PRELIMINARES FUNCIONES _____________________________________________________ 3
Selecciones la respuesta correcta _____________________________________________________ 4TEORIA DE ERRORES _________________________________________________________ 11
RAICES DE ECUACIONES _______________________________________________________ 16
Teoría de Descartes _______________________________________________________________ 16 Sturm __________________________________________________________________________ 16 Aproximaciones Sucesivas __________________________________________________________ 17 Bisección ________________________________________________________________________ 20 Falsa Posición y Secante ____________________________________________________________ 22 Newton Raphson _________________________________________________________________ 24 Horner __________________________________________________________________________ 27 Muller __________________________________________________________________________ 27 General Todos los métodos _________________________________________________________ 27 Aplicación _______________________________________________________________________ 29INTEGRALES DEFINIDAS _______________________________________________________ 41
Rectangular, Trapecial y Simpson ____________________________________________________ 43 Aplicación (P4_ParteA_MB535_2006_1-Int) ____________________________________________ 49
MATRICES __________________________________________________________________ 63
ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES ___________________________________________ 65
A. Métodos Directos _______________________________________________________________ 69A-1. Eliminación Gaussiana y Sustitución Backward _____________________________________________ 69 A-2. Factorización LU y Sustitución Forward ___________________________________________________ 69 A-3. Pivoteo y número de dígitos ____________________________________________________________ 70 B. Métodos Iterativos ______________________________________________________________ 71 B-1. Número condición. Perturbaciones y número de dígitos ______________________________________ 71 B-2. Mejoramiento iterativo de soluciones _____________________________________________________ 72
AJUSTE DE CURVAS __________________________________________________________ 79
Interpolación de Newton ___________________________________________________________ 79 Polinomios de Lagrange ____________________________________________________________ 79 Mínimos Cuadrados _______________________________________________________________ 80 Linealizables _____________________________________________________________________ 84Hermite _________________________________________________________________________ 84 Trazadores o Splines _______________________________________________________________ 86
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS _______________________________________ 96
PRELIMINARES FUNCIONES
Consideraciones especiales: Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa
) (x
f es un máximo si f' x( ) 0 y f' x( ) cambia de signo pasando de positivo a negativo )
(x
f es un mínimo si f' x( ) 0 y f' x( )cambia de signo pasando de negativo a positivo
El número de raíces de una función depende del número de variaciones de signo en dicha función. Al reemplazare el x por (1) las variaciones de signo nos dará el número de raíces positivas, Al reemplazar el x por (-1) las variaciones de signo dará el número de raíces negativas y la máxima potencia dará el número total de raíces. Las imaginarias serán las restantes.
Encontrar: Los máximos, Los mínimos, el número de raíces positivas, negativas e imaginarias y decir los rangos para los cuales es creciente y decreciente cada una de las siguientes funciones. Asuma los valores que considere necesarios.
1.
f
(
x
)
2
x
39
x
212
x
3
2.f
(
x
)
(
x
1
)
2(
x
1
)
3 3.f
(
x
)
a
b
(
x
c
)
2/3 4.f
(
x
)
x
36
x
29
x
5.f
(
x
)
10
12
x
3
x
22
x
3 6.f
(
x
)
x
32
x
215
x
20
7.f
(
x
)
2
x
2x
4 8.f
(
x
)
x
44
x
9.f
(
x
)
x
4x
31
10.f
(
x
)
3
x
44
x
312
x
2 11.f
(
x
)
x
55
x
4 12.f
(
x
)
3
x
520
x
3 13.x
a
x
x
f
3 22
)
(
14. 2 32
)
(
x
a
x
x
f
15. 2 4 2)
(
x
a
x
x
f
16. ( ) 2 2 a x ax x f 17.a
x
x
x
f
2)
(
18. 2 2 2)
(
a
x
x
x
f
19. 2 2 2 22
)
(
a
x
a
x
x
f
20.f
(
x
)
(
2
x
)
2(
1
x
)
2 21.f
(
x
)
(
2
x
)
2(
1
x
)
3 22.f
(
x
)
b
c
(
x
a
)
2/3 23.f
(
x
)
a
b
(
x
c
)
1/2 24.f
(
x
)
(
2
x
)
1/3(
1
x
)
2/3 25.f
(
x
)
x
(
a
x
)
2(
a
x
)
3 26.f
(
x
)
(
2
x
a
)
1/3(
x
a
)
2/3 27. 4 2 2 ) ( 2 x x x x f 28.1
4
)
(
2x
x
x
x
f
29.4
2
4
)
(
2 2x
x
x
x
x
f
30. ( ) ( )(2 ) x x b a x x f31. De una pieza cuadrada de cartón de lado a, se desea construir una caja abierta por encima, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrado iguales y doblando hacia arriba el cartón para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? 32. Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente
proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, ¿cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d.
33. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede escribirse en una esfera de radio r.
34. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado.
35. Se desea construir una valla alrededor de un campo rectangular y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a uno de los lados. Si el área del campo es dada hallar la razón de los lados para que la longitud total de las vallas sea la mínima.
36. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener un área de 10.800m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo?.
37. Un fabricante de Instrumentos electrónicos averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno siendo 5x 375 3p. El costo de la producción es 2
5 1 15
500 x x pesos. Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.
38. Si el problema anterior se supone que la relación entre x y p es
5 20
100 p
x , demostrar que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana. 39. Si en el problema anteriormente planteado se supone que la relación entre x y p es:
p
x
22500
20
, ¿Cuantos instrumentos deben producir semanalmente para obtener la máxima ganancia?.40. Cuál es el ancho del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un segmento dado de una parábola.
