An´alisis sobre la Complejidad de GS

P.L.R.B. es un sistema de razonamiento rebatible donde cada consecuencia de un plr es analizado considerando todos sus argumentos a favor y en contra. La sem´antica GS, es una sem´antica basada en juegos que caracteriza tal razonamiento a trav´es de dos conjuntos, V y

F, siendo V ∪F el conjunto de todos los literales garantizados. Los literales restantes son los indecisos y corresponden a aquellos para los que no hemos podido garantizar ni al literal ni a su complemento.

Cuando consideramos a P.L.R.B. en relaci´on a la sem´antica definida, existen dos problemas de decisi´on computacionales relevantes a analizar en el contexto de un plrbP:

gamesat: Decidir si existe un juego para un literal h ganado por el proponenteP_.

nowingame: Decidir si no existe ning´un juego para el literalh ni para su complemento que sea ganado por el proponenteP_.

El primer problema involucra encontrar solo un juego que sea ganado por el proponente, pero para poder decidir nowingame es necesario encontrar todos los juegos para el literal y su complemento y establecer que ninguno fue ganado por el proponente.

Una respuesta positiva a gamesatpara un plrbP y un literalh implica queh∈V, siendo

hV, Fi el ´unico G-modelo, i.e., P |=GS h. Una respuesta positiva a gamesat para h significa que h∈F en el G-modelo, i.e., P |=GS h.

El problema de decisi´on nowingame para un plrb P y un literal h es equivalente a de- terminar si dado el G-modelo de P, hV, Fi, h ∈ Lit+_{− {V ∪F}, i.e., P 6|=}

GS h y P 6|=GS h. En este caso, tres situaciones interesantes pueden ser consideradas y establecen los siguientes problemas de decisi´on:

No existe un juego para un literalh, ni existe un juego para su complemento h. La familia de juegos para el literal h y para su complementoh, F(h,P) y F(h,P) respectivamente, son vac´ıos. hno tiene argumentos ni a favor ni en contra. Por lo tanto, el agente no tiene informaci´on sobre esa consulta.

No existe un juego para el literal h, y el conjunto no vac´ıo de todos los juegos en la familia del complementoh son ganados por el oponente. La familia de juegos del literal h,

F(h,P), es vac´ıa y la familia, no vac´ıa, F(h,P) contiene solamente juegos ganados por el oponente. h no tiene argumentos a favor y todos los argumentos de su complemento son rebatidos. Por lo tanto, el agente no tiene informaci´on sobre h y no puede defender ah. De un modo similar, podemos definir el caso donde el agente no puede defender al literal

h y no tiene informaci´on sobre su complemento.

Todos los juegos en las familias no vac´ıas de h y su complemento h son ganados por el oponente.F(h,P) yF(h,P) no son conjuntos vac´ıos y todos los argumentos son rebatidos. El agente no puede defender ning´un argumento ni a favor de h, ni a favor de h.

Con el objeto de determinar la complejidad computacional de los problemas de decisi´on introducidos anteriormente, estudiaremos a la P.L.R.B. desde dos enfoques: la complejidad de los datos y la complejidad combinada [DEGV01, Var82] .

La complejidad combinada de un fragmento de la programaci´on en l´ogica ha sido definida y usada en [DEGV01] :

Complejidad de (un fragmento de) la Programaci´on en L´ogica: es la complejidad de chequear si dado un programa P variable y un ´atomo fijo cualquiera A, P |=A.

Por otra parte, la noci´on de complejidad de los datos es heredada de la teor´ıa de bases de datos relacional [Var82]. Actualmente, las bases de datos son la principal herramienta de

almacenamiento y recuperaci´on de grandes conjuntos de datos. La complejidad de los datos nos permite estudiar P.L.R.B. como un lenguaje de consulta midiendo su complejidad enfocada en el tama˜no de la base de datos y usando reglas estrictas y rebatibles para la inferencia.

La complejidad de datos es la medida clave para determinar la eficiencia de la implementa- ci´on de los sistemas argumentativos basados en la tecnolog´ıa de las bases de datos.

A los prop´ositos metodol´ogicos y de temas de complejidad, es importante distinguir en plrb los datos de entrada de las reglas de inferencia.

As´ı, de aqu´ı en m´as, denotaremos a los programas l´ogicos rebatibles P = hΠF,ΠR ∪∆i,

donde ΠF es un conjunto finito de hechos fijos, y ΠR∪∆ es un conjunto finito de reglas fijas

estrictas y rebatibles.

Haciendo una analog´ıa con los conceptos de base de datos, ΠF representa la entrada a la base

de datos, tambi´en llamada la parte definida porextensi´on, y ΠR∪∆ son la reglas de inferencia,

llamadas la parte definida porcomprensi´on de la base de datos. Definimos unaconsulta booleana como un conjunto finito de reglas estrictas y rebatibles junto con un literal fijoL. El significado intuitivo pretendido de la definici´on de tal consulta es el siguiente: queremos saber si un literal

L es consecuencia de ΠR∪∆ junto con la base de datos ΠF a trav´es de GS.

Siguiendo los principios y nociones anteriores, en el contexto de la P.L.R.B. definimos la complejidad de datos, la complejidad de programa y la complejidad combinada como sigue.

Definici´on 6.1 (Complejidad de Datos, de Programa y Combinada)

Sean Ω alguno de los problemas de decisi´on introducidos anteriormente, P = hΠF,ΠR∪∆i y

(ΠR∪∆, L) una consulta:

La complejidad de datos de Ω es la complejidad de Ω cuando la consulta est´a fija y la base de datos var´ıa, i.e., los par´ametros ΠR∪∆ yL est´an fijos.

Lacomplejidad del programa o expresi´on de Ω es la complejidad de Ω cuando la instancia de la base de datos est´a fija y la consulta var´ıa, i.e., el par´ametro ΠF est´a fijo.

Lacomplejidad combinada de Ω es la complejidad donde cada par´ametro ΠF, ΠR∪∆ y

L var´ıan.

La complejidad combinada y de expresi´on son muy similares y rara vez se las diferencia. Por esta raz´on solamente analizaremos la complejidad de datos y la combinada.

Con el objeto de llevar a cabo este an´alisis de la complejidad primero nos enfocaremos en la complejidad de determinar si existe un argumento A para un literal L. Luego estudiaremos si el juego que comienza con el movimiento inicial A es ganado por el proponente.