SUCESIONES
Y
SERIES INFINITAS
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
01 - 02 - 2008
DERECHOS RESERVADOS
|
I Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, ¡
¡ electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó j
1 de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.
1
1 ....
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§
i RUC
N ° 10070440607
1 Escritura Pública
i1?
N° 4484
%
|
1 Hecho el Deposito Legal en la
j Biblioteca Nacional del Perú
N° 2 0 0 7 - 12603.
|
j Ley de Derecho del Autor
N° 13714
1
1 Edición 3ra - Reimpresión 1ro
iii
En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su
3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las
Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como
aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas.
La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es
consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias
brindadas por ios colegas dei área de matemáticas de las diversas universidades del
país.
En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales
propiedades y se demuestran algunos criterios de convergencia no muy usuales.
En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de
algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado
explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas
TELESCÓPICAS .
Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan
explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de
las mismas, así como las series de Taylor.
La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las
propiedades de los Números Reales, del Cálculo Diferencial e Integral y de las
Funciones Especiales.
La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias
Matemáticas, Física, ingeniería, Economía y para toda persona interesada en
fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.
Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras
Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra;
Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que
puedan ser guías de su prójimo
INDICE
c a p ü
BM HI
1.
SUCESIONES.
1.1
Definición
I
i .2
Definición
3
1.3
Definición
5
1.4
Propiedades de Límites de Sucesiones
7
1.5
Teorema •
10
. '• ‘ , . \ ¿ i ./■ : V • . ? ‘ ■ ’ L i "
1.5.1.
Teorema de la Media Aritmética
10
1.5.2.
Teorema de la Media Geométrica
12
tr
•
1.5.3.
Teorema
15
1.5.4.
Teorema del Encaje para Sucesiones
16
1.5.5.
Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones)
i 7
1.6.
Sucesiones Divergentes.
20
1.7.
• Sucesiones Monótonas y Acotadas.
21
1.8.
Teorema
24
1.9.
Teorema
25
1.10.
Sucesiones de Caucby
‘
26
l . 11.
Teorema.- (Fórmula de STIRLINO)
27
1.12.
Teorema.-(Criterio de Stolz-Cesaro)
28
1.13.
Ejercicios Desarrollados
29
1.14.
Ejercicios Propuestos
76
C A P Í T U L O I I
2.
SERIES INFINITAS.
2.1
Definición
98
2.2
Definición
100
N>
K>
2.5
Series Especiales
107
2.6
Series Infinita?; de Términos Positivos
112
2.7.
Teorema
112
.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa)
112
.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Límite)
115
2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D ’ALEMBERT)
117
2.7.4. Teorema (Criterio de la Integral)
119
2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy)
122
2.8.
Series Infinitas de Términos positivos y negativos
125
2.8.1. Teorema (Criterio de Leibniz)
125
2.8.2. Teorema
127
2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes)
130
2.8.4. Teorema (Criterio de RAABE)
133
2.8.5. Teorema
136
2.9.
Ejercicios Des arrollados
137
'2.10.
Ejercicios Propuestos
173
C A P Í T U L O I I I
3.
SERIES DE POTENCIA.
3.1.
Definición
215
3.2.
Propiedades
216
3.3.
Definición
216
3.4.
Diferenciación d e Series de Potencias
218
3.5.
Integración d^Series de Potencia
218
3.6.
Serie de Taylor
219
3.7.
Ejercicios Desarrollados
221
1
C A P ÍT U L O I
1.
S U C E S I O N E S
1.1
DEFINICIÓN.-Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.
Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:
Consideremos una función
S : 7 7 - a R, tal que, V/? g Z t , S(n) e R, es un
elemento de la sucesión.
En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la
sucesión.
Notación.-
A una sucesión infinita Sj , S 2
,... representaremos por
Í S „ }
. Gráficamente se tiene:
1
’ n > I
Z+ /
1
2
3
Ejemplos:
(T)
La sucesión 1, 4, 9, 16... n2, ... se escribe así
{n2 j //>!
( T ) Los cinco primeros términos de la sucesión ¡-—— \ n^ son:
ni
i i
1
1
L
W
” ’ 2 ’
6 ’ 2 4 '
120
( T ) Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...,
En efecto.
S, = 1 = 1 + 0
S2 = 3 = 2 + 1
S3 = 6 = 3 + 3
S4 = 10 = 4 + 6
S5 = 15 = 5 + 10
S, = 21 =
6
+ 15
c
" ~ 1
Sn = /H
J1
2
De acuerdo a la regla de correspondencia de los primeros términos
obtenemos que:
■
" '
'
L + [h)E
n -1
n h
.n
3
©
Luego la sucesión podemos escribir así: (
>
n ( n 4 i)
>n> 1
2
®
Si la sucesión {Sn j
hallar S7.
