Conclusiones generales

El trabajo teórico de Maxwell, así como el experimental de Hertz, proveyeron los cimientos de la tecnología del siglo XX. En el siglo XIX, aún sin comprender la naturaleza de la electricidad y el magnetismo, aparecieron numerosas aplicaciones prácticas que comenzaron a ocuparse del trabajo realizado por los humanos. La electricidad y el magnetismo pronto ocuparían el pináculo de la ciencia y la tecnología haciendo el trabajo cotidiano más fácil de realizar. Pronto se descubriría que entre la fuerza eléctrica y la magnética existía una relación muy íntima, ya que ambas correspondían a diferentes aspectos de un mismo fenómeno: el campo electromagnético. Este descubrimiento debería catalogarse como el más importante en el siglo de Maxwell [1]. Entre las demás fuerzas de la naturaleza continúa sin existir relaciones entre ellas, hasta que se descubrió la fuerza electro-débil, la cual relaciona la fuerza débil, responsable de la desintegración radiactiva del núcleo, con la fuerza electromagnética [2]. Esperemos ser capaces de poder contemplar la gran teoría de unificación, tan buscada por Einstein, que permita encontrar las relaciones faltantes con la fuerza fuerte y la gravitacional y obtenga la cuantización de esta última. La Teoría de las Cuerdas, con sus diez dimensiones, parece ser un buen intento en esta difícil tarea [3], pero muchas personas, incluido el autor de esta Tesis, están seguras que la descripción de la Naturaleza siempre tiende a ser más sencilla y humilde; quizá, como dijo Feynman, debamos buscar el adecuado sistema de coordenadas para contemplar a nuestro Universo [4].

Las ecuaciones de Maxwell, con su gran belleza matemática, han proporcionado respuestas a cualquier problema electromagnético no-cuántico, permitiendo predecir la existencia de las ondas electromagnéticas. Su solución, para un problema en particular, es difícil de encontrar, razón por la cual se emplean herramientas matemáticas que, sin tener significado físico o posibilidad de medirse, ofrecen un punto de partida más amigable para solucionar el sistema de Maxwell. Estas herramientas son los potenciales retardados, funciones matemáticas que demuestran que los efectos producidos por las cargas y las corrientes eléctricas tardan en propagarse al punto de observación. Este retardo aparece como una consecuencia natural de Ley de Relatividad. Hasta la década de 1970 dejaron de usarse los potenciales avanzados en la electrodinámica, porque aunque son soluciones correctas de la ecuación de onda, violan el principio de causalidad física. Con los potenciales retardados es posible escribir ecuaciones integrales que describan el campo electromagnético en términos de la distribución de cargas y corrientes eléctricas [5]. Entre estas ecuaciones, las más generales son la Ecuación Integral del Campo Eléctrico (EFIE) y la Ecuación Integral del Campo Magnético (MFIE), donde de nuevo aparece la simetría y la sencillez intrínseca de las ecuaciones de Maxwell.

Cuando la EFIE se aplica a un alambre delgado se obtiene una ecuación integral unidimensional, llevando la integración a lo largo de la longitud del alambre. Si en especial se aplica la condición de frontera en la superficie del conductor, se obtiene la ecuación integral de Pocklington, que apareció por primera vez en 1897. El modelo de Pocklington ha tenido gran popularidad porque forma una buena mancuerna con el método de momentos en la teoría de antenas, donde lo más usual es hallarla definida para alambres delgados. Cuando el alambre adquiere otra geometría diferente a la recta, es necesario incorporar los cambios de trayectoria en el alambre al incluir el producto punto de los vectores unitarios tangentes al eje del alambre y al filamento equivalente de corriente. La ecuación de Pocklington es válida mientras se cumpla la hipótesis del alambre delgado, la cual establece que en tales conductores, las variaciones circunferenciales de corriente pueden despreciarse y toda la corriente puede suponerse concentrada en un filamento equivalente sobre la superficie del

alambre. La hipótesis supone que el radio de este es mucho menor que su longitud y la longitud de onda. También se supone que la corriente se encuentra confinada en la superficie del alambre, lo cual se consigue al incrementar la frecuencia, debido al efecto piel. Si la hipótesis del alambre delgado no se cumple, entonces el modelo de Pocklington no debería aplicarse.

