El an´alisis del estado tensional de una pareja de engranajes se realiza en muchos casos suponiendo que la carga que se transmite en el contacto entre dientes se distribuye de
Tabla 2.4: Valores aproximados para los factores de influencia de la ecuaci´on 2.1. Valores obtenidos de la referencia [2]
Factor Valor m´ınimo Valor m´aximo YδrelT 0.70 1.80
YRrelT 0.94 1.12
YX 0.70 1.00
forma uniforme a lo largo del ancho de cara de los engranajes. Llevada a la pr´actica, esta suposici´on implica que la geometr´ıa de los engranajes debe estar libre de errores de fabricaci´on, que la fabricaci´on de todos los componentes y el ensamblaje de la transmisi´on son perfectos (la posici´on real de los ejes y engranajes coincide con la posici´on te´orica), que los engranajes se instalan sobre ejes indeformables, apoyados sobre rodamientos y soportes r´ıgidos, etc.
Sin embargo, estas hip´otesis dif´ıcilmente se cumplen en la realidad. Las tolerancias de fabricaci´on pueden hacer que los rodamientos sobre los que se instalan los ejes no est´en correctamente alineados. Tambi´en es posible que a pesar del avance de la tecnolog´ıa de manufactura, las geometr´ıas de los engranajes posean errores o desviaciones de fab- ricaci´on. Por descontado, los ejes de los engranajes, los rodamientos y los soportes se deforman bajo carga. Estos y otros efectos hacen que la posici´on real de los engranajes no coincida con la posici´on te´orica, de manera que se produce una desalineaci´on del engrane que lleva a patrones de contacto defectuosos.
En un completo art´ıculo sobre este tema, el profesor Houser [15] enumer´o las principales causas que producen la desalineaci´on del engrane, citadas a continuaci´on:
(i) Errores en la fabricaci´on de los elementos que conforman la transmisi´on y en el montaje de la misma.
(ii) Deformaciones el´asticas bajo carga de los elementos que componen la transmisi´on.
(iii) Holguras en las acanaladuras que fijan los engranajes a los ejes y en los rodamien- tos.
(iv) Deformaciones de los elementos que componen la transmisi´on debido a dilataciones t´ermicas.
(v) Fuerzas centr´ıfugas, especialmente en engranajes de alma adelgazada.
Afortunadamente para el dise˜nador de transmisiones de engranajes, las magnitudes de desalineaci´on provocadas por los efectos anteriormente mencionados son generalmente
peque˜nas, y suelen tener una influencia moderada sobre el estado tensional de los en- granajes. Si alguno de estos efectos debe despertar la inquietud del dise˜nador es la desalieneaci´on del engrane producida por las deformaciones el´asticas de los elementos que componen la transmisi´on. La norma AGMA-2001-D04 [10] clasifica estas deforma- ciones en:
(i) Deformaciones de los ejes que soportan a los engranajes.
(ii) Deformaciones de los cuerpos de los engranajes.
(iii) Deformaciones de los rodamientos.
(iv) Deformaciones de los apoyos.
Como se explica en la norma ISO-6336 [11], las deformaciones de los rodamientos y de los apoyos producen, generalmente, una separaci´on entre las superficies de contacto de los engranajes que se incrementa de forma lineal a lo largo de su ancho de cara. La rigidez de los rodamientos se incrementa a medida que aumenta la carga, y por ese motivo, su deformaci´on no es proporcional a la carga que recae sobre ellos. Por otra parte, las deformaciones de los alojamientos pueden ser superiores a las que se producen en los rodamientos, y en este caso la magnitud de las deformaciones suele ser proporcional a la carga que soportan.
Por el contrario, las deformaciones de los ejes y de los engranajes producen una sepa- raci´on de las superficies de contacto que se incrementa de forma no lineal a lo largo del ancho de cara de los engranajes. La deformaci´on de los ejes se produce, principalmente, debido a la flexi´on provocada por los esfuerzos transversales, derivados generalmente del contacto entre engranajes. Cuando hay ´unicamente un engranaje sobre el eje, la deformaci´on por flexi´on de ´este estar´a contenida, principalmente, dentro del plano de acci´on de la transmisi´on. Cuando hay varios engranajes montados sobre el mismo eje, o act´uan sobre ´el otras fuerzas externas, esta deformaci´on por flexi´on no tendr´a una di- recci´on preferente. La magnitud de la deformaci´on es aproximadamente proporcional a la carga transversal que la provoca. Los ejes de los engranajes tambi´en se deforman por el efecto de la torsi´on y de los esfuerzos axiales, aunque este tipo de deformaciones tiene una influencia menor sobre la desalineaci´on del engrane en transmisiones de engranajes de ejes paralelos.
