Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos.pdf

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EDUARDO ESPINOZA

EDUARDO ESPINOZA

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ALGEBRA

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Graduado y Titulado en Matemática Pura

Graduado y Titulado en Matemática Pura

Catedrático de las principales

Catedrático de las principales

Universidades de la Capital 

Universidades de la Capital 

SUCESIONES

SUCESIONES

Y

Y

SERIES INFINITAS

SERIES INFINITAS

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PERU

LIMA - PERU

IMPRESO EN EL PERU

01 - 02 - 2008

3ra. Edición

DERECHOS RESERVADOS

| ^ ^ ' V ^ : : ' 5

i Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, j electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó g de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y E DITOR.

i_•• - • 1_Z í: i í RUC  N ° 1007 0440 607 1 I1 ¡ Escritura Pública :í |  N ° 448 4 f 

Hecho el Deposito Legal en la ! Biblioteca N acional del Perú

i i ■  N° 2 0 0 7 - 12603 | V. ' - • - ; V ! 1

 j Ley de Der echo del Aut or   N° 13714  j  j Edición 3ra - Reimpresión 1ro

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i

PROLOGO

En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su 3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas.

La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias  bri nda das po r los cole gas del área de mat emát ica s de las dive rsas uni vers ida des del  país.

En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales  pro pie dad es y s e de mues tra n alg unos crit erio s d e co nve rge nci a no muy usual es.

En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas TELESCÓPICAS .

Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de las mismas, así como las series de Taylor.

La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las  pro pie dad es de los Núm eros Real es, del Cál cul o Dife renc ial e Inte gral y de las

Funciones Especiales.

»

La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matem áticos del análisis real.

* *

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra:

• • • . . ■. ^ _ ••v.\  

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA

que Dios ilumine sus caminos para que

 pue dan ser guías de su prójimo

INDICE

©

1.

SUCESIONES.

CAPÍTULO I

1.1 Definición

i

1.2 Definición 3 1.3 ' * ■ Definición 5

1.4 Propiedades de Límites de Sucesiones 7

1.5 Teorema • 10

1.5.1. Teorema de la Media Aritmética 10 1.5.2. Teorema de la Media Geométrica 12

1.5.3. Teorema 15

1.5.4. Teorema del Encaje para Sucesiones 16 1.5.5. Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones) 17

1.6. Sucesiones Divergentes. 20

1.7. Sucesiones Monótonas y Acotadas. 21

1.8. Teorema 24

1.9. Teorema 25

1.10. S uc es io ne s de C au ch y 26 1.11. Teorema - (Fórmula de STIRLING) 27 1.12. Teorema.- (Criterio de Stolz-Cesaro) 28

1.13. Ejercicios Desarrollados 29

1.14. Ejercicios Propuestos 76

CAPÍTULO II

2.

SERIES INFINITAS.

!

2.3 Propie dades 103

2.4 Teorem a 106

2.5 Series Especiales 107

2.6 Series Infinitas de Términ os Positivos 112

2.7. Teorem a 112

2.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa) 112 2.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Límite) 115 2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D’ALEMBE RT) 117 2.7.4. Teorem a (Criteri o de la Integral) 119 2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy) 122 2.8. Series Infinitas de Términ os positivo s y negativos 125 2.8.1. Teorem a (Criter io de Leibniz) 125

2.8.2. Teorem a 127

2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes) 130 2.8.4 Teorema (Criterio de RAABE) 133

2.8.5. Teorem a 136

2.9. Ejercicios Des «rollado s 137

2.10. Ejercicios Propues tos 173

CAPÍTULO III

3.

SERIES DE POTENCIA.

# 3.1. Definición 215 3.2. Propiedades 216 3.3. Definición 216

3.4. Diferenciación 4e Series de Potencias 218 3.5. I nt eg ra ci ón d ^ Se r ie s de P ot en ci a 218

3.6. Serie de Taylor   _• 219

3.7. Ejercicios Desarrollados 221

3.8. Ejercicios Propuestos 242

 Suc esio nes ₁

CAPITULO I

i .

SUCESIONES

í.i

DEFINICIÓN.-Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.

Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:

Consideremos una función S : Z + -» R, tal que, V/7  e Z+, S(n) e R, es un

elemento de la sucesión.

En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la sucesión.

 No tac ión .- A una suces ión infini ta S ¡ , S 2’,..., S n ,... representaremos por  } . Gráfica mente se tiene:

?  Edua rdo Espin oza Ram os

Ejemplos:

( 7 ) L a sucesión 1,4, 9, 16 .. .., n2, ... se escribe así ! n~ í//>) ( ¿ ) Los cinco primeros términos de la sucesión{-—— }/;>i son;

ni i i _ 1  L  __ i

’ 2 ’ 6’ 24 ’ 120

^3 ^ Hallar el términ o n-ésimo de la sucesión 1,3, 6-, 10, 15, 2 1, .. ., En efecto. S, = 1= 1+ 0 So = 3 = 2 + 1 53 = 6 = 3 + 3 54 = 10 = 4 + 6 Ss = 15 = 5+ 10 SA= 21 =6 + 15 C ! / í _ l Sn= // H--- J1 ?

De acuerdo a la regla de coiTespondencia de los primeros términos obtenemos que:

n — 1 n h--- .n

1

 Suc esio nes 3

Luego la sucesión podemos escribir así: /7(// + l)_ín>i ( í ) Si la sucesión {Sn}n^  está definido por: S| = 1, S2

hallar S7.

1 , S n + i - S n + S n . j ,

En efecto: S. = 1 S-»=

S ? — St+ S i — 1 + 1 — 2

54= S3+ S2= 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión 55 = S4+ S3= 3 + 2 = 5

S 6 = S s + S 4 = 5 + 3 = 8

S7- S6+S 5= 8 + 5= 13

1.2

DEFINICION.-Una sucesión {S n}/7>¡, se dice que tiene lí mite L, si para todo 8 > 0, exis te un número N > 0, tal que: S n - L\ < s , para todo n > N y denotar emos por 

lini Sn = L . //—>x

©

En forma simbólica , se tiene:

lim S „ = I » V í > 0 , 3  N > 0 / n > N = > |5„- L \ < s

Ejem plos.- Usando la definición de límite probar que: n +1

Límite de {---}„>, , es 1, cuand o n -> oc n

4  Edua rdo Espino za Ram os Solución n +1 li m ---= 1 <=> V¿->0, 3  N > 0/.V« >  N =>  |S„- L \ < e  II — > X  fi En efecto: \Sn -  L n +1-^1

n

 —, pero nece sita mos que \Sn - L\ = —< £,n n de donde: n > —, luego basta tom ar TV> —, es decir:

£

£ 

lim - i <=> > o, 3  N  > —//? >  N  , entonces ;/->x n £ n +1

n

©

lim (1 1)" - ) = 1 n —>x y \ Solución l i m ( l + ( - l ) - ) = l o > 0, 3 ¿V = ?  / n > N   => | 5 „ - l | < f   //->x /7 En efecto: \ S „ -L \= ] + ( - l ) " - - l  —  ( i r -I M I _{n n}

Pero debe cumplirse que S „ ~ L < £, para ello hacemos —< £  , de donde:

n

n > N  > —. Lueg o > 0, 3 N > — /   IS,, -  L

 £ £ 

©

 H lim 2 ^ =1 —>X

Solución

 Suc esio nes 5

lim 2 = 1 » V¿r > 0. 3 /V = ?/» > <V => S„ -  L /7—>X

< £

En efecto: |S n - L i 1 ■ -n -■ <   N 1  i 2 ^ - 1 1- 2 ^  <_i 2 ^  i i Luego: |S n - L\ < 11- 2^" | = 2 ^   -1 < £  => 2 ^ < £   +1 , entonces,  —pr lo g2 < log (£ + l) => — , de donde:

 y/7l \0g( £ + l) n  > ( —log(¿* +1 )— ) , basta xr . l oe 2 o

tomar n > N > (---)“

log O + 1)

1.3

ÜEFINICION.-Se dice que una sucesión es convergent e cuando tiene límite, en caso contrario la sucesión es divergente.

Ejemplos.« Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones

siguientes: #

©

[

_{' 2n + l}n+ x ¡

Solución

Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular el límite de la sucesión, es decir:

6  Edua rdo Espin oza Ram os

©

 _ .1 1 + 1 .

Por lo tanto {---es convergente.

2/7 + 1

, 2 ^ + 1 ,

< 0 */?>1

3/7“~ n

Solución

Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular el límite de la sucesión, es decir:

2 + 1

c r 2 " “ + 1 r 2 + 0 2

lim Sn =  lim — ---= lim --- — = --- = — 

//~>x /i—>oc3/7 — n 1 3 - 0 3

 J ~

_/?

»

Por lo tanto: {— ---}„>,, es convergen te.

3/7“ - n

Solución .

C

En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la sucesión, es decir: limSn-= lim --- — = lim (—+ — 7) = —+ 0 = —.

/7—>x //— 2/7“ //->x 2 2/7“ 2 2 /?“ +1

Por lo tanto: {---“ }„>i , es convergente.

2/7“

® _{. 3/?3+1.}

' 2 7 7 í ’ ''al

Solución

 Suc esio nes 7

En forma similar a los ejemplos a nteriores, calcularem os el l ímite de la

3 3 + — 

w , r c  .. 3/7 +1 3 + 0 2

sucesión, es decir: lim Sn =  lim —  ---= lim --- — = --- —.

w->x "->3°2 /? ~+ l /;*^X2 + -Í 2 + ^ ^

3

/?'

n 1 r^  1»

Por lo tanto: {— } >,, es convergente.

2/7 +1

1.4

PROPIEDADES DE LIMITES DE

SUCESIONES.-Conside remos dos sucesiones convergent es {^„¡„>1 y y k, una

*

constante, entonces:

i) lim k = /c ii) lim/v 5/; =k  lim 5W

«~ >x >x //—>x

iii) lim (S,, ±-SM„) = lim SMi lim S"w iv) lim Sll.S\l  = lim S,,. lim S'„

/?—>x n—>s.n—>v n — 

o lim

v) lixn-^- = -^ £---, si lim 5* * 0

/7->x s 'n lim S\, n-nc

n —>x

La demostrac ión de estas propiedad es es análoga, a la de los límites de funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.