Selecciones la respuesta correcta
41. Es un procedimiento que describe con ambigüedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden especifico:
42. Uno de los criterios que siempre trataremos de imponer sobre un algoritmo es que los cambios pequeños en los datos iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales. Un algoritmo que satisface esta propiedad es:
a) Estable b) Inestable c) Condicionalmente estable d) ninguna de las anteriores
43. Un Punto Fijo de una función " g"es un numero " p"para el cual:
PRELIMINARES SERIES
1.
Fibonnaci, partiendo de dos valores iniciales (0,1) se continúa calculando el siguiente valor con la suma de los dos anteriores. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...
Desarrolle un algoritmo que permita encontrar: 1. Los primeros N términos de dicha serie
2. Los términos hasta encontrar el primero mayor a Q
3. Los términos comprendidos entre un valor M y N (con M>N)
2.
Son varios los procedimientos para calcular el resultado de elevar un valor al cuadrado. Ej: Caso 1: La forma sencilla es multiplicar n*n
Caso 2: Otra forma es sumar n veces n: n+n+....nn
Caso 3: Otra forma es sumar los primeros n impares: 1+3+5+...(2*n-1)
Desarrolle un algoritmo utilizando estructuras cíclicas para resolver el ejercicio por los dos casos últimos.
3.
Raíz n (n
#
) de un número(#): Una forma de encontrar la raíz n a un número es el siguiente: si sequiere calcular la
7
entonces se puede replantear como ecuación así: f(x) x2 7,f'(x) 2x Si 3 9, se asume ax
03
como la raíz supuesta de 7 para iniciar el proceso.La primera iteración quedará:
333333
.
0
)
3
(
2
7
3
'
2 0 0x
f
x
f
666667
.
2
333333
.
0
3
0x
x
Para La segunda iteración el x0 toma el valor de x y se tendrá:
0208333
.
0
)
666667
.
2
(
2
7
)
666667
.
2
(
'
2 0 0x
f
x
f
6458334
.
2
0208333
.
0
666667
.
2
0x
x
Al igual que el caso anterior, la tercera iteración quedará:
000820
.
0
)
6458334
.
2
(
2
7
)
6458334
.
2
(
'
2 0 0x
f
x
f
6457514
.
2
000820
.
0
666667
.
2
0x
x
Desarrolle un algoritmo que le permita calcular la raíz de: 1. Los números primos menores a 100. 2. 3
75
,
448
,
5120
4.
Para los siguientes ejercicios:
a. Sumar los primero N términos, donde N representa un valor entero que se lee cada vez que se ejecuta el programa junto con el valor de X (en los casos que se requiera). b. Continuar sumando términos sucesivos a la serie hasta que el valor del ultimo término
sea menor (en magnitud) que 5 10 * 1 5. ... ! 3 2 1 ! 2 2 1 2 1 1 2 3 e 6.
...
!
4
!
3
!
2
1
4 3 2x
x
x
x
e
x7.
e
xcosh(x)
sinh(x)
8.e
xcosh(x)
sinh(x)
9. .... 30 3 ) ( 5 3 2 x x x x x sin ex 10....
!
4
)
(
!
3
)
(
!
2
)
(
)
(
1
4 3 2 )(
sin
x
sin
x
sin
x
x
sin
e
sin x 11. ... 8 5 12 13 2 ) 2 ( 2 3 4 2sin t t t t t e t 12.e
ixcos(
x
)
i
sin(
x
)
13....
!
7
!
5
!
3
)
(
7 5 3x
x
x
x
x
Sin
14. ... ! 5 ! 4 3 ! 3 ! 2 3 3 2 1 ) 3 ( 5 4 3 2 x x x x x x Sin 15.i
e
e
x
ix ix2
)
sin(
16....
6!
x
4!
x
2!
x
1
cos(x)
6 4 2 17.2
)
cos(
ix ixe
e
x
18.....
2835
62x
315
17x
15
2x
3
x
x
tan(x)
9 7 5 3 19.....
9
x
7
x
5
x
3
x
x
(x)
tanh
atan(x)
9 7 5 3 1 20.....
9
x
7
x
5
x
3
x
x
2
π
)
x
1
atan(
9 7 5 3 21. x ... 112 5 x 40 3 x 6 1 x 2 π 1 2k x 1 k 2 π acos(x) 3 5 7 1 2k k 0 k 1/2 22. 1 2 1 1 1 2 2 2 4 2 1 2 3 1 40 3 6 1 2 1 2 5 3 x x ) n )( n *...( * )*x n *..( * .... x x x x asin(x) n 23.2
)
sinh(
x xe
e
x
24....
!
7
!
5
!
3
7 5 3x
x
x
x
sinh(x)
25.
...
336
15
40
3
6
)
7 5 3x
x
x
x
(x
sinh
1 26. ... 7 6 * 4 * 2 5 * 3 * 1 5 4 * 2 3 * 1 3 2 1 ) sinh( 7 5 3 x x x x x a 27. 28. , 1 1 2 ) ! ( 2 )! 2 ( 1 2 1 0 2 2 x n x n n asinh(x) n n n n 29.asinh(x)
ln
x
x
21
30. 2 e e cosh(x) x x 31....
6
x
2*4*6
1*3*5
4
x
2*4
1*3
2
x
2
1
ln(2)
acosh(x)
6 4 2 32. , 1 2 ) ! ( 2 )! 2 ( 1 2 1 2 2 x n x n n ln(2) acosh(x) n n n n 33.a
cos
h(x)
ln
x
x
21
34....
315
17
15
2
3
)
(
7 5 3x
x
x
x
x
tanh
35. 36. 37. 38....
6
6
*
4
*
2
5
*
3
*
1
4
4
*
2
3
*
1
2
2
1
)
(
sec
6 4 2 1x
x
x
ln(2)
)
acosh(x
x
h
a
39. ,0 1 2 ) ! ( 2 )! 2 ( 1 2 1 2 2 x n x n n ln(2) asech(x) n n n n 40. 41. 42. x x x h arc 2 1 1 ln ) ( sec43. x x x h arc 2 1 1 ln ) ( csc 44. 2n 1 1 n n n 2n x 2n! ) 4 (1 4) ( B
tan(x) , donde Bs son los números de Bernulli.
