L
as raíces cuadradas son el resultado de plantear pro- blemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado y surgieron ya en la antigüedad. El Papiro de Ajmeed datado en 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspec- tos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C.Un método para encontrar las raíces cúbicas es:
3 17 580 26 –8 300 × 22 × 7 = 8400 9 580 30 × 2 × 72 = 2940 – 9 576 73 = 343 4 = 11683 No 300 × 22 × 6 = 7200 30 × 2 × 62 = 2160 63 = 216 9576 3
Cálculo gráfico de la raíz cuadrada de un número “n” cualquiera:
Emplear papel milimetrado, o preparar un cuadriculado. Mientras más grande el ojo de la cuadrícula, mejor.
1. Sobre el eje x de coordenadas determinamos P, a una distancia igual a 1/4 de unidad del origen, luego trazamos pQ de longitud igual a “n – 1/4”, “n” es el número del cual queremos calcular la raíz.
2. Con centro en p y radio igual a “n + 1/4”, trazamos un arco de circunferencia, tal que se corte con la perpendicular levantada sobre Q. La distancia pQ es la raíz buscada
Demostración
Trazamos el segmento pQ = n sobre el eje de las abscisas. P está a una distancia “a = 1/4” del origen. Con centro en p, trazamos el arco de circunferencia de radio “n + a”, Q es el punto de intersección entre este arco de circunferencia y la vertical trazada sobre R. El trián- gulo pQR es recto.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
pQ2 = pR2 + QR2, del gráfico vemos que:
Q n – 1/4 P a P Q R n – 1/4 n + 1/4 (n + a)2 = (n – a)2 + QR2
⇒
(n + a)2 = (n – a)2 + QR2⇒
4na = QR2Por comodidad escogemos, a = 1/4, tendríamos que n = QR2, es decir QR = n.
(Sobre la base de un artículo aparecido en la Revista do Professor do Matemática de Brasil, escrito por José Luiz Pastore Mello).
Aritmética
Saberes previos
Completa con números:Potencia de 2 Número cubo perfecto Cuadrado de 3 33 × 29 Capicúa múltiplo de 4 007 Cubo per- fecto Cubo de 41 Raíz cuadrada
de 4 Cuadrado de 9 Cuadrado perfecto Cuadrado
de 35 Cubo de 8 Número capicúa
Número capicúa Cuadrado de 26 Potencia de 2 Cubo de 9 Cuarta per- fecta Cuadrado de 5 91 al cua- drado Cuadrado y cubo perfecto Cuadrado de 5 Número capicúa
Conceptos básicos
Radicación
Es la operación inversa a la potenciación.
Índice nN
= k Raíz
Radicando
Raíz cuadrada
Cuando el índice de la raíz es 2
Raíz cuadrada exacta
N = k Tal que: N = k2 “N” es un cuadrado perfecto
Ejemplo:
Determina la raíz cuadrada de 2 209 2 209 = 47
El número 15 876 es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es: La raíz de 158 = 12 (aprox.) Un k2 que termine en 6 es 4 o 6.
Entonces la raíz será 124 o 126. Comprobando: 15876 = 126
2
radicación
UNIDAD 5
central: 619-8100
141
Raíz cuadrada inexacta
Cuando el radicando no es un cuadrado perfecto
Por defecto Por exceso
N R k N r k +1 N = k2 + R N = (k + 1)2 – r Ejemplos: • La raíz cuadrada de 78
Buscamos cuadrados perfectos que es- tén cerca de 78: 82 = 64 y 92 = 81
Entonces: 78 = 82 + 14
∧
78 = 92 – 3Todo número que no es cuadra- do perfecto, siempre estará com- prendido entre dos cuadrados perfectos, las raíces de ellos son las raíces por defecto y exceso.
Las raíces por defecto y exceso son 8 y 9 con sus respectivos residuos 14 y 3 • La raíz cuadrada de 168
Buscamos cuadrados perfectos que estén cerca de 168: 122=144
∧
132=169168 = 122 + 24 = 132 – 1
La raíz cuadrada de 168 por defecto es 12 y por exceso 13, el residuo por defecto 24 (residuo máximo) y el residuo por exceso 1.
