2.4 Modelo de fallo propuesto 1 Introducción.
2.4.3 Aplicación a una esquina cerrada de bimaterial real.
El procedimiento introducido arriba será aplicado a la esquina bimaterial mostrada en la fig. 2. 6 a. Para el cálculo de los órdenes de las singularidades tensionales y de las funciones angulares en (2.2), se ha utilizado el procedimiento descrito en Barroso et al. (2012). En la fig. 2.9, se muestran las propiedades mecánicas de los materiales que forman la esquina.
Los valores obtenidos de los tres exponentes característicos no triviales más pequeños (𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) son: 𝜆1= 0.763236
𝜆2= 0.889389 (2.9)
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17 Comparación de los resultados de desplazamientos analíticos, numéricos y experimentales en el
ensayo de compresión “Brazilian Test” de una esquina bimaterial 𝜆3= 1.106980
Por sustitución de los valores calculados de 𝜆𝑘 en (2.2), la representación de los desplazamientos y
tensiones asintóticos pueden ser obtenida como sigue:
𝑢𝛼(𝑟, 𝜃) ≅ 𝐾1𝑟0.763236𝑔𝛼1(𝜃) + 𝐾2𝑟0.889389𝑔𝛼2(𝜃) + 𝐾3𝑟1.106980𝑔𝛼3(𝜃) (2.10) 𝜎𝛼𝛽(𝑟, 𝜃) ≅ 𝐾1 𝑟0.236764𝑓𝛼𝛽1 (𝜃) + 𝐾2 𝑟0.110611𝑓𝛼𝛽2 (𝜃) + 𝐾3𝑟0.106980𝑓𝛼𝛽3 (𝜃)
Donde se observa claramente que el tercer término de la representación tensional tiende a 0 si 𝑟 → 0, luego, el carácter singular de las tensiones se asocia a los dos primeros términos. En el caso de 𝑢𝜃, es
necesario añadir un término adicional 𝐾𝑟𝑟 a la representación de los desplazamientos para incluir la rotación como sólido rígido. Este término puede ser evitado si en las condiciones de contorno del modelo numérico (FEM o BEM) se impone la rotación nula en el borde de la esquina, un efecto que no siempre es posible obtener.
Los términos asociados a la traslación como sólido rígido no han sido incluidos en (2.10) como desplazamientos relativos al borde la de la esquina (como fueron usados en el procedimiento numérico para la evaluación de los 𝐾𝑘.
Para las funciones angulares asociadas a 𝜆1, 𝜆2 𝑦 𝜆3 se han utilizado los resultados propuestos en Barroso,
A et al (2003) y que se muestran en las figuras 2. 10, 2. 11 y 2. 12 respectivamente.
Fig. 2.11. Funciones angulares asociadas a 𝛼2 en (2.2)
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA PRECEDENTE
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Fig. 2.12. Funciones angulares asociadas a 𝛼3 en (2.2)
Los GFITs 𝐾𝑘 , tal y como se ha explicado en el apartado anterior pueden ser obtenidos analizando la muestra con elementos finitos y procediendo a un ajuste por mínimos cuadrados en tensiones.
La fig. 8 muestra el modelo de elementos finitos (FEM) usado en este problema, en el cual se ha usado una malla regular, con los nodos colocados en las líneas radiales, cada 5º, y 200 nodos a lo largo de cada línea radial con un progresivo refinamiento de la malla hacia el borde de la esquina, donde el tamaño del elemento final es de 7.5 𝑥 10;5𝑅. La carga usada en el modelo FEM era de 100N.
Se han usado elementos planos con 4 nodos y dos grados de libertad (𝑢𝑥, 𝑢𝑦) en régimen de deformación plana. Para impedir el movimiento como sólido rígido, se han usado las condiciones de contorno en desplazamientos. El sólido CFRP fue modelado como un material ortótropo, elástico lineal equivalente y el adhesivo como un material isotrópico elástico lineal equivalente, cuyas propiedades han sido introducidas en la fig. 2. 9.
Fig. 2.13. Modelo de la esquina bimaterial usado para el Método de Elementos Finitos (MEF).
Para el ajuste en mínimos cuadrados, se han usado 22 nodos comprendidos en el rango 0.00057𝑅 < 𝑟 < 0.00162𝑅 para la determinación de los 𝐾𝑘, donde R es el radio del espécimen.
Mediante dicho análisis de elementos finitos y variando el ángulo de compresión de la muestra, α, se puede obtener por tanto la curva de la figura 2. 14.