En efecto: Si = 1
S, = 1
n> 1 está definido por: S| = 1, S2 = 1, Sn+! = Sn + Sn.,,
5 3 = S2 + S, = 1+1 = 2
54 = S3 + S2 = 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión
S5 = S4 + S3 = 3 + 2 = 5
S6 = S5 + S4 = 5 + 3 = 8
S7 = S6 + S5 = 8 + 5 = 1 3
¡1.2
DEFINICION.-Una sucesión {S n } /?>!, se dice que tiene límite L, si para todo c > 0, existe un
número N > 0, tal que: |5;/ - L < £ , para todo n > N y
denotaremos por
lim Sr = L
11—
>X
En forma simbólica , se tiene:
lim S„ = L o V s > 0, 3
N > |S„ - L \ < s
//->«
Ejemplos.-
Usando la definición de límite probar que:
Límite de {
n +1
Solución
n +1
l i m
= 1 »
> 0, 3 N
>
0 / V// >
=> | S„
n—
>qo fj
En efecto: Sw--Z,| =
n +1
t
\
n
—,
n
pero necesitamos que ISn - L
i
= — < 8 ,
/?
de donde: n > —,
luego basta tomar /V > —,
es decir:
8
8
|
|
lim
- 1 <=> V f > 0, 3 N > — / n > N , entonces
n
8
n +1
-1
n
< 8
©
Solución
lim (1 + ( - l ) /? —) = 1 <=> V¿*>0, 3 N = ? ! n > N => |S„ - L
n->cc
/7
En efecto:
&
l
l¡ i + ( - i ) " —_ i
—( - i r -
1
n
n
n
Pero debe cumplirse que 5 - L
n
< 8 ,
para ello hacemos — < £ , de donde:
/?
/7
> N > — .
Luego \ / s > 0, 3 N > -- / \Sn - L\< 8 .
8
8
lim 2 ^ = 1
n-Solución
5
lim 2
= 1 <=> V¿r > O, 3 = ?/» > A'
// —> X “L < s
En efecto:
S - L
n
11
1
2 ^ - |
1
_- > £
<
1
1 - 2 ^
1
7
\fñ
®
Luego:
|SW
- ¿| < 11 - 2 ^ " | = 2 ^ -1 < ¿r => 2 ^ < £ + 1, entonces,
log 2 < log(¿* +1) => 4 n >
l o g 2
?
tomar n > A' > (
—
)“
log(¿r + l)
log 2
log(f + 1)
, de donde:
/
log 2
a
n > ( --- ), hasta
log(¿* + 1)
1.3
D EFIN ICIO
N.-Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene
límite, en
caso
contrario la sucesión es divergente.
Ejemplos.-
Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones
siguientes:
; n + l »
1 O i 1 t/,- ,
2/7 + 1
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular
el límite de la sucesión, es decir:
©
r»
i
t
/7 + 1
Por io tanto {---} >, es convergente.
2/? +1
*
1
> //>1
3/7" —n
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular
el límite de la sucesión, es decir:
2
+
1
lim S„ = lim
= l i m =
-ti—
>x
//—
>x 3/7 — /7
/7->x ^
1
3 “ O
3
n
i
í ^ ^ ~ *
4- ^
Por lo tanto:
{—
/
/ 4 — 1
, es convergente.
3/?“ - n
©
9 /7" ~ 77
Solución .
En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de 1
ó
•
i -
v
/?2 4 - 1
i*
/ 1
{
1
a
1
sucesión, es decir: lim ó • = l i m
— = lim (—■+ — - ) = — + U = — .
;i->*
//->* 2/72
;i-»x 2
2/7
2
2
/7~ + 1
Por lo tanto: ¡
~}„>i , es convergente.
2/7”
{ 3 y ± l }
'2 /í 3 + l ’"£l
Solución
7
En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la
1
sucesión, es decir: lim Sn - lim
3 +
- lim
n
3 ' 3 + 0
2
//—>x
/,- >x 2nJ + 1
"->x ^
1
2 + 0
3
- i -+
77
n
l
, 3«
+ 1
Por lo tanto: {— r
>,, es convergente.
2/; + 1 '
1.4
PROPIEDADES DE LIMITES DE
SUCESIONES.-Consideremos dos sucesiones convergentes
\S„ 1
4
constante, entonces:
i)
lim k = k
n
—>x
i i)
lim k Sn = A' lim
n —>r
iii)
'
lim (ó’ ± 5 ' ) = lim
' II
II '
II
± lim S '
II
iv)
lim
II
II
= lim S r . lim S
II
n—
»x
il—>~s.
