La transpuesta de una matriz
N OTAS NUMÉRICAS
1. La manera más rápida de obtener AB en una computadora depende de la forma en que la computadora guarde las matrices en su memoria. Los algoritmos estándar de mayor efi ciencia, tales como los de LAPACK, calculan AB por columnas, como en la defi nición del producto presentada en este texto. (Una versión de LAPACK escrita en C++ calcula AB por fi las.)
2. La defi nición de AB se presta al procesamiento paralelo en una computadora. Las columnas de B se asignan individualmente o en grupos a diferentes procesadores, los cuales de manera independiente y, por lo tanto, simultánea calculan las colum- nas correspondientes de AB.
PR O B L E M A S D E P R Á C T I C A
1. Dado que los vectores en Rn pueden verse como matrices n × 1, las propiedades de
las transpuestas del teorema 3 también se aplican a vectores. Sean
A= 1 −3
−2 4 y x=
5 3 Calcule (Ax)T, xTAT, xxT, y xTx. ¿Está defi nida ATxT?
2. Sean A una matriz de 4 × 4 y x un vector en R4. ¿Cuál es la forma más rápida de
calcular A2x? Cuente las multiplicaciones.
En los ejercicios 1 y 2, calcule cada suma o producto si la matriz está defi nida. Si alguna expresión no está defi nida, explique por qué. Sean A= 2 0 −1 4 −5 2 , B= 7 −5 1 1 −4 −3 , C= −21 2 1 , D= 3 5 −1 4 , E= − 5 3
1. −2A, B − 2A, AC, CD 2. A+ 2B, 3C− E, CB, EB
En el resto de esta serie de ejercicios y en las series que siguen, debe suponerse que cada expresión de matrices está defi nida. Esto es, los tamaños de las matrices (y los vectores) involucrados “se corresponden” de manera apropiada.
3. SeaA= 4 −1
5 −2 . Calcule 3I2 − A y (3I2)A.
4. Calcule A − 5I3 y (5I3)A, cuando
A= ⎡ ⎣−89 −17 −63 −4 1 8 ⎤ ⎦ .
En los ejercicios 5 y 6, calcule el producto AB en dos formas: (a) mediante la defi nición, donde Ab1 y Ab2 se calculan por sepa-
rado, y (b) mediante la regla fi la-columna para calcular AB.
5. A= ⎡ ⎣−15 24 2 −3 ⎤ ⎦ , B = 3 −2 −2 1 6. A= ⎡ ⎣−34 −20 3 5 ⎤ ⎦ , B = 12 −13
7. Si una matriz A es de 5 × 3 y el producto AB es de 5 × 7,
¿cuál es el tamaño de B?
8. ¿Cuántas fi las tiene B si BC es una matriz de 3 × 4? 9. Sean A= −32 5
1 y B= 4 −5
3 k . ¿Qué valor(es) de k, si hay, hacen que AB = BA?
10. Sean A= 2 −3 −4 6 , B= 8 4 5 5 , y C= 5 −2 3 1 . Verifi que que AB = AC y que sin embargo B C.
11. Sean A= ⎡ ⎣11 12 13 1 4 5 ⎤ ⎦ y D = ⎡ ⎣20 03 00 0 0 5 ⎤ ⎦. Calcule
AD y DA. Explique cómo cambian las fi las o columnas de A
cuando se multiplica por D a la derecha o a la izquierda. En- cuentre una matriz B de 3 × 3, que no sea la matriz identidad o la matriz cero, tal que AB = BA.
12. Sea A= 3 −6
−1 2 .Construya una matriz B de 2 × 2 tal que AB sea igual a la matriz cero. Las columnas de B no de- ben ser iguales entre sí y deben ser distintas de cero.
13. Sean r1, . . . , rp vectores en Rn, y sea Q una matriz m × n.
Escriba la matriz [Qr1 ∙ ∙ ∙ Qrp] como un producto de dos
matrices (ninguna de ellas igual a la matriz identidad).
