MA 1112 Guía del Departamento 1998 pdf

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(2) MATEMÁTICAS II. Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero de 1998. Este libro es la continuación del texto Matemáticas I y ha contado con la colaboración de muchos profesores en las distintas etapas del mismo. Esta es una reedición de la Guía de MA1112 (1997). Se hicieron algunas correcciones y se agregaron ejercicios. Se agregó el capítulo de Integrales Impropias el cual estuvo a cargo del profesor Alberto Mendoza. Los redactores de otros capítulos desde la primera edición son: María R. Brito, Julio Cano, Luis Mata, Reinaldo Giudici, Enrique Planchart y Lázaro Recht. Los ejercicios agregados se tomaron de otras guías publicadas en el Departamento. Los preparadores Yolanda Perdomo y Sebastian García colaboraron en el montaje de los ejercicios. El arte final estuvo a cargo de los profesores Alberto Mendoza y Luis Mata..

(3) Índice General 15 Primitivas 15.1 Definición, primitivas de una función 15.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Respuestas a los ejercicios . 15.3 El cálculo de primitivas . . . . . . . . 15.4 Propiedades de las primitivas . . . . 15.4.1 Linealidad de las primitivas . 15.4.2 Cambio de variables . . . . . 15.4.3 Primitivas por partes . . . . . 15.5 Algunos ejercicios . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 253 253 257 258 261 263 263 264 264 265. 16 Integración 16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman . . . . . . . . . . . 16.1.1 Preliminares acerca de particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . 16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux . . . . . . . . . . . 16.4 Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Subaditividad y aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.3 Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.4 Propiedad aditiva de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.1 La Definición de Riemann de la Integral . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 267 267 267 271 276 278 282 282 283 284 286. 17 La Función Logaritmo 17.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Propiedades de la función Logaritmo Natural 17.3 La gráfica del f (x) = ln(x) . . . . . . . . . . 17.4 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . 17.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . .. 311 311 311 313 315 315 316 318. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 290 298 298 301.

(4) ii. ÍNDICE GENERAL 18 La Función Exponencial 18.1 La Función Exponencial Natural . . . . . . . . 18.2 Propiedades de la función Exponencial Natural 18.3 La gráfica de ex : . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Otra definición del número e: . . . . . . . . . . 18.5 Funciones exponenciales generales . . . . . . 18.6 Funciones logarítmicas generales . . . . . . . 18.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 323 323 323 325 325 326 328 329 330. 19 La Funciones Hiperbólicas 19.1 El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico . . . . 19.2 Otras funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . 19.3 Idéntidades hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas 19.5 Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . 19.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 335 335 337 338 341 342 344 346. 20 Métodos de Integración 20.1 Integración por partes . . . . . . . . 20.2 Integración por sustitución . . . . . . 20.3 Sustituciones Trigonométricas . . . . 20.4 Integración de funciones racionales 20.5 Integrales Trigonométricas . . . . . . 20.6 Ejercicios adicionales . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 349 349 351 353 357 362 368. 21 Aplicaciones de la Integral 21.1 Areas . . . . . . . . . . 21.2 Volúmenes . . . . . . . 21.3 Trabajo . . . . . . . . . 21.4 Ejercicios adicionales .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 381 381 385 391 394. 22 Integrales Impropias 22.1 Integrales sobre intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Criterio de convergencia sobre intervalos infinitos . . 22.2 Integrales de funciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1 Criterio de convergencia para funciones no acotadas 22.3 La función Gama de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.1 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 411 411 413 413 414 414 416 417. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..

(5) 252. ÍNDICE GENERAL.

(6) Capítulo 15. Primitivas Los importantes conceptos que ahora comenzamos a estudiar forman una muy poderosa herramienta en el cálculo. Queda a todos usarlo para el provecho de la humanidad. El primero, la primitiva, es lo «opuesto» de la derivada y se dice que: Dada una función f , toda función g tal que g 0 = f se llama una primitiva de f . Sólo con esa presentación usted puede, a manera de ejercicio, encontrar una primitiva (también llamada antiderivada) para cada una de las siguientes funciones: (verificar si sus resultados son o no correctos es muy fácil pues basta derivar lo obtenido y compararlo con la función de partida) 1. 2. 3. 4. 5.. f (x) = 4x3 + 2x f (x) = 2 cos x x(t) = t3 + 5t2 1 f (x) = x2=3 x(t) = cos 3t. 15.1. 6. 7. 8. 9.. f (x) = 2x cos(x2 ) f (x) = cos xsen3 x. 2x f (x) = sen2 x = 1 cos 2. f (x) = cos3 x. Definición, primitivas de una función. Ahora, más formalmente, comenzamos recordando que una función f es derivable si tiene derivada en cada punto de su dominio y que, para hablar de la derivada de una función en un punto, requerimos que la función esté definida en un intervalo abierto alrededor del punto. Por ello, adoptaremos la siguiente convención: Mientras no se especifique lo contrario, todas las funciones consideradas en este capítulo tienen por dominio un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos. Por supuesto, R = ( 1; +1); (a; +1) y ( 1; a) se consideran intervalos abiertos. Definición: Dada una función f , se llama primitiva de f a toda función derivable g tal que g 0 = f , es decir, tal que g 0 (x) = f (x) para todo x del dominio de f y g ..

(7) 254. Primitivas Ejemplos 1. La función x ! 2x3 + 3x es una primitiva de la función x ! 6x2 + 3. 2. La función t ! sent es una primitiva de t ! cos t. 3. La función t ! (sent) + 7, es también una primitiva de t ! cos t. 4. Una primitiva de la función. x 7! p 1. 1 x2. j x j< 1. es la función x 7! arcsenx; también lo son todas las funciones , con C constante.. x 7! arcsenx + C. Como habrá notado en los ejemplos, una función puede tener más de una primitiva. En realidad, si una función tiene una primitiva, tiene una infinidad de ellas. En efecto, si g 0 = f , entonces, para toda constante c, se tiene:. (g + c)0 = f: Por tanto, si uno conoce una primitiva de f , puede calcular una infinidad de ellas, sumándole constantes. Lo interesante es que de esa manera se obtienen todas. Si g es una primitiva de f y el dominio de f es un intervalo, todas las primitivas de f son de la forma g + c, con c constante. Este hecho es consecuencia del teorema siguiente: Teorema 1 Sea f una función derivable cuyo dominio es un intervalo. Si la derivada de f se anula en todo punto del intervalo, la función es constante. Prueba: Es una consecuencia inmediata del teorema de Lagrange. Tómelo como ejercicio. Puede ver los detalles en la guía de Matemáticas I. 2 Observación: Es importante la hipótesis de que el dominio de un intervalo como lo muestra el ejemplo 3 que se da más adelante.. f sea. Corolario 2 Si f y g son dos funciones derivables y f 0 (x) = g 0 (x) para todo x de un intervalo I , entonces f y g difieren en I por una constante, es decir, existe c 2 R tal que f (x) = g (x) + c para todo x 2 I . Prueba: En efecto, (f g )0 = f 0 g 0 = 0 en el intervalo I ; eso, por el teorema 1, 2 Como consecuencia significa que f g = c con c 2 R. Por tanto f = g + c en I . inmediata tenemos ahora nuestra afirmación de antes: Corolario 3 Si el dominio de f es un intervalo y F es una primitiva de f , toda primitiva de f es la forma F + c, con c 2 R. De nuevo se pide que el dominio de una función sea un intervalo; vea el ejemplo 4..

(8) 15.1 Definición, primitivas de una función. 255. Ejemplo: 1. Supongamos que la velocidad de una partícula está dada por la función v(t) = 4t2 5 y que en el instante t = 3 la partícula se encuentra en el punto de abscisa 6. Entonces, la función x(t) que da la posición de la partícula en cada instante t, debe satisfacer. x0 (t) = 4t2 5 y x(3) = 6:. Desde el punto de vista físico, esas dos condiciones deben determinar completamente el movimiento de la partícula. Veamos que ocurre lo mismo matemáticamente. 4 Como x(t) debe ser una primitiva de t ! 4t2 5 y la función t ! t3 5t es una primitiva (verifíquelo) x(t) tiene que ser de la forma:. con C. 3. x(t) = 43 t3 5t + C. 2 R (por el Corolario 3). Sabemos además que x(3) = 6, es decir:. 4 33 5:3 + C = 6 3 De allí resulta que C = 15.. Y, por lo tanto, la función que describe el movimiento de esa partícula tiene que ser. x(t) = 43 t3 5t 15: Ejemplo: 2. Supongamos ahora que tenemos una partícula que se mueve en línea recta de manera que su aceleración en cada instante t es. a(t) = 6t + 4. y trataremos de determinar su movimiento. De x00 (t) = a(t) = 6t + 4, se deduce que x0 (t) = 3t2 + 4t + C1 con C1 una constante. De la última igualdad se obtiene. x(t) = t3 + 2t2 + C1 t + C2. con C2 constante. Cualesquiera que sean las constantes C1 y C2 , la función x(t) así obtenida satisface x00 (t) = 6t +4, y por tanto, sirve para describir el movimiento de una partícula cuya aceleración sea t ! 6t + 4. Desde el punto de vista físico, conocida la aceleración en cada instante junto con la posición y velocidad en un instante determinado, el movimiento de la partícula debe estar determinado. Supongamos por ejemplo, que se sabe que la partícula se encuentra en el punto de abscisa 0 en el instante t = 1 y que su velocidad en ese instante es 2. Entonces. 2 = x0 (1) = 3:12 + 4:1 + C1 0 = x(1) = 13 + 2:12 + C1 :1 + C2. es decir,. 2 = 7 + C1 0 = 3 + C1 + C2.

