Cuatro Temas de Optica

4 TEMAS DE ´

OPTICA

Francisco Javier Gil Chica

´

_{Indice general}

Sobre estos temas V

1. Transferencia de Radiaci´on 1

1.1. Introducci´on . . . 1

1.2. Definiciones . . . 1

1.3. Absorci´on . . . 4

1.4. Emisi´on . . . 6

1.5. Ecuaci´on de la transferencia de radiaci´on . . . 7

1.6. Soluci´on aproximada para atm´osfera plana . . . 9

2. ´Optica Matricial 11 2.1. Introducci´on . . . 11

2.2. Formulaci´on matricial . . . 12

2.2.1. Traslaci´on . . . 13

2.3. Refracci´on en superficie plana . . . 14

2.4. Refracci´on en superficie esf´erica . . . 14

2.5. Matriz del sistema . . . 17

2.6. Interpretaci´on . . . 19 2.7. Conclusi´on . . . 22 3. Polarizaci´on 23 3.1. Introducci´on . . . 23 3.2. Formalizaci´on . . . 25 3.3. Grado de polarizaci´on . . . 28 3.4. Matrices de Mueller . . . 29 4. Difracci´on 35 4.1. Introducci´on . . . 35

4.2. La difracci´on en 9 pasos sencillos . . . 36

4.2.1. Paso 1. Flujo . . . 36

4.2.2. Paso 2. Divergencia . . . 36 iii

iv ´INDICE GENERAL

4.2.3. Paso 3. Teorema de la divergencia . . . 38

4.2.4. Paso 4. Definici´on de gradiente . . . 39

4.2.5. Paso 5. Una aplicaci´on del resultado anterior . . . 39

4.2.6. Paso 6. Identidad de Green . . . 40

4.2.7. Paso 7. Ecuaci´on de ondas . . . 40

4.2.8. Paso 8. Teorema integral de Kirchoff . . . 40

4.2.9. Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel . . . 43

4.3. C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel . . . 44

4.3.1. La pantalla . . . 44

4.3.2. La abertura . . . 45

Sobre estos temas

Estos temas de ´Optica tienen su origen en la asignatura Perif´ericos que vengo impartiendo desde hace quince a˜nos en las licenciaturas y diplomatu-ras de inform´atica en la Escuela Polit´ecnica Superior en la Universidad de Alicante.

A lo largo de estos a˜nos, la asignatura ha cambiado profundamente, lo cual no es extra˜no dada la velocidad a la que se mueve la tecnolog´ıa, y dado que la creciente complejidad de los sistemas inform´aticos, con su acumulaci´on de capas y el aislamiento entre la m´aquina y el usuario, ha ido reduciendo los contenidos relacionados con la programaci´on del sistema e incrementando los contenidos relacionados con los fundamentos f´ısicos de los dispositivos perif´ericos, as´ı como el an´alisis matem´atico, en especial de los dispositivos de almacenamiento.

As´ı, en un momento dado fue evidente la necesidad de dar unas nociones de ´Optica. Porque si bien los sistemas inform´aticos est´an lejos de funda-mentarse en la computaci´on ´optica, hay subsistemas basados en fen´omenos ´opticos: conexiones de fibra ´optica, almacenamiento ´optico y magneto-´opti-co, pantallas planas, lentes simples o sistemas de lentes, almacenamiento hologr´afico, etc.

El problema que se plantea aqu´ı entonces no consiste en ofrecer una asig-natura de ´optica aplicada a la inform´atica, ni ofrecer una panor´amica que aunque incompleta sea l´ogicamente consistente, ni recorrer el camino que va desde los mismos fundamentos f´ısicos al dispositivo concreto que se estudie. M´as bien, hemos buscado unos pocos temas estrat´egicos y la formulaci´on m´as compacta posible.

En principio, eran tres los temas elegidos: ´optica geom´etrica (sistemas paraxiales, fibra ´optica), difracci´on (lectura/escritura en dispositivos ´opti-cos, visualizaci´on) y polarizaci´on (pantallas planas, lectura en dispositivos magneto-´opticos). En cuanto a la ´optica geom´etrica, la formulaci´on matricial es a la vez sencilla, compacta y general. En cuanto a la difracci´on, hemos elegido una formulaci´on matem´atica compacta que evita la distinci´on entre difracci´on de Fresnel y Fraunhoffer y propone, una vez formulada la integral

vi _{0. Sobre estos temas} general, un m´etodo de Montecarlo para obtener num´ericamente las figuras de difracci´on. Por lo que respecta a la polarizaci´on, hemos adoptado la des-cripci´on a trav´es de los par´ametros de Stokes.

Circunstancialmente, hemos a˜nadido un tema sobre transferencia de ra-dicaci´on. Este tema es ajeno a la asignatura de Perif´ericos y tiene su origen en una peque˜na charla sobre fen´omenos ´opticos atmosf´ericos impartida este a˜no a alumnos de Meteorolog´ıa.

Siendo as´ı, los cuatro tiene un rasgo en com´un: que en ning´un caso se acu-de a la naturaleza electromagn´etica acu-de la luz, aunque s´ı a su naturaleza on-dulatoria. Pero como esta naturaleza ondulatoria puede advertirse mediante experimentos sencillos, resultan una serie de temas que podr´ıan denominarse ((´optica emp´ırica)), ((´optica macrosc´opica)), o, dado que estas denominaciones no terminan de satisfacernos, ((´optica no electromagn´etica)).

Cap´ıtulo 1

Transferencia de Radiaci´

on

1.1.

Introducci´

on

Se presentan en este tema los fundamentos de la transferencia de radia-ci´on. Se adopta aqu´ı un punto de vista fenomenol´ogico donde la radiaci´on es considerada como energ´ıa que se propaga en un medio material, sin considerar ni cual es la naturaleza de esta energ´ıa ni de qu´e forma, por qu´e mecanismos, es absorbida, desviada o producida por la materia. El material que sigue est´a tomado de Radiative Transfer, de S. Chandrasekhar y es una exposici´on resumida de los principios generales.

1.2.

Definiciones

Dada una superficie dσ, la cantidad de energ´ıa en forma de radiaci´on que la atraviesa por unidad de tiempo, intervalo de frecuencia y ´angulo s´olido dω subtendido por la superficie dσ′

en una direcci´on que forma un ´angulo θ con la normal (Figura 1), se expresa como:

dEν

dtdσdνdω = Iνcos θ (1.1)

En general, Iν depende de cada punto y de la direcci´on relativa a la normal

expresada por los cosenos directores (l, m, n), de forma que funcionalmente es Iν(x, y, z, l, m, n, t). Cuando es Iν(x, y, z, t) se habla de medios is´otropos.

Cuando es Iν(l, m, n, t) se habla de medios homog´eneos. Algunos casos a´un

m´as restrictivos son de inter´es. En un medio estratificado como puede ser una atm´osfera plana es Iν(z, φ, θ, t). Si adem´as existe simetr´ıa axial ser´a Iν(z, θ, t).

En un medio estratificado esf´erico es Iν(r, φ, θ, t).

2 1. Transferencia de Radiaci´on

d

d

σ

ω

θ

El campo de radiaci´on viene entonces determinado por la funci´on Iν, a

la que habr´ıa que a˜nadir el estado de polarizaci´on de la luz. Integrando para todas las direcciones posibles, obtendr´ıamos la cantidad de energ´ıa total de frecuencia ν que atravesar´ıa la superficie dσ por unidad de tiempo.

La densidad de radiaci´on uν en un punto es la cantidad de energ´ıa radiante

de frecuencia ν por unidad de volumen que atraviesa un entorno peque˜no alrededor del punto. Sea P este punto, contenido en un peque˜no volumen V limitado por una superficie Σ. Dado un entorno de P contenido en V y limitado por una superficie σ, es claro que todo rayo que incide en σ proviene de alg´un punto de la superficie Σ (Figura 2). Sean los elementos de superficie dΣ y dσ. La energ´ıa por unidad de tiempo y frecuencia que atraviesa dΣ en el elemento de ´angulo s´olido dω′

subtendido por dσ seg´un se ve desde dΣ es dEν dtdνdΣdω′ = Iνcos Θ (1.2) o bien dEν dt = Iνcos ΘdνdΣdω ′ (1.3) Ahora bien, dω′ = dσ cos θ r2 (1.4) luego dEν dt = Iν cos θ cos ΘdνdΣdσ r2 (1.5)

Cuando el pincel de radicaci´on en el ´angulo s´olido dω′

atraviesa V′

, recorre una distancia l en un tiempo l/c, de forma que

1.2. Definiciones 3

d

d

σ

Σ

θ

Θ

es el ´angulo s´olido subtendido por dΣ seg´un se ve desde dσ, luego dEν = Iνcos θdωdνdσ

l

c (1.8)

Teniendo ahora en cuenta que dv′

= l cos θdσ (1.9)

es el volumen diferencial interceptado por el pincel de radiaci´on que pro-cede de dΣ y atraviesa dσ, tenemos que

dEν

dv′ =

1

cIνdωdν (1.10)

Si integramos para todo el volumen y todas las frecuencias y considera-mos los rayos provenientes de todas las direcciones, teneconsidera-mos la energ´ıa total contenida en el entorno de P , y de ah´ı la densidad buscada:

u = E V′ = 1 c Z ω Z νIνdνdω = Z νuνdν (1.11)

4 1. Transferencia de Radiaci´on

donde hemos introducido

uν =

1 c

Z

ωIνdω (1.12)

Definiendo la intensidad media como Jν = 1 4π Z ωIνdω (1.13) es claro que uν = 4π c Jν (1.14)

1.3.

