29. El siguiente sistema tiene como solución aproximada Mejore esta solución, utilizando: a) Punto flotante con cuatro dígitos, b) punto flotante con seis dígitos. c) cambie el coeficiente 371 por 371.2 y compare el % de cambio en la solución.
30. Mejore la solución aproximada que se obtuvo resolviendo el siguiente sistema con punto flotante y cuatro dígitos:
30. El sistema lineal , con tiene como solución
exacta , .Resuelva el sistema usando
aritmética de punto flotante con tres dígitos; a) sin pivoteo, b) con pivoteo completo y c) con pivoteo completo luego de ajustar , y equilibrar.
1. Codifique los siguientes algoritmos y compruebe su funcionamiento con la resolución de los ejercicios anteriores.
a) Eliminación Gaussiana y sustitución Backward: Para resolver el sistema lineal
Entrada: n, matriz
Salida: Solución , ,.. , o mensaje de que el sistema no tiene una única solución. Paso 1 Para hacer los pasos 2 a 4
Paso 2 mínimo entero con
Si no se encuentra ningún entero p, entonces el sistema no tiene una solución única. Paso 3 Si entonces intercambiar
Paso 4 Para hacer los pasos 5 y 6 Paso 5
Paso 6 Reemplazar por
Paso 7 si entonces el sistema no tiene una solución única. Paso 8
Paso 9 Para hacer que i
Paso 10 Salida = , .. ,
b) Factorización LU (Decidir cuál va a ser la entrada y salida del algoritmo) Paso 1 Seleccionar y que satisfaga
Si entonces la factorización es imposible Paso 2 Para hacer que
Paso 3 Para hacer los pasos 4 y 5 Paso 4 Seleccionar y que satisfaga
Si entonces la factorización es imposible Paso 5 Para hacer:
]
Paso 6 Seleccionar y que satisfaga (Nota: si entonces pero es singular)
Paso 7 Salida: para n
Salida: para
Una segunda versión simplificada del algoritmo de factorización LU es la siguiente. Entrada: La matriz A de n por n
Salida: las matrices L y U
Paso 1 L = una matriz de ceros con unos en la diagonal U = la matriz A
Paso 2 para un desde hasta repetir los pasos 3 a 6 Paso 3 para un desde hasta repetir los pasos 4 a 6 Paso 4
Paso 5 para un k desde i hasta n repetir el paso 6 Paso 6 –
Paso 7 Salida: las matrices L y U
2. Resolver los ejercicios 2, 3, 4 y 5 con la sentencia de GNU Octave correspondiente a la Factorización LU.
lu(A) donde A es la matriz a factorizar. Sabiendo que en GNU Octave compruebe los resultados de los ejercicios 6 y 7.
3. Cálculo de corrientes
La corriente I en la malla1 se calcula apoyado en la ley de Ohn Se puede decir entonces que en la malla anterior: * , esto debido a que las resistencias están en serie.
Amperios ó 4 MiliAmperios. Si se tiene un sistema de mallas como l descrito en la figura siguiente, para
Resolverlo se asume la dirección de la corriente (en este caso en el sentido de las manecillas del reloj). Si se hace el análisis a la malla A, se tiene lo siguiente:
En esta malla como no hay fuente de voltaje entonces se tiene:
. Al observar la figura se nota que por esta malla circulas tres corrientes y la circulan en sentido contrario a la , entonces la ecuación para esta malla quedará así:
Si analiza la malla tres tendrá la siguiente ecuación:
Analizando la mallaC se tiene:
Al final se tiene una ecuación pata cada una de las mallas, lo que nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se puede resolver utilizando uno de los métodos para solucionar ecuaciones simultáneas.
a. La corriente que circula por cada una de las mallas
b. Calcular la corriente que circula por cada una de las resistencias así como su dirección. Mantenga el valor de y varíe el valor de desde hasta de en y encuentre lo anterior para cada caso determinado.