45. x 1 x 1 ln 2 1 x 1 x 1 ln atanh(x) 2 46. 1 x 1 x ln 2 1 1 x 1 x ln acoth(x) 2 47.
....
720
61
24
5
2
1
)
(
6 4 2x
x
x
x
Sec
48.....
720
61
24
5
2
1
)
(
6 4 2x
x
x
x
Sech
49. ... 96 7 4 1 1 ) (x x2 x4 Sec 50....
4
x
3
x
2
x
x
1)
ln(x
4 3 2 51....
4
1)
(x
3
1)
(x
2
1)
(x
1)
(x
ln(x)
4 3 2 52. n 1 1 n n 3 3 2 21)a
(n
x
1
...
3a
x
2a
x
a
x
ln(a)
x)
ln(a
53....
4
x
3
x
2
x
x
x)
ln(1
4 3 2 54. ... 45 x 12 x 2 x ln(cos(x)) 6 4 2 55. .... 5 1 * 5 1 5 1 * 3 1 5 1 2 ln(2) ln(3) 3 5 56. 4(1 1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/13 ....) 57.*
4
1
2
)
1
(
1 i nn
58. .... 2 1 5 1 * 4 3 * 2 1 2 1 3 1 * 2 1 2 1 6 5 3 59.....
4
1
3
1
2
1
1
6
2 2 2 2 60. ....) 5 4 * 4 3 4 3 * 3 2 3 2 * 2 1 ( x 61.x
11
(
x
1
)
(
x
1
)
2(
x
1
)
3...
62. ...) 4 4 3 3 2 2 1 ( )) 1 ( ( 3 2 x x x x Log dx d e 63.
...
4
x
3
x
2
x
x
x)
log(1
4 3 2 64. (1 x) 1 1 x x2 x3 ...TEORIA DE ERRORES
1. ya Dadosy
0
.
2115
*
10
2 y 4 10 * 4523 . 0x , en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dígitos, al calcular
x
y
en coma flotante:a) No se produce error generado.
b) El error absoluto generado es 0.4523*104.
c) El error propagado es nulo.
d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor.
2. ya
El error de cancelación de cifras significativas se produce: a) Cuando se divide un número por otro muy pequeño.
b) Cuando se suma dos números de la misma magnitud y distinto signo.
c) Cuando se realiza el producto de dos números muy grandes.
d) Cuando se restan dos números de la misma magnitud y distinto signo.
3. ya
Dados x = 0.4523*104, e y = 0.2115*10-2 en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dígitos, al calcular x + y en coma flotante:
a) No se produce error generado.
b) El error absoluto generado es 0.4523*104.
c) El error propagado es nulo.
d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor.
4. ya
El error de cancelación de cifras significativas se produce: a) Cuando dividimos un número por otro muy pequeño.
b) Cuando sumamos dos números de la misma magnitud y distinto signo.
c) Cuando realizamos el producto de dos números muy grandes.
d) Cuando restamos dos números de la misma magnitud y distinto signo.
5.
Supongamos que tenemos la siguiente función f(x) x 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) Si queremos evaluar la función en un punto positivo cercano a uno, no habrá problemas de cancelación de términos significativos.
b) Debemos utilizar la función
1
1
)
(
x
x
x
g
, que es una función equivalente a f(x) y no presenta problemas en puntos cercanos a uno.c) Debemos utilizar la función
1
1
)
(
x
x
x
g
, que es una función equivalente a f(x) y no presenta problemas en puntos cercanos a uno.d) Ninguna de las anteriores.
6. ya
Obtener el error absoluto y relativo al considerar 60 mt como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 mt.
a. 0.25%
b. 0.15%
d. 1.5%
e. Ninguna de las anteriores
7. ya
Obtener el error absoluto y relativo al considerar 3,5 mt como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 mt.
a. 2.5%
b. 3.5% c. 1.5%
d. Ninguna de las anteriores
8. ya
Un carpintero tiene que construir una mesa de 136 cm de largo para obtener una superficie de 9.396 cm2. Cuanto medirá el otro lado si utiliza una regla que solo aproxima hasta los milímetros.
a. 69.1 b. 69.09 c. 69.0 d. 69.2
e. Ninguna de las anteriores 9.
Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde x=2,00, y = 3,00 y z = 4,00 (estos valores están correctamente redondeados):
a) 3 x + y - z b) x y / z c) x sen (y / 40) 10.
Calcular la siguiente expresión, incluyendo su cota de error absoluto: w = x y² / z
Donde x = 2,0 ± 0,1, y = 3,0 ± 0,2 y z = 1,0 ± 0.1. Indicar qué variable tiene mayor incidencia en el error en w. 11.
¿Con cuántos decimales significativos hay que tomar a pi y e en las siguientes expresiones para que el resultado tenga tres decimales significativos?:
a) 1,3134 b) 0,3761 e c) e
12.
Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes: a. 1/2 6
1
2
f
b. 1/2 6 1 2 1 f c.f
3
2
*
2
1/2 3 d. 1/2 32
*
2
3
1
f
e.f
99
70
*
2
1/2 f.f
1
/
99
70
*
2
1/2a) Demostrar que, efectivamente, son algebraicamente equivalentes.
b) Utilizando el valor aproximado 1,4 para la raíz cuadrada de 2, indicar qué alternativa proporciona el mejor resultado.
13.
Se tiene la expresión
y
ln
[x
-
(x²
-
1)
½]
decimales correctos y que el error en x es despreciable.
b. Obtener una expresión matemáticamente equivalente a la anterior, pero mejor condicionada desde el punto de vista numérico, y recalcular el resultado con el nuevo error.
14.