La ecuación de Pocklington puede deducirse a partir de la EFIE, sin embargo, el enfoque que se presenta en el Capítulo II resulta atractivo por estar expresado en términos de la Teoría de Circuitos. Aharoni obtiene la Ecuación Integral del Campo Eléctrico expresándola en términos de las leyes de Kirchhoff. Esta perspectiva por sí misma es valiosa, ya que considera que cuando el número de mallas del circuito tiende a infinito, el sistema de ecuaciones equivale a una ecuación integral. Esta equivalencia es en la que se basa el método de momentos para obtener una solución que converja a la del operador original. El kernel de la ecuación integral corresponde a los términos de capacitancias e inductancias mutuas entre las diferentes mallas eléctricas diferenciales que conforman el conductor de la antena. Por lo tanto, tiene sentido llamar a las matrices obtenidas con el método de momento como: matriz de impedancias, matriz de corrientes y matriz de voltajes.

La ecuación de Pocklington es una ecuación integral, porque la corriente incógnita aparece dentro del operador integral, y corresponde a una ecuación de primer tipo porque la incógnita no aparece fuera del operador. Para determinar la distribución de corriente se aplica el método de momentos, que es un procedimiento numérico que reúne todo un conjunto de técnicas, relacionadas entre sí, para ofrecer soluciones aproximadas a una ecuación operador. El método fue popularizado por Roger F. Harrington en 1967, sin embargo, formalmente la técnica debería llamarse método de Bubnov-Krylov-Galerkin, en honor a los investigadores que lo descubrieron y desarrollaron. El objetivo de la técnica es transformar una ecuación operador, en este caso una ecuación integral, en una ecuación matricial que, por medio de técnicas de inversión y producto de matrices, puede resolverse más fácilmente que la ecuación original. Para lograr esto, la corriente incógnita se expresa como una combinación lineal de funciones base, definidas por nosotros, donde los coeficientes del desarrollo deben determinarse; de esta manera, la ecuación se transforma en una de tantas incógnitas como elementos tenga la expansión. Para formar un sistema consistente de ecuaciones, se necesitan tantas de éstas como de incógnitas. Para encontrar las demás ecuaciones se define un conjunto de funciones linealmente independientes, conocidas como funciones peso o prueba, con las cuales se realiza el producto interno con la primera ecuación. De esta forma, el sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial, para determinar su solución numérica.

La solución conseguida depende de las combinaciones de funciones base y peso usadas. En el caso de que se utilicen por funciones peso deltas de Dirac, el método adquiere el nombre de Técnica de Ajuste de Puntos. La gran ventaja de esta función peso es que disminuye el número de integraciones en una unidad, debido a sus propiedades de muestreo. La gran desventaja es la inestabilidad de la solución, la cual se muestra en las gráficas correspondientes del Capítulo V; para esta función peso existe muy poca estabilidad cuando se usa por función base a la función pulso, y la estabilidad aumenta considerablemente al usar funciones triangulares o pedazos senoidales. Cuando el operador de la ecuación es auto- adjunto, las funciones base equivalen a las funciones peso y la técnica se conoce como método de Galerkin. En el caso de la ecuación de Pocklington se ha demostrado que no corresponde a un operador auto-adjunto, sin embargo, el uso del método de Galerkin produce excelentes resultados con una rápida convergencia y una gran estabilidad. Formalmente, este método no debería de usarse para la ecuación de Pocklington, pero los resultados que se

consiguen justifican su empleo. La única desventaja del método de Galerkin es el tiempo que se necesita para encontrar la integración del producto interno, además de la propia integración de la ecuación operador.

Las funciones base usadas en el método de momentos sólo están definidas en un pequeño intervalo dentro de la longitud del alambre, fuera de éste valen cero. Éstas se conocen como funciones base subdominio y su uso puede interpretarse físicamente como que la antena ha sido dividida en pequeños segmentos donde cada función base existe. Para conservar la independencia lineal del sistema de ecuaciones, los segmentos deben ser colineales entre sí. Tradicionalmente se ha establecido que todos tengan la misma longitud, aunque el método no limita esta tendencia. La gran desventaja de los segmentos equidistantes es la aparición del fenómeno de Runge-Borel en los datos de corriente interpolados. Este fenómeno hace que la solución se indetermine en ciertos lugares del dominio de la corriente, tomando valores infinitos en esos lugares. El fenómeno no se debe a problemas en la técnica de interpolación o en el método de momentos, sino que es provocado únicamente porque los segmentos son de igual longitud. La segmentación equidistante se ha usado porque es la forma más fácil de dividir el alambre, es el método trivial.

