2. Sem´ anticas basadas en juegos
2.5. AJM-Juegos
2.5.4. Construcci´on sobre juegos
Describiremos las construcciones sobre juegos que ya hemos definido para las arenas. Los nuevos juegos se basar´an en la ´ultima de las definiciones dadas del enfoque AJM. Notaremos con s ↾ A o s ↾ MA a todas las subsecuencias de s consistentes de movimientos de MA. El
s´ımbolo + y la funci´on λ se definen del mismo modo que para el caso de las arenas.
Producto
Dados dos juegos A y B construimos el producto A⊗B del siguiente modo:
MA⊗B =MA+MB
λA⊗B= [λA, λB]
PA⊗B ={s∈MAalt⊗B|s↾MA ∈PA∧s↾ MB ∈PB}
Podemos pensar en A⊗ B como un juego en el que se permite que las jugadas se realicen en ambos subjuegos A y B en una forma intercalada. En otras palabras, es una forma de composici´on paralela disjunta.
Proposici´on 2.1 Condici´on de Cambio[Abr97]
Si en una jugada s∈PA⊗B, sucesivos movimientossi ysi+1 est´an en diferentes subjuegos (i.e.,
uno est´a en A y el otro en B), luego λA⊗B(si) = P yλA⊗B(si+1) = O.
El resultado anterior indica que s´olo el Oponente puede hacer un cambio de un subjuego a otro; el Proponente debe responder siempre en el mismo subjuego en el que el Oponente ha jugado. Para mostrar la Condici´on de Cambio consideremos un par ordenado por cada secuencia
sen el que el primer elemento del par indica el participante que tiene el turno en el subjuego A
y el segundo elemento indica el participante que tiene el turno en el subjuegoB. Inicialmente, el estado es ǫ= (O, O). La Figura 2.9 muestra el diagrama de transici´on de estados.
N´otese queO puede mover en cualquiera de los subjuegos en el estado inicial. SiOmueve en
A, luego el estado cambia a (P, O). En este punto,P s´olo puede mover el primer componente, volviendo al estado inicial. Note tambi´en que el estado (P, P) nunca ser´a alcanzado.
? (O, O) (P,O) (O, P) O @ @ @ @ @@R O P I P
Figura 2.9: Diagrama de transici´on de estados para el Producto.
Implicaci´on Lineal
Dados dos juegos A,B definimos al juego A ⊸B como sigue:
MA⊸B =MA+MB λA⊸B = [λA, λB] dondeλA(m) = P si λA(m) =O O si λA(m) =P PA⊸B ={s∈MAalt⊸B|s ↾MA∈PA∧s↾ MB ∈PB}
La definici´on anterior es muy similar a la dada para construir el juego A⊗B. La principal diferencia radica en la inversi´on de la funci´on de etiquetamiento sobre los movimientos de A. As´ı los roles de Proponente y Oponente son intercambiados en el lado izquierdo de la flecha. La idea que se pretende reflejar es que el Sistema tiene su entrada y su salida, y esta ´ultima es la entrada del Ambiente, i.e., el Sistema produce y el Ambiente consume. Por lo tanto, los roles se invierten.
Otra diferencia entre la Implicaci´on Lineal y el Producto reside en Malt
A⊸B y MAalt⊗B y en
consecuencia en PA⊸B y en PA⊗B respectivamente. El primer movimiento de PA⊸B debe ser
siempre deB, ya que este movimiento lo debe realizar el Oponente y todos los movimientos de apertura de A en PA⊸B est´an etiquetados por λA.
Proposici´on 2.2 Condici´on de Cambio[Abr97]
Si dos movimientos consecutivos lo realizan diferentes componentes, el primero lo realiz´o el Oponente y el segundo el Proponente. Luego, s´olo el Proponente puede cambiar componentes.
Esto puede ser analizado a trav´es del diagrama de estado-transici´on (adaptaci´on del pre- sentado en [Abr97]) que se presenta en la Figura 2.10. En la figura puede observarse que el
? (P, O) ?O (P, P) (O,?P) P I P I O
Figura 2.10: Diagrama de transici´on de estados para la Implicaci´on Lineal.
movimiento inicial, s´olo puede ser ejecutado dentro del juego B, ya que inicialmente juega el Oponente. Recordemos que la funci´on de etiquetamiento invirti´o el turno para el juegoA y por lo tanto, todos los movimientos que eran iniciales en el juego A, ya no son iniciales ya que el turno le corresponde al Proponente. As´ı comenzamos el juego enB.
2.5.5.
Estrategias
Los juegos clasifican comportamientos, de este modo los Programas ser´an modelados a trav´es de estrategias, i.e., reglas que especifican c´omo el Sistema deber´ıa jugar realmente.
Definici´on 2.20 (Estrategia) [AM97]
Una estrategiaσ sobre un juegoG[Abr97] es un subconjunto no vac´ıo de posiciones de longitud par de PG que satisface
ǫ∈ σ y si s[a, b]∈ σ entonces s ∈σ. En otras palabras, debe ser cerrado con respecto al prefijo de las secuencias, σ⊆PGpar.
s[a, b]∈σ y s[a, c]∈σ entonces b=c.
Podemos considerar a una secuencia s[a, b] ∈σ del siguiente modo: dado un est´ımulo a en un contexto s, responde con b. Note que para cada est´ımulo una estrategia define una ´unica respuesta, por lo tanto, una estrategia es siempre determin´ıstica.