Se realizan observaciones de un satélite para determinar su velocidad. En la primera observación la distancia al satélite es L = 30.000 ± 10 km. Luego de 5 segundos (medido con 4 dígitos de precisión) la distancia radial ha aumentado en r = 125 ± 0,5 km y el cambio en la orientación ha sido ø =0,00750 ± 0,00002 radianes. Calcular la velocidad del satélite, incluyendo su error, suponiendo que el mismo se mueve en línea recta y a velocidad constante durante ese intervalo de tiempo.
15.
Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral:
dx e b a I a x bx 1 0 ) ( 2 ) , (
Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla:
a b I 0.39 0.34 1.425032 0.40 0.32 1.408845 0.40 0.34 1.398464 0.40 0.36 1.388198 0.41 0.34 1.372950 Ahora bien, se midieron las cantidades físicas z e y, obteniéndose:
z = 0,400 ± 0,003 y = 0,340 ± 0,005 Estimar el error en I(z,y) y expresar el resultado final.
16.
En una computadora, una celda de memoria tiene 2 posiciones binarias para almacenar los signos de la mantisa y del exponente, 11 posiciones decimales para la mantisa y 3 posiciones decimales para el exponente. Por ejemplo, el número p se almacena de la siguiente forma: +31415926536+001. Indicar cómo se almacenan los números:
a) 2.7182818285 b) -1073741824 c) 0.577216 d) -123E-45
Indicar cuál es la cota de error relativo que tiene un número almacenado según esta representación.
17.
Determinar las cotas para los errores relativos de v y w (que son dos expresiones algebraicamente equivalentes) en los siguientes casos, utilizando la gráfica de proceso:
a) b)
Suponer que a es positivo y que los números 2 y 3 tienen una representación exacta en la computadora. Comparar los resultados de las dos expresiones y extraer conclusiones. Calcular dichos errores para a=0,6992 (correctamente redondeado), redondeando a 4 dígitos luego de cada operación aritmética.
18.
Considerar las expresiones v (a b)/c y w (a/c) (b/c). Suponer que a, b y c son positivos, sin errores de entrada y que a es aproximadamente igual a b.
a) Demostrar que el error relativo por redondeo en w puede ser mucho mayor que el mismo error en v. b) Calcular dichos errores para a = 0,41, b = 0,36 y c = 0,70, utilizando aritmética de punto flotante con 2
19.
Mostrar en los siguientes cálculos que, trabajando en punto flotante con una precisión de 5 dígitos, no valen las leyes asociativa y distributiva. Usar redondeo simétrico.
0.98765 + 0.012424 - 0.0065432, (4.2832 - 4.2821) * 5.7632
20.
Evaluar el polinomio
P(x)
x
3-
6
x
23
x
-
0,149
enx
4
.
71
utilizando aritmética de punto flotante de 3 dígitos con redondeo truncado. Evaluarlo luego usando la expresión alternativa149 . 0 ) 3 ) 6 (( ) (x x x x
P (denominada Esquema de Horner). Comparar con el resultado exacto y sacar conclusiones. Repetir el ejercicio con redondeo simétrico.
21.
Sumar los siguientes números de menor a mayor y luego de mayor a menor utilizando aritmética de punto flotante con 4 dígitos de precisión. Comparar con el resultado exacto y obtener conclusiones.
0.2897 0.4976 0.2488*10 0.7259*10 0.1638*10² 0.6249*10² 0.2162*103 0.5233*103 0.1403*104 0.5291*104
22.
Calcular 2 2
w
v usando aritmética de punto flotante de 4 dígitos de precisión, con v=43,21 y w = 43,11, utilizando los siguientes algoritmos:
a) b)
Indicar cuál algoritmo es más conveniente y justificar.
23.
Investigar la estabilidad numérica en el cálculo de:
) 1 /( ) 1 ( ) * 2 1 /( 1 a a a x , siendo |a| << 1.
La secuencia de operaciones es:
7 6 3 7 5 4 6 1 5 1 4 2 3 1 2 1
a
,
1
2
*
,
1
/
,
1
,
1
,
/
,
,
x
Cambiar la secuencia de operaciones de modo que resulte un algoritmo más estable que el anterior.24.
Indicar cuál de los siguientes algoritmos es más estable numéricamente para calcular la menor raíz de la ecuación x2 2x a 0, con a positiva y mucho menor que 1.
2 3 2 / 1 1 2 1 1 1 ) a e x a 3 4 2 3 2 / 1 1 2 1 1 1 / ) a e x a b 25.
Se desea evaluar la derivada de la función f(x) en el punto
x
1, pero sólo se dispone de valores de f sobre un conjunto discreto de puntos. Se utiliza la siguiente estimación:1 2 1 2
)
(
)
/
(
x
f
x
x
x
f
D
a. Suponiendo que
x
2x
1 es pequeño, obtener una estimación del error de truncamiento cometido. Para ello, desarrollarf
(
x
2)
en serie de Taylor alrededor dex
1.b. Suponiendo que los valores de
f
(
x
2)
yf
(
x
1)
se redondean de tal forma que sus errores relativos sonr
2 yr
1 , respectivamente, obtener una estimación del error en D por el redondeo durante las operaciones. Para ello utilizar la gráfica de proceso, sin considerar errores enx
1y
x
2.c. Estimar el error en D debido a errores de entrada
x
2 yx
1 enx
2 yx
1, respectivamente. Para ello utilizar la fórmula general de propagación de errores.sus valores en
x
22
,
x
11
,
x
11
,
x
22
.a. Estimar, mediante la gráfica de proceso, los errores en f0 debido al redondeo de los valores de la tabla de f y al redondeo durante los cálculos.
b. Suponiendo que la función f es par y que
f
1 yf
2 son del mismo orden, y utilizando el resultado del punto a, obtener una condición que garantice que el error debido al redondeo en los cálculos sea despreciable.27.
