El aprendizaje de las matemáticas en el contexto de la Física.

Desde que la escolarización de la enseñanza de las ciencias, en particular de física y matemática se ha relegado a simplemente resolver problemas de forma de algoritmos Gil Pérez, Martínez y Senent (1987), hacen referencia a literatura anterior al

año que hicieron su estudio, en donde el fracaso de los alumnos de matemáticas consistía principalmente por la falta de interés, pero este es un problema que aún se ve reflejado hoy en día.

En el caso de la física muchas veces se le considera que la física es “una ciencia apéndice de las matemáticas, llena de fórmulas que hay que aprender de memoria y que tiene poco o nada que ver con el mundo que las rodea” (Rodríguez, 2012, p. 1), en donde para ser buen alumno solo se tiene que saber resolver problemas, haciendo alguna

manipulación matemática a una fórmula, sin entender el trasfondo de esta fórmula, ni el resultado de aplicarla, un claro ejemplo de la finalidad de la enseñanza de las

matemáticas es en la Física en donde se busca entender una circunstancia, organizarla y poder matematizarla, siendo el mejor ejemplo de ello, Isaac Newton el cual tratando de describir el movimiento de los cuerpos, usando conocimientos que tenía de geometría analítica y tratando de encontrar ajustes a esas curvas, crea la derivada que es base para el cálculo diferencial y toda la Física Clásica, (Pickover, 2012).

Debido a esta problemática los estudiantes se desmotivan al estudiarla, y por añadidura a las ciencias que hacen uso de ella, como es el caso de la física, aún cuando en la realidad todas las ciencias están vinculadas y de forma muy cercana, las escuelas no promueven esa conexión entre las diversas ciencias (Mongui y Moreno, 2007).

Esta desvinculación, no sólo es por los estudiantes en general, sino también por parte de los profesores, no es raro que en los centros de estudios universitarios, los profesores de materias de Física, acusen de no aterrizar las clases de matemáticas sobre

problemas concretos y viceversa, profesores de matemáticas quienes presuponen que la aplicabilidad directa de lo visto en clase lo realizaran los maestros de las áreas

respectivas.

En los últimos veinte años se han enfocado los estudios a clarificar el por qué de los altos índices de reprobación en Matemáticas y Física, así como su deserción, y nuevos enfoques que detengan dicho problema. La gran mayoría de las investigaciones en educación de las ciencias, se están enfocando al estudio de las concepciones de los alumnos y a los errores de los mismos, ya que como dice Balacheff (1990) los errores de los alumnos son el indicador más obvio de sus dificultades en matemáticas; dichos errores no son accidentales o por descuidos, sino que se deben a estrategias, conceptos previos, que los alumnos usan para resolver algún nuevo problema y éste no es acertado.

Se tiene que tomar en cuenta que una concepción es cuando el alumno usa un aprendizaje, una herramienta, una regla o un algoritmo de forma inadecuada, no porque no lo sepa sino porque su razonamiento esta automatizado y no razonado; como

menciona Pochulu (2005), todo proceso de instrucción es potencialmente generador de errores debido a diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente.

Por lo que las investigaciones de los últimos años han puesto de manifiesto que buscar por qué prevalecen estos errores y concepciones, es la clave para lograr un mejor proceso de enseñanza aprendizaje, entonces la pregunta no es si los estudiantes pueden aprender Física, sino que instrucciones pueden ser diseñadas para ayudarlos a aprender más eficientemente (Hestenes, 1987).

Dichas investigaciones arrojan resultados de varios alumnos incluso los que parecería que tienen un buen aprendizaje de las matemáticas, es decir ponen en invidencia una grave y general incomprensión de incluso los conceptos más

fundamentales y reiteradamente enseñados (Gil, 1993), ya que aprenden algoritmos para resolver problemas sin en realidad entender los conceptos que están de fondo.

El objetivo de todas las investigaciones de enseñanza de las matemáticas es identificar los errores significativos y las representaciones de los alumnos que son recurrentes, a fin de accionar su superación mediante distintas estrategias didácticas (Caputo y Macías, 2006). Los errores pueden tener muchos orígenes, Gil (1993) consideraba las experiencias cotidianas de los niños una de ellas, dividiéndolas en dos fases cuando un alumno se enfrenta a un alumno: la primera usa su conocimiento previo para usar una regla o fórmula de un problema similar y aplicarlo a la resolución de un problema y la segunda extrapola alguna regla a problemas que no le son conocidos. Aunque sin importar estas fases o su origen son considerados como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimiento (Pochulu, 2005).

