APLICACIONES DE LA RELACIÓN MOMENTO CURVATURA

La principal aplicación de las relaciones momento curvatura en el contexto del presente libro se tiene en el cálculo de la rigidez de un elemento que está trabajando en el rango no lineal como se verá en los capítulos subsiguientes, especialmente en el próximo. Sin embargo de ello se presentan otras aplicaciones orientadas al diseño sismo resistente.

1.7.1 Ductilidad local por curvatura

Una definición, un tanto cuestionada Blume et al (1961) pero muy utilizada dentro de la Ingeniería Sismo Resistente, es la referente a la ductilidad por curvatura µφ, que relaciona la

curvatura última φu , con relación a la curvatura de fluencia φy , que se denomina también como

la capacidad de ductilidad por curvatura de una sección.

y u

φ

φ

µ

_φ

=

( 1.18 )

Figura 1.10 Modelo Trilineal y un momento actuante

Md

ante un sismo muy fuerte.

En el diseño sismo resistente de una estructura es necesario que

µ

_φ sea lo más alta posible para que la estructura sea capaz de disipar la mayor cantidad de energía ante un sismo muy severo.

1.7.2 Reserva de ductilidad por curvatura

En el siguiente apartado, se habla sobre los sismos de análisis que con los cuales se debe verificar el desempeño estructural de una edificación. Ahora bien, ante los sismos denominados raro y muy raro, por VISION 2000, que son muy severos la estructura va a ingresar al rango no lineal. Sea Md , el momento actuante debido a uno de los dos sismos

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

23

curvatura φd. Se define la demanda de ductilidad por curvatura

µ

d , con la siguiente relación:

y d

d

_φ

φ

µ

=

( 1.19 )

Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura

µ

_r, como la diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, por curvatura.

y d y u r

_φ

φ

φ

φ

µ

=

−

( 1.20 )

Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferentes elementos que conforman una estructura, mejor será el comportamiento sísmico que se espera de la edificación, toda vez que se permitirá la redistribución de momentos, se obligará a que otros elementos adyacentes a los que están sobrecargados absorban parte de las cargas, aliviando de esta manera las zonas recargadas.

1.7.3 Redistribución de Momentos

Para que se de la redistribución de momentos, es necesario que los elementos tengan suficiente reserva de ductilidad por curvatura, en las secciones críticas que son los extremos de los elementos. El Código ACI-02 calcula en forma muy burda esta reserva de ductilidad en función de la cuantía del acero a tracción

ρ

, del acero a compresión y de la cuantía balanceada

'

ρ

b

ρ

y permite que el momento negativo en los extremos de elementos continuos a flexión pueda incrementarse o disminuirse en no más de lo indicado en la ecuación (1.21).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

b

ρ

ρ

ρ

')

(

1

20

( 1.21 ) Si b

ρ

ρ

ρ−

'

es mayor que 0.5 el ACI-02 no permite redistribución de momentos.

Un principio fundamental para la redistribución, es que la suma de momentos de las vigas, antes de la redistribución, es igual a la suma de momentos de las vigas, después de la redistribución. En consecuencia, no se admite ninguna modificación a la sumatoria de

momentos. La redistribución, se puede realizar de la siguiente manera:

• Redistribución de momentos a través de un nudo. En este caso, si el momento negativo de un nudo se reduce en un determinado porcentaje, en el mismo porcentaje debe aumentarse el momento positivo del nudo en análisis. Por lo tanto, el momento total introducido al nudo permanece inalterado; en consecuencia, los momentos y cortantes de la columna que concurre al nudo, no cambian, Paulay y Priestley (1992).

• Redistribución de momentos en vigas que involucra redistribución de acciones entre las columnas. Se cambian los momentos en vigas, considerando el principio fundamental de la redistribución indicado anteriormente y luego, se debe buscar el equilibrio del nudo para la cual se modifica los momentos en las columnas y esto conduce a deducir

Se puede únicamente cambiar los momentos en los extremos de las vigas, dejando constante el momento en el centro del tramo. Para lograr el equilibrio, ante cargas verticales, se considera que la viga se encuentra simplemente apoyada. Por lo tanto, los momentos se consideran superpuestos sobre la base de una línea recta que une los momentos de los extremos de las vigas.