Se desea evaluar
z
cos(
2 1)
, donde 11
.
345
0
.
0005
y 21
.
352
0
.
0005
, ambos medidos en radianes. Los cálculos se efectúan con 7 dígitos de precisión. El valor del coseno se obtiene de una tabla con 5 decimales significativos. Se pide:a. Calcular z y efectuar una estimación de la cota de error mediante la gráfica de proceso. Identificar la principal fuente de error.
b. Repetir el cálculo anterior utilizando el algoritmo alternativo
z
cos
2cos
1sen
2sen
1 Explicar cuál de los dos algoritmos es mejor y justificar.RAICES DE ECUACIONES
Teoría de Descartes
1. Dada la ecuación
P(x)
8x
-20x
-2x
5
0
2 3
, mediante la regla de Descartes, analizar cuántas raíces reales positivas y negativas posee.
2.
Estudiar si cada una de las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, indicando qué resultados o resultados se han utilizado en cada caso:
a) El polinomio 2x3-x2-x-1
1) tiene tres raíces reales positivas 2) no tiene raíces reales
3) tiene dos o ninguna raíz real negativa.
b) Si nos dicen que el cociente de dividir un polinomio P(x) por
x
2
es 2x3-4x2 5x-7podemos deducir que
1) el valor de la derivada de P(x) en el punto −2 es 10. 2) El valor de la derivada de P(x) en el punto −2 es 49.
3) No podemos deducir nada sobre P'( 2) 3. Dado el polinomio: g(x) (2x5 3x3 4)(x-1)
a. Aplicando la regla de Descartes estima el número de raíces reales de g. ¿Puedes precisar el número exacto de raíces reales de g utilizando sólo Descartes?
b. Encuentre un intervalo que aísle la raíz menor.
Sturm
1.
Dados dos números,
a,
b
cona
0
, se considera el polinomioP(x)
x
3-bx
2ax-ab
.a) Encontrar una relación entre a y b que garantice que la sucesión de Sturm de P tenga sólo tres términos.
b) Decidir, en el caso en que a y b verifiquen la relación anterior, el número de raíces reales y distintas de P.
2. Obtener cotas superiores e inferiores de las raíces positivas de las siguientes ecuaciones, aplicando un método distinto a cada una de ellas:
a. x5-x4 x3-x2 1 0
b. 2x5-100x2 2x-1 0.
c. x7 5x6 27x5 3x3 4x2 7x 2 0 3. Acotar y separar las raíces de :
a. x3-7x2 14x-6 0
b. x3-x-1 0
c. x4-2x3-4x2 4x 4 0
Aproximaciones Sucesivas o Punto Fijo
1.
Dada la función g(x) de la que se pretende calcular su punto fijo, indicar la respuesta correcta.
a) Si aplicamos el método del punto fijo para
x
01
, entonces éste converge. b) Si aplicamos el método del punto fijo parax
01
, entonces éste diverge.c) Si aplicamos el método del punto fijo para
x
04
, entonces éste converge.d) Ninguna de las anteriores.
2.
En 1225 Leonardo de Pisa estudió la ecuación p(x) x3 2x2 10x 20 y obtuvo la raíz x=1,368808107. No se sabe como encontró este valor, pero es un resultado notable para su época. En este ejercicio se pretende resolver la ecuación usando varios métodos.
Transforma la ecuación en una ecuación equivalente x g( x), dando dos posibles elecciones de g(x), de forma que el método de iteración funcional
x
n 1g
(
x
n),
n
0
, sea convergente en un caso y divergente en el otro.3.
Para localizar la raíz de una función en el intervalo
1
,
2
, comenzando conP
01
.
2
. Determine cuál de las cuatro funciones de iteración es la conveniente para realizar el método:3 4 2 1 3 3 2 1 2 2 1 1 1 1 1 x x g x x x g x x x g x x x g
a) g1 x b)
g
2x
c) g3 x d) g4 x e) Todas las funcionesg
x
d) Ninguna de las anteriores.4.
La ecuación 2 2 3 0
x
x se puede reformular mediante el método de sustitución sucesiva como sigue: a.
2
)
3
(
x
2x
b.x
2x
3
c.x
x
x
2
3
d.
x
x
0
.
2
(
x
22
x
3
)
Las soluciones de la ecuación son
x
3
yx
1
. Determine en forma gráfica cuales de las fórmulas convergen cuando se utilizan con la sustitución sucesiva (Punto fijo) para encontrar la raízx
1
.5.
Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar un intervalo [a,b] en el cual la iteración de punto fijo sea convergente, analizando el tipo de convergencia.
Estimar el número de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una 5 10
tol y
comparar con las que se utilizan en realidad al aplicar el método.
a. x= ( ex+x2) 2 3 1 b. 182 3+x x = x c. 2 7 4x 1.75 x + = x d. x2=ex/3 6.
Verificar que
x
a
es un punto fijo de la función g(x). Encontrar, sin realizar ninguna iteración, los valores de a para los cuales el método de punto fijo converge linealmente o cuadráticamente.a. g(x)=(x+a)/2 b.
g(x)
=
-
x
2+
3
ax
+
a
2a
2 c. 2 2 3x
ax
+
x
a
=
g(x)
7.Se desean calcular por iteración las raíces positivas de la ecuación x log(x) 0. Para ello, se proponen los métodos siguientes:
(i)
x
n 1log(
x
n)
, (ii) xnn e x 1 , (iii) ( ) 2 1 1 n x n n x e x
a. Hay alguno de ellos cuyo uso no sea aconsejable?
b. Cuál es el más adecuado de los tres?
Proporcionar alguna otra fórmula mejor que las anteriores.
8. Resuelve la ecuación x cos(x) con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo x x f(x) x toma como intervalo inicial [0, 1].
9.