4. Otra forma de resolver este tipo de problemas es haciendo uso de las leyes de corriente de Kirchhoff y la ley de Ohm. La ley de corriente dice que la suma algebraica de todas las corrientes sobre un nodo debe ser igual a 0. Tenga en cuenta que todas las corrientes que entran al nodo tienen signo positivo. La ley de Ohm dice que la corriente a través de una resistencia está dada en función del cambio de voltaje y de la resistencia.
Determínese el valor de cada una de las corrientes (I) y cada uno de los voltajes (V) en cada nodo.
5. Supóngase que tres cajas se conectan por medio de cuerdas muy ligeras mientras caen libremente a una velocidad de 10m/s. Calcúlese la tensión en cada cuerda y la aceleración de las cajas, dada la siguiente información:
Caja Masa, kg Coeficiente de Rozamiento Kg/s
1 70 10
2 60 14
3 40 17
6. Un Ingeniero Industrial supervisa la Producción de cuatro tipos de Osciloscopios. Se requiere cuatro clases de recursos (Horas-hombre, Metales, Plásticos y Componentes Electrónicos) en la producción. En el cuadro abajo se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de Osciloscopio.
Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg de metal, 970Kg de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuántos Osciloscopios se pueden construir de cada tipo por día?
Oscil Horas/hombre Metales Plásticos Componentes
1 3 20 10 10
2 4 25 15 8
3 7 40 20 10
4 20 50 22 15
Nota: Cada valor anterior representa cantidad por equipo.
7. Un problema de importancia en Ingeniería Estructural es el de encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. La figura siguiente muestra el ejemplo de tales armaduras.
Las fuerzas F representan ya sea las tensiones o las compresiones de los elementos de la estructura. Las reacciones externas son fuerzas que caracterizan como interacciona la armadura con la superficie que la soporta. El efecto de la carga externa de 1000Kg se distribuye a todos los elementos de la armadura.
8. Úsese la eliminación gaussiana para resolver:
= 4
Empléese el pivoteo y compruebe la respuesta: 9. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones:
-
a) Por el Método de Eliminación Gaussiana b) Por el Método de Gauss-Jordan
c) Por el Método de Gauss-Seidel.
10. Un ingeniero supervisa la producción de 4 tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos (horas-Hombre, Metales, plásticos y componentes electrónicos) en la producción. En el cuadro se muestran las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 856 horas-hombre, 3,050 kg. de metal, 1450 kg. de plástico y 948 unidades de componentes electrónicos, ¿cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir?
Supóngase que las ganancias correspondientes a cada computadora están dadas por los valores en el cuadro 2. ¿Cuánto será el monto de la ganancia total asociado con un día de trabajo? Ahora supóngase que existe la posibilidad de aumentar cualquiera de los recursos disponibles. Realice un estudio de evaluación rápida sobre los beneficios que se obtendrán al incrementar cada uno de los recursos y explique el comportamiento al aumentar los recursos, también recomiende en que recursos es mejor invertir a fin de aumentar la utilidad. (Utilice el criterio de la matriz inversa para determinar la variación unitaria).
11. Una fábrica produce los artículos . Para fabricar el articulo A emplea la máquina M durante 2 horas, la máquina durante , y la máquina durante 3 horas.
Para fabricar el artículo B se emplea la máquina durante 3 horas, la máquina durante 2 horas y la máquina durante 3 horas.
Para fabricar el articulo se emplea la máquina M durante 1.5 hora, la máquina N durante 2.5 horas y la máquina Z durante 3 horas.
Si la máquina M está disponible 176 horas al día, la máquina N durante 228 horas, la máquina Z durante 250 horas. Determinar el número máximo de productos que se pueden fabricar en un día. Utilice método de Eliminación de Gauss o Gauss-Jordan.
12. Utilice el método de Gauss-Seidel y resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: (Tolerancia de 0.01 y 4 cifras de decimales. Realice al menos 4 iteraciones). Analiza el sistema antes de empezar la solución.
+X2