Calcular lim(— 4 + + )Rpta - Sucesiones y series infinitas

"“** 1.2 2.3 z».(/i +l) 40) Calcular hm —¡— + —-— + —í— + ... + -

«->*1.2.3 2.3.4 3.4.5

n(n+])(n+2)

82 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os S T \ „ . , sen (e ")sen(<? 2" )\ n (n 43 n2 - 2 n - 4 )

U y Calcular hm--- ¡--- r--- sen(--- )sen(--- — )ln (/j4-4/?3)

1+ 2e" 2 + e

©

Calcular lim [>/ñ + l - V^+T ]'/" © Calcular lim —

//-»x w->x

(i +/¡)4"

(JV)"

k=i -a" +c ” ■

44) Calcular lim[--- ]. a, c > 0 (45) lim

v / //—>X 2^ //—> X sj n~ + \ — n + \ lim \Z2/i1' + 5 ;/ ’ +1 —>/2//* - 3n + 5// »->00

®

lim^/«2+ pn + q - n/h2 n—±rf: •2 +rn + s

V. Calcular los siguientes límites aplicando los criterios que les corresponde.

(7)

l im — + —+ —+ R Pta: 1 «->■» « 3 4 5 n + 2 1 i 1 1 Ü i

(

)

lim — ( 22+ 2 4+2 8+... +2 r ) /í—>0c S» ' n-»oo 5« I 3 7 -2"-l R p , a : | ( 3 ) l¡m —= 2 = ^ ( 5 ! + 5 3 + 5 5 +... + 5 > ) R p . a : -

»->x\J\-21rr1'n(9'¡)

35 3

®

limsen(í ~ 2;rcos —)(— - + -—- + 2 \ t ln2 ln 3 — ln(/¡) ^ —) QnlQ. nKpta.

„_>* v m ln3 ln4 ln(« + l) @ lim J — Rp ta :3 « - > * \3 /3 +2// + 1 6 1 2 6 /1 Su ce sio ne s ₈₃ © lim »/5ii( — ) w »-»-V ln7 ln 14 ln7/j //—>x 9/7 _ 1 Rpta: I 9 „> .. 1+ V2 + i f i + ... + yfñ 8J li m --- Rpta: 1 Rpta: 40 . 2 5 10 i r +_I í o ) l im — ( 34 + 37 + 3 12+...+ 3,,:+3) Rpta: — « - > x 7 w 7 © «-»x YHm 8 23 5«"+ 1 ' R Pta : ~ 5

VI. Calcular los límites siguientes:

®

.. 1+ 2V 2+3 V3 +.. , + n \f ñ 2

i“ --- 7X—

Rp,a: ?

( T ) lim ( — — r + — ! — + „' + — — _ ) R pta: I

w »-»»(// +1) (/í +2)

(// +/1)2

2

84 Ed ua rd o Es pi no za Ra mo s © Ji m( . I - R p t a : O »->» n (« +1) (21 1 ) Q I + Rp(a: 1 ( 2 ^ 2 - ! ) /»—>x Af 3 ( 7) l im ( . 1 - - i- L = + . .. + ,— L ^ r) R pt a:ln(l + V2) "■** V«2+1 V«2+22 \ln2+ n2 / m n n \ n _ arctg.v ¿ ) 'irn ( ■ > , ■> ■> + ~ — 7? r + ••• "l í r r ) x * 0 R pt a: n-»=c w +1 jt n ' + 2 ' x n ' + n x A //—>X

®

l 7C 2n nn „ . 1

hm « sen-— .sen — ...sen— Rpta: —

■-

2n 2n

2«

2

11 ( í o ) l i m - ^ y 1 P e /’ "' R pt a: n—>f- y\~

P=\

- |_ _ 4_ j j

®

l im — (e +2 e 1,2 +... + n.e~') Rpta: - ( l — ) ,,->r.n2 2 e Ir 71 ■)71 27 T i 271 ti - 1 2H - \

lim —Isen —.eos" —+ sen — eos" ---K.. + sen--- ;r.cos ---

/(->* n n n n n n n

Rpta: ——

3,71

(Í3) lim —

'yj(n

+ 1)(/í +

2)(/j

+ 3)...(n + «) Rpta: —

«-»30n e 1 1 / ^ 'n( ” ) ln( ,?) 14) Um I [ - S + - 7- Í - + ... + - r M «->* n / 1 i 2 , n n v n V 1 1 Su ce si on es 85 . . . 1+ 2" +3" +... + «* 1 15) lim --- Rpta: --- ^ »-»« na+' a + 1 _ 1 1 a 16 ) l i m s e n ( - ^ - ) ( e " + e " +... + e ") Rpta: /r íl- íT 1) //—>x n+1 . . .

^ 7) Si f(x ) es continua en [a,b]. Demostrar que: li m —— f \ a + k ———) = í f ( x ) d x »->w n n JL

*=1

18) Demostrar que: lim —(sen —+ sen — + ... + sen ——- /) = -* C° SÍ

»-+* /; u n n i ,,

[~i

7

1

Rpta. — \ a~ —1+ — aresen — 2a 2 a 3 3 3 2 0 ) C al cu la r l i m [— — r + —~ — - + ... + — — r ] ^ »-**'V + l 4 1 1 + 2 1 1 +'//

16

Rpta. ln(3 + 2 ^ 2 ) (2 l) Calcular el límite siguiente:

lim em "sen(e~ WÜ")s en(— ^---)[(I+ -)2 + (1 + - ) 2 +... + (1 + -)" ]

»->* 5/7 - 6 1 2 /? © Calcular lim — [71 + V ? +... + 2\/22"'' ]