Absorci´

on

Cuando un pincel de radicaci´on se propaga en un medio, sufre una ate-nuaci´on cuyo valor relativo es proporcional a la densidad de ese medio y a la distancia recorrida:

dIν

Iν = −k

νρds (1.15)

A kν se le llama ((coeficiente de absorci´on)), ds es esa distancia recorrida y

ρ la densidad del medio. Esta atenuaci´on puede deberse a varias causas. En primer lugar, puede que parte de la energ´ıa simplemente cambie de direcci´on. No disminuye entonces el total de energ´ıa radiante en el medio sino que se modifica su distribuci´on. En ese caso se habla de dispersi´on 1 _.

O puede suceder que la energ´ıa sea efectivamente absorbida por la mate-ria y transformada en otras formas de energ´ıa, lo que incluye su re-emisi´on con una frecuencia distinta y en general en una direcci´on distinta. Se habla entonces de verdadera absorci´on.

Consideremos el proceso de dispersi´on (Figura 3). La energ´ıa dispersada en todas direcciones cuando el pincel atraviesa una distancia ds en el medio es

kνρdsIνcos θdνdσdω (1.16)

Como el diferencial de masa atravesado cuando la radiaci´on recorre un ds es

dm = ρdσ cos θds (1.17)

1.3. Absorci´on 5

ds

d

σ

θ

d

σ

ds

d

ω

’

θ

Θ

Ahora bien, la descripci´on completa exige conocer qu´e fracci´on de esa radiaci´on dispersada lo hace en cada direcci´on dada por cada elemento de ´angulo s´olido dω′

(Figura 4). Esta fracci´on puede escribirse como p(cos Θ)dω

′

4π (1.19)

A la funci´on p(cos Θ) se le llama funci´on de fase. La energ´ıa dispersada en todas direcciones es kνIνdmdνdω Z ω′ p(cos Θ) 4π dω ′ (1.20) que comparada con

kνIνdmdνdω (1.21)

muestra que ha de ser 1 = Z ω′ p(cos Θ) 4π dω ′ (1.22) Ahora bien, cuando hay verdadera absorci´on

6 1. Transferencia de Radiaci´on Z ω′ p(cos Θ) 4π dω ′ = ω0 <= 1 (1.23)

En el caso m´as simple posible p(cos Θ) = ω0. Otras formas de inter´es son

la llamada funci´on de fase de Rayleigh p(cos Θ) = 3

4(1+cos

2_{Θ) y una funci´on}

usada en estudios sobre iluminaci´on planetaria: p(cos Θ) = ω0(1 + x cos Θ),

con −1 <= x <= 1. En general, podemos suponer que la funci´on de fase se puede desarrollar como una serie de polinomios de Legendre:

p(cos Θ) =X

l

ωlP (cos Θ) (1.24)

1.4.

Emisi´

on

Un campo de radiaci´on no s´olo puede ser modificado mediante absorci´on y dispersi´on por la materia, sino que ´esta puede contribuir al campo total emitiendo a su vez, como es obvio en, por ejemplo, las atm´osferas estelares. La cantidad de energ´ıa emitida en el conjunto de direcciones contenidas en dω en un tiempo dt por un elemento de masa dm en el intervalo de frecuencias dν es:

jνdmdtdνdω (1.25)

donde jν es el coeficiente de emisi´on. Ahora bien, esta radiaci´on puede ser

emitida efectivamente por dm o puede haber sido dispersada en la direcci´on dω desde otras direcciones. As´ı, un pincel de radiaci´on que incide sobre dm desde la direcci´on (φ′

, θ′

) contribuye a la radiaci´on emitida desde dm en la direcci´on (φ, θ) con una energ´ıa por unidad de tiempo:

kνdmdνdωIν(φ ′ , θ′ )p(φ′ , θ′ , φ, θ)dω ′ 4π (1.26) siendo dω′ = sen θ′ dθ′ dφ′ (1.27) y donde p(φ′ , θ′

, φ, θ) es funci´on del ´angulo formado por las direcciones (φ′

, θ′

) y (φ, θ). As´ı pues, la radiaci´on emitida puede provenir de dm o haber sido dispersada desde otra direcci´on por dm. Entonces, el ritmo al que se emite la energ´ıa radiante se puede escribir:

1.5. Ecuaci´on de la transferencia de radiaci´on 7 Comparando esta expresi´on con que nos da el ritmo de emisi´on de radia-ci´on seg´un la direcci´on de dω proveniente de la dispersi´on desde la direcci´on dω′ , es claro que j_ν(d) = kν 4π Z π 0 Z 2π 0 Iν(φ ′ , θ′ )p(φ′ , θ′ , φ, θ) sen θ′ dθ′ dφ′ (1.29) Un medio es puramente dispersivo cuando jν = jν(d). N´otese que un medio

puramente dispersivo no equivale a un medio donde la dispersi´on sea com-pleta (ω0 = 1). En otras palabras, que toda la radiaci´on emitida por dm

provenga de la dispersi´on desde todas las direcciones no implica que toda la radiaci´on que alcanza a dm sea dispersada: parte puede ser absorbida.

En un medio en equilibrio termodin´amico, donde en cada punto se puede definir una temperatura T , se cumple la Ley de Kirchoff:

jν = kνBν(T ) (1.30)

donde Bν(T ) es la funci´on de Planck:

Bν(T ) =

2hν3

c2

1

ehν/kT _{− 1} (1.31)

Se define la ((funci´on fuente)), Fν como

Fν =

jν

kν

(1.32) En el caso de un medio puramente dispersivo:

Fν = 1 4π Z π 0 Z 2π 0 p(φ, θ, φ ′ , θ′ )Iν(φ ′ , θ′ ) sen θ′ dθ′ dφ′ (1.33) En un medio en equilibrio termodin´amico

Fν = Bν(T ) (1.34)

1.5.

Ecuaci´

on de la transferencia de radiaci´

on

Consideremos (Figura 5) un cilindro de secci´on normal dσ y longitud ds y la radiaci´on que atraviesa normalmente sus dos caras. De la definici´on de intensidad, la cantidad de energ´ıa radiante que atraviesa una de las caras que tomamos como origen es

dE_ν(0) = Iνdtdνdσdω (1.35)

8 1. Transferencia de Radiaci´on

ds

d

σ

ω

d

ω

d

Esta diferencia provendr´a de la existente entre emisi´on y absorci´on. La cantidad de radiaci´on absorbida es

kνIνdmdνdtdω = kνIνρdσdsdνdtdω (1.38) La cantidad emitida es jνdmdνdtdω = jνρdσdsdνdtdω (1.39) De manera que 1 kνρ dIν ds = Fν− Iν (1.40)

En el segundo miembro, el primer t´ermino es la funci´on fuente, que incluye la dispersi´on desde todas las direcciones en la direcci´on de dω, y que depende de Iν. El segundo da cuenta de la absorci´on. Tenemos por tanto una ecuaci´on

integro-diferencial.

En coordenadas cartesianas esta ecuaci´on se escribe

−_k1 νρ l ∂ ∂x + l ∂ ∂y + l ∂ ∂z ! I(x, y, z, l, m, n) = I(x, y, z, l, m, n) − F(x, y, z, l, m, n) (1.41) Es de especial inter´es el de un medio estratificado plano, como ocurre en las atm´osferas planetarias y estelares. En ese caso la intensidad es funci´on de z y θ, suponiendo como es l´ogico simetr´ıa axial en torno al eje z. La ecuaci´on fundamental se reduce entonces a

1.6. Soluci´on aproximada para atm´osfera plana 9 −_k1 νρ cos θ d dzI(z, θ) = I(z, θ) − 1 4π Z 2π 0 Z π −π

p(cos Θ)I(z, θ) sen θ′

dθ′

dφ′

(1.42) En el caso m´as sencillo, p(cos Θ) = 1. Con los cambios de variable µ = cos θ y

τ =

Z ∞

z kνρdz (1.43)

transformamos la ecuaci´on en la forma en que se acostumbra a trabajar con ella: µdI(τ, µ) dz = I(τ, µ) − 1 2 Z 1 −₁ I(τ, µ′ )dµ′ (1.44)

1.6.

Soluci´

on aproximada para atm´

osfera

pla-na

Existe un m´etodo aproximado de resoluci´on propuesto por Schuster (1905) y Schwarszchild (1906) que se inspira en la teor´ıa cin´etica de los gases y que puede ser generalizado f´acilmente. En efecto, es com´un en el contexto de la teor´ıa cin´etica considerar un n´umero de mol´eculas encerradas en un cubo y chocando el´asticamente contra sus paredes. Se recurre al artificio de conside-rar que un tercio de ese n´umero se mueve seg´un la direcci´on de cada uno de los ejes, en los dos sentidos. Inspirado en esta idea, el m´etodo supone que la intensidad est´a limitada a un flujo dirigido hacia arriba (µ = 1) y un flujo dirigido hacia abajo (µ = −1). De esta forma, I(τ, µ) = I+(τ ) + I−(τ ) y la

funci´on fuente es F = 1₂ Z 0 −1 I−(τ )dµ ′ + Z 1 0 I+(τ )dµ ′  = 1 2[I+(τ ) + I−(τ )] (1.45)

Schuster y Schwarszchild sustituyeron la ecuaci´on original por el par de ecuaciones 1 2 dI+ dτ = I+− 1 2[I++ I−] −1 2 dI− dτ = I−− 1 2[I++ I−] (1.46)

10 1. Transferencia de Radiaci´on

donde el factor ±1

2 de la izquierda da cuenta de la inclinaci´on media

de los rayos salientes y entrantes. ´Este es un sistema lineal homog´eneo de soluci´on inmediata. La generalizaci´on de la idea anterior supone que en lugar de s´olo una direcci´on existen n direcciones y que la radiaci´on fluye s´olo en esas direcciones, en un sentido o en otro. Si µi son los cosenos directores de

esas direcciones, con i = ±1, ±2, ..., ±n e Iilas intensidades correspondientes,

la ecuaci´on fundamental se sustituye por el sistema lineal: µi dIi dτ = Ii − X j ajIj (1.47)

donde las aj son los pesos de la integraci´on gaussiana de F, de tal forma

que Z 1 −₁ I(τ, µ′ )dµ′ ≃X j ajIj(τ, µj) (1.48)

Los valores de los aj se encuentran tabulados en los textos de an´alisis

num´erico. Una revisi´on de la construcci´on de f´ormulas gaussianas de cuadra-tura se encuentra en la obra citada Radiative Transfer, as´ı como tablas de coeficientes aj.

