Un proceso bivariante z(t) es un par formado por dos procesos univariantes, x(t) y y(t), donde E[x(t)] = µx(t)
y E[y(t)] = µy(t).
La función de autocovarianza de x(t) será:
γx(t, τ) = E[(x(t) − µx(t))(x(t + τ) − µx(t + τ))]
en tanto que la función de autocovarianza de y(t) será:
γy(t, τ) = E[(y(t) − µy(t))(y(t + τ) − µy(t + τ))]
Se denomina función de cross-varianza o covarianza cruzada a:
γx,y(t, τ) = E[(x(t) − µx(t))(y(t + τ) − µy(t + τ))]
Hay que señalar que γx,y(t, τ) no es igual a γy,x(t, τ), pero existe una relación entre las dos funciones ya que: γx,y(t, τ) = γy,x(t + τ, −τ)
Señalar, por último; que la covarianza entre x(t) y y(t) sería γx,y(t, 0).
Si se asume la estacionariedad de x(t) y y(t), entonces E[x(t)] = µx y E[y(t)] = µy, y la función de
cross-varianza no dependerá más que del retardo τ.
Suponiendo que µx = µy = 0, se comprueba que γx,y, no depende mas que del retardo τ, es decir que γx,y(t, τ) = γx,y(τ):
γx,y(t, τ) = E[x(t)y(t + τ)] = E[x(t + s)y(t + s + τ)], ∀s, t
La función de correlación cruzada se define como:
ρxy(τ) = γx,y(τ) γx(0)γy(0)
Cuando t = 0 , γx,y(0) es la covarianza habitual y ρxy(0) =
γx,y(0) γx(0)γy(0)
sería el coeficiente de correlación de Pearson entre x(t) e y(t). Los estimadores de γx,y(τ) y ρx,y(τ) se calculan:
Cx,y(k) = ( 1 T PT −k t=1(x(t) − µx)(y(t + k) − µy) si k = 0, 1, ..., T − 1 1 T PT −k t=1(x(t + k) − µx)(y(t) − µy) si k = −1, −2, ..., −(T − 1) rxy(k) = Cx,y(k) pCx(0)Cy(0)
La función de autocovarianza que obtenemos en el dominio temporal, tiene también su correspondiente representación en el dominio frecuencial; esta es el cross-espectro o espectro cruzado. Así, si partimos de dos procesos estacionarios x(t) y y(t), con la siguiente representación espectral:
x(t) = Z π 0 cos(wt)dUx(w) + Z π 0 sin(wt)dVx(w) y(t) = Z π 0 cos(wt)dUy(w) + Z π 0 sin(wt)dVy(w)
donde Ui(w) e Vi(w), i = x, y son procesos estocásticos con dominio definido en (0, π), con media 0 y de
incrementos incorrelacionados.
Dado que dichos procesos son conjuntamente estacionarios en covarianza, se demuestra que:
E[dUx(w)dUy(w0)] = E[dVx(w)dVy(w0)] = E[dUx(w)dVy(w0)] = E[dVx(w)dUy(w0)] = 0, ∀w 6= w0 E[dUx(w)dUy(w)] = E[dVx(w)dVy(w)] = C(w)dw
E[dUx(w)dVy(w)] = E[dVx(w)dUy(w)] = q(w)dw
De manera que la notación de la cross-varianza quedaría como:
γx,y(τ) = Z π 0 cos(wt)C(w)dw + Z π 0 sin(wt)q(w)dw
Que implica que la covarianza entre x(t) e y(t) sea:
γx,y(0) =
Z π
0
C(w)dw
El cross-espectro se formula como:
fxy(w) = 1 π
∞
X
π=−∞
γxy(τ)e−iwτ,0 ≤ w ≤ π
Dado que en general el cross-espectro es complejo; se define el cross-espectro (C) como la parte real de cross-espectro y el espectro de cuadratura (Q) como la parte imaginaria, que además coinciden con C(w) y
q(w): fxy(w) = C(w) − iq(W ) Se deduce que: C(w) = 1 π ∞ X π=−∞ γxy(τ)cos(wτ) y q(w) = 1 π ∞ X π=−∞ γxy(τ)sin(wτ)
fxy(w) = αxy(w)eiφxi(w)
siendo
αxy(w) = pC2(w) + q2(w)
que se conoce como espectro de cross-amplitud.
φxy= artg
−q(w)
C(w)
que se denomina espectro de fase.
Del cross-espectro y de la función de densidad espectral individual de las dos series x(t) e y(t) se obtiene la función de coherencia:
R(w) =C
2(w) + q2(w) fx(w)fy(w)
El cross-espectro representa la aportación a la covarianza entre x(t) e y(t) de sus diversos componentes armónicos. Como su interpretación no es simple, se utilizan las funciones de espectro de fase y coherencia, ya que el espectro de fase revela el desfase o retardo que en el comportamiento cíclico sigue una serie respecto a la otra; y el análisis de la función de coherencia permite identificar si la correlación que se da entre las dos series se debe a que ambas siguen un comportamiento cíclico en determinados periodos, permitiendo identificar la duración o periodo de los armónicos que dominan en ambas series a la vez y que producen una alta correlación.