Otro aspecto muy importante es que se debe conocer y permitir a los alumnos expresarse como expone Balacheff (1990) si las concepciones de los estudiantes tienen todas las propiedades de un elemento del conocimiento, se deben reconocer que quizá esto sea porque tienen algún dominio de validez.

De acuerdo a Camarena, (2009), la matemática debe de contextualizarse como herramienta de apoyo, ya que enseñarles conceptos de manera pura sin el contexto de donde nacieron, no tiene ningún sentido para alguien que no será matemático. Otra manera de plantearlo es a través de una modelación de las ciencias, e incluso se habla de una matematización como fin de la educación de las ciencias.

La palabra matematización se entiende como una connotación de la actividad mental que se realiza cuando uno transforma los textos de un problema real o cuasi real en lenguaje matemático, generalmente en algún tipo de ecuación (Geller, 2008).

Este proceso es de gran utilidad en múltiples ciencias tanto exactas como sociales, debido a que las matemáticas son abstractas y tienen una manera de deducción y argumentación que facilita la descripción, pero sobre todo la regulación y pronóstico de situaciones futuras. Gracias a este poder de razonamiento hipotético, las matemáticas pueden calcular las posibles consecuencias de algún evento, sin necesidad de que se realiza dicho evento, en esto radica el gran poder de la matematización (Geller, 2008).

Sin embargo los seres humanos han perdido este poder como consecuencia de la enseñanza de las matemáticas que se nos otorga en los centros educativos, en donde debido a la tecnología tenemos cajas negras en las cuales se introduce datos, conceptos y obtenemos el resultado que se busca sin preguntarnos cómo fue realizado. En esta época estamos ante una des-matematización y no se refiere a la aplicación solo de algoritmos para resolver problemas, sino que peor aún, sólo metemos datos en una máquina sin ni siquiera conocer el algoritmo.

Según el proyecto de la OCDE en su proyecto PISA propone una matematización que consta de cinco pasos: tener un problema real, se organizan los “objetos”, las incógnitas, los conceptos, teoremas y las leyes matemáticas que pueden servir para resolver el problema, se generan hipótesis, suposiciones, generalizaciones y formalizaciones de forma que el problema real se transforma en un matemático, se resuelve el problema matemático y por último se le da un sentido a ese resultado en términos del contexto real de la pregunta, así como las limitaciones de la solución obtenida, (UNAM, 2011).

Esta matematización no pretende en ningún momento dejar de lado el formalismo de las matemáticas, sino un cambio en el orden, que se matice el rigor de las matemáticas para que se empiece con las aplicaciones, es decir modelación y matematización de los problemas reales para después generalizar y dar paso a las teorías abstractas y las demostraciones, para que el alumno se sienta más motivado a trabajar con problemas más cercanos a sus intereses y le permitan tener una visión positiva del papel de las mismas para su formación integral, (Cortes, Jodar, Rosello y Villanueva, 2004).

Cuando se habla de modelos aunque existen ligeras diferencias dependiendo de los autores, se considera como una representación de una parte del mundo con un objetivo particular (Chamizo, 2010). Estos modelos parten de ser mentales para

convertirse en matemáticos (o materiales en el caso de las ciencias naturales). Aunque lo más común es que se considere como un modelo matemático de la naturaleza a una fórmula, existen otras formas matemáticas que son representaciones de un modelo mental, como pueden ser un diagrama o una gráfica.

Si se habla estrictamente un modelo matemático es el conjunto de relaciones definidas en un conjunto de variables que reflejan la esencia de los fenómenos del objeto de estudio. Dicha relación puede representarse de diversas formas la más común es a partir de ecuaciones, pero también una forma menos común pero considera para muchos matemáticos y físicos como no formal es el uso de gráficas, pero los estudiantes cuando ven graficas se les queda más gravadas las imágenes y ponen mayor atención, (Brito- Vallina, Alemán-Romero, Fraga-Guerra, Para-García y Arias de Tapia, 2011).

Esta práctica a partir de modelos tiene sus bases en la historia de las ciencias, de cómo a partir de modelos para explicar cierto fenómeno del mundo real se crearon teorías abstractas del mismo fenómeno. Otra importancia de los modelos es que ya se prestan para ser comprobados. Como menciona Chamizo, (2011) para la enseñanza y el aprendizaje efectivo de las ciencias se debe realizar en el salón lo que hacen los

científicos, es decir, modelar.

