C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel

La integral de Kirchoff-Fresnel puede calcularse anal´ıticamente en una serie de casos sencillos, pero ilustrativos. En general sin embargo hay que acudir a simplificaciones adicionales. Por ejemplo, si la fuente se encuentra a una distancia muy grande de la abertura en comparaci´on con las dimensiones de ´esta, es posible tomar como constante esta distancia para todo punto de dicha abertura.

Nuestro planteamiento aqu´ı no es el c´alculo anal´ıtico que como decimos es factible s´olo en un n´umero reducido de casos, si bien son casos signi- ficativos. Lo que pretendemos es desarrollar un programa que proporcione directamente la imagen que aparece sobre la pantalla. Tendremos en cuenta los siguientes elementos:

4.3.1.

La pantalla

Representaremos la pantalla como una matriz de puntos. Para cada pun- to, calcularemos la integral de Kirchoff-Fresnel. Normalizaremos los valores obtenidos al intervalo [0,255] y guardaremos estos valores en un formato gr´afi- co. Cada punto vendr´a representado pues por un valor (que truncaremos o aproximaremos al entero de 8 bits m´as pr´oximo) y el conjunto de todos los puntos, la matriz que representa la imagen, la almacenaremos en un formato gr´afico que pueda despu´es visualizarse con ayuda de una computadora. Una matriz de 300 × 300 puntos parece suficiente. En cuanto a las unidades, pues- to que en un experimento t´ıpico la abertura tiene dimensiones del orden de la

4.3. C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 45

x

y

z

Abertura

Fuente luminosa

Pantalla

fracci´on de mil´ımetro, la figura de difracci´on es del orden de mil´ımetros y las distancias entre la fuente y la abertura y entre ´esta y la pantalla est´a entre mil´ımetros y cent´ımetros (1 metro ya puede considerarse el infinito), parece sensato tomar el mil´ımetro como unidad de medida. As´ı pues, por lo que respecta a la pantalla, ser´a preciso especificar sus dimensiones y la distancia a la abertura. En cuanto a su forma, lo m´as simple es que sea cuadrada y que su centro coincida con el origen. El programa deber´a tomar sus dimensiones y calcular, para cada punto de la matriz imagen de 300×300 las coordenadas correspondientes dentro del cuadrado de las dimensiones que se especifiquen.

4.3.2.

La abertura

El c´aculo de la integral sobre la abertura es obviamente dependiente de la forma concreta de dicha abertura. Por este motivo todos los detalles al respecto quedan relegados al c´odigo fuente. La geometr´ıa del problema se representa en la Figura 6.

46 4. Difracci´on

4.3.3.

M´etodo de Montecarlo

El nombre ((M´etodo de Montecarlo)) se usa para denominar una familia de m´etodos. Nosotros nos referiremos a ´el en el contexto del c´alculo de integrales de superficie. En general, los m´etodos de Montecarlo para integrales m´ultiples no son ventajosos para integraci´on en una dimensi´on, y van torn´andose m´as y m´as apropiados cuando el n´umero de dimensiones se eleva. Todos estos m´etodos tienen en com´un que est´an basados en la generaci´on de n´umeros aleatorios. C´omo pueden ser los n´umeros aleatorios ´utiles en el c´alculo de integrales es algo que puede verse de forma sencilla tomando como ejemplo la integraci´on de una funci´on f (x) en un intervalo [a, b]. Si ˜f es el valor medio de la funci´on en ese intervalo, es claro que el ´area encerrada bajo la curva en el intervalo es igual a (b − a) ˜f . Por tanto, s´olo es preciso calcular esta media, que se puede aproximar generando N n´umeros aleatorios xi en el intervalo

[a, b] y tomando ˜ f = 1 N X i f (xi) (4.31)

La generalizaci´on a dos dimensiones es obvia. Si f (x, y) es una funci´on cuya integral quiere calcularse en el rect´angulo a <= x <= b y c <= y <= d, el volumen bajo la superficie f (x, y) en el rect´angulo dado es

V =

Z b

a

Z d

c f (x, y)dxdy = (b − a)(d − c) ˜f (4.32)

donde ˜f es la ((altura media)) de f(x, y) en el rect´angulo que puede esti- marse generando un n´umero grande de parejas (xi, yi) y calculando

˜ f = 1 N X i f (xi, yi) (4.33)

En la Figura 7 se representan algunos de los puntos de la abertura y uno de los puntos de la imagen. El c´alculo num´erico con un computador consta esencialmente de un bucle que recorre todos los puntos de la matriz imagen. Calcula las coordenadas de pantalla y genera un n´umero grande de puntos pertenecientes a la abertura, efectuando la suma. Puesto que no nos interesan m´as que las intensidades relativas en la imagen, podemos prescindir de las constantes que aparecen fuera de la integral. En la Figura 8 se representan los vectores auxiliares ¯U, ¯V y ¯W . El primero indica un punto sobre la pantalla. El segundo, un punto sobre la abertura. El tercero, la fuente de luz. De acuerdo con la figura, ¯r = ¯_{V − ¯}U y ¯r′

= ¯_{V − ¯}W

Este marco te´orico y la geometr´ıa para el c´aculo permite evitar los en- gorrosos detalles anal´ıticos de la integral de Kirchoff-Frenel que aparecen al

4.3. C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 47

r

r

r

x

y

z

r

r

_r

’

’

_’

U

V

r

r’

_x

y

z

W

48 4. Difracci´on

Figura 9

tratar con aberturas incluso sencillas, y allana el camino para calcular di- cha integral num´ericamente. No llevaremos m´as lejos la discusi´on sino que, en lugar de pasar efectivamente al c´alculo o a la resoluci´on num´erica seg´un el marco expuesto, terminamos este tema con las im´agenes de difracci´on de algunas aberturas t´ıpicas. La Figura 9 es la difracci´on por una abertura cir- cular. La Figura 10, por una abertura cuadrada.