Considere la ecuación x cos(x)
a. Demuestra que la formulación x (x cos(x))/2 es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial
x
0 en el intervalo [0,1].b. Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior.
Verifica el resultado resolviendo la ecuación con MatLab. 10. Considere la ecuación f(x) sen( x) x.
b. Resolver manualmente mediante el método de “Punto Fijo”. Hacer 5 iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado
E
a.c. Adecuar el algoritmo del método de Punto Fijo para que sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones cuando el error relativo aproximado
E
a0.01%
y un número máximo de iteraciones. Utilizar como valor inicialx
00
.
5
Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.
11. Hallar la raíz de la siguiente función
f
(
x
)
x
22
xe
xe
2x Para0
x
1
12. Encontrar la raíz de la ecuaciónf
(
x
)
x
34
x
210
.13.
Usa el manejo algebraico para demostrar que las siguientes funciones tienen un punto fijo en p exactamente cuándo f( p) 0, donde
f(x)
x
42x
2-x-3
.a.
g
1(
x
)
3
x
2
x
2 1/4 b. 2 / 1 4 2 2 3 ) (x x x g c. 2 / 1 2 3 2 3 ) ( x x x g d.1
4
4
3
2
3
)
(
3 2 4 4x
x
x
x
x
g
14.Se proponen los tres métodos siguientes para calcular
21
1/3. Clasifica por orden, basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo quep
01
.a. 21 / 21 20 n 1 2n 1 n p p p b. 2 1 3 1 1
3
21
n n n np
p
p
p
c.21
21
2 1 1 4 1 1 n n n n np
p
p
p
p
d. 2 / 1 1 21 n n p p 15.En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a, b] en que convergirá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de 10 5 y realiza los cálculos.
a.
3
2
e
x
2x
x b. 52 2 x x c.x
(
e
x/
3
)
1/2 d. x x 5 e. x 6 x f. x 0.5(sin(x) cos(x))16. Utilice los algoritmos desarrollados para verificar el resultado encontrado en los ejercicios anteriores y para encontrar las raíces de las siguientes ecuaciones con una exactitud de 5
Determine el número de pasos para cada método. a.
e
x2
x2
cos
x
6
0
,
1
x
2
b. ln(x 1) cos(x 1) 0, 1.3 x 2 c. 2xcos2x (x 2)2 0, 2 x 3 y 3 x 4 d. (x 2)2 lnx 0, 1 x 2 y e x 4 e. ex 3x2 0, 0 x 1 y 3 x 5 f. senx e x 0, 0 x 1, 3 x 4 y 6 x 7 17.Demostrar que la sucesión generada N-R diverge para las siguientes funciones, independientemente del punto inicial elegido:
a.
f(x)
x
21
b.
f(x)
7x
43x
2π
18.
En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a, b] donde la iteración de punto fijo convergirá en una solución positiva de la ecuación.
a. 3 2 x 0
e x
b. x cos(x) 0
Obtenga las soluciones con una exactitud de 10 5.
19.
Ensaya con la iteración del punto fijo
x
nx
n21 1 para los valores del parámetro
2 , 9 . 0 , 7 .
0 . Observar que aunque la iteración
(
)
1
x
x
ng
n genere una sucesión que noconverja, esto no implica necesariamente que la sucesión tienda a infinito. Observar el comportamiento caótico para 2.
20.
La función
g
(
x
)
0
.
4
x
0
.
1
x
2 tiene dos puntos fijos (x
2
yx
2
). Calcula los primeros términos de la sucesión generada con la iteración del punto fijox
n 1 g(x
n):a. Comenzando con
x
01
.
9
b. Comenzando conx
01
.
9
c. Explicar por qué la sucesión generada en a. converge y la generada en b. diverge. 21.
Las raíces reales de
f(x)
=
23
,
330
+
79
,
35
x
88
,
09
x
2+
41,6
x
38,68
x
4+
0,658
x
5 hasta cuatro iteraciones, usando el valor inicial de a)x
i3
.
5
b)x
i4
c)x
i4
.
5
, también calcule el error aproximado.22. Determine la raíz real mayor de
f(x)
=
6
+
11
x
6x
2+
x
3Bisección
1. Con una precisión de 2
10 las soluciones de x3 x2 14x 6 0 en los intervalos [0,1], [1, 3,2] y [3,2, 4].
2. Utiliza el método de bisección para aproximar
3
con un error absoluto máximo de 10 -4 (Ayuda: consideraf
(
x
)
x
23
. 3. Demuestra que(
)
1
3x
x
x
f
tiene una única raíz en [1,2]. Aproximar dicha raíz con 5 decimales exactos utilizando el algoritmo de bisección4. Utiliza el algoritmo de bisección para encontrar soluciones aproximadas con 5 10
siguientes problemas: a. x 2 x 0, x 0,1 b. ex 2 x 2cos(x) 6 0, x 1,2 c. ex x2 3x 2 0, x 0,1 5. Sea f(x) (x 1) ,x 1 y xn 1 1/n 10
. Demostrar que
f
(
x
n)
10
3 cuandon
1
, pero quex
x
n10
3 requiere quen
1000
6.
Considere la ecuación x 0
e
x .
a. Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [0, 1].
b. Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [0, 1].
c. Si se usa el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuántas iteraciones hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?
Calcule las 5 primeras iteraciones. 7.
Halla una cota del número de iteraciones del método de bisección necesarias para aproximar la solución de x3 x 4 0 que esta en el intervalo [1, 4] con 3 cifras decimales exactos y calcula dicha aproximación.
8.
La función f(x) sin(px). Se sabe que tiene ceros en cada número entero. Prueba que cuando 3
2 0
1 a y b -el método de bisección sobre [a, b] converge a:
a. 0, si a+b < 2,
b. 2, si a+b > 2,
c. 1, si a+b = 2.
9.