(9) 256. Primitivas De allí resulta C1 = 5 y C2 = 2; quedando unívocamente determinada la función que describe el movimiento de la partícula. Ella es:. x(t) = t3 + 2t2 5t + 2 En las secciones siguientes diremos algo sobre cómo calcular primitivas. Antes quisiéramos presentarle algunos ejemplos más, que ayudan a aclarar los resultados de esta sección. Ejemplo: 3. Sea f la función definida por. f (x) = arctan x + arctan x1 :. Entonces:. 2 f 0 (x) = 1 +1 x2 + 1 +11=x=x2. = 1 +1 x2 + 1 +1x2 = 0 para todo x 6= 0. Sin embargo,. f (1) = arctan(1) + arctan(1) = 2 f ( 1) = arctan( 1) + arctan( 1) = 2. así que f no es constante. Justifique usted. ¿Por qué este ejemplo no contradice el teorema 1? Ejemplo: 4. La función H definida por. H (x) =. . 1. 1. si x  0 si x < 0. no tiene primitiva. Ver la gráfica en la figura 15.1.. gráfica de la función H (x) Figura 15.1 Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Darboux, la propiedad del valor intermedio de la derivada (Matemáticas I) ya que H (x).

(10) 15.2 Ejercicios. 257. presenta una discontinuidad de salto. También podemos contestar por reducción al absurdo, suponiendo que H tiene una primitiva. Supongamos pues, que existe una función g : R ! R tal que g 0 (x) = H . Entonces, g0 (x) = 1 en el intervalo (0; +1), lo cual implica que g(x) = x + C para todo x > 0. De la misma manera, g0 (x) = 1 en ( 1; 0) lo que implica que g (x) = x + K para todo x < 0. Pero, si g es derivable en R, tiene que ser continua; en particular tiene que ser continua en 0. Como. lim g(x) = C. x!0+. y. lim g(x) = K ,. x!0. para que g sea continua en 0, es necesario que C . = K = g(0). Por tanto. x + C si x  0 x + C si x < 0 Es decir, g (x) =j x j +C para todo x 2 R. Pero ya sabemos que x !j x j +C no es derivable en 0. Como hemos llegado a algo falso, concluimos que nuestra suposición de que H tiene una primitiva tiene que ser falsa. Por tanto H no tiene primitiva. g(x) =. Más generalmente, en virtud del teorema de Darboux referido antes, no tienen primitiva aquellas que presentan un salto en su dominio, es decir, aquellas funciones para las cuales existan los dos límites laterales en un punto de su dominio, sin que sean iguales. El hecho notable es esa propiedad del valor intermedio para las funciones derivadas (Matemáticas I). Sin embargo, eso no quiere decir que todas las funciones con primitiva tengan que ser continuas; hay funciones discontinuas que tienen primitiva (sus discontinuidades no pueden ser «saltos»).. 15.2. Ejercicios. 1. Halle una primitiva de las funciones definidas por las expresiones siguientes: (a) (b) (c) (d) (e) (f). x2 2x. senx cos 3x 4x3 4x3 + 2 cos x. 2. Determine todas las funciones cuya derivada segunda sea:. x ! 3x2 + 4sen2x 3. Determine todas las funciones cuya derivada tercera sea. x ! 2x.

(11) 258. Primitivas 4. Determine la función que describe el movimiento rectilíneo de una partícula si se sabe que: (a) Su velocidad en cada instante t es t4 + 2t y x(0) = 5.. (b) Su velocidad en cada instante t es sent + cos t y x(1) = 0.. (c) Su aceleración en cada instante t es t2 + 2t y x(1) = 1 y v (1) = x0 (1) = 3.. (d) Su aceleración en cada instante t es sen2t y x(0) = 1 y v (0) = 2.. (e) Su masa es 3 y sobre ella actúa una fuerza igual a 3t3 +12 en cada instante t; además x(0) = 4 y v(0) = 15. 5. De una función f se sabe que (a). f (2) = 3.. (b) En cada punto (x; f (x)) de su gráfico, la recta tangente existe y tiene pendiente 3x + 2. Determine f .. 6. Pruebe que 8 <. arctan x + arctan x1 = :. . si x > 0. 2.  si x < 0 2. (Sugerencia: use el teorema 1). 7. Sean g y f las funciones definidas por. g(x) = f (x) =. . x2 sen x1 0. . si x 6= 0 si x = 0. 2xsen x1 cos x1 0. si x 6= 0 si x = 0. (a) Pruebe que g es una primitiva de f .. (b) Pruebe que f no es continua.. 8. Sea F una primitiva de f y supongamos que f tiene inversa, que denotamos por f 1 . Pruebe que la función G definida por:. 9.. G(x) = x:f 1 (x) F (f 1 (x)) es una primitiva de f 1 . (Suponga que f y f Sea f la función definida por  0 f (x) = 25xx + 23 sisi xx  <0 Pruebe que f no tiene primitiva.. 1 son derivables).. (Sugerencia: Teorema de Darboux, o alternativamente analice como tendría que ser la primitiva en los intervalos ( 1; 0) y (0; +1)).. 15.2.1 1.. Respuestas a los ejercicios.

(12) 15.2 Ejercicios. 259. (a). x3. (d). (b). x2. (e). 3. cos x. (c). (f). 1 sen3x 3. x4 x4 + 2senx. 2. Si f 00 (x) = 3x2 + 4sen2x, entonces f 0 (x) = x3. 4. f (x) = x4. 2 cos 2x + C y, por tanto,. sen2x + Cx + D. con C y D constantes arbitrarias. 3. Si f 00. 3 0 (x) = 2x, entonces f 00 (x) = x2 + C:f 0 (x) = x + Cx + D, y, por tanto,. 3. 1 x4 + C x2 + Dx + E; f (x) = 12 2 con C; D; E constantes arbitrarias. 4. (a) (b). 5. x(t) = t5 + t2 + C Si x0 (t) = sent + cos t, entonces,. x(t) = 1 ( cos t) + 1 sent + C. como x(1) = 0, se tiene. 1  ( 1 + 0) + C = 0. C = 1 Por tanto,. (c) (d) (e). x(t) = 1 ( cos t + sent 1) 3 4 x(t) = t + t + 5 t 13. 12 3 3 12 x(t) = 14 sen2t + 52 t + 1: Como F (t) = m:a(t) = 3t3 + 12, se tiene x00 (t) = t3 + 4. x(0) = 4 y v(0) = 15, implica. t5 + 2t2 + 15t + 4: x(t) = 20. Eso, junto con. 5. La pendiente de la tangente al gráfico de f en el punto (x; f (x)) es f 0 (x). Por la hipótesis se sabe que esa pendiente vale 3x + 2, es decir. f 0 (x) = 3x + 2. para todo x. De allí resulta,. f (x) = 32 x2 + 2x + C:.

(13) 260. Primitivas Como f (2) = 3, se obtiene finalmente,. f (x) = 23 x2 + 2x 7 6. Sea f (x) = arctan x + arctan x1 ; entonces,. 2 f 0 (x) = 1 +1 x2 + 1 +11=x=x2. = 1 +1 x2. para todo. x 6= 0.. 1 1 + x2 = 0. f tiene que ser constante en ( 1; 0) pues. Por el teorema 1,. f 0 (x) = 0 en ese intervalo. Como f ( 1) =  , se tiene 2. f (x) = 2. para todo x < 0.. Análogamente, f tiene que ser constante en f (x) = =2 para todo x > 0. 7. (a) Si x 6= 0, se tiene. . g0 (x) = 2xsen 1 + x2 cos 1. En x = 0, se tiene. x. (0; +1) y f (1) = =2.. . x. Por tanto. . 1 1 1 x2 = 2xsen x cos x = f (x):. g(h) g(0) = h2 sen(1=h) = hsen 1 h h h. Como. 1 =0 lim h sen h!0 h. (por ser j sen. se tiene g 0 (0) = 0. Por tanto, primitiva de f .. 1 j< 1) h. g0(x) = f (x) para todo x 2 R y g es una. (b). 1 1 lim f (x) = xlim !0(2xsen x cos x ). x!0. no existe y, por tanto, f no es continua en 0. 8. Recordando la fórmula para la derivada de f , se tiene,. f. 1 en términos de la derivada de. G0 (x) = f 1(x) + x f 0 (f 11 (x)) f (f 1(x)) f 0 (f 11 (x)) = f 1 (x) + f 0 (f x1 (x)) f 0 (f x1 (x)) = f 1 (x). para todo x..

(14) 15.3 El cálculo de primitivas. 261. 9. Supongamos que f tuviera una primitiva, digamos g . Como (0; +1), g tiene que satisfacer. g(x) = x2 + 3x + C. f (x) = 2x + 3 en. para todo x 2 (0; +1). Análogamente,. g(x) = 52 x2 2x + K En realidad, tanto,. para todo x 2 (. 1; 0). C = K = g(0) pues g es continua en 0 (por ser derivable). 8 > <. x2 + 3x + C. g(x) = > 5 : x2 2x + c 2. Por. si x  0 si x  0. Las derivadas a la derecha y a la izquierda de esa función en el punto 0 valen, respectivamente, 3 y 2 y, por tanto ella no es derivable en 0; eso contradice nuestra suposición de que g 0 (x) = f (x) para todo x. Por tanto f no tiene primitiva.. 15.3. El cálculo de primitivas. La ideas que aquí se presentan serán de utilidad, tanto para este curso, como para cursos de Física y cómo no ¡para toda las ciencias!. Sea f una función que sabemos tiene primitivas y preguntémonos cómo obtener una de ellas. Puede ocurrir que la función f aparezca en la parte derecha de una tabla de derivadas «inmediatas» en ese caso ya está: la función que aparece a la izquierda de f en la tabla es una de sus primitivas, las otras se obtienen de ésa agregando constantes arbitrarias en cada intervalo máximo del dominio de f . Véase por ejemplo la tabla 15.1 Ejemplos 1. Una primitiva de x 7! cos x es la función x 7! de la forma x 7! senx + C , con C constante.. senx; toda otra primitiva de cos es. x 7! p 1 2 (jxj < 1) es la función x 7! arcsenx; todas sus 1 x primitivas son de la forma x 7! arcsenx + C . Consideremos la función x 7! x5 .. 2. Una primitiva de. 3.. Esta no aparece en la columna de la derecha de la tabla, sin embargo, aparece la expresión 6x5 como derivada de x 7! x6 (caso = 6 de la derivada de x 7! x6 ). De. d 6 5 dx (x ) = 6x.