Por ´ultimo, en los cuerpos de los engranajes se producen distintas deformaciones que influyen en la desalineaci´on del engrane, que se muestran de forma simplificada en la figura 2.1. De acuerdo con Weber y Banaschek [16], estas deformaciones se pueden clasificar en:
(i) Deformaciones locales producidas por el contacto entre dientes (figura 2.1a). (ii) Deformaciones del diente del engranaje, especialmente como consecuencia de su
flexi´on (figura 2.1b).
(iii) Deformaciones del cuerpo del engranaje, especialmente como consecuencia de la torsi´on (figura2.1c).
(a) (b) (c)
F F F
Figura 2.1: Deformaciones en el diente
Se han llevado a cabo m´ultiples investigaciones experimentales para determinar la influ- encia de las desalineaciones de los engranajes sobre su comportamiento y su capacidad de carga. Kubo [17] estudi´o el efecto de los errores de fabricaci´on y de montaje sobre el estado tensional de una transmisi´on de engranajes cil´ındricos helicoidales. Haigh [18] investig´o la influencia que tienen las desalineaciones en la distribuci´on de la carga en transmisiones de engranajes cil´ındricos helicoidales con anchos de cara grandes. Das [19] estudi´o la relaci´on entre las desalineaciones y los distintos modos de fallo de las ruedas dentadas. Hotait investig´o los efectos de las desalineaciones en las tensiones de flexi´on en la ra´ız de los dientes de engranajes helicoidales [20, 21] y hipoides [22]. Reciente- mente, Pau [23] ha realizado estudios sobre la influencia que tienen las desalineaciones de los engranajes sobre la distribuci´on de presi´on de contacto en transmisiones de pi˜n´on- cremallera.
Estas investigaciones ponen de manifiesto que la principal consecuencia de la desalin- eaci´on del engrane es que la distribuci´on de carga, que en teor´ıa es uniforme, resulta en una distribuci´on de carga no uniforme a lo largo del ancho de cara. Esto provoca que en algunas partes del diente la intensidad de la carga sea muy elevada, mientras que en otras partes la intensidad de carga sea baja o nula. Esta distribuci´on irregular de la carga provoca que las tensiones de contacto y de flexi´on en la zona en la que recae m´as carga sean superiores a las tensiones nominales que se producir´ıan en condiciones ideales de engrane, consideradas habitualmente en la fase de dise˜no de la transmisi´on para el c´alculo de su capacidad de carga. Esto supone que, a menudo, este incremento lleva a las tensiones fuera de los l´ımites admisibles, provocando el fallo prematuro de la
transmisi´on. Esta distribuci´on no uniforme de la carga tambi´en tiene otros efectos neg- ativos sobre la transmisi´on, como el aumento del desgaste de las superficies de contacto, el incremento de la generaci´on de calor, la introducci´on de errores de transmisi´on y la generaci´on de vibraciones y ruido.
A la vista de estas consecuencias, parece importante tener en cuenta todas las causas que producen la desalineaci´on del engrane al realizar el an´alisis tensional de una transmisi´on, incluyendo todos los tipos de deformaci´on anteriormente mencionados.
2.4
M´etodos anal´ıticos para la determinaci´on del estado
tensional de transmisiones de engranajes
Generalmente, los m´etodos anal´ıticos utilizados para la resoluci´on del problema de con- tacto entre dientes de engranajes se basan en la teor´ıa de Hertz [7]. Esta teor´ıa considera una distribuci´on semiel´ıptica de presiones aplicada en un semiespacio el´astico bajo la hip´otesis de deformaci´on plana. Las asunciones en las que se basa su aplicaci´on son las siguientes:
(i) Las deformaciones de los s´olidos en contacto son peque˜nas y dentro del rango el´astico del material.
(ii) Las superficies de los s´olidos en contacto son continuas y no conformes. Esto implica que las dimensiones del ´area de contacto ser´an peque˜nas comparadas con los radios de curvatura de las superficies de los s´olidos en las proximidades del contacto.