Calcular las raíces de la siguiente ecuación, mediante los Métodos de Intervalo.
a. Graficar y establecer el/los intervalo/s.
b. Hacer cinco iteraciones en cada caso y establecer el “error relativo aproximado”.
c. Adecuar los logaritmos de los métodos de Bisección para que cada uno sea un programa y programarlo en C, o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un
%
05
.
0
r
E
(error previamente fijado) y un número máximo de iteraciones.10.
Encuentre la raíz de las ecuaciones siguientes en el intervalo (0,1.6). Determínelas con un error menor que 0.02 usando el método de bisección:
a. x*cos(x) ln(x)
,
b. 2* x 0 e x,
c. e 2x 1 x.
11.Utilice el método de secante para encontrar las soluciones de x3 7x2 14x 6 0 con un error menor que 10 2 en cada uno los siguientes intervalos:
a. [0, 1] b. [1, 3.2] c. [3.2, 4]
12. Encuentre el número de iteraciones necesarias para encontrar una solución de 4 0 3
x
x ,
mediante el método de bisección en el intervalo
1
,
4
con una exactitud de 10 3. 13. Usa el método de bisección para encontrar una solución exacta dentro de3 10 para x tan(x) en [4, 4.5] 38 ) 1 ( * 675 ) ( e .15*x x x f
14. Encontrar la raíz de la siguiente ecuación utilizando el método de Intervalo Medio o Bisección. x
x
x
f
(
)
2
. Usar como valores iniciales 0, 1 (ResultadoX
70.6445
)15. Encuentra una aproximación de 3 correcta con una exactitud de 4
10 usando el algoritmo de bisección. [SUGERENCIA: considere
f
(
x
)
x
23
]Falsa Posición y Secante
1.
A B C D
Con cual de las Figuras anteriores se describe el Método de Posición Falsa:
a.
Figura 1b.
Figura 2c.
Figura 3d.
Figura 4e.
Figura 1 y 3f.
Ninguna de las Anteriores2.
Si se calcular una iteración del método de la secante para calcular un cero de la función
f
(
x
)
x
33
, partiendo dex
00
yx
11
, se tiene como resultadoa.
3b.
3.2c.
3.3d.
2.4e.
Ninguna de las Anteriores3. Dada la función
(
)
cos(
)
3
x
x
x
f
y dadosx
01
yx
10
, calcula tres aproximaciones sucesivas de la raíz de f en [-1,0] usando tanto el método de la secante como el de regula falsi. 4. Hallar la menor raíz positiva de la ecuación0
cos
2=
(x)
e
x , con una tol 10 6, utilizando los algoritmos de bisección, régula falsi (False Posición) y punto fijo (Aproximaciones sucesivas). Establecer una tabla que permita comparar resultados, número de iteraciones, etc.5.
Calcular las raíces de la siguiente ecuación, mediante los Métodos de Intervalo.
a. Graficar y establecer el/los intervalo/s.
b. Resolver manualmente mediante los métodos de “Bisección” y el de “Falsa Posición”. Hacer cinco iteraciones en cada caso y establecer el “error relativo aproximado”.
c. Adecuar los logaritmos del método de Falsa Posición para que cada uno sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un
E
r0
.
05
%
(error previamente fijado) y un número máximo de iteraciones.38 ) 1 ( * 675 ) ( e .15*x x x f
Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.
6.
Sea
f
(
x
)
x
26
. Conp
o3
yp
12
encuentrep
3 a. Aplique el método de la secanteb. Aplique el método de la posición falsa c. Está (a) o (b) más cerca de 6 ?
7.
Sea
f
(
x
)
x
3cos(
x
)
. Conp
o1
yp
10
obtengap
3 a. Aplique el método de la secanteb. Aplique el método de la posición falsa c. Está (a) o (b) más cerca de 6 ? 8. Sea
(
)
6
2
x
x
f
con [2,3] encontrar la raíz por el método de la falsa posición con .Rta= 2.45454
9.
Si se calculan 2 iteraciones del algoritmo de la regula-falsi para buscar un cero de la función
2
)
(
x
x
2f
, en el intervalo [0, 2]. Se tiene como respuesta. a. 4/3b. 5/3 c. 1
d. Ninguna de la anteriores
10.
La función f(x) (4x 7)/(x 2) tiene un cero en
x
1
.
75
. Aplicar el método de la secante con las aproximaciones inicialesa.
x
01
.
625
,
x
11
.
875
b.x
01
.
5
,
x
11
.
95
c.x
01
.
9
,
x
11
.
4
d.x
01
.
4
,
x
11
.
9
e.x
03
,
x
11
.
7
f.x
01
.
7
,
x
13
11.Aproxime las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 5 10 a. 3 2 e +x2 = x x b. 3x2 ex=0 c.
e
+
2
+
2cos
(x)
6
=
0
x x d.10cos
0
2=
(x)
+
x
12. La raíz real más alta de
0,874
1,750
2,627
2+
x
+
x
=
f(x)
. Emplee como valores iniciales9
.
2
1x
yx
23
.
1
, calcule también el error aproximado realizando 3 iteraciones. 13. La raíz más pequeña de 3 20,667
3,1
6,21
2,1
+
x
x
+
x
=
f(x)
, emplee como valores iniciales0,4
1=
x
yx
2=
0,6
e itérese hasta que el error estimado a4
%
.14. La raíz de ln( x) 0.5, usando como valores iniciales x1 1 y x2 2 realice cuatro iteraciones y calcule el error aproximado después de cada iteración
15. La raíz cuadrada positiva de 10, con un error aproximado menor al 0,5%, empleando como
001
.
0
valores iniciales
x
1=
3
yx
2=
3,2
.16. La raíz real de
f(x)
=
x
3100
con un error aproximado del 0,1 % 17. Determine la raíz real mayor de3 2
6x
11
6
+
x
+
x
=
f(x)
, (dos iteraciones, x1 2,5 y 6 , 3 2 x ).18. Determine la raíz real más pequeña de
3 2 703 , 3 296 , 16 963 , 21 36 , 9 ) (x x x x f , Dos iteraciones, x1 0,5 y x2 1,1 19.
