Como se ha comentado anteriormente, un paso importante a la hora de aplicar el m´etodo de los elementos finitos es la discretizaci´on de las geometr´ıas consideradas en el modelo a analizar.
Algunos autores [24,39,57,65,66,68,79,82] han utilizado programas CAD (Computer Aided Design) para generar las geometr´ıas de contacto de los engranajes y discretizarlas en elementos finitos para someterlas a an´alisis. A pesar de la sencillez y la inmediatez que proporciona esta estrategia, ofrece algunos inconvenientes importantes, como la escasa
precisi´on de las geometr´ıas generadas, la dificultad a la hora de aplicar condiciones de contorno o el bajo nivel de automatizaci´on y repetitibilidad de los an´alisis realizados.
Un enfoque m´as interesante es utilizar algoritmos computacionales para la generaci´on y la discretizaci´on en elementos finitos de las geometr´ıas de contacto de los engranajes, de manera que los puntos que definen la malla de elementos se obtengan a partir de las ecuaciones anal´ıticas de las superficies del diente y del anillo [22,28,52,52,60,63,71,77,
78,112–117,127]. Adem´as del incremento de la precisi´on en la definici´on de la geometr´ıa que ello supone, con la utilizaci´on de este m´etodo de mallado se consigue facilitar y automatizar la creaci´on de distintos casos de estudio, garantizando la repitibilidad entre ellos.
Entre estas estrategias automatizadas de mallado destaca la propuesta por Argyris [60] y Litvin [116], y utilizada posteriormente por m´ultiples autores [22, 28, 52, 78, 113–
115,117,127] para la discretizaci´on en elementos finitos de geometr´ıas de contacto de engranajes. Con ella se consiguen mallas estructuradas de elementos s´olidos hexa´edricos. Las l´ıneas principales de este m´etodo de mallado se detallan a continuaci´on:
1. El volumen del cuerpo a estudiar se representa anal´ıticamente utilizando las ecua- ciones de las superficies de ambas partes de los dientes del pi˜n´on o de la rueda y la porci´on correspondiente del anillo. La figura 4.5a muestra la geometr´ıa de un diente de engranaje cil´ındrico recto.
2. Se determinan anal´ıticamente las superficies intermedias 1 a 6 mostradas en la figura 4.5b. Estas superficies permiten dividir el diente en seis vol´umenes, y de esta manera controlar la discretizaci´on de estos subvolumenes en elementos finitos.
3. Las coordenadas de los nodos se determinan anal´ıticamente teniendo en cuenta el n´umero de elementos deseados en la direcci´on longitudinal y la direcci´on del perfil del diente (figura4.5c). Es importante enfatizar que la posici´on de todos los nodos del modelo de elementos finitos se determina de forma anal´ıtica, incluso la de los nodos que pertenecen a las superficies auxiliares.
4. Por ´ultimo, se realiza la discretizaci´on del modelo en elementos finitos utilizando los nodos determinados en el paso anterior, como se muestra en la figura4.5d. Como resultado, se obtiene una malla estructurada de elementos s´olidos hexa´edricos. En este caso, se utilizan elementos hexa´edricos con modos incompatibles (ref. C3D8I en Abaqus [119]), pues por sus caracter´ısticas, detalladas en el apartado 4.2.1, resultan ser los m´as eficientes para abordar el an´alisis tensional en transmisiones de engranajes.
(a) (b) (c) (d) 1 2 3 4 5 6
Figura 4.5: (a) Geometr´ıa del engranaje, (b) superficies auxiliares, (c) determinaci´on de los nodos y (d) discretizaci´on del volumen en elementos finitos
La densidad de la malla y la geometr´ıa de los elementos se modifican variando el n´umero de nodos incluidos en cada una de las dimensiones que se describen en la figura4.6. En el caso mostrado en la imagen, se ha considerado un nodo en la zona inferior del anillo y dos nodos en la zona superior. En el radio de entalle se han especificado cuatro nodos, y ocho nodos en la direcci´on del perfil. Por ´ultimo, se han especificado 28 nodos en la direcci´on longitudinal. El punto de posicionamiento, donde confluyen las superficies auxiliares del mallado est´a situado a una distancia de la cabeza del diente de 1.2 veces su m´odulo.
El volumen completo a considerar en el modelo de elementos finitos se obtiene mediante la clonaci´on del diente generado, de manera que es posible considerar modelos de varios dientes.
A pesar de que este m´etodo de mallado es el m´as extendido en la literatura consul- tada, posee algunas limitaciones que es necesario mencionar. Estas limitaciones vienen principalmente impuestas por las siguientes condiciones:
Dirección del perfil Radio de entalle Parte inferior del anillo Parte superior del anillo Punto posicionamiento
Figura 4.6: Par´ametros de control de la densidad de la malla
(i) Como se ha comentado en el apartado4.2, un modelo de elementos finitos eficiente es aquel que utiliza una malla densa en las zonas en las que los gradientes de tensi´on y de deformaci´on son elevados, mientras que reduce la densidad de las mallas en aquellas zonas en las que los gradientes son menos elevados.
(ii) Por otra parte, la utilizaci´on de los elementos finitos hexa´edricos con modos in- compatibles (ref. Abaqus C3D8I) para la discretizaci´on del modelo est´a sujeta a la obtenci´on de mallas de elevada calidad, evitando la presencia de elementos distor- sionados, especialmente en las zonas donde los gradientes de tensi´on son elevados, como se ha comentado en el apartado4.2.1.
Como fruto de la transmisi´on de potencia, es habitual que las geometr´ıas de los engrana- jes est´en sometidas a gradientes elevados de tensi´on en la zona de la ra´ız del diente y en la zona en la que se produce el contacto. Conseguir un mallado eficiente implicar´ıa concentrar un n´umero elevado de nodos en la zona de la ra´ız del diente y en la zona en la que se produce el contacto, y reducir la densidad de la malla en el resto de la geometr´ıa del engranaje sometida a an´alisis. En cambio, con este m´etodo de mallado no se puede realizar un refinamiento localizado de la malla, pues reducir el tama˜no de los elementos en una zona del modelo de elemento finitos implica reducirlo tambi´en en la zonas cercanas, como efecto de la propagaci´on de la malla, incrementando r´apidamente el coste computacional asociado al modelo. Adem´as, el incremento de la densidad de la malla puede llevar a la aparici´on de elementos finitos con geometr´ıas degeneradas en
otras zonas del diente, que como se ha comentado, implican una reducci´on dr´astica de la precisi´on del modelo. Estos efectos se incrementan a medida que crece el n´umero de dientes considerados en el an´alisis. Por lo tanto, ser´a necesario tener en cuenta es- tas limitaciones cuando se generen las mallas de elementos finitos de las geometr´ıas de contacto de los engranajes por este m´etodo.