8 6 E du ar do Es pin oz a Ra m os VII. (23) Calcular lim [l/' + 2 P + ... + n /’][t g—]7' n ,tc ^ , 2 n n 2 k ( n 7l \ í n n \

@

w - s e n ( - ) ( — ) se n — ( — ' sen( ) . Calcular lim £ [ » + --- "- + ... + - * ---* - ] «-»*. n „ ? 2/r 2 nn l + c o s ~ - 1+ c os “ — l +c o s A7 a ,¡m R p t,. I w->x Al V«

@

lim -^ (3 « + l)(3n + 2)...4n Rp*a- H->X /J 256 27 e (27) lim —[(a + — )3+ ( a + — )3+ ...+ (a- ¿—)3] Rpta. a +

^ >x 77 /j n H

(28) Calcular el límite de la sucesión {an definida como:

n + 1

n + 2 2 n

línta 2.

a + ... + - T —

RPta-

«• +1

n +2 n + n

Determinar si las sucesiones dadas son convergentes ó divergentes.

©

RPta:

Converge.

n~

_{v-' n}

{— }„>, Rp»a: Diverëe-

©

RPta:

Converge.

( 4) {_ ^ _ sen— }„>, Rpta: Diverge.

v-y n+1

2

Su ce sio ne s ₈₇

©

2"+10'

1A6ín>i Rpta : Diverge.

n+1

1 J 1 1 sen(e"?r),

2 ) l---

n+1

---}«>i Rpta: Converge.

( íü ) { J e "^x}n>\ Rpta: Converge. ^ { Í ^ L l Rpta: Converge.

( Í2) {>/"(" + 4) -«}„ >| Rpta: Converge. © { J 1”, r——j-}/,ai Rp ta: Con ver ge.

*

^ 4 ) { V « + \f ñ - y j n - y / ñ }„sl Rpta: Converge.

®

cV«2+ 5 w - l - V « 2+ 3> .. „ i--- ¡7=;--- i«>i Rpta: Converge.

88 Ed ua rd o Es pi no za Ra mo s

¡í> V«+v«

{—+T +- +T/nai

_{n~ n} n. \ n~

¿O) I1.3.5

(2/7 —1) \

~in>l VIH. A. Demostrar que: B. ( T ) l im — =0 — «-»0«! ( ? ) lim a" =0 si0 < a <1 // —>cc (? ) lim =0 «—>x(2/j)!

© (

ln(2_3n + e ’} n>l (T ) lim yfñ =1 //~»x © , im (10- ° 00 )" =0 //~->x /7 ¡ ( ó )

_{w «-»x(«!)}

lim M - =0 ( 9 ) lim '<Ja" +b" +c" = c , si a, b, e > 0, c > a, c > b n —>x ( Í J ) | im » ( « - ' X ‘| - 2) - ( " - ”*-v’.'. = o S i x 6 < . l . l >

Hallar el límite de las sucesiones siguientes cuyo n-ésimo término es:

₆

... ^ Rpta: b Su ce sio ne s 3 9 ,0 \ U t r + n 2 + \ - U n 5 + >i A+ \ 2 \ 2 ) a n = —= = = = = ---== == == =- Rpta: —

'Jn2+n+\-yfiiA+ir+\

^

® ..-V/?"+/?+1 —yjn^+4n~+1

Rpta: —~

6 © 1 , 0 . 1 , 0 .0 1 , 0 . 0 0 1 , .. . R pt a: 0 ® Í . r i . o i ’ í .o o i ’ T.0001’ Rp ta:1 ( ¿ ) V 2 , \¡2 + s[ l, \¡2 + V2 + \Í2 Rpta: 2 © 0 . 2 , 0 . 2 3 ,0 . 2 3 3 , 0 . 2 3 3 3 ,. .. R pt a: — 30

©

Rpta: i

®

r/r 3sen«!,

—«Tí—

Rpta: °

C. Si an> 0 y lim , entonces: limufa^ = L . Calcule los siguientes

n - * a o d n n —>x

Ed ua rdo Es pi no za Ra m os © l i m * R|” a :1 M-4X r i ) iim í ¡ / 7 ^ 7 R pta : 1

^

/Í->X © lim - 4 L R', ,a : ° y n"

Determinar si cada sucesión dada es creciente, decreciente ó no monótona.

© (Au,

Rp,a; Creciente

®

í | Rpta: Creciente

W - “

®

f(n + l) 2-i Rpta: Decreciente ^----(n>\ n

®

( n" >

n\

Rpta: Creciente 4 " i Rpta:Creciente 5" i Rpt a: Decr eciente --- «21 % n ! ( Rpt a: Crecient e 3"

®

frt3- h Rpta: Creciente

I— l*

Su ce sio ne s ₉₁ X.