14. Sea U la matriz de 3 × 2 de costos descrita en el ejemplo 6 de
la sección 1.8. La primera columna de U enlista los costos por dólar de producción para elaborar el producto B, y la segunda columna enlista los costos por dólar de producción para el artículo C. (Los costos tienen las categorías de materiales, mano de obra, y gastos generales.) Sea q1 un vector en R2 que
enlista la producción (medida en dólares) de los bienes B y C fabricados durante el primer trimestre del año, y sean q2, q3 y q4 los vectores análogos que muestran las cantidades de pro-
ducto B y C fabricadas en el segundo, tercero y cuarto trimes- tre, respectivamente. Proporcione una descripción económica de los datos en la matriz UQ, donde Q = [q1 q2 q3 q4].
Los ejercicios 15 y 16 tratan de matrices arbitrarias A, B y C para las cuales las sumas y productos indicados están defi nidos. Señale cada afi rmación como verdadera o falsa. Justifi que sus respuestas.
15. a. Si A y B son de 2 × 2 con columnas a1, a2 y b1, b2, respec-
tivamente, entonces AB = [a1b1 a2b2].
b. Toda columna de AB es una combinación lineal de las co- lumnas de B usando pesos de la columna correspondiente de A.
c. AB + AC = A(B + C)
d. AT + BT = (A + B)T
e. La transpuesta de un producto de matrices es igual al pro- ducto de sus transpuestas en el mismo orden.
16. a. Si A y B son de 3 × 3 y B = [b1 b2 b3], entonces AB =
[Ab1 + Ab2 + Ab3].
b. La segunda fi la de AB es la segunda fi la de A multiplicada a la derecha por B.
c. (AB)C = (AC)B d. (AB)T= ATBT
e. La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de sus transpuestas.
17. SiA= −21 −2
5 y AB= −
1 2 −1
6 −9 3 , determine la primera y la segunda columnas de B.
18. Suponga que las dos primeras columnas de B, b1 y b2 son
iguales. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas de AB (si
AB está defi nida)? ¿Por qué?
19. Suponga que la tercera columna de B es la suma de las pri-
meras dos columnas. ¿Qué puede decirse acerca de la tercera columna de AB? ¿Por qué?
20. Suponga que la segunda columna de B es toda cero. ¿Qué
puede decirse acerca de la segunda columna de AB?
21. Suponga que la última columna de AB es completamente
cero, pero B por sí sola no tiene ninguna columna de ceros. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas de A?
22. Muestre que si las columnas de B son linealmente dependien-
tes, también lo son las columnas de AB.
23. Suponga que CA = In (la matriz identidad n × n). Muestre
que la ecuación Ax = 0 tiene únicamente la solución trivial. Explique por qué A no puede tener más columnas que fi las.
24. Suponga que AD = Im (la matriz identidad m × m). Muestre
que para toda b en Rm, la ecuación Ax = b tiene una solución.
[Sugerencia: Piense en la ecuación ADb = b.] Explique por
qué A no puede tener más fi las que columnas.
25. Suponga que A es una matriz m × n y que existen matrices
n × m, C y D, tales que CA = In y AD = Im. Pruebe que m = n
y C = D. [Sugerencia: Piense en el producto CAD.]
26. Suponga que A es una matriz de 3 × n cuyas columnas ge-
neran R3. Explique cómo construir una matriz D de n × 3 tal
que AD = I3.
En los ejercicios 27 y 28, vea los vectores en Rn como matrices
n × 1. Para u y v en Rn, el producto de matrices uTv es una matriz
1 × 1, llamada producto escalar, o producto interno, de u y
v. Por lo general, se escribe como un único número real sin cor-
chetes. El producto de matrices uvT es una matriz n × n, llamada
producto exterior de u y v. Los productos uTv y uvT aparecerán
más adelante en el texto. 27. Seanu= ⎡ ⎣−23 −4 ⎤ ⎦ y v = ⎡ ⎣ab c ⎤ ⎦. Calcule uTv, vTu, uvT y vuT.