(15) 262. Primitivas. f 0 (x). f (x) constante. xp x. x. 0 p 1 1=(2 x) (x > 0). x. senx cos x tan x arcsenx arccos x arctan x. 1. cos x senx 1 +ptan2 x = 1= cos2 x 1= p1 x2 (jxj < 1) 1= 1 x2 (jxj < 1) 1=(1 + x2 ) Tabla 15.1 Una tabla de derivadas. deducimos fácilmente que. d 1 6 5 dx ( 6 x ) = x : Por tanto, las primitivas de x 7! x5 son las funciones de la forma. x 7! 16 x6 + C: De la misma forma se pueden obtener las primitivas de cualquier función de la forma x 7! x con real (x > 0 si no es entero). escríbalas Ud. Las primitivas de x 7! x son las funciones de la forma x 7! +C . (Complete usted el espacio en blanco). Ahora pregúntese si tiene sentido esa fórmula en el caso en que = ocurre en ese caso. Esto lo veremos más adelante en el capítulo 16. Definición: Si mos por: Z. f es una función que admite primitivas, denotare-. f (x) dx. a cualquiera de ellas e inclusive a todas ellas simultáneamente. Este símbolo se lee «integral de efe de equis de equis».. 4. Con esa notación, los ejemplos vistos hasta ahora se escriben: (a) Z. Z. 1 y qué. cos x dx = senx y. cos x dx = senx + C.

(16) 15.4 Propiedades de las primitivas (b). Z. Z. (c). p 1. 263. dx. 1 Z x2 = p dx 2 1 x = arcsenx + C (jxj < 1) x5 dx = 16 x6 + C. Y, lo que usted debe haber completado, como Z. +1 x dx = x + 1 + C. si. 6= 1. Dicho esto, sigamos averiguando cómo se calculan primitivas.. (d) Busquemos ahora una primitiva de la función x 7! 1=(1 + 4x2 ). En la tabla de derivadas encontramos que. d 1 dx (arctan x) = 1 + x2. fórmula que implica que,. d 2 dx (arctan 2x) = 1 + (2x)2. De esta última se deduce que. d ( 1 arctan(2x)) = 1 dx 2 1 + 4x2 Por tanto,. Z. dx. 1 + 4x2. 15.4. = 12 arctan(2x) + C:. Propiedades de las primitivas. Aquí queremos resumir importantes propiedades de las primitivas que nos ayudarán en la solución de problemas y que también simplificarán su cálculo.. 15.4.1. Linealidad de las primitivas. La linealidad de la operación tomar derivada trae como consecuencia la linealidad de la operación buscar primitiva. Lo resumimos en el siguiente teorema: Teorema 4 Sean f y g funciones con primitivas Z. Z. f (x) dx y g(x) dx. respectivamente. Sea. una contante arbitraria. Entonces.

(17) 264. Primitivas Z. 1. Z. 2.. Z. f (x) dx =. f (x) dx. (f (x)  g(x)) dx =. Z. Z. f (x) dx  g(x) dx. 2. Prueba: Queda como ejercicio para el lector.. 15.4.2. Cambio de variables. La regla de la cadena para derivadas tiene consecuencias inmediatas para las primitivas: Teorema 5 Sean f y g funciones derivables tal que existe la composición algún intervalo abierto (a; b). Sea F una primitiva de f , entonces la función. f  g en. F (g(x)) = (F  g) (x) es una primitiva de f (g (x)):g 0 (x). Lo cual también escribimos como Z. F (g(x)) = f (g(x)):g0 (x) dx Prueba: Inmediato recordando la Regla de la Cadena y calculando la derivada. d F (g(x)) = F 0 (g(x)):g0 (x) = f (g(x)):g0 (x) dx. 2. El caso de las potencias A manera de observación, podemos pensar en el teorema anterior para el caso donde. n+1 f (x) = xn con n 2 N . En ese caso una primitiva de f (x) es nx + 1 . Así para toda función derivable g (x) podemos escribir la fórmula: Z n+1 (g(x))n :g0 (x) dx = (g(nx+)) 1 Esta fórmula se puede extender para otros casos del exponente n 6= 1.. 15.4.3. Primitivas por partes. Por último mencionaremos que la regla de Leibniz para la derivada de un producto también nos ayuda en el cálculo de las primitivas: Teorema 6 Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a; b). Entonces: Z. f (x):g0 (x) dx = f (x):g(x). Z. f 0 (x):g(x) dx:. Es decir, asumiendo que existen primitivas para f (x):g 0 (x) y f 0 (x):g (x) respectivamente, entonces una (y toda) primitiva de f (x):g 0 (x) se obtiene como f (x):g (x) «menos» una primitiva de f 0 (x):g (x)..

(18) 15.5 Algunos ejercicios. 265. Prueba: Estamos asumiendo que existen las primitivas referidas. La regla de Leibniz nos afirma que:. d dx (f (x):g(x) ) = f (x):g0 (x) + f 0 (x):g(x) por lo tanto Z. d dx (f (x):g(x) ) dx = f (x):g(x). es una primitiva de. f (x):g0 (x) + f 0 (x):g(x) pero por linealidad tenemos, Z. =. Z. [f (x):g0 (x) + f 0 (x):g(x)] dx. f (x):g0 (x) dx +. Z. f 0 (x):g(x) dx. así llegamos inmediatamente a la expresión buscada.. 15.5. Algunos ejercicios. 1. Calcule una primitiva de las funciones definidas por las siguientes fórmulas (a) (b) (c). p. x2 (x 6= 0) es un caso especial de x senx; sen3x; 4senx; bsen(ax) (a; b 2 R): cos( 2x); 5 cos(3x). 5. 2. Complete Z. (a) Z. (b) Z. (1 + tan2 x) dx = ? ( 2 < x < 2 ) 3x5 dx = ?. (c) Z. (d). p. 2 x dx = ?. (x > 0). p dx 2 = ?. (j x j< 1). 1 x. 3. Halle una primitiva de las funciones definidas por las expresiones siguientes:. 1 (j 3x j< 1) 1 (3x)2 1 1 + 5x2 p 1 2 1 + 3x cos(x + 1). (a) p (b) (c) (d). 2.

(19) 266. Primitivas (e). 2sen(2x + 3). 4. Obtenga una función que cumpla con lo requerido: (fijarse en las constantes) (a) (b). (c) (d). f 0 (x) = (x 1 3)2 para todo x > 3; f (4) = 5 f 00 (x) = x2 para todo x; f 0 (1) = 1, f (1) = 21 f 00 0 (x) = 3 para todo x; f 00 (2) = 0 , f 0(2) = 0 , f (2) = 5. f 00 (t) = t13 para todo t 6= 0; f 0 ( 1) = 0 f ( 1) = 0..

(20) Capítulo 16. Integración Para el mejor aprovechamiento de este capítulo, se recomienda un repaso de las nociones de supremo e ínfimo.. 16.1. La Definición de Darboux de la Integral de Riemman. 16.1.1. Preliminares acerca de particiones. Sea [a; b] = I un intervalo cerrado de números reales. Una partición P de I consiste de una sucesión de números x0 ; x1 ; : : : ; xn ; donde. a = x0  x1  : : :  xn = b Muchas veces pondremos. P : a = x0  x1  : : :  xn = b Observe que entre los números x0 ; x1 ; : : : ; xn ; puede haber repeticiones. Podemos hacer un dibujo de una partición de I , como en la figura 16.1. en donde n = 6, y. un dibujo de una partición de I Figura 16.1 donde se repiten x1 y x2 y x5 y x6 : Podemos decir que una partición de puntos entre a y b» . Si. P. de. I consiste en «una distribución ordenada. P : a = x0  x1  : : :  xn = b es una partición de [a; b], llamaremos los puntos de P. conjunto (finito):. puntos(P ) = fxk j k. = 0; 1; : : : ; ng. y escribiremos puntos. (P ) al.

(21) 268. Integración Observe que puntos(P ) es un conjunto de números reales, mientras que la partición P misma, es una numeración creciente de estos puntos con posibles repeticiones. Conviene cuidarse para no confundir ambos conceptos. Por ejemplo, en la partición P esquematizada en la figura 16.1, aunque n = 6, tenemos que el conjunto puntos(P ) tiene exactamente cinco elementos. Cuando sea necesario, indicaremos con P (I ) o P simplemente, al conjunto de todas las posible particiones de I: Ahora introducimos en el conjunto P de todas las posible particiones de I , una relación de orden, que será fundamental para el desarrollo del concepto de integral. Definición: Dadas las particiones P y P 0 de I , diremos que P es menos fina que P 0 o que P 0 es más fina que P y escribiremos P  P 0 o bien P 0  P si el conjunto de los puntos de P está contenido en el conjunto de los puntos de P 0 :. puntos(P )  puntos(P 0 ). Para aclarar el significado de esta definición pongamos los siguientes nombres: Si P : a = x0  x1  : : :  xn = b es una partición de I , pongamos. I1 = [x0 ; x1 ]; I2 = [x1 ; x1 ]; .. .. In = [xn 1 ; xn ] y llamaremos a cada uno de estos intervalos cerrados un intervalo de la partición P: Podríamos decir que una partición como P subdivide a I en los intervalos I1 ; I2 ; : : : ; In : En la figura 16.1 están marcados los intervalos I1 ; I2 ; : : : ; I6 : Observe que algunos de estos intervalos «degeneran» a un solo punto. Volviendo a nuestra definición, podemos decir que si P es menos fina que P 0 , entonces P 0 subdivide a cada intervalo de P en subintervalos, salvo por los posibles intervalos reducidos a un solo punto de P: (Analice esta afirmación). Observe que también uno podría tener P  P 0 con. P : a = x0  x1  : : :  xn = b P 0 : a = x00  x01  : : :  x0n0 = b pero podría ser n > n0 (porque podrían haber repeticiones). ¿Podría poner un ejem-. plo? Ahora pasamos a describir algunas propiedades fundamentales de la relación P P 0 : Las numeramos: 1. 2.. . P  P para cada P 2 P : (Propiedad reflexiva). Esto es obvio Si P  P 0 y P 0  P 00 , entonces P  P 00 : Esta es la propiedad transitiva y es evidente.. 3. Si P  P 0 y P 0  P ; no podemos concluir que conclusión correcta es que puntos(P ) = puntos(P 0 ); lo cual es claro a partir de la definición.. P y P 0 sean iguales, pero una.