Observación.- Para hallar el límite de una sucesión {£„}„>,, se calcula el límite del término n-ésimo de la sucesión S n cuando n — » 0 0 ,

es decir:

8  Edua rdo Espi noza Ram os  j Q lim(l + n + n 2)"  n —>x Solución I i i l i m ( l + / 7 + / 22 ) ' 7 = l i m [ ( / 7 + A22 ) ( l + —  --- ) ] " n —>x /í-*oc + f j --> - . 1 lim (/? + /?“) ". lim (1 + ---)" //—>x //—>x ^ _j_¿j -1 lim eL"{"+"~>'. Hm [(l + — ^ ) " +" ]"("+":> //—>X /? —>X  ft_j_  fj ln(;/+;/ ) ¡jm----¡—_ Lil—— lim---——  lime ” £ -n (n +fr) = y y ..) / ? —> X / / — > x e° . e° = (1) (1) = 1 /. lim (14 n + /7“)" - 1 n —>x

©

,. >/3/í3+ 2/ ?- l -V3 » 3 - 2 / / - I l i m / , , —   11>X y /n '   + /7~ + 3 / 7 - V / r + 7 7 ” - 3 / 7 Solución

Racionalizando el numerador y denominador.

V3/73+ 2/7-1 - V3/73- 2/7 -1 .. 4/?(V/73 + /r + 3/7 + Va + /7~-3/? )

lim ■■-.■■■-■- = = ----============== lim ---============----

=========-//_>/ V«'' +/?2 +3/7 —yin3 + n~-3 /7 /?_>/ 6n(y¡3n'   + 2 / 7 - 1 + v 3 /? ' - 2 /7 - 1)

 Suc esio nes

i lim —( 1 1 3 1 + - + - y + 2 / V n n \ 1 1 3 1 +  ---n ---n~ 3 2 1 , 2 1 3 + - y - + 13— y — j /7 n V n n 2 1+1. 2 _ 2V3 3 V3 + x/3 3 %/3 _ 9 ¡ _____________   __________  3

lim (Vi// +1 - 7/í +1)( y¡2n~ + i - V/?2 +1 )se n2(—)

n —>x

Solución

Primero racionalizamos a la expresión:

lim (^2/7 + 1-V/ 7 + 1)(V2/?2 +1 - yin2 +l )s en 2(—) /z  — » 0 0  v /7 /I3 sen“ O = lim ” //—»x _{(72« + l + V/} í +1 )(v 2n~ +1 + V 7 7 I) 2 ~ 3 sen(—) 3. : »•( )3 ( - v “ )-" ( - ) = lim " (\l2n +1 + -\//7 -t- 1)(\/ 2/7‘ -f 1+ yfñ~ ~+\) A ’ 3 se n( - ) 2 0 „ ó lim (---¿?-)2 (2w)' / / — > X ( n (—) (V2« + 1 + -J n + \)(>¡2n~+1 + *Jn2 +1 ) 22 2V2 (V2 +1) (V2 +1) (V2 + 1)2

10  Edua rdo Espino za Ram os © .  K ,na +\ i- r-, + ----) l i m [ 3 - 2 (---)] - na a—^oo na Solución ti  , n a + \ w  _ na , 2  k  ,na+\^. ,• r, ~.,na + \^  ^‘s—<----) p/i - 2 ~ - r  (— ‘grX---» lim [3 —2(---- — )] 2 = h m [ ( l + — ) 2 ] 2 "a n >00 na  «->* na 1  K na+1, 4 -2 lim—til—(--- ) = e na _{2 na - e /T  ,donde:} 1 ir na +1 ■tc  2 lim — -t g—-(---) = limxtg—(1 + jc) = ----«->*>/?¿Z 2 /7¿7 -v—>0 27T 

1.5

TEOREMA.-1.5.1 TEORE MA DE LA MEDIA ARITMETICA

.-Consideremos una sucesión {an }„>, conv erge nte, si lim an = a , entonces: n —>x

Demostración

Como lim an = a => an =a + Sn , donde: lim Sn = 0, por lo tanto, a la suma

/; —>oc n—>00

expresamos así:

a \ + a 2 + ... + tf/7 a ++ ••• + a + ^p + a + ^/j+i + —+ 0 +

/7 77

/7£7 + 32 + ... + ^ + &p+2 + —+ án

n n n

Como la suma 8i + 82 + ...+ Sp = k (constan te) por ser una suma finita, corno:

8.

/<» < e , entonces:

 Suc esio nes 11

àp+1+^/h-2 + —+ <?/»< >+l +  s p+ ¿ + ... + \ón\< M e , por lo tanto su limite

#1 + ¿J-) + ... -f £Z

de, — ---, es:

/? //—>x 77

Ejemplos: Calcular los siguientes límites:

©

lim //—>x 1  , 13 1415 ¡n + 2 ,  —i ~ ( \ ¡ ^\ ^\ f"... + i /---) >/l6w2+ 3 »4 <6 V« + 3 Solución lim /?—>oq 1

Ví 

.3 14 5 \ji + 2 (\I~7+\IT  + a /t + ••• + J ---r ) A7 -f 3 6/72+ 3 V5 lim a; ' , - > x V l 6 n 2 + 3 " » 6 V " - 1- 3  f i ¡5 . 1  J 5 )

(6

V

n +2

(—)(1) = —, de donde se tiene: lim - = i L = = = —  4 4 — V Í 6 ¡ ^ 3 4 además: lim 77 + 2

w->xV77+ 3 1 y por el teorema de la media aritmética se tiene:

1 / / 3 1 4 1 5 1/ 7 + 2 \ lim —( . / h4/ f-4 h... +. /--- I = 1. n y 4

V

5 V6  y n + 3

®

1 4 5 rt+3 (9 + —+ - +... + ---) • ' ^/i _ 8«3 5 6 " + 4 /7—>Xi Solución 1 4 5 « + 3 lim — ---(9 H H---h... H--- —) ;j->ocl/ j_g 3 5 6 72+ 4

12  Edu ardo Espin oza Ramo s

1.5.2.

.. 9 n 4 5 n +3 1 1 1

lim  —= = = = +  hm — ( - +- - + ... + —  ----)— = Q+ (— )(1) =

Vi - 8 «3 Vi - 8w3 5 6 ,1+ 4 n 2 1 donde: lim—p ¿ = = 0, lim ~=^=====- y como lim —— = 1

\ _ g/73 /,- >ocv i - 8n3 2 n + 4 1 4 5 /7+ ^  por el te ore ma de la m edia arit mét ica se ti ene: lim —(—+ —+...+--- -) = 1

/2 5 6 /?+ 4 TEOREMA DE LA MEDIA

GEOMETRICA.-Consideremos una sucesión {an )n>x convergente, si lim an - a , entonces:

• //-»x

Demostración

Como lim an - a => ln( lim an) = ln(¿z), de donde: lim (In(an)) = ln(rt),

n —>x n —>x //—>x

______________ ]

sea í/„ =!¡Ja].a2- a => lnz//? = ln^/a j.a2...aw = —(lna , + ln a 2 + ...+ ln<z„)

Toman do limite cuando n —>oc y aplican do el teorem a de la media aritmét ica lim ln(ww) = li m —(Ina, + ln a2 + ... + ln a„ )

//- >x /?—>x //

Ina, + ln a, + ... + lna„ ■ /---. . In( lim u„ )  = lim ---1---

_-

 = ln( lim ^¡ax.a2- a n ) = In a

« —» x / j- »x Yl  « - * x

Levantando el logaritmo en ambos miembros: lim ^j al .a2->-cin =

/i—>x

Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:

 Suc esio nes 13

lim ",'3 5 7 2/2 + 1 « —>x V5 8 11 3« + 2 Solución Se observa que: a, 1_ 

TI

*’ an 2 n +1 3n + 2, de donde: r 1 - 2/ 7 + 1 2 ,

lim an  = lim --- = —, luego el teorema de la media geométrica se tiene:

«-»oo /;-> oc3/2 + 2 3 '3 5 7 2/z + l 2 lim "i w~>x \ 5 8 11 3/2 + 2 • • 3

©

l i m ¡ M U l n 6 l n (3 ” ) n—>ccVln(5) lnlO ln(5/í) Solución Se observa que: ax = ln3 Ín 5 ln 6 LnTÓ ’ an ln(3/2) ln(5/?) , de donde: i- t- ln(3w) . , , , , .

íim aM= lim -—— = 1, luego por el teorema de la media geométrica se «-»x ln(5/i )

n —>x  H 

tiene:

//—>x y i n 5 In 10 ln(5/?)

OBS ERV ACI ÓN .- Existen limites que se calculan mediante la integral definida (veamos el caso particular)

Para la integral definida sobre el intervalo [0,1], de donde h ~ a  1 - 0 1 m i i i Ay =---= --- - —, c¡ =a + lAx  = 0 + —= — => c’j - —  n n n n n n

í 

n n  f (x )d x ~ lim n-¥ »

14  Edu ardo Espin oza Ram os Ejemplos.- Calcular los siguientes límites:

© lim 5 £ ± .:;: +.Í Z

Solución

Al límite dado lo expresaremos en una integral definida

..  f e + '■& +...+ ' 4 7 , \ , 7 , l L li m --- = lim — ( en + e n + ... + <?") n —>x /7//-»x77 i = e-1 o /// , n 2 , , n¡n \¡e + <¡e + ... + >/*’ , h m --- ---= e - l //—>x /7 //

©

_/?->x

i¡my y

 _{I  + /1z- +}•2

,

2 /=! Solución lim V 3 - ^ = 1™ V — - ---= lim ‘ Y --- —  11 —>X¿ -j- /7~ /7—>0C / ^2 .i //—>X77ámmmi i  / ^ \ 2

/=!

