Tres planos que se intersecan en una línea
(a)
Tres planos que se intersecan en un punto
4. Suponga que la matriz de coefi cientes de un sistema lineal de
tres ecuaciones con tres variables tiene un pivote en cada co- lumna. Explique por qué el sistema tiene una solución única.
5. Determine h y k de tal manera que el conjunto solución del sistema (i) sea vacío, (ii) contenga una solución única, y (iii) contenga una infi nidad de soluciones.
a. x1 + 3x2 = k
4x1 + hx2 = 8
b. −2x1 + hx2 = 1
6x1 + kx2 = −2
6. Considere el problema de determinar si el sistema dado a
continuación es consistente o no:
4x1 − 2x2 + 7x3= −5
8x1 − 3x2 + 10x3= −3
a. Defi na vectores apropiados, y replantee el problema en términos de combinaciones lineales. Después, resuelva el problema.
b. Defi na una matriz apropiada, y replantee el problema usando la frase “columnas de A”.
c. Defi na una transformación lineal apropiada T usando la matriz de (b), y replantee el problema en términos de T.
7. Considere el problema de determinar si el siguiente sistema
de ecuaciones es consistente para todas b1, b2, b3:
2x1 − 4x2− 2x3= b1
−5x1 + x2 + x3= b2
7x1 − 5x2− 3x3= b3
a. Defi na vectores adecuados, y replantee el problema en tér- minos de Gen{v1, v2, v3}. Después, resuelva el problema.
b. Defi na una matriz adecuada, y replantee el problema usan- do la frase “columnas de A”.
c. Defi na una transformación lineal apropiada T usando la matriz de (b), y replantee el problema en términos de T.
8. Describa las posibles formas escalonadas de la matriz A. Uti-
lice la notación del ejemplo 1 dada en la sección 1.2.
a. A es una matriz de 2 × 3 cuyas columnas generan R2.
b. A es una matriz de 3 × 3 cuyas columnas generan R3. 9. Escriba el vector 5
6 como la suma de dos vectores, uno sobre la línea {(x, y): y = 2x}, y otro sobre la línea {(x, y): y = x/2}.
10. Sean a1, a2 y b los vectores en R2 mostrados en la fi gura, y
sea A = {a1 a2}. ¿La ecuación Ax = b tiene una solución? Si
es así, ¿la solución es única? Explique su respuesta.
a2
a1
b
x1 x2
11. Construya una matriz A de 2 × 3, en forma no escalonada, tal
que la solución de Ax = 0 sea una línea en R3.
12. Construya una matriz A de 2 × 3, en forma no escalonada, tal
que la solución de Ax = 0 sea un plano en R3.
13. Escriba la forma escalonada reducida de una matriz A de 3 × 3 tal que las primeras dos columnas de A sean las colum- nas pivote yA ⎡ ⎣−23 1 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣00 0 ⎤ ⎦.
14. Determine el valor o los valores de a tales que 1
a , a a+ 2
sea linealmente independiente.
15. En (a) y en (b), suponga que los vectores son linealmente
independientes. ¿Qué puede decir acerca de los números
a, . . . , f? Justifi que sus respuestas. [Sugerencia: Utilice un
teorema para (b).] a. ⎡ ⎣a0 0 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣bc 0 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣de f ⎤ ⎦ b. ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ a 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ b c 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ d e f 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
16. Use el teorema 7 dado en la sección 1.7 para explicar por qué
las columnas de la matriz A son linealmente independientes.
A= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 2 5 0 0 3 6 8 0 4 7 9 10 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
17. Explique por qué un conjunto {v1, v2, v3, v4} en R5 debe ser
linealmente independiente cuando {v1, v2, v3} es linealmente
independiente y v4 no está en Gen{v1, v2, v3}. Tres planos sin
intersección (c') Tres planos
sin intersección (c)
18. Suponga que {v1, v2} es un conjunto linealmente indepen-
diente en Rn. Muestre que {v
1, v1+ v2} también es lineal-
mente independiente.