(22) 16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman Así entonces, dos particiones «igualmente finas» (cada una es menos fina que la otra), pueden no ser iguales (¡haga un ejemplo!), pero son «esencialmente iguales» : tienen los mismos puntos. La única diferencia sólo puede estar en la numeración de estos puntos. Observación: La relación  de orden en P de particiones de varias diferencias importantes con, por ejemplo, el orden  de los números reales. Una de ellas es que el orden de P no es lineal: Existen particiones P y P 0 tales que ni P  P 0 ni P 0  P (decimos: P y P 0 no son comparables). Por ejemplo vea la figura 16.2.. I = [a; b] tiene. P y P 0 no son comparables. Figura 16.2. 4. La siguiente propiedad del orden en es más débil y dice así:. P , tiene que ver con la linealidad, aunque. Si P y P 0 son particiones de I , entonces existe P 00. 2 P tal que. P  P 00 y P 0  P 00 : Es decir, dadas dos particiones P y P 0 , pueden no ser comparables, pero hay alguna que «sigue» a ambas (es más fina que ambas). En cuanto a la demostración es claro que si consideramos el conjunto. A = puntos(P ) [ puntos(P 0 ) de los puntos de ambas particiones P y P 0 y las numeramos en forma creciente, obtenemos la partición P 00 buscada. Con esta lista de propiedades del orden en a la construcción de la integral.. P , concluimos la sección y pasamos. Ejemplos 1.. f 2; 1; 0; 21 ; 1; 3g es una partición de [ 2; 3] en donde x0 = 2; x1 = 1; x2 = 0; x3 = 12 ; x4 = 1; x5 = 3 y es claro que. 2 < 1 < 0 < 12 < 1 < 3. x0 < x1 < x3 < x3 < x4 < x5. 269.

(23) 270. Integración Obsérvese que la partición aquí presentada consta de 6 puntos, los cuales subdividen al intervalo dado [ 2; 3] en 5 subintervalos, a saber:. [ 2; 1]; [ 1; 0]; [0; 21 ]; [ 21 ; 1]; [1; 3] La longitud del intervalo dado es 3 ( 2) = 5 y las longitudes de los subintervalos correspondientes a la partición son respectivamente:. 1 ( 2) = 1; 0 ( 1) = 1; 21 0 = 12 ; 1 ( 12 ) = 12 ; 3 ( 1) = 2. . . . -2. -1. 0. | {z } | {z }. 1 |. 1. . . 1 1 2 |{z} |{z} |. 1 2 {z. 1 2.  3 {z }. 2 }. 5. Ejercicios . 1. Sea. . D = 12 ; 1; 32 ; 2; 4. una partición de [ 12 ;. 4]. Explique las razones por las. cuales podemos hacer tal afirmación. Indique cuántos puntos tiene la partición y cuáles son los subintervalos en que queda subdividido [ 21 ; 4]. Calcúlense además las longitudes del intervalo dado y la de los subintervalos. 2. (a) Demostrar que si un conjunto A tiene máximo, entonces máx(A) =Sup(A).. (b) Demostrar que si para un conjunto A no vacío acotado superiormente, Sup(A) 2 A, entonces Sup(A) =máx(A). (c) Demostrar las propiedades análogas a las de (a) y (b) para mínA e ínfA.. (d) Demuestre que si A es un conjunto acotado y B es un subconjunto no vacío de A, entonces B es acotado y se cumple que: ínf(A) ínf(B ) y Sup(B ) Sup(A). 3. Sean  P1 ;. P2 particiones delintervalo [0; 1],con  1 1 P1 = 0; 7 ; 3 ; 1 ; P2 = 0; 17 ; 14 ; 34 ; 1 (a) Construya P  (b) (c). = P1 [ P2. ¿Es P  un refinamiento de P1 ó de P2 ? Justifique su respuesta. Calcular la norma de P1 ; P2 y P  respectivamente. (Norma P. =máx(xi xi 1 ); i = 1; 2; : : : ; n).

(24) 16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux. 16.2. 271. Sumas superiores e inferiores de Darboux. En esta sección fijamos un intervalo I. = [a; b] y en él fijamos una partición P : a = x0  x1  : : :  xn = b. con sus intervalos. I1 = [x0 ; x1 ]; I2 = [x1 ; x1 ]; .. .. In = [xn 1 ; xn ]. Además fijamos una función f (x) definida en I , de la que suponemos que es acotada. Esto significa que existen números m y M tales que m  f (x)  M para todo x 2 I: Estos datos se observan en la figura 16.3. Con estos datos, introducimos los números. un dibujo de una partición de I Figura 16.3. mk = inf ff (x) j x 2 Ik g Mk = supff (x) j x 2 Ik g que se ilustran en la figura 16.3. Definimos ahora dos números básicos asociados con los datos: Ponemos. S (f; P ) = m1 jI1 j +    + mn jIn j = m1 (x1 x0 ) +    + mn (xn xn 1 ) S (f; P ) = M1 jI1 j +    + Mn jIn j = M1 (x1 x0 ) +    + Mn (xn xn 1 ) Estos números se llaman así: El primero es la suma inferior de Darboux de la función f para la partición P y el segundo es la suma superior de Darboux de la función f para la partición P: Hemos usado la notación jIk j para la longitud del intervalo Ik = [xk 1 ; xk ], que es xk xk 1 y que a veces también se escribe xk xk 1 = xk : Podríamos haber escrito entonces,. S (f; P ) =. n X. k=1. mk xk.

(25) 272. Integración. S (f; P ) =. n X k=1. Mk xk. La siguiente observación, tiene demostración muy sencilla (a cargo del lector) y es importante. Observación: Si. P 0  P , entonces. P y P 0 son igualmente finas, es decir, si P  P 0 y. S (f; P ) = S (f; P 0 ) y. S (f; P ) = S (f; P 0 ) «Las sumas inferiores y superiores de Darboux no cambian, si se sustituye una partición por otra igualmente fina» . Como ayuda para probarlo observe que los únicos términos que pueden aparecer por ejemplo en S (f; P ) y no en S (f; P 0 ) tienen xk = 0, y viceversa. (¿Por qué?). Análogamente para las sumas superiores. Observe que cada uno de los términos de las sumas anteriores, se pueden considerar como el producto de una longitud en el eje x por un número, que si lo medimos, con su signo, sobre el eje y , produce como resultado el área con signo, de un rectángulo. Esto se ilustra en las figuras 16.4 y 16.5. En el caso de la figura 16.4, S (f; P ). S (f; P ) resta las. áreas sobre el eje x menos las áreas bajo el eje Figura 16.4 consiste de la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje x menos la suma de las áreas de los que están por debajo. También en el caso de la figura 16.5, S (f; P ) consiste de la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje x menos la suma de las áreas de los que están por debajo. El lector diligente, observará que si f (x) es  0, y. R = f(x; y)jx 2 [a; b]; 0  y  f (x)g = «región bajo la gráfica de» f entonces S (f; P ) «calcula el área de R por exceso» y que S (f; P ) «calcula el área de R por defecto» en el sentido que los rectángulos que sirven para calcular S (f; P ) «cubren R» mientras que aquellos que sirven para calcular S (f; P ) «cubren una región contenida en R» , como ilustran las figuras 16.6 y 16.7. Claro que la afirmación anterior es vacía porque no sabemos aún qué cosa es el área de R:.

(26) 16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux. 273. S (f; P ) resta las áreas sobre el eje x menos las áreas bajo el eje Figura 16.5. S (f; P ). "<calcula el área de R por exceso"> Figura 16.6. S (f; P ) "<calcula el área de R por defecto"> Figura 16.7.

(27) 274. Integración Ejemplos 1. Podemos usar la noción de límite para calcular un área. Como un primer problema calculamos un área A rayada de la figura 16.8, es decir, el área bajo la parábola de la ecuación y = x2 , acotada por el eje x y la recta de la ecuación x = b.. Podemos usar la noción de límite para calcular un área Figura 16.8 A tal efecto se divide el segmento [0; b] en n partes iguales y se considera el área An obtenida al sumar las áreas de los rectángulos «inscritos», construidos sobre los subintervalos . b ; 2 b  ; 2 b ; 3 b  ; : : : ; (n 1) b ; b b  n n n n n n. (ver figura 16.9). Finalmente se llega a:. 3  An = nb 3 12 + 22 + : : : + (n 1)2 para todo n 2 N y se concluyó que. 3. b lim A = n n!1 3. Por tanto, el área buscada se «aproxima bastante» a. b3 3. 2. Continuemos explotando la idea de calcular un área, consideremos de nuevo la figura 16.8, repitamos la subdivisión de [0; b] en n partes iguales pero construyamos ahora los rectángulos «circunscritos», como sugiere la figura 16.10..

(28) 16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux. las áreas de los rectángulos "<inscritos"> Figura 16.9. las áreas de los rectángulos "<circunscritos"> Figura 16.10 De modo que. 2 2 2 Bn = nb  nb 2 + nb  22 nb 2 + : : : + n2 nb  nb 2 3 = nb 3 (12 + 22 + : : : + n2 ) n 3X = nb 3 k2 para todo n 2 N. k=1. Al crecer n, las áreas Bn se aproximan al área buscada, por tanto,. n 3 b3 X 2 = lim n(n + 1)(2n + 1) = b A  nlim B = lim k n !1 n!1 n3 n!1 6 3 k=1. 3 luego el área A  b3. Ejercicios 1. Representar gráficamente la función real de valores reales, f , cuya ley de correspondencia es: 8 3 > > > <. x. f (x) = > 1 + x2 > > :. 3. si x 2 [. 1; 0). si x 2 [0; 1) si x 2 [1; 2]. 275.