Las secciones de las vigas, cuyos momentos se han reducido debido a la redistribución, ingresaran al rango no lineal, en forma anticipada pero tienen suficiente reserva de ductilidad por curvatura y esto implica que tienen suficiente reserva de ductilidad por rotación, lo que permite que el hormigón trabaje a grandes deformaciones y la sección rote inelásticamente transmitiendo las acciones a otros elementos.

1.7.4 Inercias Agrietadas

Una vez que se tiene la relación momento curvatura de una sección, definida por un modelo numérico de cálculo similar al indicado en la figura 1.6 o 1.10, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes condiciones a las cuales puede estar sujeto el elemento.

• Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el momento actuante es menor que MA, en este caso se tiene:

g A A

EI

M

EI

=

=

φ

( 1.22 )

donde es la inercia no agrietada de la sección transversal del elemento y E es el módulo de elasticidad del material.

g

I

Si en la figura 1.10, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez a flexión agrietada

EI

_cr. y y cr

M

EI

φ

=

_{( 1.23 )}

Desde un punto de vista más riguroso, en base a la relación Momento Curvatura se determinan los modelos histeréticos que se utilizan para el análisis dinámico no lineal Roufaiel y Meyer (1987), tema bastante complejo que no se lo aborda en el presente capítulo. Lo que interesa ilustrar, por ahora, es la forma de calcular

I

_cr del diagrama momento curvatura.

Ante un sismo muy severo, la estructura va a sufrir daño. En consecuencia, el análisis sísmico para estos eventos se los realiza considerando la Inercia Agrietada . Los códigos establecen estos valores en función de la Inercia no agrietada y está en función del nivel de desempeño estructural esperado de la edificación. A continuación se presentan los valores estipulados en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y en la Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR-98.

cr

I

g

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

25

♦ Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 • Icr = 0.5 Ig Para Vigas.

• Icr = 0.8 Ig Para Columnas.

• Icr = 0.2 Ig Para Muros Estructurales.

♦ Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR-98

‰ Estado Límite de Servicio • Icr = 0.5 Ig Para Vigas.

• Icr = 1.0 Ig Para Columnas.

• Icr = 1.0 Ig Para Muros no fisurados

• Icr = 0.5 Ig Para Muros fisurados

• Icr = 0.35 Ig Para Losas, en sistemas losa-columna ‰ Estado Límite de Resistencia

• Icr = 0.35 Ig Para Vigas.

• Icr = 0.70 Ig Para Columnas.

• Icr = 0.70 Ig Para Muros no fisurados

• Icr = 0.35 Ig Para Muros fisurados

• Icr = 0.25 Ig Para Losas, en sistemas losa-columna

En la Norma NSR-98 se puede apreciar que el valor de depende del Estado de Diseño, si se espera poco daño (Estado Límite de Servicio) los valores de son más altos en relación a cuando se espera más daño (Estado Límite de Resistencia).

cr

I

cr

I

Es importante destacar que cuando se trabaja con Inercias Agrietadas todos los elementos de la estructura se ven reducidos su rigidez pero esto no es cierto ya que no todos los elementos van a ingresar al rango no lineal durante un sismo muy severo. Esto es una debilidad de trabajar con

I

_cr.

1.7.5 Índices de daño sísmico local

La tendencia del diseño sismo resistente es cuantificar el comportamiento no lineal que se espera de una edificación y esto entre otras cosas significa, calcular el Índice de daño a nivel de sección de los elementos, a nivel de piso y a nivel de la estructura. En el presente apartado se estudia la evaluación del índice de daño a nivel de sección, también denominado índice de daño local y se desea presentar un modelo muy sencillo basado únicamente en las relaciones momento curvatura. El objetivo, es que el lector empiece a familiarizarse con los índices de daño

I

_D.

Si el momento actuante , indicado en la figura 1.10, es igual al momento de fluencia , el índice de daño es igual a cero y si el momento actuante es igual a , el índice de daño es igual a uno. Por otra parte, si se considera una variación lineal del índice de daño, hipótesis del modelo de daño, se tiene que:

d

M

y

y u y d D

M

M

M

M

I

−

−

=

( 1.24 )

En forma similar, se puede definir otro modelo de cálculo del índice de daño , en función de la curvatura. D

I

y u y d D

I

φ

φ

φ

φ

−

−

=

_{( 1.25 )}

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