Cap´ıtulo 2

´

Optica Matricial

2.1.

Introducci´

on

Este cap´ıtulo est´a dedicado a la teor´ıa elemental de los sistemas ´opticos. Un sistema ´optico, en el contexto de la presente explicaci´on, es un conjunto de superficies que separan medios de propiedades ´opticas diferentes. Aqu´ı, haremos una interpretaci´on muy restrictiva, pues la ´unica propiedad ´optica que va a determinar cada medio es el ´ındice de refracci´on n, que se define como la raz´on entre la velocidad de la luz en el vac´ıo y la velocidad de la luz en el medio. As´ı pues, es siempre n >= 1.

Respecto a la luz, experimentos sencillos nos convencer´an de que se pro-paga en l´ınea recta en los medios homog´eneos, es decir, en aquellos en los que el ´ındice de refracci´on es una constante. El principio b´asico que permite for-malizar matem´aticamente nuestra experiencia emp´ırica con la propagaci´on de la luz es ´este: la luz se propaga de tal modo que para ir de un punto a otro lo hace siempre en el tiempo m´ınimo posible. Es decir, que si un elemento de camino es ds, la luz invierte un tiempo ds/v en recorrerlo, y si v = c/n, en-tonces la trayectoria de la luz es tal que la integral entre el punto de partida y el de llegada:

1 c

Z

nds (2.1)

es m´ınima. El c´alculo de variaciones permite calcular las trayectorias que sigue la luz, tanto en medios homog´eneos como en medio no homog´eneos. No entraremos en este formalismo. Indicaremos s´olo que permite demostrar (entre otras muchas cosas) que: a) en los medios homog´eneos la luz se propaga en l´ınea recta y b) cuando la luz cambia de un medio de ´ındice de refracci´on n1 a un medio de ´ındice n2, se cumple la relaci´on

12 2. ´Optica Matricial θ θ 1 2 n n 1 2 Figura 1 n1sen θ1 = n2sen θ2 (2.2)

donde θ1 es el ´angulo que forma el rayo con la normal a la superficie de

separaci´on en el punto de ´esta donde incide y θ2 el ´angulo que forma el rayo

refractado con la misma normal, de acuerdo con la Figura 1.

Todav´ıa, dado el car´acter elemental de esta exposici´on, hemos de intro-ducir m´as restricciones: a) cuando un rayo toca una superficie que es la sepa-raci´on entre dos medios, el ´angulo que forma con la normal a la superficie en el punto de contacto es tan peque˜_{no que siempre se puede tomar sen θ ≃ θ;} b) Nos limitamos a superficies de separaci´on o bien planas o bien esf´ericas. Los centros de todas las superficies esf´ericas se encuentran sobre una l´ınea recta. Las normales a las superficies planas coinciden con la misma recta. A estos sistemas se les llama ((sistemas ´opticos centrados)). A la l´ınea que contiene a los centros de las superficies se le llama ((eje ´optico)). En lo que sigue, consideraremos que la luz se propaga de izquierda a derecha, formando ´angulos peque˜nos con el eje ´optico.

2.2.

Formulaci´

on matricial

Puesto que las superficies en los sistemas que estamos considerando se-paran medios homog´eneos, en los cuales la luz se propaga en l´ınea recta, la acci´on de un sistema ´optico sobre un rayo entrante consistir´a en alterar su di-recci´on en cada superficie, de forma que la trayectoria total del rayo ser´a una l´ınea quebrada.

El conocimiento completo de la trayectoria incluye entonces, para cada coordenada x del eje ´opitco, la altura y del rayo y el ´angulo θ que forma con el eje (Figura 2).

2.2. Formulaci´on matricial 13

y

θ

y

x

θ

θ

d

y

y

π

π

El rayo entonces experimenta dos tipos de transformaciones: desplazarse de una superficie a la siguiente y cambiar de direcci´on en cada superficie. Consideremos a continuaci´on las distintas formas en que el rayo se ve afec-tado.

2.2.1.

Traslaci´

on

Consideremos la traslaci´on de un rayo en un medio homog´eneo entre dos planos de referencia π1 y π2 separados entre s´ı una distancia d. En π1 el rayo

viene especificado por valores (y1, θ1) y en π2 por valores (y2, θ2) (Figura 3).

Es claro que θ2 = θ1 (2.3) mientras que y2− y1 d = tan θ1 ≃ θ1 (2.4) o y2− y1 = dθ1 (2.5)

14 2. ´Optica Matricial

y = y

₁

₂

θ

θ

1

2

n

1

n

2

Combinando ambas condiciones podemos escribir, en formato matricial:

" y2 θ2 # = " 1 d 0 1 # " y1 θ1 # (2.6)

2.3.

Refracci´

on en superficie plana

Consideremos ahora un rayo que toca una superficie plana que es la se-paraci´on de dos medios de ´ındice n1 y n2 (Figura 4). Estamos interesados en

los valores de y2 y θ2 tras sufrir la refracci´on. Es evidente que y2 = y1. En

cuanto a los ´angulos, n1θ1 = n2θ2, o

θ2 = n1 n2 θ1 (2.7) es decir: " y2 θ2 # = " 1 0 0 n1 n2 # " y1 θ1 # (2.8) Si asignamos convencionalmente signo positivo a los ´angulos de los rayos que se alejan del eje en el sentido de las y > 0, vemos que, siendo n1/n2 > 0,

θ2 y θ1 tienen el mismo signo. Por contra, si indicamos con el signo negativo

el ´angulo de los rayos que desde y > 0 se acercan al eje, vemos que si θ1 < 0

tambi´en θ2 < 0. Por tanto, la expresi´on matricial anterior es general, v´alida

tanto para ´angulos positivos como para negativos.

2.4.

Refracci´

on en superficie esf´

erica

En relaci´on con la Figura 5, se representa una superficie esf´erica de centro O y radio R que separa dos medios de ´ındices n1 y n2. Sobre esta

superfi-2.4. Refracci´on en superficie esf´erica 15

O

N

i

i

1

2

θ

1

θ

2

R

α

n

₁

n

₂

y

cie incide un rayo (y1, θ1) en un punto cuya normal es ON con ´angulo de

incidencia i1 y ´angulo de refracci´on i2.

En la aproximaci´on de ´angulos peque˜nos:

n1i1 = n2i2 (2.9)

Ahora bien, se ve que i1 = α + θ1 y que i2 = α + θ2. Al mismo tiempo, el

´angulo α puede aproximarse por su tangente, que es y/R (y = y1 = y2), con

lo que n1( y1 R + θ1) = n2( y2 R + θ2) (2.10) de donde θ2 = − n2− n1 n2 y1 R + n1 n2 θ1 (2.11)

que junto con y2 = y1 permiten escribir:

" y2 θ2 # = " 1 0 −n2−_n1 n2R n1 n2 # " y1 θ1 # (2.12) Podemos, y debemos, preguntarnos por la generalidad de la expresi´on anterior. Al fin y al cabo, hemos elegido una geometr´ıa en la que θ1 > 0 y

θ2 > 0 (¿y si no es as´ı) y hemos supuesto que n2 > n1 (¿y si no es as´ı?).

Adem´as, suponemos que la superficie es convexa (¿y si fuese c´oncava?). Es preciso entonces asegurarse de que la expresi´on encontrada tiene la generali-dad necesaria, y para eso es preciso analizar exhaustivamente todos los casos posibles. No es dif´ıcil hacer tal an´alisis pero, en lugar de omitirlo, como hace la mayor´ıa de los textos, o de presentarlo completo, como no hace ninguno

16 2. ´Optica Matricial

N

O

y

n

1

n

2

α

R

i

₁

i

₂

θ

1

θ

₂

de ellos, lo haremos parcialmente (el an´alisis completo queda a la voluntad del lector).

En primer lugar, consideremos el caso en que los rayos incidente y refrac-tado tienen ´angulos negativos, tal y como se muestra en la Figura 6.

Razonando sobre los valores absolutos de los ´angulos,

n1i1 = n2i2 (2.13) con i1 = α − |θ1| e i2 = α − |θ2|, de donde |θ2| = n1 n2|θ1| − n1− n2 n2R y1 (2.14)

y como θ1 = −|θ1| y θ2 = −|θ2|, vemos que la expresi´on que hab´ıamos

encontrado es m´as general del caso que consideramos en primer lugar, pues tambi´en es v´alida cuando los dos ´angulos son negativos.