Ejemplo 2.14 Consideremos nuevamente el ejemplo 2.13. Las estrategias sobre B son las siguientes:
{ǫ},Pref([∗,tt]),Pref([∗,ff])
La primera es la estrategia indefinida, ⊥; la segunda y la tercera corresponden a los valores
Una propiedad que podemos pedir a las estrategias esLibre de su Historia4. La idea intuitiva
de una estrategia libre de su historia es que la respuesta del Proponente a un movimiento dado del Oponente depende s´olo de ese movimiento; es completamente independiente del contexto, i.e., de la historia precedente. Tales estrategias son algunas veces conocidas como estrategias sin memoria.
Definici´on 2.21 (Estrategia Libre de Historia) [Har99]
Una estrategia σ sobre un juego G eslibre de su historia si y s´olo si (s[a, b]∈σ y t∈σ y t[a]∈PG) entonces t[ab]∈σ.
Una segunda restricci´on que podremos hacer sobre las estrategias es exigirle que sea inyec- tiva. En una estrategia inyectiva, una ocurrencia de un movimiento de P determina en forma precisa su contexto local, i.e., el movimiento O precedente.
Definici´on 2.22 (Estrategia Inyectiva) [Har99] Una estrategia σ sobre un juego G esinyectiva si y s´olo si
(s[a, b]∈σ y t[a′, b]∈σ) entonces a=a′.
Analicemos la estrategia identidad que es determin´ıstica, libre de su historia e inyectiva.
Ejemplo 2.15 Estrategia Copy-Cat5 [Abr97]
La idea de esta estrategia es vencer en ajedrez a Kasparov o a Short. Para llevar a cabo esto, jugamos dos juegos uno contra Kasparov, con las fichas negras, y uno contra Short, con fichas blancas. La situaci´on se muestra en la Figura 2.11.
Comenzamos el juego contra Kasparov. ´El realiza su jugada de apertura y nosotros jugamos su movida en nuestro juego contra Short. Luego Short responde, y nosotros jugamos su movi- miento como respuesta a Kasparov. De este modo, nosotros jugamos dos veces el mismo juego, pero uno con las fichas blancas y uno con las negras. As´ı sin importar quien gane (si alguno gana), nosotros ganaremos un juego. Esto puede ser visto como un proceso en el que nosotros actuamos de buffer, ya que indirectamente est´an jugando Kasparov versus Short.
4
En ingl´esHistory-freedom.
5
Utilizaremos el t´ermino tal cual se lo presenta en la cita [Abr97], aunque el vocablo correcto es copycat, cuyo significado esimitador.
Figura 2.11: Estrategia Copy-Cat.
Esta estrategia, la podemos definir para implicaci´on lineal A⊸A, para cualquier juego A
y su interpretaci´on de axiomas l´ogicos es A ⊢ A. As´ı el aspecto l´ogico de este proceso es la conservaci´on del flujo de informaci´on, lo que asegura que nosotros ganemos un juego.
En general, una estrategia copy-cat sobre un juego A procede del siguiente modo[Abr97]:
A
⊸
A
Tiempo 1 a1 O 2 a1 P 3 a2 O 4 a2 P ... ... ...As´ı la identidad sobre un juego A se define como: 1A=tt idA =
n
s∈PApar1⊸A2| s↾A1 =s↾ A2
o
donde A1 y A2 son las correspondientes dos ocurrencias de A enA⊸A.
Composici´on de estrategias
La intuici´on informal de la composici´on no difiere de la vista para los HO-games: combinar juegos para producir comportamientos m´as complejos. Esto provee una base para el entendi- miento de la composici´on de los sistemas de agentes interactuantes; entender el comportamiento de un sistema complejo en t´erminos del comportamiento de las partes.
Definici´on 2.23 (Composici´on Paralela de Estrategias) [Har99]
composici´on en paralelo como
σ||τ = nu∈(MG+MH +MJ)∗| u↾G, H ∈σ y u↾ H, J ∈τ o
Recordemos que u ↾ G, H denota a la secuencia que se obtiene a partir de u borrando todos los elementos que no pertenecen a (MG+MH) y que el signo + representa la uni´on disjunta de
conjuntos.
Definici´on 2.24 (Composici´on de Estrategias) [Har99]
Dadas dos estrategias σ y τ de los juegos G ⊸ H y H ⊸ J respectivamente, definimos la composici´on como
σ;τ = nu∈G, J| u∈σ||τo
Dada la definici´on de composici´on deberemos exigir que est´e bien definida, i.e., , que la composici´on sea una estrategia, y que adem´as sea asociativa. Las siguientes proposiciones lo aseguran; sus demostraciones pueden encontrarse en [Har99].
Proposici´on 2.3 [Har99] Si σ y τ son dos estrategias de G⊸H y H ⊸J respectivamente, entonces σ;τ es una estrategia de G⊸J, i.e., σ;τ est´a bien definida.
Proposici´on 2.4 [Har99] Si σ, τ y υ son estrategias de G ⊸H, H ⊸J y J ⊸ K respecti- vamente, entonces (σ;τ);υ = σ; (τ;υ).
G⊸H H ⊸J J ⊸K G⊸K O O O O 6 K ? O O P P 6 J ? O P O P 6 H ? P O O P 6 G ? O O O O
El juego G⊸K cambia de jugador s´olo cuando el movimiento se realiza en Go en K. Los pasos intermedios est´an escondidos por la interacci´on.
Las siguientes proposiciones indican c´omo se extienden las propiedades de las estrategias compuestas a la composici´on resultante.
Proposici´on 2.5 [Har99] Siσyτ son dos estrategias libres de su historia deG⊸HyH ⊸J
respectivamente, entonces σ;τ es una estrategia libre de su historia.
Proposici´on 2.6 [Har99] Si σ yτ son dos estrategias inyectivas deG⊸H yH ⊸J respec- tivamente, entonces σ;τ es una estrategia inyectiva.