(29) 276. Integración . . Sea P = 1; 43 ; 0; 12 ; 1; 32 ; 2 una partición del intervalo [ 1; 2]. Demuestre que f es acotada en [ 1; 2] y calcule s(f; P ) y S (f; P ). 2. Sea f una función real de valores reales, acotada en [a; b], esto es, existen números reale m y M tales que m  f (x)  M para todo x 2 [a; b]. Demuestre la desigualdad siguiente:. m(b a)  s(f; P )  S (f; P )  M (b a) para cualquier partición P de [a; b]. 3. Si P1 y P2 son particiones de [a; b] y P1  P2 se dice que P2 es un refinamiento de P1 . Bajo las hipótesis del ejercicio anterior demuestre que:. s(f; P1 )  s(f; P2 ) S (f; P1 )  S (f; P2 ) Estas desigualdades se acostumbra leerlas en la forma siguiente: «La suma inferior para una partición P1 es siempre menor o igual que la suma inferior para un refinamiento P2 » y «la suma superior para P1 es siempre mayor o igual que la suma superior para el refinamiento P2 », o también: «A medida que refinamos las particiones, las suma inferiores aumentan y las sumas superiores diminuyen».. 4. Sea f tal que f (x) =. 8 > > > <. x+2. si x 2 [. > > > :. x. p. si x 2 (0; 1). 1; 0]. 1 + x si x 2 [1; 4] Para [ 1; 4], sea P = f 1; 0; 1; 3; 4g 2 P ([ 1; 4]). (a) Demuestre que f es acotada en [1; 4]. (b) Calcúlese. (c). m1 (f; P ); m2 (f; P ); m3 (f; P ); m4 (f; P ); y M1(f; P ); M2(f; P ); M3(f; P ); M4(f; P ) ¿Se cumple que 0  mi (f; P )  Mi (f; P )  3; 8 i = 1; 2; 3; 4? 8 3 x si x 2 [ 1; 0) > >. 5. Sea f dada por f (x) = yP. 16.2.1. = f 1;. > < > > > :. 1 + x2. si x 2 [0; 1). 3. si x 2 [1; 2]. 1 1 3 2 ; 0; 2 ; 2 ; 2g. Halle s(f; P ) y S (f; P ).. Propiedades básicas de las sumas de Darboux. Las siguientes son algunas de las propiedades más importantes que tienen las sumas de Darboux y que nos serán indispensables en la construcción de la integral..

(30) 16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux 1. Si f es acotada en I. = [a; b] y P. 277. es una partición de I , entonces. S (f; P )  S (f; P ): Esta afirmación es evidente y su prueba queda a cargo del lector. 2. Si f es acotada en I y si P , P 0 son particiones de I tales que P.  P 0 , entonces. S (f; P )  S (f; P 0 ) S (f; P )  S (f; P 0 ). (16.1) (16.2). Es decir, «cuando afinamos la partición, las sumas superiores bajan mientras que las sumas inferiores suben» . Prueba: Para demostrar esto basta verlo en el caso en que P 0 tiene un solo punto de partición más que P , porque el caso general consiste en una sucesión de aplicaciones de este caso (el lector debe convencerse de esto). Consideremos entonces este caso. La figura 16.11, ilustra la situación: Consideremos el. el caso en que P 0 tiene un solo punto de partición más que P Figura 16.11. caso de la desigualdad 16.1. En las dos sumas S (f; P ) y S (f; P 0 ) aparecen los mismos términos no nulos. La única diferencia es la siguiente:. . En S (f; P ) aparece el término mk (xk. . En S (f; P 0 ) aparece en cambio la suma de dos términos:. mk = inf ff (x)jx 2 [xk 1 ; xk ]g. xk 1 ) donde. j (tj tj 1 ) + j+1 (tj+1 tj ). donde. j = inf ff (x)jx 2 [tj 1 ; tj ]g j+1 = inf ff (x)jx 2 [tj ; tj+1 ]g El lector podrá mostrar sin dificultad que el número mk es a la vez, menor o igual que ambos j y j +1 (ya que «el ínfimo de un conjunto de números sólo puede decrecer si al dado conjunto se agregan más números» ). Pero entonces. mk (xk xk 1 ) = mk (tj tj 1 ) + mk (tj+1 tj )  j (tj tj 1 ) + j+1 (tj+1 tj ) lo que prueba que. S (f; P )  S (f; P 0 ).

(31) 278. Integración. porque, como dijimos, los demás términos son iguales en ambas sumas. La 2 prueba de la desigualdad 16.2 es análoga y queda a cargo del lector. 3. Si f es acotada en I. = [a; b] y P , P 0 son particiones de I , entonces. S (f; P )  S (f; P 0 ): Observe que lo que aquí decimos supera en mucho lo que se afirma en 1. En efecto, aquí decimos que toda suma inferior de f es inferior a toda suma superior independientemente de las particiones que se usen en cada caso. Prueba: La prueba es así: Elegimos una partición P 00 , más fina que ambas P y P 0 (recordando las propiedades del orden de las particiones en la página 268). Entonces. S (f; P )  S (f; P 00 ) S (f; P 00 )  S (f; P 00 ) S (f; P 00 )  S (f; P 0 ). prop. 2 P  P 00 prop. 1 prop. 2 P  P 0. 2. y de las tres desigualdades anteriores, sigue lo dicho.. 16.3. La integral superior y la integral inferior de Darboux. Dada la función acotada f en I = [a; b], queremos considerar que las sumas superiores S (f; P ) producen «estimaciones por exceso» y que las sumas inferiores S (f; P ) producen «estimaciones por defecto» de un número que, en caso de existir, será la integral de f en I: Ya hemos visto que para cada P 2 P (P = conjunto de todas las particiones de I ) y cada P 0 2 P ;. S (f; P )  S (f; P 0 ):. Como además, a medida que afinamos la partición P , las sumas inferiores de f suben mientras que las sumas superiores bajan, parece natural introducir los siguientes dos números:. b. Z. a. f (x) dx = sup fS (f; P ) j P 2 Pg y. b. Z. a. . f (x) dx = inf S (f; P ) j P 2 P b. Z. Definición: El número. a. f (x) dx se llama la integral inferior de Dar-. boux de f sobre el intervalo I , mientras que el número. la integral superior de Darboux sobre I:. b. Z. a. f (x) dx se llama.

(32) 16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux. 279. Observemos que. b. Z. a. b. Z. f (x) dx y. a. f (x) dx. son algo así como «la mejor (igual a la mayor) suma inferior» de f y «la mejor (igual a la menor) suma superior» de f (la que corresponde a «la partición más fina de I »). Lamentablemente no existe «la partición más fina de I » ni por consiguiente la mejor suma inferior, ni la mejor suma superior. Observemos que. fS (f; P ) j P 2 Pg y. . S (f; P ) j P 2 P. son conjuntos de números, de los cuales el primero está superiormente acotado (por cualquier S (f; P ) con P 2 P ) y el segundo está inferiormente acotado (por cualquier S (f; P ) con P 2 P ). Es por esto que los números. b. Z. a. b. Z. f (x) dx y. a. f (x) dx;. existen. Además la desigualdad. b. Z. a. f (x) dx . b. Z. a. f (x) dx. debería ser evidente. A pesar de ello, damos a continuación una prueba. Prueba: Sea  > 0: Existe entonces una partición P de I tal que. 1.. Z b  S (f; P ) + 2 > f (x) dx. 2.. Z b S (f; P ) 2 < f (x) dx. a. a. ¿Por qué? (¡Es importante que el lector se convenza de que lo anterior es consecuencia de la definición de ínfimo y supremo!). Entonces. b. Z. f (x) dx < S (f; P ) + 2 a  S (f; P ) +  <. b. Z. a. 2. f (x) dx + ( 2 + 2 ):. Entonces, para cualquier número positivo  los números plen con:. b. Z. a. f (x) dx <. b. Z. a. f (x) dx + :. b. Z. a. f (x) dx y. b. Z. a. f (x) dx cum-.

(33) 280. Integración. Queda como ejercicio importante para el lector, que entonces necesariamente. b. Z. a. f (x) dx . b. Z. f (x) dx;. a. 2. como se quería. Ahora damos finalmente la definición más importante del capítulo.. Diremos que la función f , acotada en el intervalo. Definición:. [a; b], es integrable en I si b. Z. a. f (x) dx =. b. Z. a. I=. f (x) dx. En este caso, diremos que el número. b. Z. a. f (x) dx o. b. Z. a. f (x) dx. es la integral de f en el intervalo I y pondremos simplemente este número. En símbolos, cuando f es integrable en I ,. b. Z. a Z. a. b. f (x) dx =. f (x) dx =. b. Z. a. y. b. Z. a. b. Z. a. f (x) dx para indicar. f (x) dx. f (x) dx =. b. Z. a. f (x) dx:. Veamos primero, una caracterización útil de la noción de función integrable: Proposición 7 Sea f (x) una función acotada en I = [a; b]: Entonces f es integrable en I si y sólo si se verifica la siguiente condición: «Para cada  > 0, existe una partición P tal que S (f; P ) S (f; P ) < :". Demostración: Esta prueba tiene, como siempre, dos partes. Supongamos primero que f es integrable. Sea  > 0: Entonces, existe una partición P 0 tal que. b. Z. a. f (x) dx + 2 > S (f; P 0 ). (¿Por qué? Se trata de la definición misma de ínfimo. Recuerde que de S (f; P 0 )). También existe P 00 tal que. b. Z. a. R. es un ínfimo. f (x) dx 2 < S (f; P 00 ). (¿Por qué? Nuevamente se trata de la definición de supremo. Recuerde que supremo de S (f; P 0 )).. R. es un.

(34) 16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux Ahora elegimos P. 281.  P 0 y P  P 00 , así tenemos que. Rb. > S (f; P 0 ) > S (f; P );.  a f (x) dx + 2. Rb.  a f (x) dx + 2. y. > S (f; P 00 ) > S (f; P ). Sumando, S (f; P ) S (f; P ) < ; como queríamos. Ahora, recíprocamente, supongamos que se cumple la condición del enunciado de la proposición y probemos que f es integrable. Sea  > 0 y sea P una partición de I tal que S (f; P ) S (f; P ) < : Entonces. b. Z. a. f (x) dx. a. (En efecto, se sustituyó Luego, la diferencia. b. Z. a. f (x) dx. b. Z R. por S que es más pequeña).. b. Z. f (x) dx  S (f; P ) S (f; P ) < :. a. f (x) dx. es un número mayor o igual a cero, que es menor que cualquier número positivo Entonces, necesariamente. b. Z. a. f (x) dx =. b. Z. a. f (x) dx. 2. como queríamos. Ejemplos 1. Sea f. :. : [a; b] ! R tal que f (x) = C = constante.. Demostraremos que f es integrable en [a; b] y que. b. Z. a. f=. En efecto, sea P. b. Z. a. C dx = C. b. Z. a. dx = C (b a). = fxi ji = 0; 1; : : :; ng 2 P ([a; b]), es evidente que. mj = Mj = C ; j = 1; 2; : : :; n; luego:. s(f; P ) =. n X j =1. C (xj xj 1 ) = C. n X j =1. (xj xj 1 ) = C (b a). y. S (f; P ) =. n X j =1. C (xj xj 1 ) = C. n X j =1. (xj xj 1 ) = C (b a).

