4. IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO
4.4 Cálculo de Valor Presente de Subárbol Cónico
El valor presente neto de un nodo-base cualquiera está dado por la ecuación 3.29 del capítulo 3. Para obtener esta expresión se debe seleccionar un método de lectura de nodos, luego se debe ordenar los nodos seleccionados de acuerdo a su posición y finalmente calcular el valor de cada uno de los sumandos de la expresión.
4.4.1 Metodología para la Lectura de Nodos
Para determinar el valor de un subárbol cónico marginal parcial o cualquier otro, se deben sumar los nodos en forma ordenada desde la superficie hasta el nodo adyacente, y dentro del volumen correspondiente al cono de ese nodo adyacente, tal como se muestra en la Figura 4.1.
Para simplificar la búsqueda, desde el punto de vista de este autor, el sistema de búsqueda puede realizarse sobre el modelo de bloques y no sobre el grafo G. Por
lo tanto, esto permitirá utilizar coordenadas unitarias y ecuaciones geométricas. Determinar los bloques que forman parte de un subárbol cónico marginal parcial, cumpliendo con un ángulo de talud previamente definido, es un aspecto muy importante en la determinación de límites de pit o en la creación de fases de explotación. Lipkewich y Borgman (1969) construyeron un patrón de búsqueda llamado Knight’s Move que selecciona trece bloques para ajustarse a un ángulo de 45 grados; Caccetta y Giannini (1988) mejoran el patrón Knight’s Move agregando variabilidad de ángulos mediante una matriz de pares (azimut, dip); Alford y Whittle (1986) utilizan un patrón para ángulos de talud variables, pero
no indican como se determina; Dowd y Onur (1993) utilizan una plantilla cónica; y Khalokakaie et. al. (2000), a partir de las coordenadas del bloque base, determinan la proyección horizontal del talud en cada nivel, para las cuatro direcciones principales (Norte. Oeste, Sur y Este), y luego, mediante la ecuación de la elipse, verifican si los bloques están dentro o fuera de esta curva. Todos los métodos utilizan el cono, la plantilla o el patrón para la búsqueda de bloques de sobrecarga, comenzando en un bloque base y subiendo hasta alcanzar la superficie o un nivel dado. Sin embargo, en esta tesis no se puede utilizar ninguna de las técnicas descritas anteriormente por dos razones:
a) este algoritmo realiza en forma paralela la búsqueda de nodos y el cálculo del valor del árbol cónico, y
b) la incorporación de bloques al cálculo debe ir desde la superficie hasta el nodo base, simulando la explotación minera.
Figura 4.1. Disposición de conos elípticos en cada cuadrante definido por un bloque-base
Por estas razones, en esta tesis se propone utilizar la idea de Khalokakaie et. al. (2000), pero con un nuevo enfoque. El proceso de selección de nodos consta de los siguientes pasos:
1. Se establece el próximo bloque-base a evaluar (nodo-base).
2. Las coordenadas centrales del bloque-base se convierten en el vértice de cuatro conos elípticos parciales, cada uno de ellos ubicados en un
cuadrante, tal como se muestra en la Figura 4.1. El uso de cada uno de estos conos parciales dependerá del cuadrante al cual pertenezca el bloque que se está analizando.
3. Si el bloque analizado se ubica dentro del cono elíptico, entonces es incorporado al árbol cónico del nodo base.
Cuando se requiere conocer los bloques que forman parte de un subárbol cónico marginal parcial, a la condición de que el bloque esté dentro del subárbol cónico del bloque adyacente al cual corresponde ese subárbol, debe agregarse la condición de que además no pertenezca a los subárboles de los otros nodos adyacentes.
En la figura 4.2 se muestra el caso cuando se evalúan los bloques que pertenecen a un subárbol cónico marginal, aplicando el mismo ángulo de talud para todo el modelo (los conos son circulares y se convierten en uno solo para todos los cuadrantes). En este caso, se analiza si un bloque en particular pertenece al cono del bloque-base, pero no pertenece al cono del bloque adyacente de mayor valor.
Este algoritmo toma en consideración dos aspectos importantes:
a. La búsqueda se realiza desde la superficie hacia el fondo, lo cual permite aplicar una tasa de descuento al momento de la evaluación.
b. Si se definiera un ancho mínimo de explotación en el fondo, permitiría analizar hasta el nivel en que la cantidad de bloques genere un espacio igual o superior a ese ancho.
Para establecer las condiciones de búsqueda, en el caso de un cono elíptico regular, defínanse los siguientes parámetros. Sean (bi, bj, bk) las coordenadas unitarias centrales de un bloque-base a evaluar. Sean + − + −
y y x
x α α α
α , , , , los ángulos de talud hacia el Este, Oeste, Norte y Sur, respectivamente. Sean dx, dy y dz el
tamaño del bloque en las direcciones X, Y y Z, respectivamente; y sea (i, j, k) el
vector unitario del bloque que se desea analizar, también en las direcciones X, Y y Z, respectivamente. Entonces, la función generatriz del cono elíptico es:
(
)
[
*]
tan( )*[(
)
*]
[(
)
*]
0 * ) tan( ) , , (i j k = i−b dx2+ j−b dy2− k−b dz2= f αx i αy j k (4.6) Luego,Si f(i,j,k)≤0 entonces el punto P(i, j, k), centro del bloque analizado, está
dentro del cono con vértice en (bi, bj, bk).
Si f(i,j,k)>0 entonces el punto P(i, j, k), centro del bloque analizado, está
fuera del cono con vértice en (bi, bj, bk).
Si los ángulos fuesen diferentes en los cuatro cuadrantes, deben definirse ecuaciones para cada uno de ellos, e incorporar las ecuaciones de los planos de los ejes coordenados, de tal forma de establecer el cuadrante en el cual se encuentra el bloque analizado.
4.4.2 Ordenamiento de Nodos
Al mismo tiempo que los bloques están siendo seleccionados, deben ser ordenados o enumerados (etiquetados), simulando una secuencia de extracción. Este ordenamiento es importante para asegurar una extracción nivel a nivel. La secuencia de extracción dentro de un mismo nivel es de menor relevancia, debido a que esto dependerá del diseño final del rajo o del subárbol cónico marginal y de las condiciones operacionales imperantes en el momento de la extracción real. Por estas razones, los bloques serán ordenados desde el Nivel Superior (de la topografía) hasta el Nivel Inferior (del nodo-base), de Sur a Norte y finalmente de Oeste a Este, tal como se muestra en el ejemplo de la Figura 4.3.
Figura 4.3. Secuencia de extracción de bloques para dos niveles.