~ ... ~ II
II—>r
//—
>>
ii—
^ y.
o
lim
V)
lim
" - /,_>x
, si lim
+ 0
II —
►
x
La demostración de estas propiedades es análoga,
a la de los límites de
funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.
O bservación.-
Para hallar el límite de una sucesión {S/;}w>¡, se calcula el
límite del término n-ésimo de la sucesión S n cuando n —» x ,
es decir:
i
.
*
©
lim (1 + n + n 2) n
n—
»x
Solución
lim (1 + n + n 2)n = lim [(/? + n1 )(1 h---—-)]" *
ii
—> x
//—>x
^
yi~
i “
1
lim (// + /?“ )". lim (1 + --- )
//—>x
//—»x
^ + /7“
lim e¿"("+" + lim [(l + — L _ ) " +'r' ]''("+,': )
/ / —>X / í —>X j j
ln<"+ " : >
lim
' —
i ± ? ü
li
lim
lim e
"
.e
.
I I —> X / / —>Xe " . eM
= ( 1) (1) = 1
lim (1 + // + n~)n = 1
/ / * 4 X©
. .
V 3 / / 3 + 2 « -
1 - \ / 3 « 3 -
2ii
-
1
|im
?
" >X V / 7
+ /7~ + 3 / 7 — V / 7 ” + / 7 " - 3 / 7
Solución
Racionalizando el numerador y denominador.
V3/?3 + 2 / 7 - 1 - >/3/7^ - 2 / 7 - 1
..
4/?( V+73 + /72 + 3/7 + Vft + /7“ — 3/7 )
lim
■
:
= = = = =
= = = = = - h m
= = = = = — = = = = = =
9
-i,;i±¿±Í±)
' ^
3
í z r x + . r ^
2
3
\
2
T
3
n
n
V
n
n
_ 2
1 + 1.
_ _ 2 _ _ 2>/3
3 V 3+ V 3
3
n
/3
9
( T )
l i m ( V 2 / í +-1
- \¡n + \)(\j2n~ +
1 - V « 2 + l ) s e n 2 ( — )
/?—>x
//
Solución
r
.
.
.
' •
Primero racionalizamos a la expresión:
i ^
lim (\¡2n + \-yJn~+\ ){\¡2n2 + 1 - \ l n 2 + 1 )s e n 2 (—)
« - > 0 0 n3
l 2 ,
H
sen (■—)
= lim — ---
---
jJ? = = ---- j=r-...
,,_*x (V2/7 + 1 +
+ 1 ) ( V 2 n~ + 1 + sin2 + 1)
2
~ 3 sen(--) 3 .
n \ - ) 2 {
n
( ~ )
= lim
n
( v/2w + l +
s f ñ + \ )(y
¡2
«2
+ 1
+
+ 1
)
,2
' 3
sen(-> 2
n n ) 2
lim (
ü-)2
II —
>X
(
n
(—)
(yfln
+ 1 +
yjn
+ 1 ) ( V 2 / r + 1 + V /72 + l )
2^
2V2
(V2 + 1)(V2 +1)
(V2 + 1)"'
.
x na + \
r, . ;7(3 + l <g-(---)
l i m [ 3 - 2 ( --- )] 2 »°
l i na
Solución
x f n a + \ .
na -f-1
)
l i m [ 3 - 2 ( — — )] 2
= lim [(l+ — ) 2 ]
n >oo
na
na
na
¿
na
1
x
//<v+l
4
-21im—tg—(---)
" ■
*■
'
na " 2
na
e* ,donde:
r
1
7 T , n a + 1
■
t t . i
x
2
lim — tg — (---) = lim x tg —(1 + x) = —
«->* na
2
na
v~>o
2
;r
1.5
TEOREMA.-1.5.1
TEOREMA DE LA MEDIA
ARITMETICA.-Consideremos una sucesión {an ¡ ,?>] convergente, si lim an = a , entonces:
II
—> X
6fi + ¿2? + ... + ¿Z..
hm — ---- =
«->00
/?
Demostración
Como lim an = a
n —
>oc
=> an = a + Sn , donde: lim Sn = 0 , por lo tanto, a la suma
expresamos asi:
<7, + ¿z2 + ... + cin
a + ó'| + a + S2 +... + a 4- Sp + a -f óp+{ + ... + a +
/?
n
na
$\ + $2 +••• + Sp
S +l + J 2 + ••• + ^
— +
L_ + _i
t---n
n
n
n
Como la suma 8i + S2 + ...+ 8P = k (constante) por ser una suma finita, como:
S:
i - P
< e , entonces:
11
<>p+1 + dp+2 + - + $ n
<
+
^ p + 2
n < M £ , por lo tanto su límite
de,
¿/i +a2 + ... + 0w
n
, es:
//—
lim
>x
Cl i + Ü-) + ... + ün
a
n
Ejemplos:
Calcular los siguientes límites:
©
lim
- -I ..