Consideremos a continuaci´on qu´e ocurre cuando la superficie de separa-ci´on es c´oncava, de acuerdo con la Figura 7.

De n1i1 = n2i2, ahora con i1 = α − θ1 e i2 = α − θ2 se sigue

θ2 = n2− n1 n2R y1+ n1 n2 θ1 (2.15)

Vemos que esta ecuaci´on difiere de (2.11) en el signo del primer t´ermino del segundo miembro. Podr´ıamos pues tener dos expresiones distintas, seg´un que la luz incida sobre una superficie c´oncava o sobre una superficie convexa. En lugar de ello se introduce la siguiente regla: El radio de una superficie se toma como positivo si la superficie es convexa, y como negativo si la superficie es c´oncava. La ecuaci´on (2.11) junto con esta regla es consistente con la reci´en obtenida (2.15). Podr´ıamos continuar examinando casos particulares,

2.5. Matriz del sistema 17

i

₁

O

θ

₂

N

θ

₁

R

n

i

₂

α

n

1

2

y

pero, como dijimos anteriormente, queda del cuidado del lector interesado y nosotros damos por generalmente v´alida la citada expresi´on (2.11).

2.5.

Matriz del sistema

Recapitulemos brevemente las matrices encontradas hasta ahora. Para la traslaci´on de un rayo una distancia d:

T= " 1 d 0 1 # (2.16) Para su refracci´on en una superficie plana:

R= " 1 0 0 n1 n2 # (2.17) Y para la refracci´on en una superficie esf´erica:

S= " 1 0 −n2−_n1 n2R n1 n2 # (2.18) Consideremos ahora un sistema ´optico que contenga los dos tipos de su-perficies y una traslaci´on. Este sistema puede ser una lente convexo-plana. La luz incide en la superficie convexa, donde se refracta. Despu´es, el rayo recorre una distancia en l´ınea recta igual al grosor de la lente. Finalmente, se refracta en la superficie plana posterior de la lente, Figura 8.

18 2. ´Optica Matricial

d

1 2

34

Figura 8

Denotemos por ¯u el rayo ¯ u = " y θ # (2.19) y usemos los sub´ındice 1 y 2 para indicar los valores inmediatamente antes y despu´es de la refracci´on en la superficie esf´erica. Con los sub´ındices 3 y 4 indicamos los valores inmediatamente anterior y posterior a la refracci´on en la superficie plana posterior. Es claro que

¯ u4 = R¯u3 (2.20) pero ¯ u3 = T¯u2 (2.21) y a su vez ¯ u2 = S¯u1 (2.22) Es decir: ¯ u4 = (RTS)¯u1 = M¯u1 (2.23)

La acci´on total de la lente viene dada por la matriz M, que obtenemos multiplicando de atr´as adelante las distintas transformaciones que sufre el rayo. Es tambi´en evidente que si las matrices elementales son matrices 2 × 2 la matriz resultante ser´a tambi´en una matriz 2 × 2.

De la misma forma se ve que si en lugar de las tres transformaciones que introduce la lente convexo-plana tuvi´esemos un n´umero arbitrario de trans-formaciones n cada una de las cuales viniese representada por su matriz Mn,

2.6. Interpretaci´on 19 y denotando mediante el sub´ındice i el valor del rayo tras su transformaci´on i, entonces ser´ıa: ¯ un = Mnu¯n−1 ¯ un−1 = Mn−1u¯n−2 ¯ un−2 = Mn−2u¯n−3 · · · = · · · ¯ u1 = M1u¯0 (2.24) de donde ¯ un= (MnMn−1Mn−2· · · M2M1)¯u0 (2.25)

El sistema completo entonces se puede representar mediante una ´unica matriz 2 × 2:

M= MnMn−1Mn−2· · · M2M1 (2.26)

En el caso concreto de la lente con que abr´ıamos esta secci´on, si su ´ındice de refracci´on es n y se encuentra rodeada de aire, cuyo ´ındice podemos tomar como n = 1, su grosor es d y el radio de la superficie convexa es R, tenemos que ¯ M = " 1 0 0 n # " 1 d 0 1 # " 1 0 1−n nR 1 n # = " 1 + d(1−n)_nR d n 1−n R 1 # (2.27)

2.6.

Interpretaci´

on

Supongamos que, conocidas las superficies que forman un sistema ´optico y todos los datos pertinentes, como la separaci´on entre ellas, los ´ındices de refracci´on y los radios de curvatura, hemos calculado la matriz total del sistema por simple multiplicaci´on de las matrices individuales, obteniendo:

M= " A B C D # (2.28) ¿Cual es el significado de cada uno de los elementos? Para responder a esta pregunta, hagamos cero cada uno de ellos sucesivamente. Representaremos al sistema, que puede contener un n´umero arbitrario de elementos, mediante dos l´ıneas verticales gruesas. Con los sub´ındices e y s indicamos los rayos de entrada y de salida al sistema.

20 2. ´Optica Matricial

A=0

Figura 9

B=0

Figura 10

Cuando A = 0, ys= Bθe. ysdepende s´olo de θe, no de ye. Por tanto, todos

los rayos que entran con el mismo ´angulo al sistema salen con el mismo ys,

tal y como se refleja en la Figura 9.

La condici´on A = 0 determina por tanto un foco.

Si B = 0, ys = Aye. Es decir, ys no depende del ´angulo de entrada y

depende s´olo de ye. La condici´on B = 0 determina una correspondencia entre

los planos focales. Los puntos ye e ys son respectivamente objeto e imagen y

A = ys/ye es el ((aumento)) del sistema. Figura 10.

Si C = 0, θs = Dθe, es decir, el ´angulo de salida depende s´olo del ´angulo de

entrada: todo haz de rayos paralelos que entra al sistema emerge de ´el como haz paralelo, Figura 11. A este tipo de sistemas se les llama ((telesc´opicos)) y a la raz´on D = θs/θe ((aumento angular)) del sistema.

Finalmente, si D = 0, θs = Cye, es decir, el ´angulo de salida no depende

2.6. Interpretaci´on 21

C=0

Figura 11

D=0

22 2. ´Optica Matricial

2.7.

Conclusi´

on

Hemos dado una idea general de los sistemas ´opticos centrados para-xiales. No entraremos en su ampliaci´on a sistemas donde pueden encontrarse superficies reflectantes, ni entraremos en la discusi´on de los llamados ((puntos cardinales)) de los sistemas, que por otra parte pueden extraerse f´acilmente a partir de la matriz M del sistema. El lector interesado puede encontrar la teor´ıa complementaria, junto a una buena colecci´on de ejercicios resueltos, en Matrix methods in optics, de A. Gerrard y J.M. Burch 1_.

Cap´ıtulo 3

Polarizaci´

on

3.1.

Introducci´

on

En el siglo XVII, un monje llamado Erasmus Bartholinus descubri´o una propiedad relativa a un mineral llamado ((espato de Islandia)). El espato de Islandia es una variedad de calcita f´acilmente exfoliable en l´aminas trans-parentes. Lo que descubri´o Bartholinus fue que una l´amina de calcita da-ba im´agenes dobles cuando se mirada-ba a trav´es de ella, es decir, que la luz se refractaba de dos formas distintas simult´aneamente. La explicaci´on del fen´omeno la dio Christian Huygens poco despu´es, al tiempo que descubri´o el fen´omeno de la polarizaci´on.

Consiste ´este en que si se miran ciertas fuentes de luz a trav´es de una l´amina de espato de Islandia, al girar la l´amina en un plano perpendicular a la l´ınea de visi´on la intensidad de la imagen var´ıa, pasando por un par de m´aximos y m´ınimos. Esto ocurre con algunas fuentes de luz, mientras que no ocurre con otras, y es independiente el fen´omeno tanto de la intensidad de la fuente como de su color. Por consiguiente, la luz, aparte de intensidad y color tiene otra propiedad que se llam´o ((polarizaci´on)).

Se pueden hacer algunos experimentos adicionales. Si a trav´es de un se-gundo cristal de espato se observa la luz emergente de un primero, se observa que la luz de este primero est´a polarizada siempre. De ah´ı se deduce que el cristal de espato polariza la luz, que en principio puede provenir de una fuente no polarizada. La polarizaci´on se hace evidente al observar el primer cristal a trav´es del segundo.

A partir de ah´ı, hay un experimento obvio, que consiste en observar la luz polarizada por el primer cristal a trav´es del segundo. Al girar este segundo cristal en su plano se observan los m´aximos y m´ınimos de intensidad y pue-de construirse una gr´afica polar representando la intensidad emergente pue-del

24 3. Polarizaci´on

segundo cristal en funci´on del ´angulo girado respecto a un eje fijo arbitrario. La figura resultante es una elipse.

Lo siguiente que se descubri´o fue que si se repite el experimento introdu-ciendo algunas sustancias entre los dos espatos, a veces se obtiene una elipse girada respecto a la elipse original. Por ejemplo, el agua azucarada tiene esta propiedad. Tambi´en se descubri´o que algunas sustancias giran la elipse en un sentido y algunas otras en sentido contrario. A esta propiedad de algu-nas sustancias se le llama ((actividad ´optica)) y a las sustancias ((´opticamente activas)).

Puesto que sencillos experimentos de difracci´on muestran que la luz tiene naturaleza ondulatoria, queda por discernir si se trata de una onda trans-versal o longitudinal. La polarizaci´on se explica aceptando que es una onda transversal. Cual sea la naturaleza de esa onda (qu´e cosa sea la que vibra) queda por averig¨uar.