Qo) {costztj}í(>j Rpta: No Monótona

{sen^7í}„>| Rpta: No monótona

®

Rpta: Decreciente (13) {--- “ }„>i Rpta: Creciente

w 2"+100

®

í1.3.5...(2m-1)1

\ ---^ —j---/„ >i Rpta: Decreciente ® i ) } « > l R Pt a: D ec re ci en te 16) {ln (-— )}„>i Rpta: Decreciente

w ,,-» x

2 2''

a

®

„ . . .. l/>+ 2/ +3 ; +... + // P + l 1

Caleular lim--- --- Rpta: —

«-»* n n 2

©

Calcular lim (1 + _v)(l + jc2)(1 + jc4)...(1 + Jc2”) si |x | <1 Rpta:

n —k -r _{\ ~ x}

92 Ed Ed uaua rdrd o o EsEs pipi nono za za RaRa mm osos

©

(« (« + + !)" !)" n n . . />/>++ll Hallar lim

Hallar lim --- --- !!--- — — RpRp ta:ta: ee »»->->??. n(n - . n(n - \)(n - \)(n - 2)...(n - 2)...(n - p + \)(n - p + \)(n - p)p)

© Sea Sea m m e R e R .arbitrar.arbitrario, io, si si la la sucesión sucesión {S,{S,, , ("'("')},,)},,>,> >,> esta esta definido pordefinido por 55 (m) = V"+2'"+...+n"'.(m) = V"+2'"+...+n"'. Calcular Calcular lim 5lim 5 «(/w «(/w + + l)l)

iiii —>—>oooo nS„(m)nS„(m) 11 „ „ l + m l + m nn „„ 11-- '' »» Rpta: Rpta: Si m Si m = = 0,0, S S == -- ,, s i s i mm > 0> 0 ,, S S == -- —— , , ssi i m m < < 00,, S S == --- K K 22 2 2 ++ m m 2 2 - m- m ©

yy VV - A- A - + - + !!))((* * ++ 2 2)) expresión.

expresión. A A = [= [ — — --- ]"" ]"" sea finito sea finito y y determina el determina el valorvalor

Án2 Án2 (n(n + + 1 1))

11 ' ' __ 11

de u u parpara a que que valga valga e, e, se se supone supone . . finitfinito. o. Rpta: a Rpta: a - - ^^ n n -- ^^

©

Hallar Hallar limlim a,, a,, siendo siendo a, a, = = 1, 1, a-a-, , = = 2, a2, a33= 3,= 3, a4 a4 ==4. 4. Sabiendo Sabiendo queque

n - » x n - » x

4a„=

a „ - 1a „ - 1++

anan

-- 22 ++ 33 + f l i + f l i>> -4-4’ ’ n > 4n > 4 RR P t 3 :P t 3 : 33

10)

10) Determinar Determinar el el númeronúmero aa de de manera manera quque:e: lim

lim 'yja^n'"'yja^n'" + w+ w22 +1+1++ ' ^ ( a - 2' ^ ( a - 2 ) n m + n + ) n m + n + \\ , , sea finito (m impar sea finito (m impar m >m > 11) ) yy

/ 7 - » X / 7 - » X

calcular dicho límite para los distintos valores de calcular dicho límite para los distintos valores de m.m.

Rpta:

Rpta: a = 1, ^ a = 1, ^ si si m m = 3 = 3 y sy si m = 5, 7i m = 5, 7 _

_■■>> a a -- i i aa 22 aa

sen

sen aa + + 22" " sen sen — — + + 33" " sen sen —+ —+ ... . + + //JJ sensen — — aa (ÍT

(ÍT ) Ca) Ca lcular limlcular lim --- --- - - ~ ~ RptRpta: a: -- V

V ' ' v v AA?—?—>X >X 17“17“ --

Su cece siosio nene ss ₉₃₉₃

( ñ

( ñ ) ) P rP roobbaar r q uq ue e lla a s us uc ec es is ió n ó n ^^ 33 , ^, ^ / 3/ 3 , ^, ^ 3 ^3 ^ WW , . . . , . . . c oc on vn ve re rg e g e a a V 5V 5 ( j 3 )

( j 3 ) H aH alll al ar r eel l llí mí mi ti te e d e d e lla a ssu cu ce se si ói ón , n , a , , a , , a 2 , a 2 , a 3 ,a 3 , .. .. .. ee n n lla a q uq ue e ccaaddaa término

término es medes media ia aritmétaritmética ica de de las las dos dos que que preceden. preceden. Rpta:Rpta:

aa, , +2a2+2a2

gg ) ) HaHallllar lar limim

-l-l(2 +~(2 +~++ll- - ++... . ++^±lL)^±lL)

Rpta: Rpta: £ £ (Sug. (Sug. Stolz-Stolz-Cesaro)Cesaro)

> i i

i

> i i

i

gg ) ) H aH alll al ar r l il im ( « m ( « + + l ) “l ) “22 ( l Í ( l Í + + ^^ Í Í + + ll Í Í + + . .. .. . + + JJ í Lí L ) ) R pR pt at a:: 22 «-+* «-+* 2 2 3 3 44 n + \n + \

SS

u u „ „ .. .. 1+ 1+ 2222++ 3333+... + +... + «"«" Hallar lim

Hallar lim--- - --- --- RpRp ta: ta: jj

/// / ——►►XX r r

Calcular lim

Calcular lim J J __ "" --- ---, , siendo positivo todos los siendo positivo todos los términos términos de lade la

!¡/at.a2..xin !¡/at.a2..xin sucesión

sucesión y y sabiendo sabiendo que que limlim ++ ** ==

"->x

Rpta:

Rpta: \fk \fk (Sug. Stolz-Cesaro) (Sug. Stolz-Cesaro) (Í

(Í88) ) HallaHallar r lim lim Rpta; Rpta; , , (S (S stolz-Cesarstolz-Cesar o)o)

/»->X

/»->X yj yj " " ,,

/»- /»-►►XX

(19)

(19) CalcCalcular ular lim lim - - Rpta: Rpta: 11 (Sug. (Sug. STIRLSTIRLING)ING) ^

^ /i/i->->x x lnln(w(w!)!) ¡20)

94 Ed Ed uaua rdrd o o EsEs pipi nono za za RaRa mm osos (21)

(21) HaHallllar ar lim''/lim''/(l (l + + ——)')' (l(l ++ ——)) '('( l+l+ ——)'. ..(l+)'. ..(l+ ——)')' v—

v— n->«.n->«. y y n n n n nnnn Rpta:

Rpta: (—(—)' )' (Sug. Fórmula de ST1(Sug. Fórmula de ST1RL1NG)RL1NG) ee

(22

(22 ) ) DemostraDemostrar r queque: : limlim--- — —— — --- — — ———— --- = = — — (llama(llama do la fórmulado la fórmula «-*<*>

«-*<*>1.3.3.5.5....(2«-1)(2«-1) 1.3.3.5.5....(2«-1)(2«-1) 22 de WALLIS)

de WALLIS) [23)

[23) Aplicando la fóAplicando la fórmula rmula de Wallis, calcde Wallis, calcularular , 1.2.4.6...(2n) , 1.2.4.6...(2n) r r a) a) lim lim ---== «->« «.1..3.5...(2«-1) «->« «.1..3.5...(2«-1) „ „ 1.2.41.2.4.6...(.6...(2w2)2w2) fz fz b b ) ) lili mm ---r r ---=---= \¡\¡ X X h.1..3.5...(2w - h.1..3.5...(2w - 11)) 22 -- aa... nil una nil una ^

^44) ) CalcCalcular ular limlim — — --- r-.ln(r-.ln(---^^ - y- y ) ) s is ie ne nd o d o { a ,{ a ,, }, }

«->

«->x ln(i + x ln(i + tg-tg- (a(a „))„)) 22 - - a„ - aa„ - a sucesión infinitésima y, tal que:

sucesión infinitésima y, tal que: aa nn * * 0, 0, Vn Vn RptaRpta: : — —

©

Calcular limCalcular lim 22 (/(/77¡) ¡) RptRpta: a: —— (S(Suug. g. StStololz-z-CesCesararo)o) n-

n->c>co o (2w (2w + + l)! l)! 2v2v ;r;r

//''''""N N ■■ ¿¿>>qq+ 1 0 + 1 0 6 ; + 1 06 ; + 1 0 l26)

l26) Defínase una Defínase una sucesión 6 sucesión 6 , , tal tal queque:':' b0b0 = = 1, o1, o, = , = —————— .—.—,P,P„+„+i - i - rrrr ^

^ . . . . 22//))00 2bn2bn estudiar

estudiar la la sucesión, en caso sucesión, en caso de convergencia calcular de convergencia calcular limlim bnbn

/?->X /?->X

27) Demostrar la c

27) Demostrar la c onvergencia onvergencia de de la la sucesión sucesión {«„ {«„ }„}„>i >i dado pdado poror

11 77++

H--- + ... ++ ... + ---, n 6 Z, n 6 Z "" nn++ 11 n +n +22 n + nn + n

Su cece siosio nene ss ₉₅₉₅

(2 ^ ^ Sea Sea {«„}„>| {«„}„>| una una sucesión de números sucesión de números reales definidreales definida pora por aa \\ = = *’*’ a a 22 ~~ 22 ... ...a n - a n - - ■ "-l - ■ "-l para para n n > > 3 3 probar probar que que }„>, }„>, eses

convergente y

convergente y que que limlim anan = -= - «-»» «-»» 33

(2 ^ ^ Analizar lAnalizar la convergencia de a convergencia de la la sucesión y en sucesión y en caso de caso de converger, calculconverger, calcularar eel l lliimmiitte e dde e „ „ * * JJ EE ZZ ...jj ii ll íí íí LL

V

V a a ++1 1

VV ff l l + + 11

VV a a + + 11

que: ,v0, a, b son reales fijos, a >

que: ,v0, a, b son reales fijos, a > 00 yy00 < < xx00< < b.b. (30

(30 ) ) Si Si a, a, > > 0, 0, bi bi > > 0, 0, y y a, a, tí tí b, b, definimos adefinimos a22= = ..//>> ,, b2b2 = ^-( = ^-(00, + ¿>, + ¿>,),),, a «

a «++i = i = V « A " >V « A " > = = | ( « „ + * „| ( « „ + * „) •) • PPrroobbaar r qquuee:: a)

a) a 2 < b 2a 2 < b 2 b)b) a „ < b na „ < b n c) c) limlim anan = = lilim Zm Z>>„„

//// ——>x >x ««——»x>»x>

((3131) ) Si Si la la sucessuces ión ión {»„}„>, esta {»„}„>, esta definido definido por: //, por: //, =1=1 , , .. = = yjl yjl + u„+ u„ ¿u

¿u nn es monótona es monótona y acoty acotada? ada? si lo si lo es, calcular es, calcular limlim !/,,.!/,,.

nn — —>x>x

(32) Dada la sucesión

(32) Dada la sucesión {bn{bn }} ;¡;¡>>| | definida podefinida por: r: b, b, > 1> 1 yy bn+l= 2bn+l= 2 — — - - parapara

K

n >> 11, demostrar que, demostrar que {b{b nn , converge y luego calcular sus puntos de, converge y luego calcular sus puntos de convergencia.

convergencia. ©

Cl l 22n+n+22 ~~~~ jjddí—í— , dem, demosostrtrar ar quque {«„e {«„}„>}„>, , coconvenverge rge a a 4.4.

a 2 n + \ a 2 n + \

96 Ed Ed uaua rdrd o o EsEs pipi nono za za RaRa mm osos (3

(3 ^ ^ EstuEstudiar diar la la convergencia de convergencia de las las sucesionessucesiones

í í ) )

111 1

11 aa) ) KK//ttóói i >>

++- - ++^^

b

b) )