Propiedades
• La raíz cuadrada tiene la mitad de cifras del radicando.
106276= 326 68121= 261
• El resto máximo en una raíz cuadrada es el doble de la raíz por defecto. N
R k
1 < R < 2k + 1
• Las raíces por defecto y exceso son números consecutivos
• La suma de los restos por defecto y exceso es igual al doble de la raíz por defecto más uno
N R k N r k +1 N = k2 + R N = (k + 1)2 – r Igualando: k2 + R =(k + 1)2 – r y reduciendo: R + r = 2k + 1
Aritmética
Síntesis teórica
Términos de radicación InexactaRaDICaCIÓN
N n = K Raíz cuadrada N = K Exacta “N” es un cuadra- do perfecto NR k N = k2 + RAplica lo comprendido
10 x 5 501. Calcular la raíz cuadrada de: 24 × 52 × 32.
2. Calcular la raíz cuadrada de: 43 × 52 × 93.
3. Calcular la raíz cuadrada de:
• 4 096 • 6 561 • 2 401 • 1 024 • 1 089
4. La raíz cuadrada de 90 es:
5. Operar:
• 64 . 49 – 81 . 36 • 196 + 169 + 225 • 7225 – 5625
Aprende más
1. Calcular la raíz cuadrada de 1 764.
2. Hallar la raíz cuadrada de 4aa5, si es un cuadra- do perfecto.
3. Calcula el resto que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 125.
4. Calcula el residuo de la raíz cuadrada de 250.
5. Calcular la raíz de 7aa5, si es un cuadrado per- fecto.
6. Si el número 13 456 es un cuadrado perfecto, ¿cuál es la suma de cifras de su raíz cuadrada?
7. Calcular el residuo que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 200.
8. Determina el residuo al extraer la raíz cuadrada de 125.
9. Determina la raíz cuadrada de 300.
2
radicación
UNIDAD 5
central: 619-8100
143
11. Determina la raíz cuadrada de 4 500.
12. ¿Cuántos números cuadrados perfectos tienen cuatro cifras?
13. ¿Cuántos números de tres cifras terminados en 1 son cuadrados perfectos?
14. Si la raíz cuadrada de un número es 23 y el res- to es máximo, ¿cuál es la suma de cifras del ra- dicando?
15. ¿Cuántos números de cuatro cifras terminados en 6 son cuadrados perfectos?
¡Tú puedes!
1. Calcular la suma de cifras de 3abcd0, si es un cubo perfecto.a) 10 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
2. Si el número 2abcdef0 es quinta perfecta, la suma de cifras de la raíz quinta de dicho número es:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3
3. La suma de un número, su raíz cuadrada y el residuo que es máximo, suman 234. Halle el número.
a) 186 b) 196 c) 204 d) 185 e) 195
4. Hallar un cuadrado perfecto de la forma abcd, sabiendo que ab y cd también son cuadrados perfectos. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20
5. Si el número: N = 1aaa es un cuadrado perfecto, ¿cuál es el valor de “a”?
a) 1 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
Practica en casa
18:10:45
1. Calcular la raíz cuadrada de 1 296.
2. Hallar la raíz cuadrada de 5ab5, si es un cuadra- do perfecto.
3. Calcula el resto que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 205.
4. Calcula la raíz cuadrada de 350.
5. ¿por cuánto se le debe multiplicar como míni- mo a 9 000 para que se convierta en un cuadra- do perfecto?
6. Calcular el residuo que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 280.
7. Calcular la raíz cuadrada de 450.
8. Determina la raíz cuadrada de 135.
9. Determina la raíz cuadrada de 500.
10. Determina la suma de la raíz y el residuo que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 456.
11. Si 4aa5, es un cuadrado perfecto, hallar “a”.
12. Calcular el residuo que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 959.
13. Calcular el residuo que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de 500.
14. Determina la raíz cuadrada de 1 025.
15. Determina el residuo de la raíz cuadrada de 1 300.
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