En esta sucesión la diferencia de dos términos consecutivos es constante • a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = r (Razón de la p.A.)
a1 a2 a3 a4 a5 ...
+r +r + r + r
También se puede expresar como:
a1 a1 + r a1 + 2r a1 + 3r a1 + 4r ... +r +r + r + r Ejemplo: 12 19 26 33 40 ... +7 +7 +7 +7
Aritmética
Término enésimo de la progresión aritmética
De la progresión: n=1
⇒
a1 an = a1 + (n – 1)r n=2⇒
a1+r n=3⇒
a1+2r n=4⇒
a1+3r n=5⇒
a1+4r Ejemplos: • para la p.A: 9; 13; 17; 21; ... La razón es: r = 13 – 9 = 17 – 13 = … = 4 El primer término es: 9Luego el término enésimo es: an = 9 + (n – 1)(4) = 4n +5
• Calcular el vigésimo término de la progresión aritmética: 7; 12; 17; 22; … La razón es: r = 12 – 7 = 5
El primer término es: 7
Entonces: an = 7 + (n – 1)(5) = 5n + 2 Y el vigésimo término es: a20 = 5(20) +2 = 102
Recuerda que la diferencia de dos términos seguidos es constante, dicha diferencia es la razón. También la fórmula que permite determinar el término enésimo es:
an = a1 + (n – 1)r
Cantidad de términos
Conociendo el primer término, la razón y el último término, se puede determinar la cantidad de términos o números que forman la progresión aritmética. Como la fórmula del término enésimo es an = a1 + (n – 1)r, despejemos “n”:
n = an – a1
r + 1
Ejemplo:
• ¿Cuántos términos tiene la sucesión: 5; 8; 11; 14; 17; ...; 32? Como la razón es: r = 8 – 5 = 3
El primer término = 5 El último = 32
→
La cantidad de términos es: n = 32 – 53 + 1 =10
La fórmula n = an – a1
r + 1 solo se aplica a una progresión aritmética
1
conteo de números. Progresión aritmética
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Síntesis teórica
CONTEO DE NÚMEROs I
Término enésimo Progresión aritméticaEl término enésimo de:
• En la p.A.: 12; 17; 22; 27; ... La razón es: 5
El primer término es: 12 an = 12 + 5(n – 1) = 5n + 7
• En la p.A.: 11; 17; 23; 29; ... La razón es: 6
El primer término es: 11 an = 11 + 6(n – 1) = 6n + 5
En la p.A.: an = 5n + 7 El vigésimo término es: a20 = 5(20) + 7 = 107 La diferencia de dos términos consecutivos es constante an = a1 + (n – 1)r Donde: a1: es el primer término r: es la razón La P.A.:12; 17; 22; 27; ... la razón es 5 La P.A.: 12; 18; 24; 30; ... la razón es 6 Calcula un término Cantidad de términos an: es el último término a1: es el primer término r: es la razón de la P.A. n: Cantidad de térmi- nos n =an – a1 r + 1
Aplica lo comprendido
10 x 5 501. Calcular la razón en cada una de las progresio- nes aritméticas:
• 12; 16; 20; 24; … r = ………
• 23; 29; 35; 41; … r = ……..……….
• 15; 22; 29; 36; … r = ………
2. si el primer lunes de un mes es día 4, ¿cuáles serán las fechas de los demás lunes del mismo mes?
3. Determina “a + b”, si: ab; 23; ...; 65; 72; ... son los términos de una progresión aritmética.
4. Calcula “m + n + p”, si los números: 15; mn; np; 39; ... son términos de una progre- sión aritmética.
5. Hallar el número de términos de las siguientes P.A.:
• 2; 7; 12; 17; ...; 97 • 4; 8; 12; 16; ...; 120
Aritmética
Aprende más
1. Relaciona correctamente: A. 2; 5; 8; … ( ) La razón es 4 B. 5; 9; 13; …. ( ) El cuarto término es 20 C. 2; 6; 12; … ( ) El quinto término es 142. Calcular el término “a41” en la p.A.: 30; 37; 44; 51; …
3. Calcular el término vigésimo de la progresión aritmética:
96; 93; 90; 87; …
4. Determina la razón de la siguiente progresión aritmética:
42(6); 51(6); 100(6); ...
5. Determina la razón de la siguiente progresión aritmética:
23(5); 32(5); 41(5); ...