Admitiendo pues que la luz es una onda transversal y que su plano de vibraci´on forma un ´angulo θ con el eje horizontal x, mientras se propaga en la direcci´on z, sea

Ex = A cos θ cos(ωt + ϕ)

Ey = A sen θ cos(ωt + ϕ) (3.1)

(Insistimos: ignoramos qu´e cosa sean Exy Ey). Si volvemos a nuestros

ex-perimentos con el espato de Islandia y recordamos que presenta el fen´omeno de la birrefringencia, hemos de interpretar esto como que hay dos ´ındices de refracci´on seg´un dos direcciones distintas. Pero el ´ındice de refracci´on est´a re-lacionado con la velocidad de propagaci´on de la luz en el medio. Experimentos m´as cuidadosos revelan que hay una direcci´on especial en el cristal llamada ((eje ´optico)). La vibraci´on paralela al eje ´optico se llama ((extraordinaria)) y la vibraci´on perpendicular a dicho eje ((ordinaria)). Pues bien, el espato de Islandia introduce una diferencia de fase entre las vibraciones ordinaria y extraordinaria, ∆, de manera que la luz emergente se puede representar como: Ex = A cos θ cos ωt Ey = A sen θ cos(ωt + ∆) (3.2) eliminando el cos ωt: Ex2 A2_cos2_θ + Ey2 A2_sen2_θ − 2ExEy

A2_{sen θ cos θ}cos ∆ = sen

3.2. Formalizaci´on 25 Llamando a las amplitudes en los ejes x e y H = A sen θ y K = A cos θ:

Ex2 H2 + Ey2 K2 − 2ExEy HK cos ∆ = sen 2_{∆ (3.4)}

con A2 _{= H}2_{+ K}2_{. Algunos casos especiales deben ser se˜nalados. Cuando}

∆ = 0: Ex2 H2 + Ey2 K2 − 2ExEy HK = 0 (3.5) o E x H − Ey K 2 = 0 (3.6) o Ex Ey = H K (3.7) Cuando ∆ = π/2: Ex2 H2 + Ey2 K2 = 1 (3.8)

que es la ecuaci´on de una elipse. Como la energ´ıa de una onda transversal depende del cuadrado de la amplitud, tenemos aqu´ı la conexi´on entre la elipse que observamos al representar la intensidad de la luz respecto al ´angulo girado por el cristal y el hecho de que esa luz es una onda transversal de amplitudes H y K en los ejes x e y. Finalmente, cuando ∆ = π:

Ex

Ey = −

H

K (3.9)

3.2.

Formalizaci´

on

Para describir la elipse de polarizaci´on podr´ıamos dar uno de sus semiejes, la excentricidad y el ´angulo que forma uno de los semiejes de la elipse con uno de los ejes de nuestro sistema de referencia. Esta es una forma, pero no la ´unica. Y tiene un inconveniente, y es que mientras que la elipse la construimos midiendo intensidades, que tienen dimensiones de energ´ıa por unidad de superficie y tiempo, par´ametros como excentricidad y ´angulo son adimensionales. Ser´ıa preferible hacer una descripci´on mediante cantidades de la misma clase. Y esta descripci´on la di´o Stokes introduciendo los par´ametros:

26 3. Polarizaci´on

I = H2+ K2 = A2

Q = H2_{− K}2 = A2cos2_{θ − A}2sen2θ = I cos 2θ

U = 2HK cos ∆ = 2A2sen θ cos θ cos ∆ = I sen 2θ cos ∆

V = 2HK sen ∆ = 2A2sen θ cos θ sen ∆ = I sen 2θ sen ∆ (3.10)

Se comprueba que I2 = Q2+ U2+ V2 H2 = 1 2(I + Q) K2 = 1 2(I − Q) V2 = 4H2K2sen2∆ (3.11) o sen2∆ = V 2 I2_{− Q}2 (3.12)

Dado que la ecuaci´on general de la elipse de semiejes H y K en coorde-nadas cartesianas es x2 H2 + y2 K2 − 2xy cos δ HK = sen 2_{δ (3.13)}

donde δ es el ´angulo que forma el semieje mayor de la elipse con el eje x, vemos que la introducci´on del desfase ∆ entre las vibraciones ordinaria y extraordinaria es la causa de la rotaci´on de la elipse. Simplifiquemos la notaci´on escribiendo x en lugar de Ex e y en lugar de Ey, y tenemos que

2x2_{(I − Q)} V2 − 4Uxy V2 + 2y2_{(I + Q)} V2 = 1 (3.14) o P x2 _{− 2Gxy + F y}2 = 1 (3.15) con P = 2(I − Q) V2

3.2. Formalizaci´on 27

G = 2U

V2

F = 2(I + Q)

V2 (3.16)

Hemos visto que, en efecto, los par´ametros de Stokes definen la elipse de polarizaci´on de forma matem´aticamente conveniente. Hubi´esemos podido convencernos cualitativamente observando que I, Q determinan los semiejes H, K y que U, V determinan sin ambig¨uedad la orientaci´on ∆, pues incluyen sen ∆ y cos ∆.

Un razonamiento adicional que enlaza la geometr´ıa de la elipse con los par´ametros de Stokes es el siguiente. Para un punto de la elipse, en coorde-nadas polares:

x = r cos ϕ

y = r sen ϕ (3.17)

y la ecuaci´on de la elipse se escribe

P r2_cos2_{ϕ − 2Gr}2_{sen ϕ cos ϕ + F r}2_sen2_{ϕ = 1 (3.18)}

o bien 1 2P r 2 (1 + cos(2ϕ)) − Gr2sen(2ϕ) +1 2F r 2 (1 − cos(2ϕ)) = 1 (3.19) llamando β = 2ϕ y W = 2/r2_: W = (P + F ) − 2G sen β + (P − F ) cos β (3.20)

En los ejes mayor y menos, r(ϕ) alcanza un m´aximo o un m´ınimo, luego W (β) un m´ınimo o un m´aximo, dado por la condici´on

dW

dβ = 0 = −2G cos β − (P − F ) sen β (3.21)

As´ı que si β⋆ _{es el valor que toma β en los semiejes:}

tan β⋆ = sen β

⋆

cos β⋆ =

2G

F − P (3.22)

y dado que tan α = tan(α + π), hay dos valores de β⋆_{, α}

1 y α2, que

28 3. Polarizaci´on

β = 2ϕ, es claro que los dos valores de ϕ difieren en π/2, como era de esperar). Si llamamos W1 y W2 a los valores de 2/r2 para α1 y α2:

r2 2 r2 1 = W1 W2 = (P + F ) − 2G sen α1+ (P − F ) cos α1 (P + F ) − 2G sen α2+ (P − F ) cos α2 (3.23) Ahora, sustituyendo hacia atr´as P, F y G en funci´on de los par´ametros de Stokes vemos que es

tan δ = U

Q (3.24)

y que la raz´on entre los cuadrados de los ejes es I −√Q2_{+ U}2

I +√Q2_{+ U}2 (3.25)

3.3.

Grado de polarizaci´

on

Por otro lado, se sigue de las definiciones de los par´ametros de Stokes que I2 _{= Q}2_{+ U}2_{+ V}2_{. Ahora bien, si volvemos al experimento original que ha}

dado origen al descubrimiento de la elipse de polarizaci´on, es claro que las relaciones descubiertas hasta ahora son v´alidas para luz polarizada, mientras que existen fuentes de luz no polarizada para las cuales Q = U = V = 0, ya que si la luz no est´a polarizada la ´unica cantidad emp´ıricamente constatable es la intensidad, y el giro de la l´amina de espato de Islandia no revelar´ıa variaci´on alguna con la direcci´on.

Ahora bien, ocurre con frecuencia que una fuente de luz no est´a ni total-mente polarizada ni carece en absoluto de polarizaci´on, sino que se encuentra polarizada parcialmente. Si introducimos el llamado ((grado de polarizaci´on)) P , como

P2 = Q

2_{+ U}2 _{+ V}2

I2 (3.26)

es claro que P = 0 para luz sin polarizar y P = 1 para luz totalmente polarizada. Y as´ı podr´ıamos separar la luz en dos vectores de Stokes, uno para la parte polarizada y otro para la parte sin polarizar:

     I Q U V      =      P I Q U V      +      (1 − P )I 0 0 0      (3.27)

3.4. Matrices de Mueller 29      I Q U V      = 1 + P 2P      P I Q U V      + 1 − P 2P      P I −Q −U −V      (3.28)

y as´ı considerar que un haz parcialmente polarizado est´a compuesto por dos haces totalmente polarizados y de polarizaci´on opuesta. Como P I = √

Q2_{+ U}2_{+ V}2_{, si normalizamos P I a la unidad, las ((coordenadas)) (Q, U, V )}

indican un punto sobre una esfera de radio unidad llamada ((esfera de Poin-car´e)) y entonces (Q, U, V ) y (−Q, −U, −V ) son puntos diametralmente opues-tos sobre la esfera de Poincar´e.

3.4.

Matrices de Mueller

Denominaremos por ¯S al vector formado por los cuatro par´ametros de Stokes: ¯ S =      I Q U V      (3.29)

Al pasar un haz de luz polarizada a trav´es de un dispositivo ´opticamente activo, cambiar´a su estado de polarizaci´on. Llamemos ¯S1 al estado del haz

antes de entrar en el dispositivo, y ¯S2 al estado despu´es de salir del mismo.