/=1 I“) +1

/=! l + V—J

í 

í/x _{—= ar rt g x} / ’_{= arct g} , „ üL_o = iL 1 - arc/g0 1 + jT 1 o l6+ 26 +... + tf6

(¿)

_{” n} Solución 7 «—>oo /7

 Suc esio nes 15

1 6  - «->6 , . 6 ,. 1 + 2 +... + n lim ——  ii —yx _n.7 n >x n n lim — ( ( — ) 6 + ( — ) 6n +... + (—)6)n l i m - V ( - ) 6 = j V d r X «->«n jLmé n JL /=! ^ 7 ,1

/

7 / 0 71 0 =17 lim >x 16 .->6 . , ( 1 + 2 +. . .+ /? 7

1.5.3. TEOREMA.- Demostrar que: lim r" = 0 , si 0 < r < 1 y si r > 1,  II  — 

lim r"  =+0 0

n~>r 

Demostración <9

De acuerdo a la definición 1.2 se tiene: V 8> 0, buscar emos un numero

 N > 0, de tal man era que: r"  - 0 < s , V n > N

Luego: rn ~0

rn<8

<=> n l n r < l n c <=> n > ---=  N ln ^ ,  pues to que

0 < r < 1, por lo tanto: dado s > 0, 3  N  V n > N  = -^4-, es decir: lim r" = 0 ln ^ ln r  ln r  , tal que: r tl -  0< ¿ \ ln / //—>x

Ejemplos.-®

2 2

lim (—)'f =0 puesto que r  = —<1

//-»x 3 1

©

4 4

lim (—)" =+oo  pues to que r  = —> 1

16  Edua rdo Espin oza Ram os 1.5.4. TEOREMA DEL ENCAJE PARA

SUCESIONES.-Si V n  e Z + , 3 N > 0, tal que: an < cn < bn , V n > N y si lim an =  lini bn = L , entonces lim cn = L

II—>00 /?—>x

Demostración

Por hipótesis tenemos: lim an = I <=> V £>0, 3 TV, > 0 / a > N, => ¿/,7- ¿| <  s  ,

.//—»X es decir:  L - £ <a„ < L + £ _n . . . ( i ) lim b n - L « V e > 0 , 3 N 2 > 0 / n > N 2 => -  L\ < s , es decir: / / — > X  L - e <b„ < L + £ _n . . . (2) S ea /V = m ax { ,  N 2}, entonces tenemos:  L ~ £ < a n < c„ < bn < L+£ , de( 1), (2)e hipótesis Luego tenemos  L - £ < cu < L + £  => cn- L\ < £  Por lo tanto, dado s > 0, 3  N = max { N ], N 2}, tai que:

n > N => cn —L < £ ,  de donde: lim cn = L , por definición 1.2. n —>x

eos(n) n

Ejemplo.- Probar que li m--- = 0

a —>x yi

Solución

1

Vw gZ + , -1 < eos n < 1, c omo /7e Z ' => —> 0 , en tonces :

n

 Suc esio nes 17

1.5.5.

1 eosn i ! 1

 —<---< —, y como hm - - = lim —= 0

n n n // /?->xn

Luego por el teorema 1.8, se tiene: lim - --- --- = 0 n->y n

Ejemplo.- Demost rar que: lim  yia" + b"  = 6 , 0 < a < b

//—>x

Solución

Como 0 < a < b => 0 < a " < ò" => b'\ < a" + 6" < 26" => b < \l a" + b" < yf lb como lim b = lim ^26 = b , entonces por el teorema 1.8 se tiene:

H - » X / / —> X

lim  yfa" + b"  = />

11 —>oc

TEOREMA .- (CRITERIO DE LA RAZON PARA LA CONVERGENCIA DE

SUCESIONES).-Sea {5/;}_//>i una sucesión de números reales. Si lim

11 —>x

li li

< 1, entonces lim Sn - 0 y por lo tanto. La sucesión {S n } ,

>x

es convergente.

Demostración

Por hipótesis se tiene: lim

 s

li li

<  1, sea r un número real, tal que: lim n —>x // —i n < r < 1 => 3 N > 0 / ' lim a S a-1

 s

11 < r , siempre que n > N

18  Edu ardo Espi noza Ram os Sea /?e Z f / p > N =>  p 5 _{p+ \} < r  S, , de donde: V 2 < r  '  p +i < r ‘  S. , e n genera l se tiene: < r  , de donde: -/*

 s,

como 0 < r < 1 => lim r  = 0 (teorema 1.7)

 A—>x Luego lim -r   A- > x lim r  A—>x A

 P  = 0 y por el (teorema 1.8) se tiene:

lim 5 +A. = 0, por lo tanto:

 A—>x

lim S„ = 0 >x

Ejemplos.- Demostrar que: 5"

lim — = 0 /;->x /7!

Solución

Sea S a 5" _11! 77 + 1

(/? + !)! , entonces por el criterio de la razón: lim //—>x /?+! _lim //—>x ■77+I (w + 1)! n\ lim //—>x w!5w+l (« + 1) !5n >7->xli m ---= 0 < ln +1 Luego por el teorema (1.9) se tiene: lim — = 05"

n\

 Suc esio nes

©

n lim — = 0 A7—>X Solución 77 3" n +1 Vi ~ ~y,+\ , entonces lim 77—> X /7 + I /? = lim7 7 - » X (/? -h1).3/7 /2.3/?+! - lim n +1 1 n >x 3« 3<1 Luego por el teorema ( 1.9) se tiene: lim — = 0

77-»x y 1

®

l im - - = 0lì *

r t —> X f j n

Solución

Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes. Sea S _n ni 11./?

 s

77+ 1 (« + !)! (n + l) "+l , entonces: lim /?—>x /7 + 1 77 lim 7 7 - » X (n +1)! (ti +1)#7+ 1 n\ nn .. n"{ n + \)\ n Inr i---:— = lim (---)" 

»-»»(n + l)"+l.w! "~>r- n + \

n _//

= lim [(l + — —) (/í+!)] (/,+n ~ e = e~l - i < i

n - > o c n + 1  p

11 ^

Por lo tanto por el teorem a 1.9 se tiene: lim — = 0

20  Edu ardo Espin oza Ram os

1.6

SUCESIONES DIVERGEN

TES.-Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede ser, dive rgen te a + oo ; a - oc u osci lante .

a) DEFINICIÓN.- Sea {S n} , una sucesión, diremos que: S n  —» +oo,

cuando n  —>oo,si para todo M > 0, existe N > 0, tal

que: Sn > M   , V n > N

^ n _ i

Ejemplo.- Probar que lim 3“ =+oo

«—»oo

Solución

V M > 0 ,3 N = ? (que depende de M), tal que:

1 1 i /

32""1> M  => (2a? —1)l n 3 > InM , es decir n > —( ~ — + 1) =  N  2 ln 3

 b) DE FI NI CI ÓN .- Sea {*$„}>, , una suces ión, dir emos que: Sn ->- o c ,

cua ndo n —>oo,si para todo M > 0, existe N > 0, tal que: S n < - M    , V n > N

Ejemplo.- Probar que lim l - 2n =-o o

«-»OO Solucem V M > 0 , 3 N = ? / l - 2 n < - M => n> =  N  2 \ + M  Luego V M > 0, 3  N =---/1 - 2n < -M, V n > N  — 

 Suc esio nes 21

c) DE FI NI CI ÓN .- Si la sucesión { ^ } /?>! diverge, pero no a - oo, ni a + oo, y además toma val ores positivos y negativos en fonna alternad a, diremos que la sucesión {*S'W} , es oscilante.

Ejemplo.- La sucesión j(- l)' ? { , es oscilante, pues la suce sión es ^ ' n>1

-1 ,1 ,-! ,... , si n es par lim (- l) ,?=l y cuando n es impar  «—>00

lim (-l ),í ~ - l , Luego ¿í lim (-l )w, por lo tanto, no es convergente; pero

n —>oo n-vx

tampoco diverge a + 0 0 ,ni a- 0 0 , por lo tan to, es o scil ante por defi nici ón c).

1.7.

SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOT ADAS^

a) DEFI NICIÓ N.- Sea {Sn }^ >{, una sucesión, entonces: i) Si Sn <S n+l, V n > N => la sucesión {«£„}> es creciente ii) Si Sn+] < S n , V n > N => la sucesión [Sn } es decr ec ie nte . A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.

OBSERVACIÓN.-Si 5; < Sn+{  -^> direm os que la sucesión es estrict amente creciente.

Si Sn+{ < Sn => diremos que la sucesión es estrict amente decreciente.

Ejemplos.-O Determinar si la sucesión {---es creciente, decreciente o no monótona.

^ 2 n +1

22 >  Edu ardo Espin oza Ram os 1 2 3 4 n // +1 Escribiremos los elementos de la sucesión

3’5’7 ’9 ’ ’ 2/ 7+ 1 2n + 3 Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo cuando n crece.

ti /?

+1

En general tenemos: — --- ^ ~— ~r ••• 2/7 + 12 / / + 3

La desigualdad (

1

) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en al cual podemos afirmar que es valida.

Así por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:

2n~ + 3/7 < 2/?“ + 3/7 + 1 ••• (2) La desigualdad (2) es valida porque el miembro de la derecha es igual al de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (

1

) es valida.

Es decir: Sn < S n+l, luego la sucesión es creciente.

©

Determ inar si la sucesión {—}/;>i es creciente, dec reciente o no monót ona.

n

Solución

1 , 1 1 1 1 1 Escribir emos los elementos de la sucesión {—/ ^ , 1, —,—, v’-**» ’ Ll v "

n 2 3 4 /7 n + i Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van decreciendo cuando n crece.

1

,

1

/ i \

En general tenemos: ---

7

^ ~ •••va;

* /7+1 n

 Suc esio nes ₂₃

La desigualdad (1) escribiremos en otra desigualdad equivalente para ver su validez.

n < n + l . . . ( 2 ) La desigualdad (2) es validad porque el miembro de la derecha es igualdad al miembro de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida. Luego Sn+] < Sn , entonces la sucesión es decreciente.

 b) DE FI NI CI ÓN .- Al nume ro A le lla mar emos cota inf eri or de la sucesión {¿y}^ si  A < S n , V n e Z +, y al numero B le llamaremos cota superior, si Sn < B , V n e  Z + .

Ejemplos,^

( V )

En la suc esión {- ■■■” ■

}

>t, una cota inferior es cero, cuyos elementos

2/2 +1

1 2 3 / 7 . 1

s on: - - —   ---otra cota inferior es - , en general una cota

3 5 7 2/7+1 3

inferior es menor o igual que ~ . 3

( 5 ) En la sucesión el 1 es una cota superior, en general cualquier 

» /?

número mayor o igual que 1 es cota superior.

c) DE FIN ICI ÓN .- Si A es cota inferior de y A > C para toda cota inferior C de entonces A ser llama la máxima cota inferior de {S n} .

