Apéndice

16.6.1

La Definición de Riemann de la Integral

La definición de Riemann de la Integral que hoy lleva su nombre, se basa en la no- ción de suma de Riemann asociada a una partición y a una selección subordinada. Pasamos a explicar este concepto.

Sumas de Riemann

Sea

P

:a=x0x1:::xn

=b

una partición del intervalo

[a;b]

. Unaselección

S

asociada a la partición

P

es una sucesión de puntos.

S

:1;2;:::;n;

tales que

1

2

I1= [x0;x1]; 2

2

I2= [x1;x2]; :::; n

2

In

= [xn

1;xn]:

Es decir, que una selecciónS asociada a la partición

P

, «selecciona» en efecto, un

punto

k

en cada intervalo

Ik

= [xk

₁;xk]

de la partición

P

. En la figura 16.18, se ilustra esta situación.

Los puntos de la parti- ción aparecen indicados por segmentos verticales y los de la selección S apa-

recen representados por puntos gruesos

Figura 16.18

Ahora, consideremos la situación habitual en este capítulo: Una función acotada

f(x)

definida en el intervalo

I

= [a;b]

.

Definición: Sea

P

una partición de

I

y seaSuna selección asociada

a

P

. Entonces definimos la suma de Riemann

S(f;P;

S

)

correspondiente

a la función

f

(acotada en

I

), la partición

P

y la selecciónScomo:

S(f;P;

S

) =f(1)(x1

x0) +f(2)(x2

x1) +::::+f(n)(xn

xn

1)

Observe que cada término de esta suma está asociado (como en el caso de las sumas de Darboux) con un intervalo

Ik

= [xk

1;xk]

de la partición

P

. Pero mientras que estos términos en el caso de las sumas de Darboux, tenían la forma

mk(xk

xk

1)

y

Mk(xk

xk

1)

donde

mk= inf

f

f(x)

j

x

2

Ik

g

;

Mk

= sup

f

f(x)

j

x

2

Ik

g

;

aquí se trata el número

f(k)(xk

xk

1);

Así que, claramente, la siguiente relación vale para los tres números aquí considera- dos:

16.6 Apéndice 299

También hay una interpretación geométrica de las sumas de Riemann, para el caso de funciones positivas

f(x);

como sumas de áreas de rectángulos. En la figu- ra 16.19, se ilustra esta situación.

La suma de Riemann correspondiente a esta partición

P

y esta selecciónS, es igual a la suma de las áreas de los rectángulos sombreados Figura 16.19

Es claro que si la función

f(x)

es

0

en todo

x

, entonces el término

f(k)(xk

xk

1)

de la suma de Riemann

S(f;P;

S

)

es el área del rectángulo

Rk

, con base

Ik=

[xx

1;xk]

y altura

f(k)

.

El otro concepto central en la definición de la integral de Riemann es la noción de

norma de una partición.

Definición: Sea

P

una partición de

I

= [a;b]

,

P

:x=x0x;::::xn

=b:

Llamaremos lanorma de P, que indicaremos conj

P

jal número: j

P

j

= max

f

xk

xk

1

j

k= 1;:::;n

g

Así que j

P

j indica la longitud del intervalo más largo que contiene la partición

P

. Por ejemplo, decir quej

P

j

< "

equivale a decir quetodo intervalo

Ik

de

P

tiene

longitud menor que

"

.

La idea de la construcción de Riemann de la integral es la siguiente:

Para que una función

f(x)

sea integrable, «las sumas de Riemann deben acercar- se tanto como se quiera a un número —la integral de

f

— con tal que las normas de las particiones sean suficientemente pequeñas».

Es claro que la frase anterior debe ser precisada para que afirmaciones tales como «tanto como se quiera» o «sean suficientemente pequeñas» adquieran un contenido no ambiguo. Estas precisiones las haremos un poco más abajo. Ahora, sin embargo, queremos detenernos para señalar las diferencias principales que se aprecian entre las definiciones de Darboux y de Riemann de la integral.

Si el lector lo piensa un momento, verá que la definición de la integral que hemos dado al comienzo de este capítulo, que se debe a Darboux, se podría formular en los siguientes términos:

Para que la función

f(x)

sea integrable, «las sumas superiores y las sumas infe- riores deberían estar simultáneamente tan cerca como se quiera de un número —la integral de

f

— con tal que las particiones que se usan, sean suficientemente finas». Observamos que ambas definiciones presentan diferencias que se pueden resu- mir así:

Por una parte, los números que «aproximan a la integral» se construyen de mane- ra diferente (sumas de Darboux versus sumas de Riemann), aunque hay una relación clara entre ellos. Ya vimos que

mkxk

f(k)xk

Mkxk

y luego, sumando:

S(f;P)S(f;P;

S

)S(f;P)

para toda partición

P

de

I

y toda selecciónSasociada con

P

.

Pero las divergencias más sustanciales se presentan cuando se considera que las maneras de aproximarse a la integral dependen de «afinar» las particiones que se usan, en dos sentidos muy diferentes. En efecto, si

P

es una «partición mucho más fina

P

0

» será una que tiene todos los puntos de

P

y «muchos más». Pero bien podría suceder que, a pesar de esto,

P

0

y

P

tuviesen la misma norma. El lector emprendedor debería dar un ejemplo de esto. Por otra parte, dada la partición

P

, podríamos fácilmente crear una

P

0

con norma mucho más pequeña

P

0

pero de tal manera que ni

PP

0

ni

P

0

P:

¿Puede el lector dar un ejemplo de esto?.

Luego de haber establecido estas observaciones de carácter informal, pasamos las definiciones precisas.

Definición: (La definición de Riemann de la integral): Dada la función

f(x)

, acotada en el intervalo

I

= [a;b]

, diremos que

f

esintegrable

en el sentido de Riemann en

I

con integral

si se verifica la siguiente condición:

Para cada

" >0

existe

>0

tal que para cada partición

P

con norma

j

P

j

<

y cada selecciónS asociada a

P

, se verifica que j

S(f;P;

S

)

j

< "

Cuando esto suceda, diremos que

f

es integrable

R

en

I

y pondremos

=R

Z

b

a

f(x)dx

Además, para distinguir, diremos que

f(x)

es integrable

D

si

f(x)

es integrable en el sentido de Darboux, según la definición que hemos dado al comienzo de este capítulo. Si

es su integral, pondremos

=D

Z

b

a

f(x)dx

y diremos que

es la integral de

f

en el sentido de Darboux.

El lector sagaz, habrá observado que la definición de la integral de Riemann tie- ne en su forma un parecido con la definición de límite de una función, aunque los ingredientes, aparte del

"

y el

, son bien diferentes.

Después de lo que hemos dicho en cuanto a las diferencias que señalamos entre ambas definiciones de la integral, el siguiente importante teorema tiene sin duda un carácter básico.

Teorema 17 (Darboux) Dada

f(x)

acotada en

I;f

es integrable en el sentido de Riemann si y sólo si

f

es integrable en el sentido de Darboux.

Además, si

f

es integrable (en cualquiera de los dos sentidos), tenemos

R

Z

b

a

f(x)dx=D

Z

b

In document MA 1112 Guía del Departamento 1998 pdf (página 51-54)