En esta Tesis se propone un método no-equidistante para dividir la antena con el cual se evita la aparición del fenómeno de Runge-Borel. Este método se basa en la forma en cómo se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en su correspondiente dominio. Las raíces se agrupan más cercanamente en los extremos del dominio que en su centro. Esta segmentación está motivada por el método de cuadratura de Gauss, el cual también hace uso de ellas. En el método de Gauss, donde se busca encontrar la cuadratura de alguna función, se determina que los puntos de muestreo donde debe de evaluarse la función corresponden a aquellos de las raíces de Legendre, pero mapeados en los límites de integración. La cuadratura calculada consigue tener el menor error posible respecto a las demás técnicas de cuadratura, además de que se evita la aparición del fenómeno de Runge-Borel en la interpolación del integrando. Por lo tanto, si consideramos que resolver la ecuación integral equivale a encontrar la cuadratura del kernel por la corriente desconocida, resulta evidente que el integrando debe evaluarse en puntos discretos donde se encuentran las raíces de Legendre. Pero hacer esta evaluación equivale al procedimiento del método de momentos, donde se trata de determinar el valor de la corriente en puntos discretos del alambre. Por lo tanto, las raíces de Legendre deben encontrarse en el centro de cada segmento y por consiguiente los segmentos tendrán diferentes longitudes. Esta segmentación no-equidistante produce soluciones con el menor error posible además de evitar el fenómeno de Runge-Borel, siempre presente en los métodos numéricos que impliquen segmentaciones equidistantes.

En la segmentación no-equidistante usada en esta Tesis, se presenta un fenómeno de paridad en el número de segmentos en que se divide la antena. Cuando este número es par, la suma de las longitudes de los segmentos es ligeramente mayor que la longitud del alambre, y conforme el número de segmentos se hace más grande, la suma de longitudes converge hacia el verdadero tamaño de la antena. Cuando el número de segmentos es impar, el fenómeno de paridad no se presenta. Esto no debe verse como un error o una desventaja del método, simplemente debe considerarse que la convergencia en el caso de una segmentación par es más lenta que en una impar. De hecho, fenómenos de paridad análogos aparecen en múltiples métodos numéricos, como una consecuencia de la discretización de las ecuaciones operador.

En todas las técnicas numéricas deben practicarse análisis de estabilidad y convergencia, para analizar el comportamiento de sus soluciones. Tales estudios fueron

realizados en esta tesis para comprobar la eficiencia de la técnica no-equidistante. El primer análisis involucra la estabilidad de la solución en función del número de raíces de Legendre usadas para realizar las cuadraturas gaussianas. Se llega a la conclusión de que con 33 raíces para la segmentación equidistante y 31 para la no-equidistante se consigue la estabilidad de la solución numérica. Ambos números son relativamente pequeños respecto al número de subintervalos necesarios en la regla de cuadratura de Simpson. Esto se refleja en un tiempo de máquina pequeño para calcular cada integral de la ecuación matricial. Respecto a las combinaciones de funciones, se muestra en este análisis que la función peso delta de Dirac es la que inestabiliza más la solución, sobre todo cuando la función base corresponde a la triangular o al pedazo senoidal.

El segundo análisis comprende la estabilidad de la solución en función del número de segmentos en que se divide el alambre. Se concluye que con un promedio de 27 divisiones para la segmentación equidistante y 26 para la no-equidistante se llega a la estabilidad de la solución. Con un número pequeño de segmentos como el conseguido en esta Tesis, se demuestran las virtudes del uso de las raíces de Legendre, ya que conforme N aumenta, los segmentos tienden a agruparse equidistantemente, con la consecuente aparición del fenómeno de Runge-Borel. Otra ventaja de este número pequeño de segmentos es el tiempo de cómputo necesario para encontrar la solución. Por lo tanto, para la segmentación no-equidistante es más aconsejable que N no aumente indefinidamente, ya que en ese caso no habría diferencia con la segmentación equidistante. Para ésta, siempre es aconsejable que el número de segmentos sea suficientemente grande para que la solución de la ecuación matricial tienda a la de la ecuación integral. Respecto a las combinaciones de funciones, se demuestra que la función peso delta de Dirac hace divergente a la solución para cualquier función base usada. Esta divergencia es más evidente en la segmentación equidistante que en la no-equidistante.