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19 Comparación de los resultados de desplazamientos analíticos, numéricos y experimentales en el
ensayo de compresión “Brazilian Test” de una esquina bimaterial
Fig. 2.14. Valores estandarizados de K1 y K2 en la configuración uniaxial de test.
En la fig. 2. 14, puede observarse que existen dos orientaciones de la carga para las cuales 𝐾1 y 𝐾2 desaparecen respectivamente ( 𝛼 ≈ 60º y 𝛼 ≈ 143º para 𝐾1 y 𝛼 ≈ 13º y 𝛼 ≈ 115º para 𝐾2). Estos cuatro casos deben ser analizados, al igual que todos los casos adicionales en los que ninguno de los GFITs desaparece, para determinar un gran número de puntos en la envolvente de fallo. Obviamente, la elección de 𝛼 ≈ 13º o 𝛼 ≈ 115º conducirá a diversos valores de 𝐾1𝐶 (los cuáles pueden ser denotados
como 𝐾1𝐶: > 0 y 𝐾1𝐶; < 0), lo cual es conceptualmente aceptable, como cada valor corresponde a un
diferente estado tensional. Sin embargo, cada elección particular no tiene una influencia relevante en la forma de la envolvente de fallo (obtenida en la parte experimental de este estudio, la cual será descrita en el siguiente documento). En cualquier caso, debe mencionarse que los ángulos seleccionados, 𝛼 ≈ 13º y 𝛼 ≈ 60º corresponden a los valores absolutos máximos de los GFITs que no desaparecen, un hecho que podría incrementar ligeramente la precisión de las estimaciones de 𝐾𝑘𝐶.
Hay que destacar que debido al hecho de que los valores de los GFITs están estandarizados, la influencia relativa de los GFITs en la distribución tensional, depende no sólo de los valores absolutos de los GFITs, como se muestra en la fig. 2. 14, sino también de los valores de las funciones de forma angulares y de la distancia específica al borde de la esquina. Este hecho puede verse más claro representando las tensiones y los desplazamientos para el caso particular de 𝛼 = 13º, donde 𝐾1= 0.01125, 𝐾2= 0.007319 y
𝐾3= 0.01266. En este caso particular, el valor estandarizado de 𝐾2 es sólo ~1.5 veces menor que el valor absoluto de 𝐾1, y 𝐾3(el cual no está asociado a ningún término singular) es mayor que 𝐾1.
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA PRECEDENTE
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Fig. 2.16. Resultados por FEM y series de expansión de (a) 𝜎𝜃, (b) 𝜎𝑟𝜃 y (c) 𝜎𝑟 para 𝛼1= 13º y 𝑟 = 0.001𝑅
Fig. 2.15. Resultados por FEM y series de expansión de (a) 𝑢𝑟 y (b) 𝑢𝜃 para 𝛼1= 13º y 𝑟 = 0.001𝑅
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21 Comparación de los resultados de desplazamientos analíticos, numéricos y experimentales en el
ensayo de compresión “Brazilian Test” de una esquina bimaterial
Conocidas la parte analítica y numérica del problema, es necesario realizar los ensayos físicos sobre las probetas mediante Brazilian Test para cerrar el problema. Una vez obtenida la carga de fallo para cada probeta, se pueden obtener los GFITs críticos de la siguiente manera, para los valores α= 13° y 60° con la ecuación 2. 11. 𝐾𝑘𝐶 = 𝐾𝑘𝐶𝐹𝐸𝑀𝑡𝐹𝐸𝑀𝑅𝐹𝐸𝑀𝑃𝑒𝑥𝑝 𝑡𝑒𝑥𝑝𝑅𝑒𝑥𝑝𝑃𝐹𝐸𝑀 ( 𝑅𝑒𝑥𝑝 𝑅𝐹𝐸𝑀) 1;𝜆𝑘 (2.11)
Y para el resto de configuraciones 𝛼 ensayadas:
𝐾𝑘𝐶 = 𝐾𝑘𝐶𝐹𝐸𝑀𝑡𝐹𝐸𝑀𝑅𝐹𝐸𝑀𝑃𝑒𝑥𝑝 𝑡𝑒𝑥𝑝𝑅𝑒𝑥𝑝𝑃𝐹𝐸𝑀 ( 𝑅𝑒𝑥𝑝 𝑅𝐹𝐸𝑀) 1;𝜆𝑘 (2.12)
Con estos valores 𝐾1𝐶 y 𝐾2𝐶, es posible adimensionalizar los valores de 𝐾1 y 𝐾2 obtenidos para cada probeta. Y por tanto, se puede dibujar la envolvente de fallo (fig 2. 17) que delimita la zona donde la unión puede trabajar de manera segura sin que ocurra el fallo.
ANTECENDENTES
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