¿¿11==11.. bb22=i,=i,

¿¿33 = =|,|,

¿¿44==|| rr... . ==6"-16"-1++22b'b'rrl l

©

CalcCalculaular lir li mm lñlñ (-)(-) .ln.ln (l + (l + -- ) ) y dy diga iga si si es coes convergennvergente ó te ó divedivergentrgente.e. n-*

n-* 11 nnnn ($6)

($6) Demostrar Demostrar que que la la sucpsiónsucpsión y¡ y¡ 33, ^3\/3 , ^3^3 >/3 ,... converge, ^3\/3 , ^3^3 >/3 ,... converge ((33^ ^ EstuEstudiar diar la la convergencia de convergencia de la la sucesiónsucesión

((i)2+i>^

((i)2+i>^ ((& & J J

( &( & ++éé

-i

-i 33 (( 11 + + ))

Sea

Sea {7'„{7'„}„>]}„>] ununa sucesa sucesión tión tal al que 7que 7 j=j= 33 ,, T T nn ++ \ =\ = — — —— — —— ¿— ¿ TTnn eses i +

i + JnJn Monótona

Monótona y y acotadacotada?, va?, v erifique erifique que que limlim T„T„ = V3 . = V3 . nn——>cc>cc

««

((3939) Dada ) Dada la la sucesuce sión {i/(sión {i/(| | está está definida definida por //, por //, = = = = ••vv/5~+4i/„_|/5~+4i/„_| para

para n n > > 2. 2. Analizar si la suceAnalizar si la suce sión es msión es m onótona y onótona y acotada, de seracotada, de ser afirmativo, calcular lim

afirmativo, calcular lim u„ .u„ . ^

^ 0 0) ) Analizar sAnalizar si las siguientes sucesiones son monótonas y aci las siguientes sucesiones son monótonas y acotadas, sotadas, si lo soni lo son,, calcular el límite de cada una.

calcular el límite de cada una.

Su Su cece sisi onon eses

97 97 b)

b) S„ S„ -- 11, , i'i'nn++| | - —- — — — , , n n esestá tá en en Zo+.Zo+.

“

“++ 11 aa++ 11 CC77++ 11

donde ii

donde ii00,f,f ll,6,6 son reales fijos, tason reales fijos, tal quel que00 < < un <b, a >un <b, a >00.. d)

d) u, u, =1, =1, «« 22 == 2 2. - . « # ». - . « # » ®® - ( k w- ( k w_ 2 + m b _ i_ 2 + m b _ i) , ) , « >« > 3 .3 .

ee) ) c c ——JJ_ _ c c _ _ 1 , 1 , 11 c c 11 11 11

}}

WW

++-- VV ’’pp>>11--

Si TTaa = 1 = 1, r, r j+, = j+, = —— —— , , dodondnde: e: a > a > 0 p0 prorobabar r quque:e: 3

3 VV

aa) 7) 7; ; > > 00, , « « ee ZZ ++ bb) ) 77j j >> TT2 > T2 > Tyy ...> Tn...> Tn > > 0.0.

TTnn >>aa, ne, ne Z Z

dd) ) {{

T T

n}^>n}^> converge.converge. C

98 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

CAPÍTULO II

2 . S E R I E S I N F I N I T A S . -

2.1. DEFIN1C1ÓN.-

Sea una sucesión de números reales, entonces a la expresión: a { + a2 + ... + an +... se denomina serie infinita de números reales.

A una serie infinita: a, + a2 +... + an +... repre sentar emos por <z,, , es decir:

Donde a¡,a2,...,a„,..., se denomina (o llaman) términos de la serie y an es llamado el n-ésimo término de la serie. j Ejemplos.-

( l ) La serie infinita: - + - + - + ... + - ^ - + ..., es representada por:

w 2 3 4 n +1 X Z

n

1

n+1 2 »=1 1 2 3 n + —+ —+ +--- + ... 3 4 w+ 1

©

La serie infinita: 1+ - + - + - +

1 1 1

es representada por: 3 5 7 Se ri es In fi ni ta s 99 ■ a. v-.-x ■: •><> i ¿‘ sju > 1í /■

Z

_--- —

> , 1 1 1

₁_H---₁_---₁_---K.. 2n -1 3 5 7 «=1

®

. . . _ . , 1 . 3 1.3.5 1.3.5.7

La serie infinita: H--- i---1--- 1-..., cuyo n-esimo términos es:;

1.4 1.4 .7 1.4.7 . 1 0 a . y. 1.3.5 .7...(2« -1) . , i.3.5.7...(2/7 -1)

a = --- --- es representado por: > --- — 1.4.7.10...(3n —2) F P Z ^ 1.4 .7.] 0...( 3« -2 )

(■l) La serie infinita: —+ — 4---h---f — + ..., cuyo n-ésimo término es:

2 6 12 30 42

1 V 1 1

Wn ~ — ---. se representa por: > ---

n(n4-1) ‘ + 1) • - /.m il ¡?

OBSERVA CIÓN.- De la serie A to le r o s' reales

’jb'juq 38 ~ a t +a 2 +••>■.fomar eiiios jiina jpíuc esión

.»-i

}„>i definida de la siguiente forma:

Bíinílm m el ab omua aornaiemull leus I.,. Z = u?. mil = B$>

s \ = a\

S 7_{2 a \ ' 2}— a,+u-, _r~j/r

.nc.iua ab a sm a .uinagiavib «*j uv> ^ eJimini -mae eliZ

.S3=a, +a2+cij,

■ k! Z3-jnoin3.3t8Í/3 z - s>'¿ mil V¿ - ./ IÓ 1 3 A 7 3 1 3 8 8 0

x v\

‘ 83tsÍ3wp ^

S„ = a,+a 2 +... + an= ) a¡

10 0 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

A la sucesión se denomina sucesión de sumas parciales de la serie infinita , siendo Sn la n-ésima suma parcial de la serie.

n-\ 2 . 2 .