24  Edu ardo Espi noza Ram os Si B es cota superior de {Sn}n^  y si B < D para toda cota superior D de

{S „} ., entonces: B se llama la mínima cota superior de .

r 

d) DEFINICIÓN.- La sucesión diremos que esta acotada, si y solo si, tiene cota superior e inferior, es decir:

\Sk\< k , V « g Z + .

Ejemplo.- La sucesión {—}„>i es acotada. n

1.8

TEOREMA.-Sea } una sucesión, entonces:

i)  Si es creciente y acotada superiorm ente, entonce s es convergente.

ii) Si {5W} , es decreciente y acotada interiorm ente, entonces }/?>j>es convergente.

Demostración

i) | Sn }w>| , es acotada superiorm ente, por hipótesis a = mínima cota superio r de {£„} >t, dado un número c > 0, se tiene que a - s, no es cota superior de , pues a - £ < a y a es la mínima cota superio r de la sucesión como a - £ no es cota superior, 3 un número entero positivo N > 0, tal que: a - s < Sn , V n > N ... (1)

Tenemos Sn < a , Vn e  Z + ... (2), a es la mínim a cota superior. Si Sn < Sn+1 , V n > N ... (3), ( {S n es creciente por hipótesis).

 Suc esio nes 25

Luego Sn < Sn pero n > N .... (4),

De (1), (2), (3) y (4) , se tiene que: a - 8 < Sn < Sn < a < a + c siempre que n > N => {S,,} ^ es converge nte y su límite es la mínima cota superior.

»

ii) La demostraci ón es similar que (i).

r 

OBS ERV AC ION .- El teorema establece que toda sucesión monótona y acotada es convergente.

1.9

TEOREMA.-Toda sucesión convergente es acotada. Demostración Para demostrar que: Sn <k  , V n

Sea , una sucesión convergent e y sea L su límite, es decir: lim Sn = L V  s> 0 , 3 Ar > 0 ! n > N   => |S/;- L\ < s ,

>x

tenemos: < £   , V n > N

S = S - L + L =>_{n n}  s„ < S - L_{n n} + ¡L| < e + |¿|de donde: Sn <£- + |¿|,V n> N

Si,S2,—9SN,SN+l.:. acotada por s + \L\

26  Edua rdo Espino za Ram os

1.10. SUCESION DE

CAUCHY.-a) DEFINICIÓN.- Sea {S„}h>| una sucesión, se dice que es una sucesión de cauchy, si para todo ¿r> 0, 3 N > 0 / m > N, n > N entonces  sm - S„ < £ 

Ejemplos.-©

La sucesi ón {—}„>| es de Cauc hy.

n

En efecto: V g > 0 ,3 N = ? / V m > N, n > N => | S m - S n < £ 

i) Si m = n => IS m - S n | =

m n = 0 < £   , V n. ii) Si m > n => IS m - S n

J L _ i

m n -  ---—< — pero debe cumplir qué:n ni n

IS - S < £   => —<£• de dond e: n> — = N ,   (m > n > N). Luego

n £ 

 bast ará tom ar  N  = 1

iîi) Si n > m => \Sm - S n

m n

1 1 1 = ---< — como

m n m

- sH 

<£ , entonces: — < £  => m> — ~ N   . Luego bastará tomar  N  = —(n >m>N).

m £ s

©

La sucesión {—— }n>\ , es de cauchy. n

En efecto: V 8 > 0, 3 N - ? / n, m > N => < £ 

 Suc esio nes 27

 K - s„

m~f1 n + ] 1 1

m n m n , se reduce al ejemplo anterior, luego bastará tomar  N 

1.11. TEOREMA.- (FORMULA DE

STIRLING).-Demostrar que para n grande: n\ = y¡2nn nne ” aproximadamente.

Pe mostración

Por definición de la función GAMA, se tiene: r (n +1) =

f 

 x ne~xdx = [ e"ln'-'dx

I

La función n L„ x - x, tiene un máximo relativo para x = n (queda como ejercicio probar).

Haciendo la sustitución x = n + y en la ec uación (i) .

í 

•J-/? r( « + l) = e-" I e"'ni"+y)-ydy = e '" | e « dy

Í

° » e H r  ln( 1+ —)—v - dy ... (2) 2 3  X X 

Tambi én se conoce que: ln(l + x) =  x ---+ — 

2 3 ... (3)

28  Edu ardo Espino za Ram os Para n grande, una buena aproximación es:

*> f    ’-OC i'**

é ~ d v =v27rn n"e~"   - , ( 5 ) X

Además F(« + l) = w! —(6)

Por lo tanto de (6) en (5) se tiene: n !- -sílñn n e

Ejemplo.- Calcular hm //—> x /7 Solución

'i[ñ \

n e

1 2

n f ^ Z  

3 l i m ---  lim —  --- = — h m

<i¿nn

n —>cc 77 /7->oc /7 e 1fi 127Tw 1 limln;</2^ 1 _ 1 !’™Ñ _ 1 ,0 _ i  — — — £  “ — C —    p e e e

1.12. TEOREMA.- (CRITERIO DE

STOLZ-CESARO).-Sea {«„¡„>i y {6„}„>| .dos sucesiones tal que:

i) Si li m «„ = lim = 0 y la suces ión {*•„}yi2| , es mon óto na o.

il—ït: n —>x

ii) Si lim = +oc , y la suc esió n {bn}n>\  ,.es monótona, entonces: lim — = lim ^"+l =■A

„_>*= „->* ¿>„+l - bn ln(/7!) Ejem plo.- Calcular lim — 

J ”->*>ln(« )

 Suc esio nes ₂₉

Solución

Sea «„ =ln(n!) = ln(n" )

«,,+1 = ln(« + l)! A,+i = ln(« + l) //+! lim — = lim  — ■■■■ a" =  lim ln(w + 1)! -l nw ! "->*>bn »->=0 6(I+| - „-»* in( „ +1 )«+i _ in n" 

l n ( ^ l > ’) = lim ni //->x («4-1) ln(w +1 ) - n ln .n - lim//—>x ln(/7 -h1) , n +1 tf.ln(---) + ln(/i + l) n lim ll ~>x ln(l + w)H ln e 1 1 -ln(l + —) + -ln(l + n)"  n lnl + lne 1 r ln(/f!) l i m — -— - = 1 //->x in(77/;)

1.13. EJERCICIOS

DESARROLLADOS.-Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión (2ft + 5)2//+V ~ 3

(4« + i r 2( , - ^

S.. = Solución = n (2w + 5)2"+V ~ 3 (4« + 1)',+2(w+ 3)2" (2«)2"+5(l + A)2»+5„»-3  ____________  2n _________  __  (4/j)" +2(l + J - ) n+2w2" (1 + 1)2" 4n n

30  Edua rdo Espin oza Ramo s 22/,+V n+V ~ V 2"(1 + — )2"+5 22,,+V +''(l + -5- ) 2"+s  _____________________2»  _  ________________ 2n ________ 

4«+2

n„+2

(, + J_y,+2 +

l y - n2 2n

+4/;»+2 + _L)»+2(j+ 1)2»

4«

n

4

n

n

2(1 + — )2,,+5  _  ______ 2n _______  ( i + - - ) " +2( i + - ) 2" 4n n 2

n

5(2//+5) 2 [ ( 1 + — ) T ] ^ ” 2 e 5 _ 5 lim 5 = lim --- --- — = —j— = 2e 4 „_>x /»--»X | 4„(ZL_!1 ) 3 ^ ( J i ) --[ 1 + — ] 4 „ [ 1 -|---] " € €  4n n ¿ /?/r* v  ,  ,5/i;z\ Calcular lim \2 n + lsen( ---).sen(--- ).sen(--- -) «->x /7+ 1 n + 1 n + 1

Solución

sen(---) = sen(;r --- ) = sen(---) n +1 n + 1 n +1 sen (^^ -) = sen(3/r = sen(-^-~)

n +1 n -r 1 n +1 s e n ( ^ -" ) = se n (5 ; r  ---) = sen(—— ) , de donde: n +1 n +1 /?+1 lim V2 « 6  + 1 s e n ( - ^ ) . s e n ( - ^ ^ ) . s e n ( - ^ ^ - ) /;- > x W + 1 /7 + 1 /7 + 1 = ljjn n/2/í6 +1 sen(-^—).se n( -^ -).s en (- ^- ) lì —>X n+ 1n + 1 n+ 1

 Suc esio nes

■ • » n w r a 31 = lim ( * + 1)3 s e n ( ^ - ) . s e n ( ^ L ) . s e n ( - ^ ) »>->* (n-t-iV \ 7+ r /?+1 « + r  > y 2 / 7 6 + 1 ( / 7 + i_{O 3} \ / 2 / 7 6 + 1 f / 7 + 1i ) 3

lim ^ ‘ . lim(« + l)'se n(— -).se n(- ^-) .sen (——) ... (1)

» - > * 1 0 4 - l V » - > x v H + l V « + l H + l V2 l im — - = V2...(2) n-»x- (w + |) 3 Sea z =--- => n +1= — ;.cuando n- » o c, z- » O n -f1 z lim (n +1)' sen(——).sen( --- -) .s en ( --- ) n + 1 n + 1 n + \ --->x

r sen/rZ sen3;rZ _ sen5/rZ , „ ,

= lim n --- — 3 a — ,5 n —  ---= 15/r3 ... (3)

 z-+<*> n i 3 jt  Z  5n

Ahora reemplazamos (2), (3), en (1)

lim 4 l ñ b +1 sen (-^ -).se n(—— ).sen (-^ ^) = 15V2/r3 a?+ 1 /?+1 n + 1 C s) Calcular lim n6\ —=. ^   — 

 _-

---1'” «-»»  y¡n2+3 <[7+3 Solución Hm w‘ [ • = = _ _ > = p " = iim w6[ — ( i )1 "“** \ / ¡ 2 +3 %/«" +3 "-** <¡//72 +3 Vw" + 3 13/; n [_ ~y— ---— - — 7 7 -~—— ¡ — u n í // |—p== ====r^i --- ________  ; /7->X ■6 _{ft +3}2 . - 5 lim — ^ — r O - ?/— — ) 3” /,->x(/7 +3) V«77+ 3