Este sistema se ha implementado sobre todo en lo que se conoce como “jugar a ser científico” en donde se quita el mito de que la ciencia son un conjunto de elementos a memorizar, o una serie de recetas de cocina para realizar algún experimento (Akerson y Hanuscin, 2007), el acercar a los alumnos a una forma más real de cómo trabajan los científicos, se darán cuenta de que hacer ciencia requiere de imaginación y creatividad, de su conocimiento previo y de la experimentación. (Mc Comas, 1998).

Cuando se habla de que aprender ciencia al lograr una matematización de los mismos, no se refiere el reducir la ciencia a puros algoritmos, sino por el contrario, de

que los alumnos entiendan una circunstancia, la organicen y así poder expresar sus nociones en forma matemática, en este contexto se está usando la matemática como un lenguaje, una prueba final de la abstracción del concepto a estudiar. La construcción del conocimiento responde a un proceso de transformación de la imagen del mundo real.

Contreras y Delgado (2008) nos dan una definición muy clara de lo que es la matematización, sin hacer referencias a los algoritmos, sino a una organización de las ideas: es la capacidad de manejar la cantidad y la extensión, la lógica, la deducción, la observación la curiosidad y la abstracción a través de las matemáticas como medio de expresión.

Otra definición se puede encontrar en Trigueros (2009), en donde expone que la matematización de la realidad o modelación consiste en el uso de las matemáticas para describir y analizar al mundo, para desarrollar técnicas y tecnologías que intervienen sobre éste activamente esta definición es muy parecida a la anterior, haciendo énfasis en que son una forma de interpretación en un lenguaje de signos y números.

Aunque la modelación puede ser difícil, por diversos factores, como son en primera instancia la falta de práctica tanto de alumnos como maestros, el trabajo de “traducir” problemas reales a situaciones matemáticas, cuando ya de por si esa

traducción era difícil en problemas ya planteados, entre otros, el balance costo- beneficio se ve inclinado hacia los beneficios ya que diversas investigaciones muestran que

aplicarlos a la solución de problemas” (Trigueros, 2009, p. 77) entonces estos modelos permiten que los conocimientos se comprendan de mejor manera.

Otro beneficio inmediato es la creciente motivación de los estudiantes por aprender, así como nuevas herramientas para abordar problemas y resolverlos de distintos puntos de vista y poderlos de esta forma a que los alumnos aprendan los procesos matemáticos para que los puedan aplicar a otras materias o bien a su vida personal.

Los nuevos proyectos educativos se basan en que los alumnos pueden entender de mejor manera la física, y otras ciencias, si se les da de forma cercana la matemática necesaria, de forma que sea una herramienta para describir conceptos y no al revés. Como por ejemplo el proyecto ECAMM (Enseñanza de la Ciencia a través de Modelos Matemáticos), el cual busca el “utilizar modelos matemáticos para apoyar la enseñanza de las ciencias (Física, Química y Biología)” (Mochon, 2006, p. 111). A través de la construcción de estos modelos matemáticos se aprenden tanto los temas científicos que se quieren, y como un extra del programa se aprenden las técnicas matemáticas

necesarias para utilizarlos.

Este proyecto colaborativo entre Inglaterra y México ha desarrollado que los conocimientos de las ciencias sean más cercanos, al tener un acercamiento primero cuantitativo a través de un modelo matemático para más tarde usar tablas y gráficos para dar paso a la abstracción del mismo.

Según los planes de estudio de la Secretaria de Educación Pública (SEP, 2001), los cuales no han tenido cambios desde hace más de diez años, las matemáticas deben enseñarse de manera parecida a como se crearon a lo largo de la historia, ya que estas nacieron como herramientas para resolver algún tipo de problema científico o social, o inherentes a las propias matemáticas.

Para hacer esto se necesita re contextualizar la didáctica de las mismas, aunque existen cuerpos de conocimiento que son independientes como los sistemas de numeración o la proporcionalidad, se debe poner en situaciones que cobren sentido para el alumno, que le permitan resolver problemas de la vida real que se le planteen.

Esta recontextualización debe empezar en las escuelas normales para que los futuros profesores, aprendan nuevas formas de trabajo, un enfoque didáctico diferente que haga que sus futuros estudiantes conozcan y apliquen lo que aprenden; este nuevo enfoque se les otorga a los futuros profesores como si fueran estudiantes, para que dé una viva experiencia y que comprendan la necesidad de propiciar aprendizajes sólidos y significativos a través de la resolución de problemas contextualizados en lugar de simplemente algoritmos memorísticos. Enfocar las matemáticas permite una conexión con otras asignaturas, además de que el alumno tiene la sensación de que las matemáticas les son y le serán útiles, (Cortes, et al, 2004).