Lo que mostraremos ahora es que ¯S1 y ¯S2 est´an relacionados linealmente de

forma que existe una matriz M que hace ¯

S2 = M ¯S1 (3.30)

Los elementos Mij son propios de cada dispositivo y de su orientaci´on.

A la matriz M se le llama ((matriz de Mueller)). Es posible deducir su for-ma conocidos distintos tipos de haces de entrada y salida. Consideremos un polarizador ideal, que no introduce retardo de fase: ∆ = 0.

Z=      X B T D E F G H J K L M N P R S      (3.31)

30 3. Polarizaci´on

1. Un polarizador lineal deja pasar la mitad de la intensidad de un haz de luz no polarizada de intensidad I. Llamemos I = 2W . La luz no polarizada es ¯ S1 =      2W 0 0 0      (3.32) y la luz emergente ¯ S2 =      W W c2 W s2 0      (3.33)

donde s1 = sen θ, c1 = cos θ, s2 = sen 2θ y c2 = cos 2θ. Relacionando

ambos estados:      W W c2 W s2 0      =      X B T D E F G H J K L M N P R S           2W 0 0 0      (3.34)

de donde se siguen las ecuaciones:

1 = 2X c2 = 2E s2 = 2J 0 = 2N (3.35) es decir      1 2 B T D 1 2c2 F G H 1 2s2 K L M 0 P R S      (3.36)

3.4. Matrices de Mueller 31 2. Un polarizador que deja inalterado el haz de entrada, previamente

po-larizado, act´ua de la forma:

     W W c2 W s2 0      =      1 2 B T D 1 2c2 F G H 1 2s2 K L M 0 P R S           W W c2 W s2 0      (3.37)

de donde se siguen las ecuaciones:

1 = 1 2 + Bc2+ T s2 c2 = 1 2c2+ F c2+ Gs2 s2 = 1 2s2+ Kc2+ Ls2 0 = P c2+ Rs2 (3.38)

La ´ultima de estas ecuaciones es v´alida para todo c2 y s2. Luego si

c2 = 0, R = 0 y si s2 = 0, P = 0. Por tanto P = R = 0.

3. El dispositivo tranforma luz de amplitud A seg´un el eje x en luz de amplitud A cos θ en el eje que forma un ´angulo θ con el eje x. Para la luz original, H2 _{= A}2_{; K = 0, luego I = Q = A}2 _{y U = V = 0. El haz}

de salida tiene de componentes, en el eje x, Ac2

1 y en el eje y Ac1s1. Luego H2_{= A}2_c4 1, K2 = A2c21s21, y como ∆ = 0, I = A2c21, Q = A2c21c2, U = A2_c2 1s2 y V = 0. En resumen:      c2 1 c2 1c2 c2 1s2 0      =      1 2 B T D 1 2c2 F G H 1 2s2 K L M 0 0 0 S           1 1 0 0      (3.39) que proporciona c2₁ = 1 2 + B c2₁c2 = 1 2c2+ F c2₁s2 = 1 2s2+ K (3.40)

32 3. Polarizaci´on De la primera B = c2₁₋ 1 2 = 1 2c2 (3.41) De la segunda F = 1 2c 2 2 (3.42) y de la tercera K = 1 2s2c2 (3.43) Recordando que Bc2+ T s2 = 1 2 (3.44) tenemos T = 1 2s2 (3.45)

4. Consideremos luz circular de amplitud A. La amplitud en ambos ejes es A, de donde I = 2A2_{, Q = U = 0 y V = 2A}2_{. Aqu´ı es ∆ = ±}π

2,

lo que hace V 6= 0. En caso contrario, no tendr´ıamos luz polarizada circular, sino luz no polarizada. Si el dispositivo convierte esta luz en luz polarizada lineal de amplitud A seg´un el eje que forma un ´angulo θ con el x, tenemos que H = Ac1, K = As1 y con ∆ = 0 a la salida,

I = A2_{, Q = A}2_(c2 1− s21) = A2c2, U = A2s2 y V = 0. En resumen:      1 c2 s2 0      =      1 2 1 2c2 1 2s2 D 1 2c2 1 2c22 G H 1 2s2 1 2c2s2 L M 0 0 0 S           2 0 0 2      (3.46) de donde D = H = M = S = 0 y G = 1 2c2s2 L = 1 2s 2 2 (3.47)

3.4. Matrices de Mueller 33 En definitiva, hemos encontrado la Matriz de Mueller para el polarizador ideal: Z= 1 2      1 c2 s2 0 c2 c22 c2s2 0 s2 c2s2 s22 0 0 0 0 0      (3.48)

Con una secuencia de razonamientos similar podemos encontrar la matriz de Mueller para otros dispositivos. Por ejemplo, para dispositivos que intro-ducen un desfase ∆ 6= 0. En definitiva, cuando un haz de luz ¯Si atraviesa una

serie de dispositivos representados por matrices M1, M2, ... la luz resultante

es

¯

Cap´ıtulo 4

Difracci´

on

4.1.

Introducci´

on

Imaginemos dos l´aminas opacas, paralelas. Practicamos un peque˜no ori-ficio en una de ellas y disponemos una fuente de luz de modo que ilumine la l´amina agujereada. La luz traspasa el orificio y se proyecta sobre la segun-da l´amina. Podemos advertir que la forma iluminasegun-da en la segunsegun-da l´amina se corresponde con la forma del orificio en la primera. As´ı, un orificio rec-tangular produce un rect´angulo iluminado. Un orificio circular, un orificio circular, y as´ı sucesivamente. Si observamos m´as cuidadosamente, podemos advertir que la l´ınea que separa la figura luminosa de la zona sombreada no es perfectamente n´ıtida. Esto puede deberse a que nuestra fuente de luz no es puntual sino extensa, de manera que entre la zona de luz y la zona de oscuridad existe una zona intermedia de penumbra. Pero si refinamos el experimento acerc´andonos m´as y m´as a una fuente puntual esta indefinici´on persiste. M´as a´un, si reducimos progresivamente el tama˜no del orificio, el fen´omeno se agudiza. Finalmente, podemos comprobar como, reduciendo el orificio pr´acticamente a un punto, su imagen en la pantalla no es un punto luminoso, sino una mancha difusa cuyo tama˜no es mayor que el del orificio que se ilumina. En un experimento m´as cuidadoso, por ejemplo, sustituyendo la l´amina de proyecci´on por una pel´ıcula fotogr´afica, vemos que esta man-cha difusa se compone en realidad de una serie de anillos claros y oscuros conc´entricos. El experimento puede repetirse para otro tipo de aberturas, como por ejemplo rendijas. Y puede verse la figura que proyecta no s´olo un orificio en particular sino varios de ellos, como por ejemplo una serie de ori-ficios peque˜nos espaciados regularmente a lo largo de una l´ınea recta o una serie de rendijas estrechas paralelas espaciadas regularmente.

De todos estos experimentos toma fuerza la hip´otesis de que la luz es una 35

36 4. Difracci´on

perturbaci´on ondulatoria, ya que las figuras que aparecen en la pantalla de proyecci´on son similares a las que pueden obtenerse perturbando por ejemplo ondas superficiales en el agua.

Por consiguiente, es precisa una teor´ıa de la formaci´on de las im´agenes que vaya m´as all´a de la teor´ıa geom´etrica de los rayos de luz que se propagan en l´ınea recta.

4.2.

La difracci´

on en 9 pasos sencillos

4.2.1.

Paso 1. Flujo

Dado un campo vectorial, que es una aplicaci´on que a cada punto del espacio le hace corresponder un vector, y dado un elemento de superficie en ese espacio (Figura 1), tan peque˜no como sea preciso para que pueda atribuirse un ´unico valor del campo vectorial a todos los puntos de esta superficie, se define el flujo elemental del vector ¯F a trav´es de la superficie

¯

dσ como el producto escalar

dΦ = ¯_{F • ¯}dσ (4.1)

donde el ’•’ indica producto escalar. El vector ¯dσ es tal que su m´odulo es el valor de la superficie elemental y su direcci´on normal a ´esta. Si este elemento de superficie es parte de una superficie mayor que encierra un volumen, el sentido del vector ¯dσ es hacia el exterior del volumen.

4.2.2.

Paso 2. Divergencia

Dada una superficie que encierra un peque˜no volumen, si existe el l´ımite para la raz´on entre el flujo a trav´es de esa superficie y el volumen encerrado por la superficie cuando el volumen se hace m´as y m´as peque˜no, a ese l´ımite se le llama ((divergencia)) del campo vectorial. En el l´ımite, el volumen queda reducido a un punto y entonces se puede hablar de la divergencia del campo en ese punto.

d

σ

F

4.2. La difracci´on en 9 pasos sencillos 37 Para buscar una expresi´on anal´ıtica para la divergencia, consideremos un peque˜no cubo de lados dx, dy, dz cuyas caras sean paralelas a los planos que definen los ejes coordenados. En relaci´on con la Figura 2, consideremos que las caras a y b son perpendiculares al eje x y que las coordenadas x toman valores crecientes al movernos de a hacia b; consideremos el flujo total a trav´es de ambas caras. El flujo a trav´es de la cara a es

dΦa = ¯F • ¯dσa = −Fxdydz (4.2)

ya que ¯dσa = (−dydz, 0, 0). El flujo a trav´es de la cara b es

dΦb = F +¯ ∂ ¯F ∂xdx ! ¯ dσ = Fx+ ∂Fx ∂x dx ! dydz (4.3) ya que ¯dσb = (dydz, 0, 0) y ∂ ¯F ∂x = ∂Fx ∂x , ∂Fy ∂x , ∂Fz ∂x ! (4.4) Por tanto, el flujo total a trav´es de las caras a y b es

dΦ = ∂Fx

∂x dxdydz (4.5)

De la misma forma, podemos calcular el flujo a trav´es de los dos pares de caras paralelas restantes, las que son perpendiculares a los ejes y y z, y tendr´ıamos para el flujo total a trav´es de las caras del cubo elemental:

dΦ = ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ! dxdydz (4.6)

La divergencia, que es la raz´on entre este flujo y el volumen elemental dxdydz es pues div ¯F = ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z (4.7) a b Figura 2

38 4. Difracci´on

Es com´un en este punto introducir el operador ¯_{∇, defini´endolo como} ¯ ∇ = ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z ! (4.8) con lo cual la divergencia se puede poner como el producto escalar de ¯_∇ por ¯F :

div ¯F = ¯_{∇ • ¯}F (4.9)

4.2.3.