(35) 282. Integración. f (x) = C =constante, es integrable en [a; b] Figura 16.12 Entonces, de donde. inf fS (f; P )jP 2 P ([a; b])g = supfs(f; P )jP 2 P ([a; b])g = C (b a),. Z. b a. f=. b. Z. a. f=. b. Z. a. C = C (b a). Ejercicios 1. Sea f. : [0; 1] ! R tal que f (x) =. (. 0. si x es racional. 1 si x es irracional Demuestre que f no es integrable en [0; 1].. 2. ¿Es cierta la siguiente afirmación? Toda función acotada en [a; b] es integrable en [a; b]. Razone su respuesta. 3. Sea f. : [0; 1] ! R tal que f (x) =. ¿Es integrable. 16.4. (. x. si x es racional. 1 x si x es irracional f en [0; 1]? Razone su respuesta.. Propiedades de la integral. Ahora pasamos a analizar las propiedades generales básicas de la integral inferior y superior de Darboux, así como aquéllas de la integral.. 16.4.1. Monotonía. Las siguientes afirmaciones son sencillas y sus demostraciones quedan a cargo del lector. Sean f y g acotadas en I: Supongamos que f (x)  g (x) para todo x 2 I: Entonces.

(36) 16.4 Propiedades de la integral. b. Z. 1.. b. Z. 2.. a. a. f (x) dx . f (x) dx . b. Z. a. Z. a. b. 283. g(x) dx. g(x) dx. 3. Si f y g son integrables, entonces. b. Z. a. 16.4.2. f (x) dx . Z. a. b. g(x) dx:. Subaditividad y aditividad. Aquí probamos la siguiente Proposición 8 Sean f (x) y g (x), acotadas en I Z. (i). b. (f (x) + g(x)) dx . Za b. Z. (f (x) + g(x)) dx . b. f (x) +. Za b. Z. = [a; b]: Entonces. g(x) dx. Za b. g(x) dx (iii) Si ambas f y g son integrables en I , entonces f + g también es integrable en (ii). a. I y se tiene Z. b. a. a. (f (x) + g(x)) dx =. f (x) +. b. b. Z. a. a. f (x) +. b. Z. a. g(x). Demostración: Probaremos solamente (i) y (iii). La prueba de (ii) es semejante a la de (i). «mutatis mutandis» . Sea P una partición de [a; b]: Afirmo que. S (f + g; P )  S (f; P ) + S (g; P ):. En efecto, esta desigualdad es consecuencia de que. Mk (f + g)  Mk (f ) + Mk (g) «El supremo de la suma f + g en Ik es menor o igual que el supremo de f en Ik más el supremo de g en Ik ". Esto es claro puesto que. supff (x)jx 2 Ik g  f (x) y supfg(x)jx 2 Ik g  g(x). para cualquier x 2 Ik , así que. Mk (f ) + Mk (g)  f (x) + g(x) para todo x 2 Ik y así Mk (f ) + Mk (g)  Mk (f + g): Pero entonces,. b. Z. a. (16.3). (f + g) dx = inf fS (f + g; P )jP 2 Pg  S (f + g; P )  S (f; P ) + S (g; P ).

(37) 284. Integración cualquiera que sea la partición P de P : Ahora, sea  > 0 y sea P 2 P tal que. b. Z. a. b. Z. f (x) dx + 2 > S (f; P ) y. a. g(x) dx + 2 > S (g; P ). (¿Por qué hay una tal partición P ?). Entonces usando la ecuación 16.3, tenemos que para cada  > 0,. b. Z. a. (f (x) + g(x)) dx.  S (f; P ) + S (g; P ) <. b. Z. a. f (x) dx +. b. Z. a. g(x) dx + . En consecuencia, tenemos (i) (El lector debe demostrar que si dados los números y , se tiene para todo  > 0, que  + , entonces necesariamente,  ). En cuanto a la demostración de (iii) tenemos el elegante argumento que damos acontinuación: Rb. 9 > =. Rb. > ;. Rb Rb a (f + g ) dx  a f (x) dx + a g (x) dx. (16.4). Rb Rb a (f + g ) dx  a f (x) dx + a g (x) dx. Pero los dos miembros de estas dos desigualdades son iguales si suponemos que f y g son integrables. Entonces resulta que. b. Z. a. (f + g) dx . b. Z. a. (f + g) dx;. con lo que deben ser iguales y esto prueba la integrabilidad de. b. Z. en la ecuación 16.4 la integral. b. Z. a. b. (f + g) dx debe ser a la vez, mayor o igual, y menor. g dx, así que debe coincidir con esta suma y así concluye la 2 prueba de (iii) y de la proposición.. o igual que. 16.4.3. a. fdx +. Z. f + g: Pero entonces. a. Homogeneidad. Aquí probamos la siguiente Proposición 9 Sea f (x) acotado en I i) Si   0;. b. Z. a. Z. b. a ii) Si . ( f (x)) dx =  ( f (x)) dx = . b. Z Z. a. b. a. f (x) dx f (x) dx. < 0, b. Z. a. ( f (x)) dx = . b. Z. a. f (x) dx. = [a; b]: Entoces:.

(38) 16.4 Propiedades de la integral. b. Z. a iii) Si tiene. ( f (x)) dx = . b. Z. a. 285. f (x) dx. f es integrable en I y  2 R, entonces  f también es integrable en I y se b. Z. a.  f (x) dx = . b. Z. f (x) dx:. a. Demostración: La prueba de esta proposición se basa en las siguientes propiedades sencillas del supremo e ínfimos cuya demostración dejamos a cargo del lector. Si A es un conjunto acotado de números (y no vacío) y si  2 R, entonces.  supA = sup( A)  inf A = inf( A). .  supA = inf( A)  inf A = sup( A). . si   0 si  < 0. donde hemos denotado  A para el conjunto.  A = f aja 2 Ag: Entonces, por ejemplo para la prueba de (i) razonamos así: Supongamos  cada partición P de I ,.  0, para. Mk ( f ) = supf f (x)jx 2 Ik = [xk 1 ; xk ]g = sup A; donde A = ff (x)jx 2 Ik g: Luego Mk ( f ) = sup A =  supA =  Mk (f ): Entonces,. S ( f; P ) = =. n X. Mk ( f )xk. k=1 n X. =. k=1. Mk (f )xk. =  S (f; P ) para cada partición P de I: Entonces, tomando el ínfimo sobre las particiones P :. inf fS ( f; P )jP 2 Pg b. Z.  f (x) dx = inf f S (f; P )jP 2 Pg =  inf fS (f; P )jP 2 Pg =. a. =. b. Z. a. f (x) dx:. La segunda parte de (i) es análoga..

(39) 286. Integración La prueba de (ii) se hace de manera parecida: supongamos partición de [a; b]: Tenemos.  < 0: Sea P. una. Mk ( f ) = supf f (x)jx 2 Ik g =  inf ff (x)jx 2 Ik g =  mk (f ): Entonces,. S ( f; P ) = =. n X k=1. n X k=1. Mk ( f )xk. mk (f )xk. =  S (f; P ): Luego, tomando ínfimos. b. Z. a.  f (x) dx = inf fS ( f; P )jP 2 Pg = inf f S (f; P )jP 2 Pg =  inf fS (f; P )jP 2 Pg =. Z. b. a. f (x) dx:. La segunda de (ii) es análoga. Finalmente (iii) sigue de (i) y (ii). En efecto, sea integrable, tenemos. b. Z. a.  f (x) dx =  =. b. Z. a. b. Z. a.   0, por ejemplo y si f. f (x) dx. f (x) dx =. b. Z. a.  f (x) dx: Rb. Esto muestra que  f (x) es integrable (pues a  f (x) dx. b. Z. a.  f (x) dx = . b. Z. a. es. R = ab  f (x) dx) y que. f (x) dx;. como queríamos. El caso  < 0 se trata análogamente y esto concluye la prueba de 2 esta larga, aunque no difícil, proposición.. 16.4.4. Propiedad aditiva de intervalo. Aquí consideramos una función f (x), acotada en I = c < b: La propiedad que nos interesa es la siguiente: Proposición 10 En la notación precedente, tenemos. b. Z. 1. 2.. Zab. a. f (x) dx = f (x) dx =. c. Z. Zac. a. f (x) dx + f (x) dx +. b. Z. Zc b. c. f (x) dx f (x) dx. y. [a; b] y un punto c talque a <.

(40) 16.4 Propiedades de la integral. 287. Propiedad aditiva de intervalo Figura 16.13. yk. Además, f (x) es integrable en I si, y sólo si, lo es simultáneamente en J = [c; b] y en este caso. b. Z. 3.. a. f (x) dx =. c. Z. a. f (x) dx +. b. Z. c. = [a; c]. f (x) dx:. Demostración: El dibujo pertinente es la figura 16.13. Veamos primero la propiedad indicada de la integral superior. Si P 0 y P 00 son particiones de [a; c] y [c; b] respectivamente y si reunimos en P los puntos de P 0 y P 00 , para crear una partición de [a; b], es claro que. b. Z. a. f (x) dx  S (f; P ) = S (f; P 0 ) + S (f; P 00 ). Reunidos en P los puntos de P 0 y P 00 Figura 16.14 (¿Por qué?). El dibujo correspondiente es la figura 16.14. Entonces, para cada P 0 P (J ) y P 00 2 P (k);. b. Z. a. f (x) dx  S (f; P 0 ) + S (f; P 00 ). y luego,. b. Z. (16.5). a. f (x) dx . c. Z. a. f (x) dx +. b. Z. c. f (x) dx. (¿Por qué?). Sugerimos aproximar, dado  > 0. S (f; P 0 ) <. c. Z. a. Z b f (x) dx + 2 ; S (f; P 00 ) < f (x) dx + 2 :. c. 2.