32  Edu ardo Espin oza Rumo s

n - > co # - + 3 V / ? + 3

+ 3

 —31i m /;  x In + 3

(1) e i3 =é? , donde: lim n'A — ---= lim f¡

v ' /7—>x \ n" +3 V

/7'/+2+3/7”

+ 3 , /iw(/i2+3) r /r+ 3 = lnn n ---  = lim "I  / ? -> o o ^  f i n   ( J + 3 n " ) w - > x ^ 1 + 3 / 7 " 1 / /r + 3 \  Ln  (/f+3)-£/f (1+3/? ' ) l i m — ¿ / / l --- r j li m --- 0  _ /? 1+3» = £ h " n — e = 1

Aplicando la regla de L’Hospital

31

 _'(>/«+ 1->/«)

(4)

Evaluar lim ■■•- = ---- p r 

' ' >- >* 2 Í V /7 + 1 - V /7 J

Solución

Racionalizando numerador y denominador 

3 1 II n  -t- 1 - \[ñj 3 1 ( > /w + 1 - \[ñ j

2 ( V / T + T - V / 7 ) 2 «- > * l (^ / ( ^ + l ) 2 +

 yfñyi n

 + T + ^ r t 2 )

//—> x

 Suc esio nes ₃₃

3 ^ 0 + 0 + 0 ^ 3 ^ 0 ^ ^ 2 %/TTo +a/Í + 0 +1 2 i + ]+ ]

2¡{\fñ+\ -ifñ)

lim -) '  ___  ——( = 0

2 V/?-f-1— \ n \

11 —>x

© Calcular el límite: limn{an--1 ), a > 0

//—> x

Solución

Hacemos Z = yf a- 1 => <¡/a = Z +1 => -dn a = ln( 1+ z) de donde:

 ff 

1 l n( l + z ) ín ^ .

 _ __—  --- w~ —  ---^cuancj0 /? —>oo <r> z —>O, entonces:

n lna ln(l + z)

lim n(a"  - l ) = lim — - z = ln a.lim í— - = ln a. — = l n« . //~>x r~>0ln(1 + 2) r->0 I lne

ln(l + z )2

 L im ny a ” - l ) =\na n —>x

Estudiar la convergencia ó divergencia déla sucesión [Tn} n>l   donde:

T  (3/7 + 1)2 (V?-f 7) 2 (3/7 + (/72 + 5) ^ ) (n + 3) /;

Solución

Para determinar la convergencia ó divergencia de la sucesión calcularemos el límite de Tn, es decir:

34  Edu ardo Espin oza Ramo s

( 3 / 7 4 - 1 ) 2 ( >? + 7

)/,+2

 __ . (n

+ 7 ) /? > / 3 w T Í V « + 7

lim = lim —  ---:— ---= lim n —>x //—>x_{/ - . ,} 2 « v U / " ^ ( « + 3 ) " ( 3 n + V / 7 2 + 5 ) (3/7 + (tf + 5)2)(/? + 3) v ' . / n + 7 \ „ >/3rt + l \¡n + 7  l>m(--- ) l i m ---f^ =

-» --» * M + 3 « -► * 3

n + J n2 +5 lim((l4- --- ) 4 )"+3.lim //->x - // + 3 «-•>* 5 3 + J1 + —  n~ lim-^r -v/ J + Óa/T+ Ó 4 V3 >//7 +J  __  _____  , __________  — £? . —  3 + %/Í + O 4

Como lim 7|( = — <?4 ,  por lo t anto la su cesió n {7’,, , es conv erge nte. //—>x

2 ^ «~-l ^

7

) Calcular el límite lim (—r— —) " 

^ n—ttt yi + 4 / 7

Solución

2 «2-l -i  a lim 3-4/7 n'~

lim( J L ± l ) « = lim[(l+ ——ZL) 3-4» ] ir+4/1 n = ¿  » » W n

« - * > x A7 - + 4 , 7 / / - > x / r + 4 w , 3 4 3 -1 — h— ^h lim- " #r "  —4// ’+3/r +4//-3 , ! -1+0 i lim---:

_----

;--- l+- e  1  g»->' n'+4n2 —g i) 1+0 e  2 0 ^2~1 , lim( r\ — ) " = ->x n- +4n e

 Suc esio nes ₃₅

® Calcular lim (cos—+ xsen —)"

/;->x n n

Solución %

^ Cl 

Sea z = — de donde: n = — , Cuando n  —» oo <=>z -> 0

n z  

©

 / Cl Cl\ °

lim(^cos^ ( x sen  ) = lim ícosz + .vsen z) : — lim Ti + (co sz —1+ vs en z)l -n n  r-»xv r—>00L v

r/m /  _  _____ o(cos’-l+jrsenr)1 lim[(l + (c os z-l + xsenz))cosz-l+xsenz]~ 5

z  —>0

.. cos~-l+.vsenz ,• f-l-cos r sen2

í/.iim---«.lim .—»«i - -+*-e  — - ~e  ' v - - ' = e fl(-°+-v) = e «-v  lim (e o s - + x sen —)" «->« 17 n

®

I . Calcular lim (l + « + «2)" n —>x Solución Aplicando la propiedad ein" - a

eax  

.. ■>- ,• in(l+«+/r) .. 1+2/; limln(l+/í+w)" lim--- lim

..  /. 7\ nmin(i+//+w)" --- nm--- A

lim ^1 +n  + /7" ) " = enyr = e n —en"     l+/,+/r ~ e  =1 n~>x 1 lim (í + n + a2)" = 1 //—>0c 1 eos" -Calcular lim /7 //—>x 1 sen —  n

36

t _{a.— .—■■■i.}

Solución

 Edu ardo Espin oza Ram os

1—COS77— (l-COS“ )( l+ COS ~ + cos2—+ ...+ cos'7 1—)

l i m ---

 — — 

l i r n --- -—:--- — --- — —  ---

 — 

n-*oo 1 /?—>x 1 1

sen— 2 sen — .cos

n

2 n

2 n

2 1 /i

1

^1

»-I 1\

2 sen — (l + cos-- + cos —+ ...+ cos  —)

j i m   --- _ in _   ---n _   ---n_ --- , j _ 

//->x 1 1

2 sen — . cos 2n 2/7

0 _{+ cos —+cos —+ ... + cos} 1 0 1 i . - l _—Ji\

limsen ‘ " " "  //-»x 2/7 1 cos

2//

/ t i l

IX

1-cos —  

(1+1 +1 +... +1)

r

n A

0- ---~ = 0 li m ---—^ = 0 /?—>x

_{sen —} 

1

n

(í l) Calcular lim..(■— ... + —+ —+ ...+ ^ x Vl + 9/T2 4 + " 4 7 3,7 + 1 Solución

En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media aritmética.

 Suc esio nes ₃₇

,2 4 2/? \ 1 4 7 3n +Y  2 4 l i m  —■—=■---:---  - + l i m • — _r---« -» _r---« ./9 + -L (- + l) " ^ CCj 9 + ± V » « V /r 5 , 1 2 5 2 17 , , 2/7 2 ---+ = —+ —= — ?donde: li m---= —  V9 + 0(0 + 1) V9.+ 0 3 3 9 9 "->»3/7 + 1 3 12J Hallar lim / ? - > X

V

ln(10/i) 2 5 8 3/7- 1 Solución

En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media geométrica.

Iim

■«»

¡i- .-.- ...—

 

n >x ^ ln(10/7) 2 5 8 3« —1 /?->x ln(10//) y 2 5 8 3/7 —1 = ( l ) .( l ). - = - , donde: = l i m V w = l y l im — — = 1 3 3 //— >x >x ln( 10/ i) r 3 8 13 5/7 -2 5/7 -2 5 lim W—. . — ... l i m = -«->x V2 5 8 3 /í - l «->« 3/7 -1 3 2. In2 Ín3 ln(/?) . Calcular lim sen(2;r eos—  ---+ — - + . . . +--- ) <

/7 ln3 ln4 ln(/z + 1)

Solución

ln(/7) f ln(/7) /7+ 1

Seaan - —  --- — => lim a ~ lim — --- —= l im--- 1

ln(/7+ l)»->x n —>x ln(/7 + l) //-»x Yl 

38  Edua rdo Espin oza Ram os

 , 2. .In 2 In3 \n(n) . lim n seni 2/r cos—). ( ---+ ---+...+ --- — ) «->*> n In 3 In 4 ln(/? + l)

(  2 ^ 1 In 2 In 3 In(n) . lim n sen(2 k  co s—) —( ---■+ ---+...+---)

n —>x n n  In3 I n4 ln(« + l) (  2 a 1 , In 2 In 3 In(n) . lim  A?sen(2/Tcos ) lim —(-—- + -— 7+...+ "---...(1)

»-♦oo v

n n-^ao

« l n 3 I n 4 l n ( ^ - h i )

Ahora calculam os cada uno de los límites. 1 . l n 2 l n 3 l n (n ) .

= lim —( --- + ——+... +---) = 1  (por el teorema de la media aritmética)

>Xti  ln 3 ln 4 ln(/7 + l)

2 2

Sea z = — = > «= —, cuando n x => z —>0

n z

/ 2x 2 /_ \ -2;rcos(2;rc osz)sen z hm «sen (2;rc os—) = lim —sen ^T rcos zj = 2 lim --- ---

-/?—>x // z—>02 r ~ » 0 1

-4;r eos (2tc). 0 = 0

Luego estos límites reemplazamos en (1) se tiene. , 2x /ln2 ln3 ln(n) x

lim  sen(2;r eos—) ( ---+ ---+...+---) = (0)(1) =0

n —>x w ln 3 ln4 ln(« + l) n

14) Calcular  A =lim + ^ 2) 2

/7—>X _ 

"A'=l

Solución

 Suc esion es 39

En el presente ejercicio aplicaremos el criterio de la suma de Riemann es decir: t f { x )d x  = lim S '  / ( ) .

-J) //~>X Áammé H U 

/ =!