La construcción del cross-espectro cuando τ = 0 y γxy(0) es la covarianza habitual, da lugar a las siguientes
funciones C(w) y q(w) :
C(w) = γxy(0)
2π
q(w) = 0
Si E[x(t)] = µx = 0 y E[y(t)] = µy = 0, la covarianza entre x(t) = xt e y(t) = yt se reducuría a γxy(0) = PTt=1xtyt, y la parte real del cross-espectro se reduce a :
C(w) = 1 2π T X t=1 xtyt
Teorema de Plancharel
Sean A(x) y B(x) dos funciones continuas de periodo 2π cuyos desarrollos de Fourier son:
A(x) = ∞ X x=−∞ aneinx B(x) = ∞ X x=−∞ bneinx
∞ X n=−∞ anbn = 1 2π Z π −π A(x)B(X)dx
Si A(x) = B(x) se obtiene la identidad de Parseval:
∞ X n=−∞ |an|2= 1 2π Z π −π |A(x)|2dx
De igual manera que la identidad de Parseval estudia la distribución de la varianza de una serie desarrollada en sus armónicos, la de Plancharel estudia la covarianza entre dos series desarrolladas en sus armónicos. Partiendo de una serie armónica x(t) = Pk
n=1ancos(nw0t) + bnsin(nw0t) y otra y(t) = P k
n=1a∗ncos(nw0t) + b∗nsin(nw0t), en donde k = T2 si el numero de observaciones T es par, o k = T −12 si el numero de observaciones T es impar, la expresión de igualdad de plancharel sería:
1 2 T 2 X n=1 ana∗n+ bnb∗n= 1 T Z T2 −T 2 x(t)y(t)dx
El producto escalar de x(t) e y(t):
T X t=1 x(t)y(t) = T X t=1 ( k X n=1
[ancos(nw0t) + bnsin(nw0t)][a∗ncos(nw0t) + b∗nsin(nw0t)])
da como resultado:1 2
PT2
n=1(ana∗n+ bnb∗n), en base a la ortogonalidad de las series de seno y coseno.
Coeficiente de correlación de Pearson
Dado que la covarianza entre las series armónicas x(t) e y(t) se desarrolla a partir de los coeficientes de Fourier: σxy2 = 1 2 T 2 X n=1 ana∗n+ bnb∗n
cabe considerar a cada expresión ana∗n+bnb∗n
2 como la contribución del armónico n a la formación de la
covarianza, de manera que la representación de Cxy(wn) =
T (ana∗n+bnb∗n)
4π frente a los n armónicos permite
apreciar las frecuencias entre las que las series x(t) e y(t) covarían en sentido positivo o negativo. Se puede observar que un ciclo relevante en ambas series originará un valor alto en Cxy(wn), en tanto que un ciclo
poco relevante en alguna de las dos series dará lugar a un valor bajo en Cxy(wn).
En tanto que el coeficiente de correlación de pearson se obtendría a partir de:
ρxy(0) = PT2 n=1ana∗n+ bnb∗n q (PT2 n=1a2n+ b2n)(P T 2 n=1a∗2n + b∗2n )
Utilizando la definición alternativa de las series de fourier, tenemos que x(t) = C0+ Pkn=1Cn(cos(nw0t − θn)
e y(t) = C∗ 0+ P
k
n=1Cn∗(cos(nw0t − θ∗n), en donde C0= a20, Cn= pa2n+ b2m, y θn= arctanabnn; y C0∗= a∗0 2, Cn∗= pa∗2 n + b∗2n , y θn= arctan b∗n a∗ n.
Se aprecia entonces que en cada armónico n , θn determinara el ángulo de desfase en radianes de cada serie de
fourier, si queremos obtener el desfase en unidades de tiempo, hay que dividirlo por la frecuencia fundamental (w0), wθn0, entonces la diferencia wθn0 −
θ∗n w0 =
θn−θ∗n
wo determinara el desfase entre los armónicos n de las dos
series.
En definitiva, los coeficientes de Fourier también permiten analizar la covarianza cruzada y los desfases que se dan entre las frecuencias relevantes de dos series armónicas.
Ejemplo 5
Se realiza una representacion del cross-espectrum de las series datos anuales del PIB en Indices de Volumen y el consumo de energia final en España, correspondientes al periodo 1995-2018.
Se utiliza la función “crossSpectrum” de la libreria IRISSeismic, la función tiene una opción, spans, donde se puede incluir el vector de enteros impares que se utilizarán para suavizar el periodograma (anchos modificados de Daniels).
En el ejemplo se representan las funciones de espectro de fase y coherencia library(IRISSeismic)
library(vars)
## Loading required package: MASS
## Loading required package: strucchange ## Loading required package: zoo
##
## Attaching package: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base': ##
## as.Date, as.Date.numeric ## Loading required package: sandwich ## Loading required package: urca ## Loading required package: lmtest
# Lectura de datos
energia <-read.csv("energia.csv",header=TRUE,sep=";") E=energia$CEEF
P=energia$PIB_IV
ts1=ts(P,frequency = 1, start = 1995) ts2=ts(E,frequency = 1, start = 1995)
# Calculate the cross spectrum
DF <- crossSpectrum(ts.union(ts1,ts2),spans=4)
# Calculate the transfer function
transferFunction <- DF$Pxy / DF$Pxx
transferAmp <- Mod(transferFunction)
# 2 rows
layout(matrix(seq(2)))
# Plot
plot(1/DF$freq,transferAmp,type='l',log='x', xlab="Period",
main="Transfer Function Amplitude") plot(1/DF$freq,transferPhase,type='l',log='x',
xlab="Periodo", ylab="degrees",
main="Transfer Function Phase")