DEFINICIÓN.-

Consideremos una serie infinita y una sucesión de sumas parciales

t^B}B2l '

/l = l

Si el lim Sn = S existe, entonce s diremos que la serie infinita / , a"

/l-»X

W=1

convergente y converge a S.

Si la serie infinita , es convergente, se puede escribir así:

B= l

= lim S„ = 5 , al cual llamaremos suma de la serie infinita.

n n —>oc

/7=1

Si la serie infinita ^ a„ es divergente, carece de suma.

B=1

OBS ERV ACIÓ N.- Si lim = s existe, entonces la sucesión de las sum n-+ce

parciales {s„ }„>,, es convergente, esto es:

Una serie infinita es convergente <=> {s„}„>i es convergente. /í = l

Se ri es In fin it as ₁₀₁

*

Eje mp lo.- Hallar la suma de la serie infinita j

n(n + 1)

B = l

convergente.

Solución

El términos n-ésim o de la serie infinita N '---!---es - ¿~ín {n + l)

n=1

(descomponiendo a an en fracciones parciales), es decir: 1 A B

— i--- , efectuando operaciones se tiene: A

a„ =■ n(n + 1) n n + 1

1

Luego: an = w(n + l) n n+1

1

a, =1 — 2

1 1

a-, =--- 2 3

1 1

a-, =

---

3 i 4

1 1

"-2

_{_} _, n - 2 n - 1

1 1

an~I . «-1 n

1 1

a„ =--- n n+ 1 en caso de ser

1

a = ---

n(n+1)

10 2 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

sn= a i +a 2 + ... + a„ - 1- n+1

Por lo tanto: j„ = 1--- — y lim s„ = lim (1---' — ) = 1 existe, entonces: la n + 1 n->x n->=o n + 1

— !--- es convergente y su suma es igual a 1, es decir: n(n + l) serie X

I

_n-\ n~1

1

n(n +1)■=1

OB SER VA CIÓ N.- Otra manera de hallar la n-ésima suma parcial de una j serie infinita, es usando la regla telescópic a, es decir:

1 1 1 Como a = --- => a . = --- r» entonces: n(n(« +1) " n n +1 sn = a] + a2 + >h + n /=!

Z

(I — L ) = - V (--- ) = - ( / ( « ) - / ( O ) ) , d on de i ; + l Z-J J+ l l /=1 ¿=l

n + l lim s„ =1 existe, entonces:

Se ri es In fin ita s ₁₀₃

z

n=1

1

«(n + l) es convergente y su suma es igual a 1.

OC- z 11=1

1

n(n + l)- =1 OBSERVACION.-

Io A veces necesitamos que la serie infinita comi ence en el término n0 o en el a2 ó en algún otro término, si k >0 es entero, escribiremos:

En caso de que carezca de importancia, al índice que se le asigne al

• —

primer término, se acosti designar una serie infinita.

primer término, se acostumbra con frecuen cia escribir para 2° Puesto que lim (s„ - c) , c constante existe o lim s„ existe, se deduce

fl-*x «—>co

que podemos omitir un número finito de términos <entre los primero) de una serie infinita, sin que se afecta la convergencia o divergencia de la serie, por supuesto el valor de la suma si existe, quedara afectado.

PROPIEDADES.-

Si y an es convergente, entonces: lim an = 0

iwmmJ //-»X

II -]

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os Como la serie I - converge, la sucesión de sumas parciales {■$„}„>

«=i

converge, esto es: 3 lim s n = s , ( lim = s ) pero n->x n-t-r.

a„ —sn =>

lim

a. =

Jim(s„

- s n_x) = s - s = O; luego: fon a„ = O X

Si lim a„ * O, entonces la serie infinita y a„ es divergente.

M-»X ■ ^

(1=1

Demostración X

Suponiendo que es convergente => lim «„ = 0 (por la propiedad n-\

pero esto contradice a la hipótesis. Luego ^ ' a„ diverge. »=i

NO TA.- Esta propiedad es muy importante, pues permite, en algunos caso; determinar en forma inmediata la divergencia de una serie.

Ejem plo.- La serie infinita

_{I ;}

n-\

,? + \

+ 2 es divergente puesto que:

n +1

, „

lim ü„ = lim —r---=1* ü

«-»x »-»X.n + 2

Si gn y 2 ^ b „ son series convergen tes con sumas i, y v- n~I n=\

respectivamente y c e R. Entonces:

Se rie s I nf in ita s ₁₀₅

i) y ca n conv erge a c s , , es decir: ' ^ c a , , = c S ' a , ,

"=l «=i «=i

i¡) / , K + K ) converge a s, + s2es decir: j T (a„ + b„ ) = a„ + b„

"=l 1 «=i «=i

(a„ - ) converge a s, - s2 es decir: N («„ - b„ ) =

V

a „-

V

',=i «=l n=l n=l

Demostración

Demostraremos ii. puesto que i . , iii, serán similares.