1 » n

1 1

 A = lim % 1(«“ + A:2) 2 = lim ...•= lim \ ^ n-+ xj¿ Lj n->co¿mJ I 2 , ,2 ,7->x / ^

/=! /=! V/l +A /=1 h + ( l ) 2 V n [ = ln(x + \¡l + x 2) / = ln(l + V2 )

J ) V 1 - +- J C2 / o

1 5J H al lar lim ± ( f c ( f o + t e ( ^ ) + ... + & & /?->x n 4n 4 n 4 n

Solución

Aplicando la suma de Riemann

l i m ( / g ( ^ ) + í g A + ... + í g( ^ ) ) = lim V / g ( ^ ) . -/ Í - > X -/ 2 4 / 7 4 / 2 n —> x 4 / 2  H  /=! | / g ^ c/x = _ l l n | c° s ^ ¡  j

4

V

2

4

, V

2 2

 — [In ---ln 1] = ---ln— = — ln2  K  2  K 2 K  \ .  k  2/r n/ r. 2, ^ lim ~(/g ---h/‘p'---i-... + /g— ) = —ln 2 /7~»x /2 4« 4« 4«  K 

40  Edu ardo Espin oza Ram os

16 ) Calcular lim ~[ln(¿/ + —) + ln(a + —) + ... + ln(¿/ + ~ ) ] , a > 0

n n n n

Solución

Aplicando la suma de Riemann.

lim —[ln(¿/ 4- —) + ln

(a

 + --) +... + ln(¿? 4- —)]

//-»<* n n n n

n

=  lim  /    l n( a-f—).—= I ln(a + x)dx ... (1)

n- ** Ámmmi H U  J )

i~n

Ahora integrando por partes se tiene:

Sea u = ln(¿7 4-x) dv  = dx , dx du = --- x + a V= A*

ll n(a + .Y)^Y = Ain(a + A')- I---dx - x \n(a 4- x) - 1(1--- - J J x + a J  x + ax +  )dx

-   x ln (a + x) - x + a ln (x + a) = (x + a) ln (x + a) - x ... (2) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

1 1 2

lim —[ln(tf + —) + ln(<7 + —) + ... + ln(¿/ + —)] = | ln(c/4-x)¿/x «->oo n n n - ) ] =_n

_Jb

f 

[(x + a)\n(x + a) - x ] j = ((a + 1) ln (a+ 1 )- l )- (a ln a -0 ) (a + 1) ln (a'+ 1) - a ln a - 1

 Suc esio nes 41

500 . 500 ' 500 ®  n ti Calcular lim[— — r—4--- - + -—---- — 1 / /- >o c ( / 7 - j - l ) 5 ( / / 4 - 2 ) ? ( w + w ) 5 0 1 / Solución

Aplicando la suma de Riemann

^500 /?500 ^500

i - f e n r +

+

+

1

n50]  /z50! n5(n 1

= i™ + (M+ 2)501 + + (/I + w)50i] -l¡m [ ( _ ü _ ) * » + ( - ^ - ) 501 + . . . + ( — )501 ] . í n >qc n 4*1 n + 2 n 4-/7 n v r 1 1 1 i 1 lim [--- --- 4-—— --- f ... 4---] = —  »— ■(1+ I)«H (1 + 2 )S01 (1 + « )5o. n n n n n  _  .. . d.x hm Ÿ — L - . ¿ - f   501 n J, /=] (1+-) n (x + l)501 1 /' 1 , 1 .. 1 .. I

/ o

son( ?500

soo

75<K))

500(.v+ 1)500 ' o 500 2s“ 500 2

Calcular liman, donde an es dado por:

/?—>00

14- 20/7 2 4- 20/?

n  ln ( ^ ' ln(2l)

a =---ií---+ ---...

42  Edu ardo Espin oza Ram os Solución

Aplicando la suma de Riemann se tiene:

. 1+ 2 0?. , .2 + 20/?

ln(— — ) ln(— “ ) ln(21) lim a.. -   lim[--- + ---+ ... + --- ]

 h  —> X  j  n —>xí 1+ 20/¡ 2 + 20« n + 20n rv. l n ( 2 0 + —) l n ( 2 0 + - ) l n ( 2 0 + - ) = lim[--- -*- +---+ --- — h~ ',_>x 20 + - 20 + - 20 + - " n n ' n

= Umy ‘"<20+¿ =

^

Jb

n ' ~ 1 T 2 0+ A7 20á = ln~(2._Q-í *2 / ' = l [ | n221- ln220] 2 / 0 - 2 lim an = —[ln2 21 - ln2 20] /?—>00 2 I 2 n

. (se n —)en (s en —)e n ( se n—)en

©

Calcula r lim —[--- —— + --- — + ... + --- ---] /;—>00n 1 2 /i  se n— se n— se n( -) n n n Solución  S u c e s io n e s i 43 .  j_   se n3 (- )e n ^

a n — /   ~ — •—, ahora tomando límite. /=i ^ / 7

-n i

! L ^ s e n \ - ) e n 1  m  1 ¿ 3

l w 1 1 sen3 x v | 3.se/? a*- Asen x --- dx -¿L-sen3y-)e" .  m  - ¿

lim a„ = lim V ---* — 1 = f = f  

»->» »-***-* senL n J)  sen x J,  sen x n

= 3ex dx - 4 se n2x.ex dx = 3ex dx - 4 dx = ex dx + 2 ex eos 2x dx = [ex + —-(ex  eos 2x4-2exsen 2jc)] j

o  — (Se - 7+ 2e eos 2x  + 4esen2a*)

5 20) Verificar que: ,. r n n n , 1 h m [—   --- + — _ _  --- + + --- j = a r c t g ( - ) n->x ] + 2/7 +2n 4 +4n + 2n~ n~ +2 n( n) + 2n~ 3 Solución 0 n n n Sea a = --- — + --- —+ ...+ 1+2 «+2/?2 4 +4n + 2n2 n 2+2n(n) + 2n2 • • • 9

44

44  Edu Edu ardo ardo EspinEspin oza oza RamRam osos “n = “n = [ [_{.. 2 2 1 '}

11

_{1 '}44**

11

^^ .. 22 44

22

---

11—

—~

~ 2

2 -f

-f 22((—

—) ) +

+ — 

— 

n n n~ n~ n n ¡r ¡r 

11

t t!!

ll

ii

+ +

11

11 ■■ii11

(—

(—)2

)2+

+ 2(—

2(—) ) +

+ 2

2 ((22-)

-)-+

-+2(

2(-2

-2) ) +

+ 2

2

((--))22+

+ 2(—

2(—) ) +

+ 2 "

2 "

n n n n n n n n n n nn nn

aann 11 ).—, ahora tomamos ).—, ahora tomamos límitelímites:s: “ “ (( ~~ )2)2 4-  4- 2(2( ~) + ~) + 22 nn

n

n

nn

nn lim

lima„a„_nn  = lim  = lim

II

ii

""~~>

>xx"" (( -- )) 2+2(-

2+2(-) +

) + 22

// // // // 11 f1f1 dxdx nn

J|J|

)) x~ x~44--2:2:44""2x2x 4 4- 2- 2  Í 

 Í  _{------ —  — ---}dxdx_{---==arctg(xarctg(x+1) +1) / / ==}// 11_{arctg2 - arctg2 - ararctgctgX = arctgX = arctg (-)(-)} 11

((..v v + + l ) - +l ) - + l l / o / o 33

NOTA.-NOTA.- : =: =arctg arctg  2 2

vv= arcV

= arcVg 1

g 1

/g - = 2 /g - = 2 tg y tg y =  = 11 t g ( z - y ) t g ( z - y )

(sjjzlKL

(sjjzlKL  _ 2-1 - 1

  _ 2-1 - 1

l l + + így./így./ g-r g-r 1+ 1+ 2 2 33 í g ( z - v ) = í g ( z- v ) = - - ==>>  z z -- y y = ar= ar cc tgtg (-(- )) = arcíg 2 - «rcíg 1=

= arcíg 2 - «rcíg 1= arctg arctg  —  — 

©

©

ProProbar bar quque: e: lim(—lim(—++ ——- - + + ...4.4-—-— ) ) = ln= ln22 //->x

//->x n n nn4-1 4-1 2«2«

 Suc

 Suc esionesion eses 4545

Solución Solución

r

r 11_{lim lim (—(— ii------ 4-...-i}11 _{4-...-i------}11 xx _ _{)) —— lim} _ _{lim [1} r rri r _{[1 H}i _H—,,_{— ——■}11_{■—i—i------ J—} 11 _J— 11

«->oo «->oo nn « + 1« + 1 2n2n ««-->>==oo j j ,, ww nn n n nn nn lim —4 lim

lim —4 lim[—[— ++ —Í--- + ... + —-— —Í--- + ... + —-— ]—]— = = 0 40 4- - lim lim N N ^(—^(— —— ).— ).— 

,;"*x ,;"*x

nn

11 + 1 + 1 11+ + ± ± 1144- - - - ,,77 ""””**XX“ “ l + il + i

" 

" 

n

n

n

n

n

n

nn

í í 

 j  j t t   ——  —— = = ln(ln( x 4- x 4- LL) / ) / = = In 2 - In 2 - In 1= In 1= ln 2 - ln 2 - 0 = 0 = ln 2ln 2 *4-1 /O *4-1 /O

11 11

lim lim (—(— ii---h---h---h... -ih... -i--) —ln 2) —ln 2 iiii — —kkjojo /2/2 nn + 1 + 1 /// 4/ 4- - 22 2n2n '22

'22 ) ) CalculCalcul ar ar lim lim (—~— 4(—~— 4- - ————-—- +... -—- +... + + ——r-r-^— ^— 77 ))

/,_>x /?^ /,_>x /?^ 44-1-1 nn  4 - 2 “  4 - 2 “ 7777-- 44-/-/ 77 --Solución Solución r r //?? //?? //77 .... rr 11 11 11 11 lim

[—-lim [—---ii — — ~---—~---—4-... H4-... H——  — —) = ) = lim [lim [---::---f —f ——— ———— KK...4...4--- JJ--— — 

+ + 11 « “ 4 -« “ 4 -22“ “ J TJ T4 -4 -/ T / T ^^ ] ] + + ((I ) 2 I ) 2 11+ + ( ±( ±))2 2 l l + + ( - )( - ) 22 7777

//??