Encuentre la raíz real positiva de
f(x)
=
998
,
46
+
464
x
35
,
51
x
28,6
x
3+
x
4 usando el método de la secante. Emplee los valores inicialesx
i1=
7
yx
i=
9
y realice cuatro iteraciones, calcule también el error aproximado.20.
Localice la raíz positiva de f(x) 0.5x sin(x) donde x está en radianes. Use como valores iniciales a)
x
i2
.
0
; b)x
i1
.
0
. Realice cuatro iteraciones y calcule también el erroraproximado. Usando el método de la Secante (Dos iteraciones,
x
i 1=
2,5
yx
i=
3,6
).Newton Raphson
1.
Dada la siguiente gráfica de la función f(x), indicar la respuesta falsa:
a) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial
x
04
. b) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicialx
00
.c) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial
x
02
.d) El método de Newton es convergente si partimos del valor inicial
x
03
.2.
Indica la respuesta correcta. Si se aplica el método de Newton para resolver la ecuación polinómica x3 x 1 0, partiendo de un valor inicial
x
01
, entonces el primer término obtenido es: a) 4 7 1 x b) 4 1 1 x c)x
11
d) Ninguna de las anteriores.
3.
Calcular una iteración del método de Newton-Raphson para calcular un cero de la función
3
)
(
x
x
3f
, partiendo dex
01
. b. 4 c. 5/3 d. 4/3e. Ninguna de las anteriores
4.
Dado un número c, se puede calcular su inverso
x
1
/
c
resolviendo la ecuación1
/
x
c
0
a. Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemos calcular inversos sinhacer divisiones.
b. Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores iniciales deben estar próximos a la solución para que el método converja.
5. Aproxima el valor de raíz de 41 y 23 con 6 decimales exactos usando el método de Newton-Raphson.
6. Hallar la raíz cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el método de Newton y comenzando con el valor inicial
3
0x
. Utilizar dos decimales redondeados en los cálculos.7.
Calcular las raíces reales de la siguiente ecuación
0
.
5
x
34
x
26
x
1
/
3
, mediante el método abierto de Newton-Raphson. Utilizar solo tres cifras significativas.Hacer:
a. Graficar.
b. Resolver manualmente mediante el método de Newton Raphson. Hacer 5 iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado a.
c. Adecuar el algoritmo del método de Newton-Raphson para que sea un programa y
programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un Es= 0.05% (error previamente fijado) y un numero máximo de iteraciones. Utilizar como valores iniciales X=1.2 y x=3.2. Conclusiones.
Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.
8.
Demuestre el siguiente teorema: Sea f' x( ) 0, f(a)* f(b) 0 y f''(x)no cambia de signo en el intervalo [a,b]. Si
b
a
a
f
a
f
)
(
'
)
(
yb
a
b
f
b
f
)
(
'
)
(
, entonces el método de Newton converge a partir de una aproximación inicial
x
0a
,
b
.6.
Use el método de Newton-Raphson para determinar la raíz distinta de cero de: a. x 1 e 2x
b. xln(x) 1 0, con cuatro decimales correctos.
7.
La ecuación
x
210cos(x)
0
tiene dos soluciones, 1.3793646. Utilice el método de Newton-Raphson para encontrar una solución aproximada de la solución con un error menor a10
5 considerando los siguientes valores iniciales:a.
p
0100
b.p
025
c.p
01
d.
p
00
8. Calcule
7
con error menor a 410 , con los métodos de bisección, de Newton-Raphson y de la secante.
9.
Dadas las funciones:
f (x)
[ (1 - e
- 2.3 x) ( 1 - x
) ] / 2,
g (x)
cos( x
)
, utilice los métodos de Newton-Raphson y de la secante para encontrar el puntox
0
,
1
tal que f(x) g(x), con una precisión del orden de 10 5/2.10. Hallar la raíz de la siguiente función ( ) ( 1)/{( 1) 0.01}
2 x x
x
f para
2
x
2
,Experimente el comportamiento del método cuando se elijen diferentes valores iniciales. 11. Hallar la raíz de la siguiente función
f
(
x
)
x
22
xe
xe
2x Para0
x
1
,12.
Utilizar el programa de Newton para polinomios y la deflación para encontrar, con una precisión de 5
10 , las raíces de los siguientes polinomios: a.
f(x)
x
33
x
21
b.f(x)
x
42
x
2x
3
c.f(x)
x
42
x
35
x
212
x
5
13. La ecuaciónf(x)
x
7.5x
18x
14
2 3tiene una raíz doble en
x
2
. Aplicar el método de Newton-Raphson y observar la lentitud de la convergencia.14.
Considere la ecuación
e
xcos(x
)
1
a. Estimar gráficamente las dos soluciones positivas más pequeñas.
b. Utilizar el método de Newton-Raphson y el de la secante para aproximar estas soluciones con una tolerancia de 6
10 . Comparar los resultados.
c. Analizar la convergencia cuadrática del método de Newton para esta ecuación.
15.
La función f(x) (4x 7)/(x 2) tiene un cero en
x
1
.
75
. Utilizar el método de Newton-Raphson con las siguientes aproximaciones iniciales:a. x0 = 1.625 b. x0 = 1.875 c. x0 = 1.5 d. x0 = 1.95 e. x0 = 3 f. x0 = 7 16.
Aproxime las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 5 10 a.
3
2
e
+
x
2=
x
x b. 3x2 ex =0 c.e
x+
2
x+
2cos
(x)
6
=
0
d. 17.Determine la raíz real más pequeña de (dos iteraciones
18. Encuentre la raíz real positiva de , calcule