Paso 3. Teorema de la divergencia

Sea un volumen finito V limitado por una superficie S. Dividamos el volumen en peque˜nos cubos elementales. Fijemos la atenci´on sobre uno de esos peque˜nos cubos, uno de los que se encuentran en el interior de V . Al igual que hemos hecho en el paso anterior, podemos calcular el flujo a trav´es de las caras de ese peque˜no cubo, y calcular la divergencia en el punto l´ımite al que se reduce el cubo a medida que su arista tiende a cero. Luego, podr´ıamos sumar la divergencia para todos los peque˜nos cubos del volumen. Ahora bien, como los cubos son adyacentes, cada cara es compartida por dos de ellos. El valor del campo ¯F en una cara es el mismo tanto si consideramos que esa cara pertenece a un cubo como si consideramos que pertenece al cubo de al lado. Pero las normales son opuestas, seg´un que la cara se considere perteneciente a un cubo o a otro. En consecuencia, los flujos se compensan. Si sumamos las divergencias de todos los cubos interiores a V , esa suma ser´a nula.

S´olo quedan por considerar los cubos una de cuyas caras es de hecho un elemento de la superficie exterior S, tal como se muestra en la Figura 3.

El flujo a trav´es de todas las caras est´a compensado, excepto el flujo a trav´es de la cara que es un elemento de la superficie S. Por tanto, el flujo total a trav´es de todas las caras de todos los cubos en que se divide el volumen queda reducido al flujo a trav´es de la superficie S. En otras palabras:

Φ = Z V( ¯∇ • ¯F )dV = Z S ¯ F • ¯dS (4.10)

dS

4.2. La difracci´on en 9 pasos sencillos 39

4.2.4.

Paso 4. Definici´

on de gradiente

Dada una funci´on escalar que asigna un valor f (x, y, z) a cada punto del espacio (x, y, z), se define el gradiente de f en el punto (x, y, z) como el vector de componentes: ¯ ∇f = ∂f_∂x,∂f ∂y, ∂f ∂z ! (4.11) La divergencia es un escalar. El gradiente es un vector. Consideremos el caso particular en que el campo vectorial ¯F se escribe como el producto de una funci´on escalar ϕ por un campo ¯U y calculemos su divergencia:

¯ ∇ • ¯F = _{∇ • (ϕ ¯}¯ U) = ∂ ∂x(ϕUx) + ∂ ∂y(ϕUy) + ∂ ∂z(ϕUz) = ∂ϕ ∂xUx+ ϕ ∂Ux ∂x +∂ϕ ∂yUy + ϕ ∂Uy ∂y +∂ϕ ∂zUz + ϕ ∂Uz ∂z = ( ¯_{∇ϕ) • ¯}U + ϕ( ¯_{∇ • ¯}U ) (4.12)

4.2.5.

Paso 5. Una aplicaci´

on del resultado anterior

Respecto al resultado obtenido en el paso anterior, veamos qu´e ocurre cuando ¯U = ¯_{∇ψ, es decir, cuando el campo vectorial ¯}U es el gradiente de cierta funci´on escalar ψ, puesto que sabemos que el gradiente de ψ en cada punto es un vector.

¯

∇ • (ϕ ¯∇ψ) = ( ¯∇ϕ) • ( ¯∇ψ) + ϕ( ¯∇ • ( ¯∇ψ)) (4.13) Al operador ¯_{∇• ¯∇ se le llama ((laplaciano)), se representa como ¯∇}2 _{y como}

es f´acil ver ¯ ∇2 = ∂ 2 ∂x2, ∂2 ∂y2, ∂2 ∂z2 ! (4.14)

40 4. Difracci´on

4.2.6.

Paso 6. Identidad de Green

Consideremos los campos vectoriales ϕ ¯_{∇ψ y ψ ¯∇ϕ. Aplicando a ambos el} teorema de la divergencia y restando uno del otro queda la que se conoce como ((identidad de Green)):

Z V[ϕ ¯∇ 2 ψ − ψ ¯∇2ϕ]dV = Z S[ϕ( ¯∇ψ) − ψ( ¯∇ϕ)]dS (4.15)

4.2.7.

Paso 7. Ecuaci´

on de ondas

Hasta ahora, nos hemos limitado a introducir algunas definiciones y de-ducir algunos resultados. El contenido de estos resultados es matem´atico, no f´ısico. En este momento, introducimos por primera vez una hip´otesis de na-turaleza f´ısica. A partir de los experimentos con que comenzamos el cap´ıtulo, vimos la plausibilidad de que la luz constituya una perturbaci´on ondulatoria. Si la luz es una onda, satisfar´a la ecuaci´on de ondas. Ignoramos cual es la naturaleza de esa perturbaci´on, pero como al observar la imagen en la pan-talla apreciamos distintos valores de intensidad en cada punto (es decir, un valor escalar), supondremos que esa perturbaci´on es de naturaleza escalar 1_.

Si imponemos sobre las funciones escalares ϕ y ψ el que satisfagan la ecuaci´on de ondas: ¯ ∇2ψ = 1 c2 ∂2_ψ ∂t2 (4.16) ¯ ∇2ϕ = 1 c2 ∂2_ϕ ∂t2 (4.17)

comprobamos c´omo el primer t´ermino de la identidad de Green se hace nulo. En efecto, si ϕ y ψ tienen una dependencia temporal de la forma cos ωt, por sustituci´on y c´alculo directo se comprueba que esto es as´ı. Por tanto, la integral de superficie es nula:

Z

S[ϕ( ¯∇ψ) − ψ( ¯∇ϕ)] ¯dS = 0 (4.18)

4.2.8.

Paso 8. Teorema integral de Kirchoff

Una fuente luminosa, como la llama de una vela, esparce su luz en todas direcciones, salvo por los obst´aculos que pudiese haber. Es natural entonces

1_{Por este motivo, a la teor´ıa que estamos exponiendo se la llama teor´ıa escalar. En}

realidad, s´ı sabemos que la luz es una onda electromagn´etica, pero como este dato no es necesario para el desarrollo de la presente teor´ıa, podemos fingir que lo desconocemos.

4.2. La difracci´on en 9 pasos sencillos 41 pensar que la perturbaci´on luminosa tiene forma de onda esf´erica. Escriba-mos:

ϕ = ϕ0

r cos(kr − ωt) (4.19)

y calculemos la integral de superficie sobre una superficie tal que contiene al origen P . Pero, puesto que en P ϕ no est´a definida, tomaremos como volumen aquel delimitado por una superficie exterior S1 y una superficie

interior S2 de radio ρ que contiene al punto P , como se ve en la Figura 4.

Adem´as, obs´ervese que la normal a S1 est´a dirigida en el sentido de los r

crecientes, mientras que la normal a S2 est´a dirigida hacia el punto r = 0.

.P ρ S 1 S 2 Figura 4

Ahora bien, si recordamos los experimentos citados al principio de este cap´ıtulo, habl´abamos de la formaci´on de patrones luminosos sobre la pantalla cuando la luz atraviesa orificios peque˜nos. Hemos de resaltar ahora que estos patrones son est´aticos: ni cambia su figura ni ´esta muestra variaci´on alguna con el tiempo. Pero hemos usado ya en el paso 7 la ecuaci´on de ondas, que supone una dependencia temporal. Por tanto, se requiere una explicaci´on. Y ´esta es que la frecuencia temporal de la perturbaci´on es tan grande que lo que percibimos por el ojo o mediante una placa fotogr´afica es alg´un tipo de promedio, y ese promedio podemos incluirlo en la constante ϕ0. Recordemos

que tratamos de explicar aquello que vemos, no aquello que en realidad su-cede, pues, de hecho, aunque hemos postulado que la luz es alg´un tipo de perturbaci´on ondulatoria no necesitamos conocer de qu´e naturaleza es esta perturbaci´on. Podr´ıamos sumar a este otros argumentos, tanto f´ısicos (cal-culamos la integral de superficie en un instante dado que podemos tomar como t = 0) como matem´aticos (podemos escribir la onda usando notaci´on

42 4. Difracci´on

exponencial como producto de dos factores: uno dependiente y otro indepen-diente del tiempo) para despreocuparnos de la parte temporal y efectuar los c´alculos siguientes s´olo sobre la parte espacial:

ϕ = ϕ0

r cos kr (4.20)

Consideremos la integral sobre S2. Un elemento de superficie se representa

mediante un vector de m´odulo dS2 y direcci´on y sentido determinados por la

normal ˆn: ¯dS2 = dS2n. En cuando al m´odulo, si dΩ es el elemento de ´anguloˆ

s´olido subtendido por dS2 seg´un se ve desde P , tenemos que

dS2 = ρ2dΩ (4.21)

En cuanto a la normal, en el punto (x, y, z) perteneciente a la superficie de la esfera es ˆ n = ₋x ρ, − y ρ, − z ρ ! (4.22) En cuanto al gradiente que aparece en el integrando, siendo el gradiente de una funci´on escalar que depende del m´odulo r, es claro que, para cualquier funci´on f (r) que depende s´olo de r ser´a

∂f ∂x = ∂f ∂r ∂r ∂x (4.23) al tiempo que ∂r ∂x = x r (4.24)

con an´alogas relaciones para y y z. Efectuando las operaciones y tomando el l´ımite cuando ρ → 0, sobrevive s´olo ψ(P ), y la integraci´on a toda la esfera da un factor 4π, de manera que, finalmente:

ψ(P ) = 1 4π Z S1 1 r cos kr ¯∇ψ − ψ ¯∇ 1 rcos kr  ¯ dS1 (4.25)

Esta es la expresi´on del conocido como ((teorema integral de Kirchoff)), que viene a decirnos que el valor de ψ en el punto P se puede obtener a trav´es de una integral sobre una superficie que encierre al punto P .