' 5 ' S a n + h n )~ ( a ¡ + b¡ ) + (fl2+¿>2) + ... + («„ +b„ ) + ...

n= l

La n-ésima suma parcial de esta serie es:

+ ¿¿) - («i +¿>,) + (a2+b2) + ... + (an+ bn) k-\

= (í7, + a 2 +...+« „ ) + (¿! +b2+...+bn)

= sn + t , r donde: y son las n-ésima sumas parciales de:

X X

y respectivamente, luego

«=1 11=1

lim y (a A.+ b k ) - li m(.s„ + ¿ ) =5, + s-,, es decir:

>->x ¿ >x

A=l /;—>x

106

©

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os lim

// —>Xy ' (ííA. + ¿>A.) = s, + s2 existe, entonces: ^ (a„ + ) converge

A=l "=l

y'(all+bn) =s\+s2.

n=\

Si ^ a „ es divergente y c € R, entonces: 2 _ jC'a” es diver8ente •

„=1 n=\

Demostración Ejercicio para el lector.

X _ X ^ x^

Si ^ a„ es convergente y / b„ es divergente, entonces: / («„

_ i .,=1 n=I + ¿>„) es n=\ divergente. Demostración X

Suponiendo que ^ \ an+ ) es convergente. n=i

X X

Se rie s In fi ni ta s

107 Demostración

Como / ^an converge, sea s su suma, esto es: //=!

lim stl = í -o V f > 0,3 ,V > 0 / n > N => |s —si < £■.

En particular podem os considerar: ¡,vn - s | < ^ , p0r tanto, si R>N y T>N.

|-v* _ -s 7 '| = b ? - J + í - í r | ^ | s / f - i | + ¡ 5 - 5 r |

L u e g o = y ^ [ ( a „ + b „ ) - a „ ] seria convergente por 3iii., pero es una

n=l n=l

contradicción con la hipótesis por tanto: + bn) es divergente.

2.4 TEOREMA.-

Sea { s ¡ t } #(>I la suc esión de sumas pa rciales para una serie conv ergente

’ entonces: para cualquier £> 0, 3A í > 0 /| íR- ír |< £ ' siempM

V £ > 0 , 3 N > 0 / R , T > N = > \ s „ - j r |< *

12.5 SERIE S ESPEC IALES .-

a) SER IE AR M ÓN ICA .- La serie annónica es de la forma: V/ - =1 i1+ - + - + ... + —+ ...1 1 1

*n 2 3 n

n=l

n=i

que R > N, T >N.

La serie armónica es div ergente: En efecto 5 =1+ i + i + + i 2 3 n

1 1

1

s 2 1 1 -* + —+ —+ ... + —+--- + ... + — , entonces:

108 Ed uu rd o Es pi no za Ra mo s i i l i i i _ J L - 1

Par a n > l => ' + ^ > ^ + 2„ + ’ "+ 2„ " 2» ' 2 (pues hay n-términos en cada lado de la desigualdad)

Luego s2n - s „ > - ... (a ) siempre que n > 1, pero por el teorema 2.4., establece que si la serie es convergente s 2n - s n se puede hacer tan pequeño tomando n suficientemente grande, esto es:

Si £ = - , 3 N > 0 /| s 2rt — sn1< ^ siempre que 2n > N, n > N, pero esto

contradice a (a) , por lo tanto: es divergente. «=i

b) SERIE GEO MÉ TRIC A.- Una serie geométrica es de la forma:

E ‘

ar" 1= a +a r + ar2 +... + ar" 1+...

n= \

La serie geométrica es convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r > 1.

En efecto: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por: s = a(\ + r + r2+...+r"~]), además se tiene:_n _'

\ - r n = ( \ - r ) ( \ + r' + r2 +. .. +r" ')

Luego = a(l + r + r2+ . .. + r n_l) = — ^ , r # l. Entonces:

Se rie s In fin ita s ₁₀₉

©

lim sn — lim £/(— ) — lim--- ]¡ m--- , donde: li m --- existe

«-»oc n-*x 1— y «~>x 1 —/• «-»x 1— y « - > x 1 — y

y es cero si |r| < 1, por lo tanto lim sn =--- , si |r| < 1, entonce s: La

« - » x i _ y

serie geométrica y a r n 1, conv erge cuando |r| < I, y su suma es ■,

1

- r

’

«=i

es decir: y ar"~ ] = —— / \r\'<1

i - r /;=i

cirn w ^

Si \r\ > 1=> lim---no existe, por tanto la serie geométrica / ar" es

« - > x1 — /• / J

n=l divergente, cuando |/-| > 1.

Ejemplos:

r 4 4 4 4 i

La sen e > +--- h... es una serie geométrica con r = ~ <

^ 3 ' _»=i 3 9 27 3

4 la serie converge y su suma es: 5= — =2.

1 '

Z

')n -f-3" 9” V1 ,C“"i v n 'i ——- — , se pue de escr ibir (—)" + ( - ) " ,

«=0 «=0 n—0 n=0

110 E du ar do Es pi no za Ra m os

y (íy.

¿ L V 5 25

es una serie geométrica convergente, pues H-0 3 1 _ 5 r = - <

₅

1 y su suma es: s = — - - —

_J.22

5 s = —, por tanto: 2 n=0 2 " + 3 " 2 5 , ^ > c on ve rg e a — . 14» V "14” \T '/'4 \„ 4 16

(3) La serie , diverge. En efecto: / / y = / , (7) ~ 3+ 9 + "”

3 "=° n=0

una serie geométrica donde: r = —> 1, luego es divergente. es

n=0

@ La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ^ + - es una serie convergente.

En efecto: La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ^ + .... se puede escribir como A + J L + J - + — + . .. , donde: r = — <1, por lo tanto la serie es

10 102 103 " 10" 10

convergente y su suma es: s - y

1_Tó

Se ri es In fi nit as _{i i}₁

c) LA SE RI E- P .- La serie - p, tiene la forma:

siendo p una constante.