19. Suponga que v1, v2, v3 son puntos distintos de una línea en
R3. No se pide que la línea pase por el origen. Muestre que
{v1, v2, v3} es linealmente dependiente.
20. Sea T : Rn → Rm una transformación lineal, y suponga que
T(u) = v. Muestre que T(−u) = −v.
21. Sea T : R3→ R3 la transformación lineal que refl eja cada
vector en el plano x2 = 0. Esto es, T(x1, x2, x3) = (x1, −x2, x3).
Encuentre la matriz estándar de T.
22. Sea A una matriz de 3 × 3 con la propiedad de que la transfor-
mación lineal x → Ax mapea R3 sobre R3. Explique por qué
la transformación debe ser uno a uno.
23. Una rotación de Givens es una transformación lineal de Rn a
Rn que se usa en programas de computadora para crear una
entrada cero en un vector (usualmente una columna de una ma- triz). La matriz estándar de una rotación de Givens en R2 tiene
la forma
a −b
b a , a
2+ b2= 1
Encuentre a y b tales que 4
3 se gira en 5 0 .
24. La siguiente ecuación describe una rotación de Givens en R3.
Encuentre a y b. ⎡ ⎣a0 01 −b0 b 0 a ⎤ ⎦ ⎡ ⎣23 4 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣2 √ 5 3 0 ⎤ ⎦ , a2+ b2= 1
25. Se va a construir un gran edifi cio de departamentos usando
técnicas de construcción modular. La distribución de los de- partamentos en cualquier piso dado se elige entre tres diseños de piso básicos. El diseño A tiene 18 departamentos en un piso e incluye 3 unidades con tres dormitorios, 7 con dos dor- mitorios, y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseño B in- cluye 4 unidades con tres dormitorios, 4 con 2 dormitorios, y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseño C incluye 5 unidades con tres dormitorios, 3 con dos dormitorios, y 9 con un dor- mitorio. Suponga que el edifi cio contiene un total de x1 pisos
del diseño A, x2 pisos del diseño B, y x3 pisos del diseño C.
a. ¿Qué interpretación se le puede dar al vectorx1
⎡ ⎣37
8 ⎤ ⎦? b. Escriba una combinación lineal formal de vectores que ex-
prese el número total de departamentos con uno, dos y tres dormitorios existentes en el edifi cio.
c. [M] ¿Es posible diseñar el edifi cio de tal forma que tenga
exactamente 66 unidades con tres dormitorios, 74 unida- des con dos dormitorios, y 136 unidades con un dormito- rio? Si la respuesta es afi rmativa, ¿hay más de una manera de hacerlo? Explique su respuesta.
CD Introducción a MATLAB®
CD Errores de redondeo y pivoteo parcial CD Introducción al álgebra lineal con Maple®
CD Introducción a Mathematica®
CD Instrucciones básicas para las calculadoras T1-83+,
TI-86 y TI-89 CD Introducción a la calculadora HP-48G (4, 3) (5, 0) x1 x2
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WEB
describen el fl ujo del aire son complicadas, y deben tomar en cuenta la admisión de los motores, los gases despedidos por éstos, y las estelas que dejan las alas del avión. Para estudiar el fl ujo del aire, los ingenieros necesitan de una descripción muy depurada de la superfi cie del avión.
Una computadora crea un modelo de la superfi cie al superponer, primero, una malla tridimensional de “cuadros” sobre el modelo de alambre original. En esta malla, los cuadros caen completamente dentro o completamente fuera del avión, o intersecan la superfi cie del mismo. La computadora selecciona los cuadros que intersecan la superfi cie y los subdivide, reteniendo sólo aquellos más pequeños que aún intersecan la superfi cie. El proceso de subdivisión se repite hasta que la malla se vuelve extremadamente fi na. Una malla típica puede incluir más de 400,000 cuadros.
El proceso para encontrar el fl ujo de aire alrededor del avión implica la resolución repetida de un sistema de
Álgebra de
matrices
EJEMPLO INTRODUCTORIO