a la fórmula (4.73) se tiene que:

(

)

1 2 2 1 , N N N N L Seg s Seg s N N − = − = − − (4.78)

donde s_N se calcula de acuerdo a (4.68):

(

2 1

)

, 2 N N L s N − = (4.79)

por lo tanto, al sustituir en (4.78) se tiene:

(

2 1

) (

)

. N N L N L Seg L N − + − = = (4.80)

De esta forma, en la segmentación no-equidistante, el fenómeno de la paridad debe verse como una característica intrínseca del método. Por lo tanto, es conveniente utilizar sólo valores impares de N para que los resultados sean adecuados. Empero, el utilizar un valor par de N produce soluciones inestables en la distribución de corriente. Esta inestabilidad se aprecia como una pequeña oscilación superpuesta en la gráfica de la corriente; la amplitud de la oscilación disminuye conforme la segmentación es más densa. Por lo tanto, es responsabilidad del usuario determinar la paridad de la segmentación; el autor de este trabajo sugiere utilizar solamente valores impares.

Para la segmentación no-equidistante, los elementos de las matrices del método de momentos siguen calculándose con las siguientes fórmulas:

( )

( ) ( )

1 1 1 , , 4 , 1, 2, , , 2 Q P m n mn i j m i i j n j i j Q I m m i m i s i i Z w s K s s i s j v w s E s m n N υ ω ωε υ = = = ∆ ∆ _′ _′ ≈ − ∆ ≈ =

∑∑

∑

⋯ (4.81)

donde la longitud del segmento se determina por:

1, 1, 2, , .

n Segn Segn− n N

4.8. Conclusiones del Capítulo IV

En este capítulo se presentaron los métodos de interpolación lagrangiana y cuadratura gaussiana, con los cuales se puede concluir que el uso de las raíces de los polinomios de Legendre permite la construcción de un polinomio interpolante en el cual se garantiza la ausencia del fenómeno de Runge-Borel y además se garantiza que la integración de este polinomio corresponderá a la que tenga el menor error posible. Estas herramientas son muy útiles para optimizar la solución del método de momentos de la ecuación de Pocklington. La dificultad del uso de las raíces de Legendre reside en determinarlas, ya que no existe una fórmula analítica que las proporcione, como en el caso de las raíces de los polinomios de Chebyshev. Sin embargo, en este capítulo se presentó un método numérico para determinarlas, el cual constituye una aportación hecha por este autor. El algoritmo no sólo es útil para polinomios de Legendre, sino también para cualquier otro polinomio donde se busquen sus ceros. Los resultados obtenidos con este método resultan algunas veces más exactos que los conseguidos con programas como MATLAB, además de consumir muy pocos recursos de cómputo y presentar un rápido desempeño.

También se presenta en este capítulo un esquema de segmentación no-equidistante para dividir la antena y aplicar el método de momentos. Este esquema se basa en cómo se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en el dominio

[ ]

−1,1 , pero mapeadas a lo largo de toda la longitud del alambre. La segmentación surge de manera natural al considerar la discretización intrínseca del método de momentos; para evitar la aparición del fenómeno de Runge-Borel, los centros de los segmentos no equidistantes tienen que coincidir con las raíces de Legendre mapeadas en

[ ]

0,L . De esta forma, se consiguen dos objetivos: La no aparición del fenómeno de Runge-Borel en los valores interpolados de corriente obtenidos a partir de los valores de corriente no equidistantes y la segmentación no-equidistante de la antena.

El esquema de segmentación equidistante resulta la forma más trivial en que puede dividirse la antena. En este esquema la longitud de todos los segmentos es la misma. La ventaja más evidente de este esquema es la simplicidad de la implementación computacional del método de momentos. Su desventaja más grande reside en la aparición del fenómeno de Runge-Borel. En contraste, el esquema de segmentación no-equidistante es un poco más complicado de implementar computacionalmente, ya que implica calcular N raíces de Legendre. Sin embargo, su ventaja más grande consiste en que se garantiza la no aparición del fenómeno de Runge-Borel, y se garantiza que el error de los valores interpolados de corriente es el menor posible.

Debe mencionarse que las virtudes del esquema no-equidistante desaparecen conforme N se hace más grande. Esto se debe a que las raíces de Legendre comienzan a distribuirse más uniformemente en el dominio

[ ]

−1,1 , de tal forma que para valores suficientemente grandes de N no existirán diferencias entre una segmentación equidistante y una no- equidistante. El poder de las raíces de Legendre se aprecia para valores pequeños de N.

También se encontró que en la segmentación no-equidistante aparece el fenómeno de la paridad del número de segmentos. Este fenómeno surge como una consecuencia lógica de forzar a que cada raíz se encuentre en el centro de cada segmento. Esto no debe verse como un defecto del método, simplemente significa que para valores pares de N , la convergencia del método es menor que para valores impares. Conforme N crece, la paridad deja de considerarse como una limitante del método. La inestabilidad de la paridad se presenta como

una rápida oscilación superpuesta a la gráfica de la distribución de corriente. En términos matriciales, la inestabilidad se debe a que, para un generador Delta-Gap conectado en el centro de la antena, la matriz de voltajes deja de ser simétrica. La amplitud de la oscilación decrece conforme N aumenta, lo cual provoca que la matriz de voltajes se convierta en simétrica. El fenómeno de la paridad y la inestabilidad de la gráfica de corriente no es algo que antes haya llamado la atención, ya que en la segmentación equidistante éstos nunca se presentan. El estudio de este fenómeno constituye otra de las aportaciones del autor de esta tesis.

Referencias

[1] C. Lanczos, Applied Analysis. Dover. 1988. New York.

[2] C. Lanczos, Linear Differential Operators. Dover. 1997. New York.

[3] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions. Wiley and Sons. 1972. New York.

[4] J. C. Mason, D. C. Handscomb, Chebyshev Polynomials. Chapman & Hall – CRC Press. 2002.

[5] Margarita Suárez Alonso, Matemática Numérica. IPN-Ministerio Superior de Cuba, 1997, México D.F., p.p. 37-50.

[6]Víctor Barrera-Figueroa, Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, “Multiple root finder algorithm for Legendre and Chebyshev polynomials via Newton’s method” in: Annales Mathematicae et Informaticae, Nov. 2006, Vol. 33, p.p. 3-13.

[7] Constantine A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics. Jhon Wiley & Sons. 1989, Canada, p.p. 670-742.

Capítulo V

Resultados Comparativos

In document Solucion de la ecuación de Pocklington para alambres de geometría arbitraria usando una segmetacion no-equidistante por medio de las raíces de los polinomios de Legendre (página 103-109)