//??

nn

= i = iii„„i i V V —— !!—  —  

””^

^x "

x " l

l +

+ ((±±))22 ""

44))1

1 +

+ **““

11

nn

arctg 

arctg  1- 1- arctg arctg  0 = 0 =---0 = 0 = — — 

4 4 44

46

46  Edua Edua rdo rdo EspiEspi noza noza RamoRamo ss arctg(-) arctg(-)

arctg(-) arctg(-)

Calcular

Calcular lim lim (( nn ++ nn

nn — —>x >x 1 -f 1 -f -- lìlì 2 + 2 + nn 7711 44 nn + +nn Solución Solución arctg(-) arctg(-) arctg(-) arctg(-) lim ( lim (--- ---//-»x 1 //-»x 144--nn nn ₊₊ nn 22 4 4--nn 71 71 44 nn + + nn = = lim [ lim [ \_ \_ nn a r a rc tc tg g —— a ra rc tc tg  g   + + 2 2 nn arctg arctg  nn nn ////——>x>x \ \ + + n n 2 2 + + nn ₁₊₁₊n n nn nn " " ui'ctgi ui'ctgi nn) J) J ^ ^ f1f1 l l + + ((——) ) 7777 ^^++AA** nn = lim = lim ¿¿//aa

Integrando por partes se tiene: Integrando por partes se tiene:

it 

it 

 =  = arcarc íg .víg .v

dx dx dx dx dv = dv = 1+ A 1+ A du du --11+ + AA*“*“ v = ln(l + v = ln(l + x) x) arctg  arctg  1+A

1+A dx - dx - arctarctg xg x.. ln( 1+ ln( 1+ x) x) /  /

--/* /* --

ff

lnU + *)lnU + *) 'O 'O X X 1+ 1+ AA22 dxdx = — ln 2 = — ln 2 f1ln(lf1ln(l+x+x )) i) i) 1+ 1+ *2*2 dxdx . . . ( . . . (22)) Ahora haremos x = tg 0 =>

Ahora haremos x = tg 0 => dx dx == sec" sec"OdOd OO, para , para x x - 0; - 0; 0 0 - 0, - 0, x x - - 1;1; 0 0

--í í 

ln(1 + A)ln(1 + A)1+ A1+ A dxdx  =   = T

í í 

T ln(ln( l+f\ + tg~0\ + tg~0l+f ?? 66>>) ) secsec ¿¿00 dd d d 

 Suc

 Suc esioesio nesnes 4747

nn

í í 

4 4 l nl n( l ( l ++ i gi g ## )) ___  ___ 22 see" see"Qd6 -Qd6 -nn \ \— —  44 ln(l ln(l-vtgO)dO-vtgO)dO oo /r /r Como 1+

Como 1+tgOtgO n

n n n seni—- seni—- 0)0) + + sen  sen OO

eos

eosOO++ sen  sen OO ii

eos

eos6 6  eoseos6 6  2 sen

2 sen— — cosí cosí —- 0) —- 0) \/2 \/2 cos(-~ cos(-~ -- 0)0)

4 4 4 4 44 e o s # e o s # e o s #e o s #

í í 

ln(l +ln(l +aa)) 1+ 1+aa22 dx dx — —  7711 _{v 2 cos(-~ --v 2 cos(-~ --6)6)} ln(l + ln(l +tg6)d0tg6)d0= = i i ln- ln- )  )

ff

eos#eos# de  de  ,i|r  ,i|r  J^4 ln

J^4 ln y y fí fí dOdO+ + ln(cos(~- ln(cos(~- -- 0))d0 -0))d0 - ln ln eoseos0 d0 d 00  K   K 

í í 

1+A‘1+A‘

88

//TT ln(l-f-A') , ln(l-f-A') , -7-711, ^ , ^    (( * 4* 4 //  K  K   —:  —:—— —— d x - —  d x - —  lnln 2 2 + + i i ln(cóln(có s(—s(— - 6 ) ) d 0- 6 ) ) d 0

rr

ín(cos0)í/0ín(cos0)í/0 ... (3)... (3) Sea Sea U- U- — — -Q-Q => d=> d u u = -d= -dO, O, 0 0 = 0= 0;; u u - ~- ~ \ \ 0 0 - - —  —    ; u = 0  ; u = 0 4 4 4 4 44

í í 

;r;r ln(cos(— ln(cos(—- - - - #))c/#))c/ # =# =

44 ln(cosz/)(ln(cosz/)( ”^”^ w) w) = = I ln(

rr

I ln( coscosu)duu)du ... (4)... (4) Ahora reemplazamos (4) en (3) se tiene:

Ahora reemplazamos (4) en (3) se tiene:

48

48  Edu Edu ardo ardo EspinEspin oza oza RamRam osos

Ahora reemplazamos (5) en (2) se tiene: Ahora reemplazamos (5) en (2) se tiene:

í í 

arctg arctg  x x ,, nn .. ^^ k \ x ík \ x í2 2 kk ..

--—— —— dx = — dx = — lnln 22 ---= ---= — ln— ln 22...(6)(6) 1+

1+ x x 4 4 8 8 88 Por último reemplazando (6) en (1) se tiene: Por último reemplazando (6) en (1) se tiene:

11 22 77TT arctg- arctg 

arctg- arctg - - T T ] 9] 9

lim (

lim (--- •fir •fir  H H--- —+... H —+... H---^^ ——) =) = — ————— —— 

«->« 1+

«->« 1+n n 2 2 + + n n n n + + nn 88

Est

Est udiaudia r la r la convconv ergeerge ncia de la sucesincia de la sucesi ón ón {£{£>„>„}„}„>,>,, donde:, donde: b„b„ = ^wj'1 = ^wj'1.uy.uy .../í"" .../í"" ,,  P 

 P  con

con itpitp = 1+  = 1+ —— , , calcular su límite si es convergente.calcular su límite si es convergente. nn

Solución Solución

Sea

Sea k k  = lim= lim bfbfl l  => ln=> ln k k  = = ln( ln( lim lim ) ) = li= lim lnm ln(¿(¿>>,;),;)

«« — » 3— » 30 0 / ? —/ ? —> X > X « « — » X— » X lln n //r r ——lliim m ll nn = l= liim m ——llnn^^//jj''11..ww??22 —  — mm*'*' )) /j->x /j->x nn — —>x>x lim — lim —[í/[í/| lní| lní /t/t ++u2u2lnlnu2u2 + ... + ... + un+ unlnlnnn]nn] «« ——> X> X Y\Y\ l i m [ ( 1 + -l i m - [ ( 1 + - )) -l n (l n (l + l + -- ) ) + (+ (1 1 + -+ - )) l nl n( l + ( l + -- ) + . . . + () + . . . + (1 1 + - ) + - ) l n (l n (l + l + - )- ) ]] /;/;——>x>xn n n n n n n n n n n n nn = lim = lim' ' S '  ' ' S '   (l + — (l + —)l)l n(n( ll+ + ——).—= ).—= jj (( l +l +*)ln(l +*)ln(l +*)áx*)áx

««-->

><

<»»

fft

t fft

t JJhh

/= /=ii  In  In k k == (1 (1 ++ x x )) ln(l +ln(l + x) x) dx dx -- [[--ÍÍ——~~ ilil __ lnln (l (l ++ x x )) - - -]-] j j ^=^=22lnln22 33  Suc

 Suc esioesio nesnes 4949

3 3 2 2 In In 2-2 - - - --In Inkk —  — 22ln ln 2 2 — — => => AA' ' == e e 44 = = 4e4e 44 44 lim yi/“1.w”2...w“'' -4¿? 4 lim yi/“1.w”2...w“'' -4¿? 4 >x >x 25)

25) Calcular lim Calcular lim — —  yj(an + b)(an yj(an + b)(an  + 2ft + 2ft )...( )...( an + nb)an + nb)

^

^ //??——»00»00nn

Solución Solución

Sea ~

Sea ~ yj(an yj(an + +b)(tmb)(tm + +2b) .(an2b) .(an + +nb)nb)

ft ft

t)

t) 2 2 22

=

=[’I (a + —)(a[’I (a + —)(a+—b)..+—b).. .(a + — .(a + — b)b)

f t

f t f t f t f tf t

11 / / 00

ln(6/;

ln(6/;) = — ) = — [ln(a[ln(a+ —) -f+ —) -fln(c/ln(c/-f -f — — .6).6)++...++lnln(a +—b)](a +—b)]

ft

ft ft ft ft ft ftft

//?? ////

llnn((//??;;,, )) == ^ ^ lnln(a(a++ ——£) £) —, —, tomando límite tomando límite lim lnlim ln(ft,.) (ft,.) = lim = lim / / ln(tln(t f+ f+ ——/?)/?).— .— 

Z m W

Z m W f t f t f t f t / / -/ / -> X > X ''  f  f ZZ mm mm j j n n nn

/=! /-I

/=! /-I

ln( lim

ln( limbn)=bn)= jj \n(a\n(a + +bx)dx = [xbx)dx = [xln(c/ +ln(c/ +bx)bx) + —ln(c/ + + —ln(c/ +b x )b x )-- xx]] / /

J)

J) bb // 00

ln(#

ln(#++b)b) + ~ + ~ln(aln(a++b)b) - - 11- - — — lnln a -a - ln(aln(a++b)b) + —  + — ln(-ln(- ---— -— -) --) -11 b

b b b b b aa

ll n , n , . . v„ v„ , , , , « « + + £ £ ww/ / . . 11 , , ,,{a{a + 6)A( + 6)A(11aa + +bb))uu ,, ..