6. En una progresión aritmética, el tercer término es 13 y el séptimo es 37. ¿Cuál es la razón de la progresión?
7. Si 22 y 43 son el tercer y sexto término de una progresión aritmética, ¿cuál es el primer térmi- no de la progresión?
8. La suma y diferencia de los dos primeros tér- minos de una progresión aritmética es 31 y 7. ¿Cuál es el valor del quinto término?
9. Indicar el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética:
(n + 6); (2n + 7); 4n; …
10. Calcula “n” para que los números: 10(n); 100(n); 150(n);………..
formen una progresión aritmética.
11. El primer y segundo término de una progresión aritmética es aa y b2. si la razón es “a”, ¿qué valor tiene “a + b”, si “a” y “b” son diferentes?
12. Hallar “a + b + c + d”, en la siguiente progre- sión aritmética:
ab; 23; cd; 37; …
aplicación cotidiana años bisiestos
Un año es año bisiesto si dura 366 días, en vez de los 365 de un año común. Ese día adicional se añade en el mes más corto, fechándose como 29 de febrero. Este día se añade para corregir el desfase que existe con la duración real de los años: 365 días y 5 horas y 18 minutos aproximadamente. Esto hace que se corrija cada cuatro años. Un año es bisiesto si es divisible por 4, excepto el último de cada siglo (aquel divisible
entre 100), salvo que este último sea divisible por 400.
13. Determina los cuatro primeros años bisiestos posteriores al último año bisiesto.
14. ¿Cuántos años bisiestos hubo entre el año 1890 y 1915?
15. ¿Cuántos años bisiestos habrán entre el año 2010 y el 2110?
¡Tú puedes!
1. Hallar “a + b” en la siguiente progresión aritmética: a8b; a93; b04; ba5; ...
a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5
2. Hallar “a + b + c + d + e + f”, en la siguiente progresión aritmética: 8a; bc; aa; def; ...
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conteo de números. Progresión aritmética
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1. Relaciona correctamente: A. 2; 5; 8; ... ( ) El quinto término es 30 B. 5; 9; 13; ... ( ) El cuarto término es 11 C. 2; 6; 12; … ( ) El quinto término es 212. Calcular el término “a30” en la p.A.: 23; 30; 37; 44; 51; …
3. Calcular el término décimo de la P.A.: 93; 90; 87; …..
4. Hallar “a – b + c – d” si los números: aa; b3; (a + 1)8; c0d; ...
forman una progresión aritmética.
5. En una progresión aritmética, el tercer término es 3 y el séptimo es 35. ¿Cuál es la razón de la progresión?
6. Si 12 y 63 son el tercer y sexto término de una progresión aritmética, ¿cuál es el primer térmi- no?
7. La suma y diferencia de los dos primeros tér- minos de una progresión aritmética es 17 y 5. ¿Cuál es el valor del quinto término?
8. Indicar el vigésimo quinto término de la siguien- te progresión aritmética:
(n + 6); (2n + 7); 4n; …
9. Hallar la razón para que los números: 10(n); 100(n); 150(n); …
formen una progresión aritmética
10. El primer y segundo término de una progresión aritmética es aa y b4. si la razón es “a”, ¿qué valor tiene “a + b”, si “a” y “b” son diferentes?
11. Hallar la razón en la siguiente progresión arit- mética:
ab; 23; cd; 37; ...
12. El tercer término de una p.A. es 12 y el décimo primer término es –12. Hallar la razón.
13. Hallar el número de términos en: • 18; 21; 24; …; 72
• 120; 118; 116; …; –100
14. En la p.A.: 5; 12; 19; …; 110, hallar: a12 + a13
15. Escribir los 10 términos siguientes en base 6: P.A.: 12(6); 15(6); 22(6); …
3. La diferencia entre el quinto y segundo término de una progresión aritmética es 33. Halle la diferencia entre el término de lugar 23 y el de lugar 25.
a) 22 b) 33 c) 44 d) 66 e) 88
4. Calcular “a + b + n”, en la siguiente progresión aritmética: a3(n); a5(n); (a + 1)1(n); 4b(n); ...
a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19
5. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética? 12(n) ; 17(n) ; 24(n) ; 31(n) ; ....; 620(n)
a) 73 b) 75 c) 77 d) 79 e) 81