28. Si u y v están en Rn, ¿qué relación hay entre uTv y vTu? ¿Y
entre uvT y vuT?
29. Compruebe el teorema 2(b) y 2(c). Use la regla fi la-columna.
La entrada (i, j) de A(B + C) se puede escribir como
ai1(b1j+ c1j)+· · · + ain(bnj+ cnj)o bien n
k=1
aik(bkj+ ckj)
30. Compruebe el teorema 2(d). [Sugerencia: La entrada (i, j) en (rA)B es (rai1)b1j + ∙ ∙ ∙ + (rain)bnj.]
31. Muestre que ImA = A cuando A es una matriz m × n. Se puede
suponer que Imx = x para toda x en Rm.
32. Muestre que AIn = A cuando A es una matriz m × n. [Suge-
rencia: Use la defi nición (de columna) de AIn.]
33. Compruebe el teorema 3(d). [Sugerencia: Considere la j-ési-
ma fi la de (AB)T.]
34. Proporcione una fórmula para (ABx)T, donde x es un vector y
A y B son matrices con los tamaños apropiados.
35. [M] Lea la documentación de su programa de matrices y es-
criba los comandos que producirían las siguientes matrices (sin introducir cada entrada de la matriz).
a. Una matriz de ceros de 5 × 6. b. Una matriz de unos de 3 × 5. c. La matriz identidad de 6 × 6.
d. Una matriz diagonal de 5 × 5, con entradas diagonales 3, 5, 7, 2, 4.
Una forma útil de probar ideas nuevas o de formular conjeturas en álgebra de matrices es realizar cálculos con matrices selecciona- das en forma aleatoria. La comprobación de una propiedad para unas cuantas matrices no demuestra que la propiedad sea válida en general, pero permite que la propiedad sea más creíble. Ade- más, si una propiedad es falsa, esto puede descubrirse al realizar unos cuantos cálculos.
36. [M] Escriba el comando o los comandos necesarios para
crear una matriz de 6 × 4 con entradas al azar. ¿Dentro de qué rango de números están las entradas? Diga cómo crear 2.1 Operaciones de matrices
117
una matriz aleatoria de 3 × 3 con entradas enteras entre −9 y 9. [Sugerencia: Si x es un número aleatorio tal que 0 < x < 1, entonces −9.5 < 19(x − 0.5) < 9.5.]
37. [M] Construya una matriz aleatoria A de 4 × 4 y compruebe
si (A + I)(A − I) = A2− I. La mejor manera de hacer esto
es calcular (A + I)(A − I) − (A2 − I), y verifi car que esta di-
ferencia sea la matriz cero. Hágalo para tres matrices al azar. Luego realice la prueba para (A + B)(A − B) = A2− B2,
procediendo en la misma forma con tres pares de matrices aleatorias de 4 × 4. Informe las conclusiones obtenidas.
38. [M] Use al menos tres pares de matrices aleatorias A y B de
4 × 4 para probar las igualdades (A + B)T = AT + BT y (AB)T
= ATBT. (Vea el ejercicio 37.) Informe las conclusiones obte-
nidas. [Nota: La mayoría de los programas de matrices usan
A para representar AT.]
Calcule Sk para k = 2, . . . , 6.
40. [M] Describa con palabras qué pasa al calcular A5, A10, A20
y A30 para A= ⎡ ⎣1/61/2 1/21/4 1/31/4 1/3 1/4 5/12 ⎤ ⎦ SO L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R Á C T I C A 1. Ax = −21 −3 4 5 3 = − 4
2 . Así que (Ax)
T = [−4 2]. También, xTAT =
5 3 1 −2
−3 4 = −4 2 . Las cantidades (Ax)
T y xTAT son iguales, como
cabe esperar por el teorema 3(d). Enseguida,
xxT = 5 3 5 3 = 25 15 15 9 xTx= 5 3 5 3 = [ 25 + 9 ] = 34
Una matriz de 1 × 1 como xTx generalmente se escribe sin corchetes. Por último, ATxT
no está defi nida, porque xT no tiene dos fi las que correspondan a las dos columnas de
AT.