- [ l

- [ ln ( f l n ( f l + + AA) ) + l+ l n (n ( - —- — ) ] -) ] - ! = ! = ——l n ( -l n ( - --- —  —   ....  .... —— —— )) -- 11

b

50  Edu ardo Espin oza Ramo s lim In(bn) = In ",\a +,b) a+b n->y _{a .e}a b í/ a a h . e „ , , ..

a

«

a

Calcular lim eos—.eos— .eos— ...eos — 

 _

2

2

>

• 2" 

tí  —>0C

Solución

Sea sen 2a = 2 sen a.cos a => eos c/ = sen 2 a

2  sen a

a

ci

a

sen — sen — sen

——-a a a a  sen a 2 9

eos —.eos- r-. eos — ...eo s— = ---.---.---  — ...---- — 

3 a ^ a _ a a 2   2  "  2 sen

r

2" sen a 2"  sen a 2"  a a a a  sene/

lim eos—.eos— .eos— ...eos— = li m

---2 ---2

2

2"

_{2" sen}

"

2" 

a  z 1 Sea Z = — => —= — , cuando n —>x <=> z —> 0

2"

a 2"

sen«

..

h m ---= sen a. lim sen alim ---(1) =sen « /iX --- ...(2)sen a

>x ü

2   sen r->o a sen z a r->o sen z a a

2" 

Ahora reemplazando ( 2 ) en( 1 ) se tiene:

 Suc esio nes 51

.. a a a a  sen a lim eos—-.eos— .eos— ...eos— =

---*->*>

2

2“

2

2"

a

2 1) Calcular lim n   ( l - t g 2 — ) /?—>x /=1  y

Solución

Sea eos 2x  = eos“?.y- sen “? eos2a* a*-se n2 x 1- t g 2y

sen2a*+ cos2.y 1-1-tg 2 x

l - t g - . v 2 x 2 . , . , „ 2  COS2.V eos 2x =--- — = (1 - tg .v) eos  x  , de donde : 1- tg .v =---- — 

see “x eo s“x l i m * Y ] - t g 2~ )  = l im (1 - t g 2 ~ ) 0 - t g 2 ^ ) . . . ( l - t g 2~ )  w—>x /= i 2  //->x . 2 2" ' « / a eos — eos

(¿r)

/ c o s í / 2 2 \ ,• c ° s a = lim í ---.--- — ...--- ---) = lim --- — ---— • /;-->"c i a •> a?a//~> C OS " - COS - r - C OS " --- C O S Í - j e o s l - r - ) . . . C OS “

2

2

2"

2

' 2

2"

eos.a. li m ---. li m ---= co s. «( l) (--- ) = —  a  «-»x a a a  — e o s — e o s —r . . . e o s — 

2"

2

2

2" 

//->x a  «->x a a a  sen« tu a

eos — eos —eos —r-... eos — b

/, ~> a \ a lim n \ \ - t g " — ) = - — / H X / sI 2 ' t g «

1

1

C a l c u la r l i m ( ...7- ¿ = r -  + —= = + .. . + . ■ )

VT+T V^+2

■

vTT«

Solución

52  Edu ardo Esp inoza Ramo s

i

\¡n24-/2 < -1  Jn 2+ 1 < \  f n 24 1 1 _{<r .} 1 _<r . 1 V« 2 4-n 1y fn 24- 2 \ln2+1 1 _< -1 _< -1  yjn2 +n \l n2+ 3 \ín2+1 1 < - J = < 1

 yjn2+n yjn24-n yjn" 4-1

sumando 1 1 1 ^ 1 . 1 ,  — --- H— " 4 .. . H— — —— —^ —■ ---4* —i —— 4 . .. +n V + n \ r T + n \ n ~ +1  y n ~ +2 1 ^ 1 1 H— ....- < —. ... 4-V «2 4-/2 V/ T 4-1  y¡7r+1 /7 _{< —} ^ 1 1 , , 1 ^ 77 ... — H----==== r 4 ... H--- rr-V«2 +/i V/í +T \[n2 +2 V/ r +/?  yjn ^  +1 Ahora tomando límite se tiene:

lim - jJ L = = <  lim ( .--- — 4~ I = r r + ... + —= = = r ) < lílTl

----/?_>x\Jn2+n ',~>x V//2+1 V«2 4-2  yjn“ +n 4-1

1 1 1

1< lim —j==== + -j== == + >..+ <1 /?_>xV/?2 4-1  yjn2 +2 yjn 2 +n

 Suc esio nes

53

, 1 1 1

~T=Z==="I— r~:---4-...4— - - —1

... + /7

Estudi ar la convergen cia ó divergenc ia de la sucesión {s,, , donde: = 2(^ ) + 3(^) 2+ 4 (i )3 + .„ + (» + i)(i)»

Solución

Sea

= 2(1)+ 3(I)! + 4(l)> + .., + ,„ + ,)(i r

(1)

Multipl icando por a la expresión (1) se tiene* 4

= 2(^ + 3(^ ' +4^ > 4 + - + (« + l)(i)''+I ... (2) Restando la expresión (2) de la expresión (1) se tiene:

//+! W+l

i 5« = ^ + ^ )2P + ^ ) + (“)2 +--- + (^ f 2]-(« + l)(I)« + I

4 S"  + ]- (« + l)( ~) /,+l 4 5 = - 4 . —  r l ( i _ ( l v - i ) i 4 ( /?+0 3 1 2 L3^

V

' j 3 4,,+l

54

*

 Edu ardo Espin oza Ram os

lim

S„

  = lim ( 2 + - L [ l ( i _ ( l ) - i ) ] _ £ Í ^ ± > ) )

»->«

n->® 3 12 3

4

/J 3 4"+l 7

 — {1 - 0 ) ] - —(0) =-2 + !- 0 =

^

3 12 3

J 3

3 9

9

/. lim

S„

= — 

n —>x " 9

Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión {S n } n¿[, donde:

n ki _ 

 1 (23-1)(33-l>...(n3-1)

^ —  TT --- —— , —

---" *=2*3+l

(23+ I)(33+ 1)...(«3+1)

Solución " A?~1 _ (23-l) (33-l) (43-l)...(w3-l ) " *= U 3+1 (23+ 1)(33+ 1)(43+ 1)...(«3+ 1) s

- (2 ~ 1)(22 + 2 4 1)(3 ~ 1)(32 + 3+1)(4~ 1)(42 + 4 +

~ 1)(/?2 +

-

 +

"

(2

+

1)(22

-

2

+

1)(3

+

1)(32

-

3

+

1)(4

+

1)(42

-

4

+!)...(» +

1

)(«2-

n 

 +

1) Como n3- 1= (n - 1)(n" + n + 1), (n + 1)3+ 1= (n + 1+ 1) ((n + 1)" - (n + 1) + 1) = (n + 2)(n2+ n + 1)  _ " A3 - 1 _ 1.2 .3.. .( /? -2 )(/?2 - n + l ) ( w - l) (« 2+ / 7 +1) " *=U-3+l 9A. 5.6.7...n(n2   —3w+ 3)(w+ l)( /r - n + 1)

1.2.3.4.5...(/7 -

2)(n - \)(n2 4-/7

4-1) _ 1.2.3.(/ /-2)(a7-1)(/?“ 4-/7 4-1)

9.4.5.6.7.../7(/7 4-

\)(n2 

-3/7 + 3)

9.n(n 

 + l)(/72 -3/7 + 3)

.. T T ^ 3 - ! 1- 1 . 2 . 3 . ( / 7 - 2 ) (/ 7 - l ) (/ 7 2 4 - «4 -1 ) 6 2 lim I I---= lim n 

x

A'3 +1

n 

-> X

9.//(/7 + 1)(/72 - 3/7 + 3)

9 3

 Suc esio nes

li m n -, T r - I 2

n

(3l)

Calcular lim (— + + ^ + „. + Í^ -L L )

Solución Um ( [ ^ + Í ! i± 0 1 + ...+ í f l 0 l + I ] _ i ) « - > 0 0 w2 „3 „« +1 « n =  ii m ( [ i + ± t i + f c i Æ + . . . + i g i O l ] l - j . ) «-»* n n~ n" n n

lim[(l + ( l+ —) + (l + —) 2+... + (l + —) ") —  1

"-><* n n n n n l i m ( ( 1 + —) - l ) ( l 4- ( l + 4- ( l 4- - i - ) 2 4 - .. . 4- ( l 4- - ) " ) n n n n l i m [ ( l 4- — V - 1 ] - — = e - \ - 0 = e - \ /7->x n n ■ Hm ( í l ü +

(i±0 L

+ + 0 l l 0 1 ) =

 j

 V 2 i .. .i / n -* x> n - n n l ¡ + i 2" n !

32 ) Demostrar que: lim - — : = 0

Solución

56  Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

 _2%!

2"+\(n +1)!

" n" ^ "+l (n + l)"+l lim H->X */»+! _^lim / » - * x

2"+

il

(

h

+1)!

(H+iy,+l

2".n\

n" 

= lim2- y ^ = ,im2^ -»-»* 2"(« + I)',+'.aí! "~*t (n + 1) =2lim (— )"=2 1im[(l +--- 7)-("+1)f = 2 e 1 = -< 1 /;->x

n +

1 /j->x

n

 +1 £ r 2”" ! « Luego por el criterio de la razón se tiene: lim —— = U

»->*

n

(/I2-1)(«2-2)(n2-3)...(«2-«)

.33 ) Calcular lim —--- --- ^— — --- ;— — ---- — 

(//2 +l )( /r + 3)(n" + 5)...(/)“ +( 2/7 + 1))

Solución

(n2

-l)(n2-2)(n2-3)...(n2

-n)

lim — ---r--- ;---

^---n-*K(n +!) («' + 3)(/ r + 5)...(w‘ +( 2n + l))

 Su ce sio ne s ₅₇ l im — y ( l + 2 + 3 +. . .+ « ) - | ¡ m 5 í í ± l í _ i , e'" " e ' ”  2"’  e - -lim(l+3+5+...+(2/1+1)) ~ «(«+1) ~ ~ 6 g— Imv , £ e' - « . ljm (»2-l)(w 2 -2)(w2- 3

 )...(n2-n)

=

*->* («2+ 1)(«2+ 3)(«2 + 5)...(«2+ (2n + 1))

(34 ) Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión,donde:

Solución

Sea  A -   lim  Pn - lim ) , tomando logaritmos en ambos lados

n->»

n — v i 2 3

ri

In(”) +*"(”) +^(

3

) +—+ln(”)

se tiene: In A = li m ---:---Por el criterio de STOLZ.

[ln( ) + ln( ) + ... + ln( ) ]- [ln ( ) + ln(' ) + ... + ln(" )] l n / f = l i m --- ?---?---” ______  _ J  _________ ? ___________  «--»=0

 y

(?)

(!)

0

ln (--- —) + l n( ---— ) + ... + ln (— ^— )

( .)

₁

( " )

₂

D

_n

_— 

₁

= Inn--- — — ---—  w->oo 2/7 — 

1