4.2. La difracci´on en 9 pasos sencillos 43 P S F r n ^ r’ Figura 5

4.2.9.

Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel

Llegados a este punto, podemos conjugar los resultados matem´aticos con los experimentales. En relaci´on a la Figura 5, si F es una fuente de luz y P un punto de la pantalla donde deseamos calcular la perturbaci´on luminosa, sabemos, del paso anterior, que el valor de dicha perturbaci´on en P se puede encontrar a trav´es de una superficie que encierre a ese punto. Elijamos esa superficie de tal manera que el orificio S sea parte de ella, y de forma tambi´en que la perturbaci´on en cualquier otro punto de la superficie que encierra a P y que no pertenece al orificio, es nula. Puesto que esta superficie es arbitraria, siempre podemos hacerla tan alejada del punto P como sea preciso para que se cumplan estas condiciones.

Por lo tanto, la integral que aparece en el ((teorema integral de Kirchoff)) se limita a la superficie de la abertura S. Lo que haremos ahora no ser´a m´as que escribir dicha integral en el caso particular cuya geometr´ıa hemos reflejado en la Figura 5.

Como hemos visto, dada una funci´on escalar f (r), su gradiente es ¯ ∇f = ∂f_∂rrˆ (4.26) as´ı que cos kr r ∇ψ =¯ " −kcos kr_r sen kr ′ r′ − cos kr r cos kr′ r′2 # ˆ r′ (4.27) y

44 4. Difracci´on ψ ¯_∇ cos kr r ! = " −ksen kr_r cos kr ′ r′ − cos kr′ r′ cos kr r2 # ˆ r (4.28)

Ahora bien, k = 2π/λ, y como la longitud de onda es mucho menor que r y r′

, se tiene que λrr′

<< r′

r2 _{y que λrr}′

<< rr′2. Por tanto, el segundo t´ermino de cada corchete puede despreciarse al compararlo con el primero. La integral queda entonces

ψP = kψ0 4π Z S " sen kr cos kr′ rr′ r −ˆ cos kr sen kr′ rr′ rˆ ′ # ¯ dS (4.29) y como ¯dS = ˆndS, finalmente ψP = kψ0 4π Z S " sen kr cos kr′ rr′ cos(ˆn, ˆr) − cos kr sen kr′ rr′ cos(ˆn, ˆr ′ ) # dS (4.30)

4.3.

C´

alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel

La integral de Kirchoff-Fresnel puede calcularse anal´ıticamente en una serie de casos sencillos, pero ilustrativos. En general sin embargo hay que acudir a simplificaciones adicionales. Por ejemplo, si la fuente se encuentra a una distancia muy grande de la abertura en comparaci´on con las dimensiones de ´esta, es posible tomar como constante esta distancia para todo punto de dicha abertura.

Nuestro planteamiento aqu´ı no es el c´alculo anal´ıtico que como decimos es factible s´olo en un n´umero reducido de casos, si bien son casos signi-ficativos. Lo que pretendemos es desarrollar un programa que proporcione directamente la imagen que aparece sobre la pantalla. Tendremos en cuenta los siguientes elementos:

4.3.1.

La pantalla

Representaremos la pantalla como una matriz de puntos. Para cada pun-to, calcularemos la integral de Kirchoff-Fresnel. Normalizaremos los valores obtenidos al intervalo [0,255] y guardaremos estos valores en un formato gr´afi-co. Cada punto vendr´a representado pues por un valor (que truncaremos o aproximaremos al entero de 8 bits m´as pr´oximo) y el conjunto de todos los puntos, la matriz que representa la imagen, la almacenaremos en un formato gr´afico que pueda despu´es visualizarse con ayuda de una computadora. Una matriz de 300 × 300 puntos parece suficiente. En cuanto a las unidades, pues-to que en un experimenpues-to t´ıpico la abertura tiene dimensiones del orden de la

4.3. C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 45

x

y

z

Abertura

Fuente luminosa

Pantalla

fracci´on de mil´ımetro, la figura de difracci´on es del orden de mil´ımetros y las distancias entre la fuente y la abertura y entre ´esta y la pantalla est´a entre mil´ımetros y cent´ımetros (1 metro ya puede considerarse el infinito), parece sensato tomar el mil´ımetro como unidad de medida. As´ı pues, por lo que respecta a la pantalla, ser´a preciso especificar sus dimensiones y la distancia a la abertura. En cuanto a su forma, lo m´as simple es que sea cuadrada y que su centro coincida con el origen. El programa deber´a tomar sus dimensiones y calcular, para cada punto de la matriz imagen de 300×300 las coordenadas correspondientes dentro del cuadrado de las dimensiones que se especifiquen.

4.3.2.

La abertura

El c´aculo de la integral sobre la abertura es obviamente dependiente de la forma concreta de dicha abertura. Por este motivo todos los detalles al respecto quedan relegados al c´odigo fuente. La geometr´ıa del problema se representa en la Figura 6.

46 4. Difracci´on

4.3.3.

M´

etodo de Montecarlo

El nombre ((M´etodo de Montecarlo)) se usa para denominar una familia de m´etodos. Nosotros nos referiremos a ´el en el contexto del c´alculo de integrales de superficie. En general, los m´etodos de Montecarlo para integrales m´ultiples no son ventajosos para integraci´on en una dimensi´on, y van torn´andose m´as y m´as apropiados cuando el n´umero de dimensiones se eleva. Todos estos m´etodos tienen en com´un que est´an basados en la generaci´on de n´umeros aleatorios. C´omo pueden ser los n´umeros aleatorios ´utiles en el c´alculo de integrales es algo que puede verse de forma sencilla tomando como ejemplo la integraci´on de una funci´on f (x) en un intervalo [a, b]. Si ˜f es el valor medio de la funci´on en ese intervalo, es claro que el ´area encerrada bajo la curva en el intervalo es igual a (b − a) ˜f . Por tanto, s´olo es preciso calcular esta media, que se puede aproximar generando N n´umeros aleatorios xi en el intervalo

[a, b] y tomando ˜ f = 1 N X i f (xi) (4.31)

La generalizaci´on a dos dimensiones es obvia. Si f (x, y) es una funci´on cuya integral quiere calcularse en el rect´angulo a <= x <= b y c <= y <= d, el volumen bajo la superficie f (x, y) en el rect´angulo dado es

V =

Z b

a

Z d

c f (x, y)dxdy = (b − a)(d − c) ˜f (4.32)

donde ˜f es la ((altura media)) de f(x, y) en el rect´angulo que puede esti-marse generando un n´umero grande de parejas (xi, yi) y calculando

˜ f = 1 N X i f (xi, yi) (4.33)

En la Figura 7 se representan algunos de los puntos de la abertura y uno de los puntos de la imagen. El c´alculo num´erico con un computador consta esencialmente de un bucle que recorre todos los puntos de la matriz imagen. Calcula las coordenadas de pantalla y genera un n´umero grande de puntos pertenecientes a la abertura, efectuando la suma. Puesto que no nos interesan m´as que las intensidades relativas en la imagen, podemos prescindir de las constantes que aparecen fuera de la integral. En la Figura 8 se representan los vectores auxiliares ¯U, ¯V y ¯W . El primero indica un punto sobre la pantalla. El segundo, un punto sobre la abertura. El tercero, la fuente de luz. De acuerdo con la figura, ¯r = ¯_{V − ¯}U y ¯r′

= ¯_{V − ¯}W

Este marco te´orico y la geometr´ıa para el c´aculo permite evitar los en-gorrosos detalles anal´ıticos de la integral de Kirchoff-Frenel que aparecen al

4.3. C´alculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 47

r

r

r

x

y

z

r

r

_r

’

’

_’

U

V

r

r’

_x

y

z

W

48 4. Difracci´on

Figura 9

tratar con aberturas incluso sencillas, y allana el camino para calcular di-cha integral num´ericamente. No llevaremos m´as lejos la discusi´on sino que, en lugar de pasar efectivamente al c´alculo o a la resoluci´on num´erica seg´un el marco expuesto, terminamos este tema con las im´agenes de difracci´on de algunas aberturas t´ıpicas. La Figura 9 es la difracci´on por una abertura cir-cular. La Figura 10, por una abertura cuadrada.