(iii) Los s´olidos en contacto se pueden aproximar a semiespacios el´asticos.
(iv) Las fuerzas de fricci´on que se producen entre los s´olidos en contacto son despre- ciables.
En estos m´etodos, el problema de contacto se ha resuelto tradicionalmente aproximando la geometr´ıa de los dientes de engranaje a dos cilindros perfectamente alineados, cuyos radios coinciden con el radio de curvatura de la superficie de los dientes de los engranajes en el punto de contacto (ρ1 y ρ2), como se muestra en la figura2.2. Esta aproximaci´on
ofrece resultados razonablemente buenos cuando el contacto te´orico entre dientes es una l´ınea recta, como en el caso de transmisiones de engranajes cil´ındricos rectos y helicoidales.
σH0 ρ1 ρ2 lc F ρ2 ρ1 O1 O2 N1 N2 σH0 C F (b) (a) db1 d1 db2 d2 αW αW
Figura 2.2: C´alculo anal´ıtico de la tensi´on nominal de contacto
Seg´un la teor´ıa de Hertz [7], la tensi´on de contacto que se produce entre dos cilindros de radio ρ1 y ρ2 comprimidos entre si por una fuerza F (figura 2.2a) se puede determinar
mediante la siguiente ecuaci´on:
σHO = ZE · s F lc · 1 ρ1 + 1 ρ2 (2.5)
En la ecuaci´on 2.5, lc denota la longitud total del contacto, y ZE es la constante de
elasticidad de los materiales, que se define mediante la ecuaci´on 2.6. En esta ecuaci´on, E1 y E2 son los m´odulos de elasticidad del pi˜n´on y de la rueda, y ν1 y ν2 son sus
respectivos coeficientes de Poisson.
ZE = v u u t 1 π·1−ν12 E1 + 1−ν2 2 E2 (2.6)
Para ejemplificar el c´alculo, considere una pareja de engranajes cil´ındricos helicoidales perfectamente alineados, cuyos dientes contactan en el c´ırculo de paso. La fuerza que comprime a los dientes de engranaje entre s´ı (F ) se puede calcular a partir del par considerado (T ), del di´ametro primitivo del pi˜n´on (d1), del ´angulo de presi´on medido en
el plano transversal (αt) y del ´angulo de h´elice en la circunferencia base (βb):
F = 2· T d1 ·
1 cos αt· cos βb
La longitud del contacto se calcula a partir del ancho de cara del engranaje (b) y del ´
angulo de h´elice en la circunferencia base:
lc=
b cos βb
(2.8)
Sustituyendo las expresiones2.7y 2.8en la ecuaci´on2.5 se obtiene:
σHO = ZE · s 2· T d1· b · cos αt· 1 ρ1 + 1 ρ2 (2.9)
Los radios de curvatura de las superficies de contacto de los dientes de engranaje en el punto de paso (figura 2.2a), medidos en el plano normal, se pueden determinar a partir del di´ametro de las circunferencias base (db1 y db2), del ´angulo de presi´on en la
circunferencia de paso (αwt) y del ´angulo de h´elice en la circunferencia base:
ρ1C = 1 cos βb db1 2 · sin αwt= 1 cos βb d1
2 · tan αwt· cos αt (2.10a) ρ2C = 1 cos βb db2 2 · sin αwt= 1 cos βb d2 2 · tan αwt· cos αt (2.10b) Sustituyendo las expresiones2.10a y 2.10b en la ecuaci´on 2.9se obtiene:
σHO= ZE· r 2· T d1· b · cos αt· 2· cos βb tan αwt· cos αt · d1+ d2 d1· d2 (2.11)
Habitualmente, la ecuaci´on2.11incluye dos factores de influencia, cuyo objetivo es cor- regir y adaptar dicha ecuaci´on a condiciones de trabajo no contempladas en las hip´otesis del m´etodo anal´ıtico. De esta manera, se incluye una factor Z que tiene en cuenta la
longitud efectiva de las l´ıneas de contacto, y un factor Zβ, que tiene en cuenta la in-
fluencia del ´angulo de h´elice. Por brevedad, el c´alculo de estos factores no se expone en este trabajo, pero puede se consultado en la norma ISO-6336 [8]. De esta forma, la ecuaci´on2.11 se puede reescribir, dando lugar a la siguiente expresi´on:
σHO= ZE· ZH · Z· Zβ·r 2 · T
d1· b ·
d1+ d2
d1· d2
(2.12)
donde ZH se denomina el factor de zona:
ZH =
r
2· cos βb
tan αwt· cos2αt
Este procedimiento de c´alculo de la tensi´on nominal de contacto es aplicable tambi´en a engranajes cil´ındricos rectos, considerando un ´angulo de h´elice nulo (cos β = 0).