(41) 288. Integración y luego aplicar un argumento ya usado antes acerca de que  es arbitrario). Ahora, para probar la desigualdad opuesta a la ecuación 16.5 y terminar de demostrar la primera parte de la proposición, sea  > 0 y sea P una partición de I tal que. b. Z. a. f (x) dx +  > S (f; P ). Suponemos que c es uno de los puntos de P: Si no lo es, lo agregamos y S (f; P ) es aún menor en este caso. Entonces es claro que P da origen a particiones P 0 de J y P 00 de K tales que la reunión de ambas tiene los puntos de la partición P: Entonces. b. Z. a. f (x) dx +  > S (f; P 0 ) + S (f; P 00 ). . c. Z. a. f (x) dx +. b. Z. c. f (x) dx. y como  es arbitrario... (ya vimos visto varias veces antes), queda. b. Z. a. c. Z. f (x) dx . a. b. Z. f (x) dx +. c. f (x) dx. y esto complementa la prueba de primera proposición. La prueba de la segunda, es enteramente análoga. Pasemos ahora a la última parte de la proposición. Si f es integrable en I , entonces f es integrable en J y K: Pues si, por ejemplo se tuviese. c. Z. a. c. Z. f (x) dx >. a. f (x) dx;. se tendría que. b. Z. a. c. Z. f (x) dx =. a. f (x) dx +. b. Z. c. f (x) dx. sería mayor que y no igual a. c. Z. a. f (x) dx +. b. Z. c. f (x) dx. que por otra parte es. b. Z. a. f (x) dx =. b. Z. a. f (x) dx;. lo cual es una contradicción. Recíprocamente, si f (x) es integrable en J y K tenemos. b. Z. a Z. a. b. f (x) dx =. f (x) dx =. c. Z. f (x) dx +. b. Z. | a {z. }. |c. z Z. {. z Z. c a. k k. }|. f (x) dx +. b c. f (x) dx {z. }. }|. {. k k. f (x) dx.

(42) 16.4 Propiedades de la integral. 289. y como tenemos que las dos «igualdades verticales» indicadas, sigue la integrabilidad 2 de f en I: Con esto termina la prueba de esta larga, pero sencilla proposición. Observación: Dado los números a y b, en donde no suponemos que a < b, es conveniente definir, aun en este caso, los números. b. Z. a. f (x) dx;. b. Z. a. b. Z. f (x) dx y. a. f (x) dx. como sigue: Si b  a, ponemos. b. Z. a. para una función. a. Z. f (x) dx =. b. b. Z. f (x) dx y. a. a. Z. f (x) dx =. b. f (x) dx. f (x) acotada en [a; b]: La figura 16.15 pretende ilustrar la situación. 6 uf (x0 ) + vf (x1 ). . XXXz   . . x0 Figura 16.15 Notar. R que ab f (x) dx =. . f (ux0 + vx1 ). ux0 + vx1. x1. -. Ra. b f (x) dx. que describimos. También, si f (x) es integrable en [b; a], ponemos. b. Z. a. Z. f (x) dx =. b. a. f (x) dx:. Entonces, queda como un ejercicio de aplicación de la proposición anterior y de la aplicación de cambios de signo, probar las siguientes afirmaciones: Dados los números a; b; c en cualquier posición relativa (no necesariamente a  b  c), se tiene:. b. Z. a Z. a. b. f (x) dx = f (x) dx =. c. Z. a c. Z. a. f (x) dx + f (x) dx +. b. Z. c b. Z. c. f (x) dx f (x) dx.

(43) 290. Integración y, cuando f es integrable,. b. Z. a. 16.5. f (x) dx =. c. Z. a. f (x) dx +. b. Z. c. f (x) dx:. La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración). Aquí consideramos una función acotada f (x) definida en I definimos los números F (x) y F (x), como:. F (x) =. x. Z. a. f (t)dt y F (x) =. x. Z. a. = [a; b] y, para cada x 2 I ,. f (t)dt. Observe que, como x indica un número fijo en I , la variable de f , que se mueve en [a; x] se indicó, dentro de la integral con otra letra. La letra t: Además, si f es integrable en I , entonces lo es cada [a; x] y también ponemos. F (x) =. x. Z. a. f (t)dt:. El primer resultado aquí, es Proposición 11. 1. Las funciones F (x) y F (x) son continuas en [a; b]: 2. Supongamos que f (t) es integrable en cada intervalo de la forma [a; x] para cada x tal que a  x < b: Entonces f es integrable en todo [a; b] y F (x) que está entonces definida en [a; b], es continua. Antes de pasar a la prueba de la proposición enunciamos y probamos el siguiente útil. Lema 12 Si h(t) está definida en el intervalo [c; d] y verifica allí. m  h(t)  M; t 2 [c; d] entonces. m(d c)  m(d c) . d. Z. c d. Z. c. h(t) dt  M (d c) h(t) dt  M (d c). Además, si h es integrable en [c; d], entonces. m(d c) . d. Z. c. h(t) dt  M (d c).

(44) 16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración) Prueba: El lector probará sin dificultad, que una función constante k es integrable en [c; d] y que su integral vale k (d c): Entonces, las propiedades de monotonía de R R R , y (ver 2.1) prueban este lema ya que las desigualdades. m  h(t)  M; t 2 [c; d] se aplican a la funciones m y M (constantes) y h(t), y dan, por ejemplo:. m(d c) =. . Z. d c. Z. d c. m dt . Z. d c. h(t) dt. M dt = M (d c). 2. Análogamente se procede con las otras dos. Ahora pasamos a la prueba de la proposición: Prueba: (De la proposición).. 2 [a; b] y mostremos, por ejemplo, que F (x) es continua en x0 : Por la propiedad aditiva de intervalo de F (x), tenemos para cada x 2 [a; b],. 1. Sea x0. F (x) F (x0 ) =. x. Z. x0. f (t) dt. (Observe que esta igualdad es cierta independientemente de que x se encuentre a la derecha o a la izquierda de x0 ). Ahora, como f es acotada en [a; b], elijamos constantes m < M tales que. m  f (x)  M para x 2 [a; b] Rx. Entonces, aplicando el lema y la definición de x0 cuando desigualdades. x < x0 , tenemos las. m(x x0 )  F (x) F (x0 )  M (x x0 ) o bien. M (x x0 )  F (x) F (x0 )  m(x x0 ) según que x  x0 o x < x0 : Luego, en todos los casos. j F (x) F (x0 ) j (M m) j x x0 j (El lector debe dar un argumento para justificar esta conclusión). Entonces,  , sigue que si j x x j< , entonces dado que  > 0, si ponemos  = 0. 2(M m). j F (x) F (x0 ) j< , lo que prueba la continuidad de F: Para ver la de F , se. procede de manera análoga, «mutatis mutandis".. 291.

(45) 292. Integración. 2. Aquí se trata de ver que si F (x) = F (x) para cada x < b, entonces tambien F (b) = F (b),según la definición de integrabilidad. Pero es claro que. lim F (x) y lim F (x) existen ya que F y F son continuas en x = b y coinciden x!b pues F (x) = F (x) para x < b: Esto comprueba 2 y concluye la proposición, ya que la continuidad de F en [a; b] sigue de la de F , por ejemplo, en [a; b]: x!b. 2 Observación:. 1. En la proposición anterior la parte 2 tiene una versión análoga como sigue: 2’. Supongamos que f es integrable en [x; b] para cada x > a: Entonces, f es integrable en [a; b] y F (x) (que esta entonces definida en todo el intervalo [a; b]), es continua en [a; b]: Esta versión se prueba de manera análoga a la de la proposición. 2. Esto nos permite concluir que: Sea f (x) una función acotada en [a; b] y sea (a =)u0  u1      ur (= b) puntos en [a; b]: Supongamos que f (x) es integrable en cada intervalo [ ; ] < [a; b] que no contega a ninguno de los puntos uk , entonces f (x) es integrable en [a; b]: La prueba de esta afirmación queda a cargo del lector al cual le sugerimos la siguiente idea: Considere primero el caso de la figura 16.16 en que se trata solamente de:. a = u0  u1  u2 = b. a = u0  u1  u2 = b Figura 16.16. En este caso, aplique la proposición anterior y la proposición de 2.4 (propiedad aditiva de intervalo). Después observe que el caso general no es sino una sucesiva e inteligente aplicación de este caso sencillo. ( «Agregar un punto nuevo en cada paso"). Y llegamos así al teorema más importante de este capítulo. La proposición anterior nos muestra que las funciones F (x) y F (x) son siempre continuas (en realidad las desigualdades que sirven para probar esto, afirman que F (x) y F (x) son más que continuas. Los matemáticos dicen que esas desigualdades muestran que F (x) y F (x) cumplen con la propiedad de Lipschitz, que a su vez, implica la continuidad). La pregunta que interesa es aquella que se refiere a la derivabilidad de la integral superior de F (x) y la de F (x), el teorema es el que sigue: Teorema 13 Sea x0. 2 [a; b] y supongamos que f es continua en x0 : Entonces:.

(46) 16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración). 1. Ambas F (x) y F (x) son derivables en x0 2. Las derivadas. d F (x) y d F (x) en x = x , 0 dx dx valen ambas f (x0 ): Prueba: Haremos la prueba para el caso de F (x): La del caso F (x) es análoga. También supondremos que x0 2 (a; b) (en un punto interior del segmento [a; b]). El caso x0 = a o x0 = b sigue las mismas ideas, es más simple y queda a cargo del lector interesado. Sea entonces  > 0 arbitrario y sea  > 0 tal que si x 2 (x0 ; x0 +  ), entonces. f (x0 )  < f (x) < f (x0 ) +  El hecho que dado  > 0, existe un tal  > 0 no es mas que la expresión de la continuidad de f (x) en x = x0 : (16.6). El lector debe convencerse de esto. Entonces,. (16.7). F (x) F (x0 ) =. Z. x. x0. f (t) dt. según hemos visto, por la propiedad aditiva de intervalos de F (x): Ahora supondremos que x se elije a la derecha de x0 y tal que x < x0 + : Entonces,. (f (x0 ) )(x x0 ) < < F (x) F (x0 ) < (f (x0 ) + )(x x0 ). gracias a 16.6 y al lema del comienzo de 3, ya que tenemos la igualdad 16.7. Así entonces,. f (x0 )  < (16.9) < F (xx) Fx (x0 ) 0 < f (x0 ) +  si x 2 [x0 ; x0 +  ]: (16.8). Con los mismos argumentos el lector se convencerá de que si x 2 (x0 ; x0 ) (x está a la izquierda de x0 ), se cumple la misma doble desigualdad 16.8 (¡Hay dos cambios de signos!). Luego dado  > 0, existe  > 0 tal que si. x 2 (x0 ; x0 + ), x 6= x0 ,. se tiene.  < F (xx) Fx (x0 ) f (x0 ) <  0 Esto significa precisamente, que. lim F (xx) xF (x0 ) = F 0 (x0 ) 0 0 existe y que F (x0 ) = f (x0 ), como queríamos probar. x!x0. 2. 293.