2. La manera más rápida de calcular A2x es determinando A(Ax). El producto Ax requiere
16 multiplicaciones, 4 por cada entrada, y A(Ax) requiere 16 más. Por contraste, el producto A2 requiere 64 multiplicaciones, 4 por cada una de las 16 entradas en A2.
Después de eso, A2x requiere 16 multiplicaciones más, para un total de 80.
2.2 LA INVERSA DE UNA MATRIZ
El álgebra de matrices proporciona herramientas para manipular ecuaciones matriciales y crear diversas fórmulas útiles en formas similares a la ejecución ordinaria del álgebra con números reales. En esta sección se investiga el análogo matricial del recíproco, o inverso multiplicativo, de un número diferente de cero.
Recuerde que el inverso multiplicativo de un número como 5 es 1/5 o 5−1. Este inverso satisface la ecuación
5−1·5 = 1 y 5·5−1= 1 39. [M] Sea S= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
La generalización matricial requiere ambas ecuaciones y evita la notación con diagonales (para indicar una división) debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Más aún, una generalización completa sólo es posible si las matrices involucradas son cuadradas.1
Se dice que una matriz A de n × n es invertible si existe otra matriz C de n × n tal que
CA = I y AC = I
donde I = In, la matriz identidad n × n. En este caso, C es un inverso de A. De hecho, C
está determinado únicamente por A, porque si B fuera otro inverso de A, entonces B =
BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Este inverso único se denota mediante A−1, de manera que,
A−1A= I y AA−1= I
Una matriz que no es invertible algunas veces se denomina matriz singular, y una matriz invertible se denomina matriz no singular.
EJEMPLO 1 Si A= −3 −72 5 y C= −7 −5 3 2 , entonces AC= 2 5 −3 −7 −7 −53 2 = 1 0 0 1 y CA= −7 −5 3 2 2 5 −3 −7 = 10 01 Así que C = A−1.
A continuación se presenta una fórmula sencilla para el inverso de una matriz de 2 × 2, junto con una prueba para saber si existe el inverso.
La demostración sencilla del teorema 4 se describe en términos generales en los ejercicios 25 y 26. La cantidad ad − bc se llama determinante de A, y se escribe
det A= ad − bc
El teorema 4 establece que una matriz A de 2 × 2 es invertible si, y sólo si, det A 0. T E O R E M A 4 Sea A= a b c d . Si ad − bc 0, entonces A es invertible y A−1= 1 ad− bc d −b −c a Si ad − bc = 0, entonces A no es invertible.
1Podría decirse que una matriz A de m × n es invertible si existen matrices n × m, C y D, tales que CA = In
y AD = Im. Sin embargo, estas ecuaciones implican que A es cuadrada y C = D. Por lo tanto, A es invertible como se defi nió con anterioridad. Vea los ejercicios 23, 24 y 25 en la sección 2.1.
EJEMPLO 2 Encuentre el inverso deA= 3 4
5 6 .
Solución Como det A = 3(6) − 4(5) = −2 0, A es invertible, y
A−1= 1 −2 6 −4 −5 3 = 6/(−2) −4/(−2) −5/(−2) 3/(−2) = 5/2−3 −3/22 ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚
Las matrices invertibles son indispensables en el álgebra lineal —principalmente para cálculos algebraicos y deducciones de fórmulas, como en el teorema siguiente. En ocasiones una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemático de alguna situación de la vida real, como en el ejemplo 3 que se presenta más adelante.
Solución Escriba I3= [e1 e2 e3] y observe que D= DI3= [De1 De2 De3]
Interprete el vector e1= (1, 0, 0) como una fuerza unitaria aplicada hacia abajo en el
punto 1 (con fuerza cero en los otros dos puntos). Entonces la primera columna de D,