Los valores de tensi´on obtenidos a partir de la ecuaci´on2.12corresponden a valores nom- inales, calculados a partir de ciertas hip´otesis que no siempre representan correctamente la realidad. La simulaci´on del contacto entre los dientes de los engranajes mediante cilin- dros perfectamente alineados no permite tener en cuenta las posibles desalineaciones que pueden ocurrir en una transmisi´on. Como consecuencia, la distribuci´on de la carga re- sultante de este an´alisis siempre ser´a uniforme. Por este motivo, es habitual el uso de un factor de correcci´on, que adapte el resultado de tensi´on obtenido bajo condiciones ideales de an´alisis al que se obtendr´ıa en condiciones reales. El uso de estos factores de correcci´on se expone m´as adelante.
Las normas ISO-6336 [8] y AGMA-2001-D04 [10], as´ı como en las principales gu´ıas de dise˜no de engranajes [1,2,13,14], proponen m´etodos anal´ıticos para resolver el problema de contacto entre dientes de engranaje basados en esta aproximaci´on. Houser [15] la uti- liz´o para estudiar los efectos de las desalineaciones en engranajes cil´ındricos helicoidales. Sobre este mismo tipo de engranajes, Patil [24] ha utilizado esta aproximaci´on para estudiar los efectos que tiene la fricci´on sobre las tensiones m´aximas que se producen en el contacto.
Cuando se desea aplicar la teor´ıa de Hertz para estudiar el contacto entre dientes en aquellos tipos de engranajes en los que el contacto te´orico es un punto, es habitual aproximar las zonas de las superficies de los dientes de los engranajes cercanas al contacto mediante elipsoides. De esta forma, Gosselin [25] pudo aplicar la teor´ıa de Hertz para determinar las deformaciones que se producen en el contacto entre dientes de engranajes c´onicos espirales e hipoides, con el objetivo de estudiar los errores de transmisi´on bajo carga. Litvin [26] utiliz´o esta aproximaci´on para resolver el problema de contacto entre dientes de engranajes, y aplicar la distribuci´on de presi´on de contacto resultante a un modelo de elementos finitos del diente para resolver el problema estructural y determinar las tensiones en la ra´ız del diente. Sheveleva [27] aplic´o esta soluci´on para estudiar el contacto entre dientes de engranajes c´onicos espirales en aquellas posiciones del ciclo de engrane en las que el contacto se produce en una zona alejada de los bordes de la superficie. Recientemente, Gonz´alez-P´erez [28] se bas´o en la teor´ıa de Hertz para resolver completamente el problema de contacto en engranajes modificados con doble abombamiento de la superficie de contacto de los dientes del pi˜n´on.
Por otra parte, los m´etodos anal´ıticos tambi´en se han utilizado para predecir las tensiones que se producen en la ra´ız de los dientes de los engranajes. En la mayor´ıa de estos m´etodos, el diente de engranaje se simula como si fuese una viga en voladizo, sometida
a una carga que se supone uniformemente distribuida a lo largo del ancho de cara del diente, como se muestra en la figura 2.3.
F hFe sFn αFen Sección crítica
Figura 2.3: C´alculo anal´ıtico de la tensi´on nominal de flexi´on
Como explica Maitra [5], la investigaci´on en este campo ha permitido concluir que las tensiones a compresi´on (σC) y cortantes (τ ) se pueden despreciar (figura1.11), pues sus
efectos sobre la resistencia de los dientes de engranaje son despreciables. Por lo tanto, es habitual considerar ´unicamente las tensiones de tracci´on producidas por el efecto del momento flector. Estas tensiones alcanzan su valor m´aximo cuando la carga se aplica en el punto m´as elevado en el que se produce contacto en un ´unico diente. Determinar la posici´on de este punto es uno de los retos de este c´alculo anal´ıtico, y generalmente se obtiene por procesos iterativos.