(47) 294. Integración Corolario 14 (Cauchy) Si. [a; b]. f (x) es continua en [a; b], entonces f (x) es integrable en. Prueba: En efecto, ambas F (x) y F (x) son continuas en [a; b] y derivables en (a; b): Luego la función G(x) = F (x) F (x) tiene las mismas propiedades. Pero si x 2 (a; b),. d G(x) = F 0 (x) F 0 (x) = f (x) f (x) = 0 dx Así que G(x) debe ser constante en [a; b](£por qué?). Pero G(a) = 0: Luego G(x) es idénticamente nula en [a; b]: Así G(b) = F (b) F (b) = 0: Pero esto significa que b. Z. a. f (x) dx =. Z. b a. f (x) dx. 2. y por ello, f (x) es integrable como queríamos.. Corolario 15 (La Regla de Barrow) Si f (x) es continua en [a; b] entonces f (x) tiene primitivas en [a; b]: Si Q(x) es cualquier primitiva de f (x) en [a; b], entonces. b. Z. a. f (x) dx = Q(b) Q(a). La segunda parte de este corolario es conocido como el Teorema Fundamental del Cálculo. Prueba: Por lo que acabamos de ver,. F (x) =. Z. x a. f (t) dt,que coincide con F (x),. es una primitiva de f (x) en [a; b]: También hemos visto que. b. Z. a. f (x) dx = F (b) F (a):. Entonces, el corolario es cierto para esta primitiva particular (Q)x) = F (x)): Pero sabemos (£sabemos?) que toda primitiva Q(x) = F (x) + c, donde c es constante. Luego:. Q(b) = F (x) + c;. donde c es constante. Luego. Q(b) = F (b) + c; Q(a) = F (a) + c. y así. Q(b) Q(a) = F (b) F (a); como queríamos. Finalizamos esta sección con el siguiente útil corolario.. 2. Corolario 16 Si f (x) es una función acotada en [a; b] que es continua en todos los puntos de [a; b], salvo en una cantidad finita de ellos, entonces f (x) es integrable en. [a; b]:. Prueba: En efecto, si llamamos u0 ; u1 ;    ; ur a los puntos de [a; b] donde f (x) no es continua, entonces en todo intervalo [ ; ]  [a; b] que no contenga a ninguno de ellos, f (x) es continua y entonces, integrable. Luego, podemos aplicar la observación 16.5 en la página 292 de esta sección y concluir que f (x) es integrable en [a; b], como queríamos. 2.

(48) 16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración) Observación: La pregunta acerca de qué condiciones debe cumplir una función para ser integrable, es sin duda, central para una teoría de la integral. El corolario que precede a este comentario muestra que aunque f (x) no sea continua, pueda aún ser integrable. Por otra parte, hemos visto que funciones muy discontinuas no resultan integrables. Debemos al matemático francés H. Lebesque, un teorema que especifica con precisión la «cantidad» de discontinuidades que pueda tener una función para ser o dejar de ser integrable. El lector interesado puede consultar (por ejemplo el libro de Rogozinski). Ejemplos 1. Sea f una función real de valores reales con ley de correspondencia: 8 <. x si x 2 [ 2; 1] f (x) = : x + 1 si x 2 ( 1; 0) 2 si x 2 [0; 2] Su representación gráfica se muestra en la figura 16.17.. f una función real dada por trozos Figura 16.17 Sea P = f 2; 1; 0; 1; 2g una partición de [ que 0  f (x)  2 para todo x 2 [ 2; 2]. Aquí m = 0 y M = 2. Ahora, para [ 2; 1] es. m1 (f; p) = 1 y M1 (f; p) = 2 para (. 1; 0) es. m2 (f; p) = 0 y M2 (f; p) = 2. 2; 2], f es acotada en [ 2; 2] puesto. 295.

(49) 296. Integración para [0; 1] es. m3 (f; p) = 2 y M3 (f; p) = 2 para [1; 2] es. m4 (f; p) = 2 y M4 (f; p) = 2 Además, es fácil comprobar que. m  m1 (f; p)  M1 (f; p)  M ; i = 1; 2; 3; 4 Ejercicios 1. Sea f una función real de valores reales que no es itegrable en continua en [a; b]? Razone su respuesta.. [a; b].. ¿Es. f. 2. Sea f una función monótona sobre [a; b]. Demuestre que. f (a)(a b) . b. Z. f  f (b)(b a). a. ó que. f (b)(b a) . b. Z. a. f  f (a)(b a). Rb 3. Demuestre que existe a x3 dx y que su valor es. 4. Conociendo que. n X k=1. f. integrable en. 3. p+1 kp puede escribirse en la forma pn + 1 + C0 np + C1 np 1 +   , b. Z. demostrar que existe 5. Sea que. b3 a3. 0. p+1 xp dx = pb + 1 .. [a; b], utilizando las desigualdades estudiadas, demuestre. 1 [s(f; P ) S (f; P )] 2Z b  f 12 [s(f; P ) + S (f; P )]  12 [S (f; P ) s(f; P )] a. y habrá usted probado que Z. b. f 12 [S (f; P ) + s(f; P )]  21 [S (f; P ) s(f; P )] a. o sea que el número 12 [S (f; P ) s(f; P )] es una cota superior del error cometido Rb al aproximar a f por 12 [S (f; P ) + s(f; P )]..

(50) 16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración). : [1; 4] ! R tal que f (x) = x1 . Supongamos que f es integrable en [1; 4]. Tómese la partición P = f1; 23 ; 2; 52 ; 3; 72 ; 4g 2 P ([1; 4]) y obtega un valor Z. 6. Sea f. 4. dx . 1 x Ayuda: Observa que f es estrictamente decreciente y por tanto. aproximado de. mi (f ) = f (xi ); Mi (f ) = f (xi 1 ): dx  1; 395 = 1 (S + s) y j R 4 dx 1; 395 j< 0; 1895 1 x x 2 Sea f : [0; 1] ! R tal que f (x) = x2 + 1. Supóngase que f es integrable en Z 1 [0; 1]. Tomar P = f0; 0; 2; 0; 5; 0; 7; 1g. Obtener una aproximación de f y R4. Solución: 1. 7.. 0. una cota superior del error cometido. 8. Supongamos que f es diferenciable sobre [a; b] y que jf 0 (x)j  k 8x 2 [a; b]. Aplíquese el teorema del valor medio para el cálculo diferencial y conclúyase que: (a) Para toda P (b). 2 P ([a; b]); S (f; P ) s(f; P )  kkP k(b a).. f es integrable en [a; b]. Z. (c). b. f 12 [S (f; P ) + s(f; P )]  12 kkP k(b a). a. 9. ¿Cuán pequeño deberá hacerse kP k para estar seguros que el error en la aproximación de Z. 2. (a). 1. Z. (b) por. 0. 5. du , u sen(2 )d,. 1 [S (f; P ) + s(f; P )] no sea mayor que 0,0005? 2 . 10. Expresar da.. 2. 2. 2. n + n + + n lim n!1 n3 + 13 n3 + 23 n3 + n3. . , como una integral defini-. R1. dx 3 . Solución: 0 1+ x 11. Demuestre la propiedad siguiente: si f y g son integrables sobre [a; b], entonces el producto f  g es también integrable en [a; b]. 12. Hallar el valor medio f (c) de f (x) = 2x2 + 3x + 3 en [1; 4] y calcule c. 13. Hallar la altura promedio sobre el eje x); x 2 [0; 2].. x para la curva de ecuación y = x2 (2. 297.

(51) 298. Integración. 16.6. Apéndice. 16.6.1. La Definición de Riemann de la Integral. La definición de Riemann de la Integral que hoy lleva su nombre, se basa en la noción de suma de Riemann asociada a una partición y a una selección subordinada. Pasamos a explicar este concepto. Sumas de Riemann Sea P : a = x0  x1  :::  xn = b una partición del intervalo asociada a la partición P es una sucesión de puntos.. [a; b]. Una selección S. S : 1 ; 2 ; :::; n ; tales que. 1 2 I1 = [x0 ; x1 ]; 2 2 I2 = [x1 ; x2 ]; : : : ; n 2 In = [xn 1 ; xn ]: Es decir, que una selección S asociada a la partición P , «selecciona» en efecto, un punto k en cada intervalo Ik = [xk 1 ; xk ] de la partición P . En la figura 16.18, se. ilustra esta situación.. Los puntos de la partición aparecen indicados por segmentos verticales y los de la selección S aparecen representados por puntos gruesos Figura 16.18 Ahora, consideremos la situación habitual en este capítulo: Una función acotada. f (x) definida en el intervalo I = [a; b].. Definición: Sea P una partición de I y sea S una selección asociada a P . Entonces definimos la suma de Riemann S (f; P; S ) correspondiente a la función f (acotada en I ), la partición P y la selección S como:. S (f; P; S ) = f (1 )(x1 x0 ) + f (2 )(x2 x1 ) + :::: + f (n )(xn xn 1 ). Observe que cada término de esta suma está asociado (como en el caso de las sumas de Darboux) con un intervalo Ik = [xk 1 ; xk ] de la partición P . Pero mientras que estos términos en el caso de las sumas de Darboux, tenían la forma. mk (xk xk 1 ) y Mk (xk xk 1 ) donde. mk = inf ff (x) j x 2 Ik g ;. Mk = supff (x) j x 2 Ik g;. aquí se trata el número. f (k )(xk xk 1 ); Así que, claramente, la siguiente relación vale para los tres números aquí considerados:. mk (xk xx 1 )  f (k ) (xk xk 1 )  Mk (xk xk 1 ).

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