Cuando p > 1, la serie-p, ^ — , es convergente. /?=i n

Cuando p < 1, la serie-p, y — es divergente. ¿—i nP

n=I

1 00

Para el caso cuando P - 1, se tiene la serie armónica n- 1

divergente.

Ejem plos.- Detenninar la convergencia ó divergencia de las series. *

("-0!

_— _% n=I Solución

*'(»-!)! _^ (/,-!)! ^ 1

Z

(«-!)! V1 (n-D!

1

. ~ 2-j~ñ.{n -\) \n = 2 , 7 ’ CS Una SCrÍe-p’ d0nd e; ? = 2 ; «=1 n=i ' ' „=i es convergente. i «=i Solución

Z

s f ñ ( n - \ ) \ V ' W t t^ - I ) ! 1 ~ \ " =

2L~’es

u n a s e ri e ' p ’ d o n d e : P = /i = | . i que es divergente. que es 1, que

11 2 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

2.6. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS.-

La serie infinita ^ ' a„ , donde: a„ > 0, para todo n 1,2,..., se llama «=i

serie infinita de términos positivos.

En este caso, la sucesi ón de la sumas parciales , donde:

s n = a¡ + a 2 + a 3+...+« „, es creciente, ósea: s, < s2 < s3 <...< sn < sn+i <...

2.7. TEOREMAS.-

2.7.1. TEOREM A (CRITERIO DE COM PARACIÓN DIRECTA).-

Consideremos la serie infinita ^ ' a„ de términos positivos, entonces: n=\

i) Si la serie infinita , es una serie de ténnino s positivos y es n=1

convergente y además a n < bn , V n > N => ^ ' a„ , es convergente.

w=l

ii) Si la serie infinita ^ b „ , es una serie de ténninos positivos y es

/!=1

divergente y además a n > b n , V n > N => ^ an , es divergente.

n=l

Demostración x

i) Se tiene que a n > b n , V n > N. Sea ^ ' bn = b , pues la serie / CH

»=1 "=1

9

convergente, entonces: V n > N; tenemos: ]

Se rie s I nf in ita s ₁₁₃

" \ n N n

'n ~ ak = + / ^ , A; - ento nces:

*=l *=1 *=,V+1 *=| A=A'+1

A' /; A' yV'

« - + ^ bn - - entonces: + ¿ , es decir

la sucesión de sumas parciales {^ „} (,al de la serie es acotada

n=l

superiormente y como es una sucesión creciente, concluimos que la serie an es convergente.

n= l

/í=l

ii) Suponiendo que converge, entonces por i., tendremos que:

n= l

/ b„ conv erge, la cual contradice a la hipóte sis, por lo tanto: \ aH

n=l »=i

es divergente. Ejemplos.-

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie - + n l + «: n~] Solución n > 1, se tiene: 1+/?2<n + n~, l + n2 <n(\ + n), , n l + n2 ’ 1 t X i 1+ w1 w V 1 1

luego ——- > —, v n > 1 y como y y~ es divergente (serie armónica) por n=1

lo tanto por el teorema 2.7.1 ii. concluimo s que: \ 1 ——— es dive rgen te.

I+/¡2

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

X ^

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie / — - ^>22 «=i Solución X i i v i V n > l , s e tiene n2" > 2” =í >— , como > — «2” 2” _{/1 = 1} 2" es una sene ni " geométrica convergente ( r = —< l) .

Luego por la parte (i) del teorema (2.7.1), concluimos que — convergente.

es ni " n=i Determinar la convergencia ó divergen cia de la serie: 2+ sen3(w + l)

Solución

V n e Z +, se cumple -1 < sen3(n + 1) < 1, sumando 2, I< 2 + sen3(n + l) < 3 „ ^ 2 + sen3(« + l) „ 3 ^ 3 , •

iuego es decir.

0< 2+ sen ^ < — como " V — es una serie geométrica convergente 2" + n 2" ^ 2

n=1

^ _ _____ 3

(r = —< l) concluimos por la parte 2.7.1(i) que la serie: / ¿ 2 ” + n

2 «=i

es convergente.

2 + sen' (w +1) ñ , 3

Se ri es In fin ita s ₁₁₅

2.7.2.

©

TEOREMA (CRITERIO DE COMPARACIÓN POR LÍMITE).-

y-

Consideremos las series infinitas ^ ^ an y ^ bn de términos positivos.

n=l

n

Entonces:

i) Si lim - k > 0 => ambas series convergen ó divergen.

77->crh

ii) Si lim = 0 y ^ ' bn converge ^ ’ ü„ es convergente.

17=1 77=1

iii) Si l i m = +cc y ' y ' hn es diverge nte => la serie z a„ , es

n = l 7 7 = 1

divergente. Ejemplos.-

Determinar si la serie es convergente ó divergente.

77=1 n

Solución Sea «77= ~ . tomemos A,, = ~ . es decir:

^ — es una serie geométrica convergente (/• = —< l) .

'2 77=1 1 a n' 2n J E nt on ce s : li m — = li m = li m — = li m ( - ) ” = 0 /»—►x //—►x 1 /»—»x n—>x // 2"

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

Luego lim — = 0 y V * — es convergente.

n—>xh *2₂" fl=l

X ^

por lo tanto por la parte (ii) del teorema 2.7.2 concluimos que la serie ^ ~ >

n=1

es convergente.

* 2

Determinar si la serie > - 4 — es convergente ó divergente. Z - f 4 « 3 + l_n=l(4n +1

Solución

2 j v 1^ |

Sea a = — ---, tomemos b = — es decir: / — una serie divergente,

” 4n3 +1 n j - f n entonces:

In document Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos.pdf (página 49-142)