Considerando el diente de engranaje como una viga en voladizo, la tensi´on de flexi´on que se produce en la ra´ız del diente se puede estimar mediante la f´ormula de Navier. Esta f´ormula determina la tensi´on de flexi´on m´axima (σF 0) a la que est´a sometida una
secci´on cualquiera de la viga a partir del momento interno que act´ua en la secci´on (Mz),
su momento de inercia (Iz) y la distancia desde la fibra neutra de la viga al punto m´as
alejado de la secci´on (ymax):
σF 0 =
Mz
Iz · y
max (2.14)
Para poder calcular la tensi´on de flexi´on m´axima, es necesario determinar la secci´on cr´ıtica del diente. Como se comentar´a m´as adelante, existen distintas propuestas para la localizaci´on de la secci´on cr´ıtica. El momento flector (Mz) al que est´a sometida la
secci´on cr´ıtica se puede determinar a partir de la fuerza considerada (F ) y su ´angulo de aplicaci´on medido en el plano normal (αF en), as´ı como a la distancia que esta fuerza
act´ua con respecto al punto sobre el que se desea calcular la magnitud del momento (hF e):
Mz= F · cos αF en· hF e (2.15)
La fuerza total considerada en el c´alculo a flexi´on se puede calcular a partir del par aplicado a la transmisi´on (T ), el di´ametro primitivo del pi˜n´on (d1) y el ´angulo de presi´on
normal de la transmisi´on (αn):
F = 2· T d1· cos αn
(2.16)
Si se considera un diente de engranaje cil´ındrico recto, la secci´on transversal a cualquier altura del diente tiene forma rectangular, y su momento de inercia (Iz) se puede de-
terminar a partir del ancho de cara (b) y de la anchura del diente en la secci´on cr´ıtica (sF n): Iz= 1 12· b · s 3 F n (2.17)
Por ´ultimo, la distancia entre la fibra neutra y el punto m´as alejado de la secci´on cr´ıtica (ymax) es:
ymax =
sF n
2 (2.18)
Sustituyendo las expresiones2.15,2.16,2.17 y2.18en la ecuaci´on 2.14se obtiene:
σF 0 = 6· 2· T d1· b · cos αF en cos αn · hF e s2 F n (2.19)
Multiplicando y dividiendo la expresi´on anterior por el m´odulo normal (mn), se puede
reescribir como:
σF 0=
2· T
d1· b · mn · YF
(2.20)
En la ecuaci´on anterior, YF es el factor de forma, y tiene en cuenta las caracter´ısticas
geom´etricas del diente contenidas en la ecuaci´on2.19que afectan al c´alculo de la secci´on cr´ıtica del diente y al punto y a la direcci´on de aplicaci´on de la carga:
YF =
6· hF e· cos αF en· mn
cos αn· s2F n
La ecuaci´on 2.20para el c´alculo de la tensi´on nominal de flexi´on se completa habitual- mente con otros factores que tienen en cuenta caracter´ısticas de dise˜no no contempladas en el desarrollo actual. De esta manera, es habitual incluir los siguientes factores en el c´alculo de la tensi´on nominal del contacto:
(i) Un factor YS para tener en cuenta la influencia de la concentraci´on de tensiones
que se produce en el radio de entalle. Existen diversas propuestas para realizar el c´alculo de este factor, pero sin duda, es la de Dolan y Broghamer [6] la m´as utilizada en la literatura, y la considerada tanto en la norma ISO-6336 como en la AGMA-2001-D04.
(ii) Un factor Yβ que corrige la intensidad del momento flector en la ra´ız del diente
cuando el c´alculo se aplica a engranajes helicoidales.
En favor de la brevedad, el c´alculo de los factores anteriormente descritos no se expone en este trabajo. Si bien se pueden encontrar distintos m´etodos de c´alculo en la literatura, los m´as extendidos en la industria aparecen en la norma ISO-6336 [9]. De esta manera, la ecuaci´on para el c´alculo de la tensi´on nominal en la base del diente quedar´a:
σF 0=
2· T
d1· b · mn · YF · YS· Yβ
(2.22)
Como ocurr´ıa en el m´etodo anal´ıtico propuesto para el c´alculo de la tensi´on de contacto, los valores de tensi´on obtenidos a partir de la ecuaci´on 2.22 corresponden a valores nominales, calculados a partir de ciertas hip´otesis que no siempre representan correcta- mente la realidad. Una de estas hip´otesis es la asunci´on de que la carga se reparte de forma uniforme en todo el ancho de cara del engranaje. Como se ha comentado en el