El tercer análisis estudia la estabilidad de la solución en función del radio del conductor. El modelo de Pocklington supone que el radio es muy delgado, de tal forma que no existan variaciones circunferenciales en la distribución de corriente. Sin embargo, el admitir esta infinita delgadez produce una indeterminación en la solución ya que el kernel de la ecuación se hace singular. Kraus estableció un rango de valores donde una antena se considera delgada. El análisis realizado demuestra la validez de su resultado, ya que su rango se encuentra contenido en el obtenido en esta Tesis: L 35≤ ≤a L105 .Este rango es relativamente independiente de la combinación de funciones base y peso usadas y del tipo de segmentación empleado, por lo que concluimos que depende exclusivamente del modelo matemático empleado, la ecuación de Pocklington. El usar un radio de conductor que rebase este rango hace que la solución diverja rápidamente.

El cuarto análisis que se presenta es el que demuestra la validez de la técnica no- equidistante empleada, ya que se verifica que se cumpla la condición de frontera del campo eléctrico sobre la superficie del conductor. Este análisis no ha sido encontrado por el autor de esta Tesis en la literatura especializada, y debería realizarse como prueba final para comprobar la efectividad del método numérico empleado para analizar a la antena. Al probar la condición de frontera en la segmentación equidistante se demuestra la aparición del fenómeno de Runge-Borel en la unión de los segmentos; como se explicó en el Capítulo IV, este fenómeno depende exclusivamente de la segmentación equidistante y de las funciones usadas para interpolar. Con las gráficas mostradas se puede apreciar que la magnitud del campo eléctrico es del orden de los 10V m, mientras que en las gráficas de segmentación no- equidistante, la magnitud del campo eléctrico es del orden de los ₁₀1

V m

apreciable del orden de la magnitud muestra que la condición de frontera se satisface mejor por medio de una segmentación no-equidistante. Incluso para el caso en que se use como función peso la función triangular o el pedazo senoidal, con la función base pulso, se demuestra claramente que en el caso equidistante la magnitud del campo eléctrico en la superficie del alambre es del orden de los 600V m, mientras que en el caso no-equidistante se tiene un orden de 60V m. Estas gráficas en especial se obtienen al considerar que la función base pulso abarca dos segmentos, de igual forma que la función triangular y el pedazo senoidal, empleadas como funciones base.

De este último análisis se desprende otra observación relacionada con el campo eléctrico en los extremos de la antena. Para la segmentación equidistante el campo realmente tiende a infinito, como puede apreciarse en las figuras correspondientes, sin embargo, con la segmentación no-equidistante, el campo se acota a un orden de magnitud menor a los 60V m en el peor caso, y a un orden de magnitud menor a los 30V m en el mejor caso. Los casos patológicos corresponden a aquellos donde la función base es el pulso y la función peso es la triangular o el pedazo senoidal.

De las gráficas del campo eléctrico se muestra la validez del generador Delta-Gap, ya que se puede apreciar un gran pico en el lugar donde se conecta la fuente. Las diferencias con el modelo idealizado se ponen en evidencia al resaltar que la forma de este campo no es la de un pulso, sino la de una campana y que su dominio no abarca sólo a ∆_gap sino a varios segmentos de la antena. No obstante lo anterior, el uso del generador Delta-Gap sigue siendo muy recomendable como una primera aproximación a la distribución del campo eléctrico, ya que éste, así como la distribución de corriente, son funciones desconocidas al momento de analizar la antena.

Las gráficas de distribución de corriente presentadas en la última sección de este capítulo demuestran el hecho interesante de que las partes real o imaginaria de la corriente pueden tener valores negativos. Sin embargo, esto no resulta tan evidente ya que prácticamente todas las gráficas de corriente encontradas en la literatura muestran la magnitud de esta por ser el parámetro más fácil de medir experimentalmente.

6.2. Aportaciones

Este trabajo de tesis presenta las ventajas de una segmentación no-equidistante respecto a la clásica equidistante, que clásicamente se ha usado en el análisis de antenas. El autor del mismo enlista las aportaciones hechas en esta tesis:

6.2.1. Representación vectorial de la geometría de la antena

En programas como NEC, una antena de geometría arbitraria se modela al conectar en serie un gran número de pequeños conductores rectos para aproximar la antena original. En esta representación, con un número finito de elementos rectos, ocurren errores para modelar las antenas, en especial, cuando curvatura de la antena es muy pronunciada. En esta tesis se