Otra implementación se está dando en el Instituto Politécnico Nacional, desde 1982 nace la teoría matemática en contexto de las ciencias la cual busca ser el puente entre las matemáticas y otras asignaturas. Pretende que las matemáticas sean

herramientas para materias específicas a cada carrera de los universitarios. (Camarena, 2012), como por ejemplo los cursos de ecuaciones diferenciales usados en el contexto de los circuitos eléctricos.

Esta teoría nace de un estudio de la problemática que tienen los estudiantes de todos los niveles educativos al aprender matemáticas, además trata de vincular las ciencias que la requieren a través de situaciones de la vida cotidiana, actividades similares a la laboral y profesional que tendrán en un futuro los egresados, por eso en muchas ocasiones a esta teoría se le llama como “matemática para la vida”. Esta teoría está formada por cinco fases, la curricular, la didáctica, la epistemológica, la formación docente y la cognitiva.

En la fase curricular tiene una metodología denominada DIPCING (por las siglas en ingles de diseño de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería), la cual permite una vinculación entre las matemáticas y las materias de ciencias básicas y de ingeniería, así como una unión entre los niveles anteriores y superiores de

educación, en donde las asignaturas de matemáticas no son en sí mismo una meta, sino una herramienta. Para esta etapa se busca tener una detección del nivel que traen los estudiantes, a partir de las cuales se generaran competencias matemáticas para su futuro desarrollo.

En la fase didáctica se utiliza un proceso metodológico que consiste en primero lugar presentar la matemática en contexto en el aula, en segundo lugar cursos

eliminar creencias negativas, en tercer lugar un taller interdisciplinario para los alumnos de los últimos semestres de la carrera a fin de que puedan resolver problemas reales de la industria.

En la fase epistemológica, se busca que los ingenieros dejen de emplear procesos, métodos o algoritmos sin conocer su origen, por el contrario al mostrar que los contextos científicos dieron sentido y significado a la matemática y ésta a su vez le da sentido y significado a temas y conceptos de las ciencias. Al usar una matemática contextualizada se busca identificar obstáculos epistemológicos que pueden ser usados para la fase didáctica.

En la fase de la formación docente, en donde se diseña una especialidad en docencia de la ingeniería matemática, en donde se destaca que deben incluir cuatro categorías cognitivas (éstas deberían estar en cualquier especialidad de la enseñanza de la matemática): el conocimiento sobre los estudios de ingeniería (u otra área de la ciencia) en donde se labora, el conocimiento de los contenidos a enseñar, el

conocimiento sobre el uso de tecnología para apoyar el aprendizaje y por último el conocimiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática.

Para finalizar la fase cognitiva se basa fuertemente en la teoría de aprendizajes significativos de Ausubel, en donde este tipo de metodología ayuda al estudiante a construir su propio conocimiento, con una base firme. Gracias a este enfoque Camarena (2009) ha podido determinar que tanto la motivación como el desempeño académico son

factores estimulantes y por ende la transferencia del conocimiento se da sin mayores contratiempos.

Por otro lado varios autores como Brito-Vallina, et al (2011) y están buscando implementar la modelación matemática en la formación de los ingenieros con una metodología muy similar a la propuesta por Camarena (2012), teniendo ésta como objetivo propiciar que las matemáticas sean usadas en otras áreas del conocimiento, que tengan más interés a las matemáticas al acercar su aplicabilidad, que puedan resolver situaciones-problemas de la vida real (poder leer, interpretar, formular y resolver un problema), mejorar la cooperación en grupo y fomentar la realización y redacción de trabajos de investigación.

Se observó cómo estudiantes a nivel medio superior olvidan con facilidad el aprendizaje de las matemáticas y por ende el de la física, ocasionando esto que conforme van avanzando en el proceso enseñanza-aprendizaje tienen dificultades para realizar las operaciones matemáticas requeridas en la aplicación de las fórmulas. Esta dificultad también se ve reflejada al interpretar enunciados en problemas y se ve que muchas veces los alumnos no entienden lo que se les está preguntando y esto no es ya un problema del uso de las matemáticas sino también un problema de lenguaje, ya que el alumno tiene que entender oral o escrito lo que se le está pidiendo para posteriormente transcribirlo a un lenguaje matemático.