,H X V16/?2 + 3
Solución
mu -—
=====
— .^
yj\6n2 + 3
Í3
Í5
— +
>
/--- h
¡4
]V
5
'v
6
(/i + 2
n + 3
lim
"->x Vl6«2 +3 "
Í3
Í4
Í5
. í
— + ,
14 y<5 ^/ 6
V
// +
2
n + 3
(—)(1) = —, de donde se tiene:
lim —= JL = = = —
4
4
',_>x \J\6n2 + 3
4
a d e m á s :
lim
//-->x
V n + 3
= 1 y por el teorema de la media aritmética se tiene:
5
n + 2 \ _
—f-... ■+■. /— — i —
1 •
6
V/2 + 3
1
4
5
/7 + 3
l i m —
y .
( 9 H
1--- h...H— --- )
/7—
>X \/l -8 /í3
5
6
” + 4
Solución
r
1
4 5
" + 3
l i m
—I
( 9 H
H
h ... H
)
>i-»oc 3/j _ 8 „ 3
5
6
rt + 4
1.5.2.
9
n
4 5
n + 3 .1 ...
1
1
lim —■■■■■■ —
lim —■======== (— !--- 1-... h— --) — — O 4- (— )(1) — —
"~>x %/l — 8//3
— C
Í ? 5 6
" + 4 "
2
2
donde:
l i m .. - - = = 0, lim —r~~^== - - — y como lim —— = I
" ^
x
V 1 - 8 /
j
3
',->cc v i - 8 n 3
2
«-** n + 4
1 4
5
/? + **
por el teorema de la media aritmética se tiene:
lim
+ --- - ) = 1
»->x // 5
6
77 + 4
TEOREMA DE LA MEDIA
GEOMETRICA.-Consideremos una sucesión {«„}„>] convergente, si lim an - a , entonces:
/ / —►X
Demostración
Como
lima,, = a => ln( lim a„) - l n ( a ) , de donde:
lim (ln(aw)) = ln(n),
w-»x
n
—>x
//—>x
]
sea */„ = (¡/a,,a2—an ^ *n?/// = ^ y j a l .a1...an = — (ln <r/, + ln a 2 +... + ln¿z/?)
~
n
Tomando límite cuando n —> oc y aplicando el teorema de la media aritmética
lim ln(í//;) = lim — (ln ¿/, + ln a2 + ... + ln an )
//—»x
>oo
/7
,
ln¿/, +ln¿7-, + ... + lna„
•
/
.
,
ln(lim un )= l i m
5---
1 = ln(hm ^ a ^ a 2...an ) = \na
//->x
/Í-»X
//
>x
Levantando el logaritmo en ambos miembros:
lim !¡Ja].a1-..an = a
//—>x
13
lim "i
'3 5 7
2« + l
«->ot V 5 8 11
3/7 + 2
Solución
Se observa que: a, = — , a-, = —, ún = — , . .
1
,
de donde:
1
5
2
8
3
1 1
"
3/7 + 2
lim ¿7,; = lim --- -- = —, luego el teorema de la media geométrica se tiene:
A/-»QO
//—
>X 3/7 + 2
3
2
3 5 7
2/7 + 1
lim ” —
.— ...—
-/,->x V 5 8
11 3/7 + 2
3
©
lim J Ü 2 , I " Í . . . Í W
n->ceyln(5) l nl ü
ln(5/í)
Solución
Se observa que: a¡ =
ln3
In 5
lnó
ln 10
?
ln(3/7)
ln(5//)
, de donde:
lim a
n—»x
tiene:
n
lim -- - - -- = 1 ,
luego por el teorema de la media geométrica se
/;—
>x ín(5/?)
, l n 3
l n ó
l n ( 3 / 7 )
l i m
"I
. --- . . . ---= 1
»->o
o
V
l n 5
l n 1 0
l n ( 5 / ? )
r
OBSERVACION.-
Existen limites que se calculan mediante la integral
definida (veamos el caso particular)
Para la integral definida sobre el intervalo [0,1], de donde
b - a
1 - 0
1
= --- = --- = — ,
c
n
n
n
i
i
i
t = a + /Ar = 0 + — = — => c ¡ = —
n n
n
■l i m
y-lim
*
é
i) , >OQ
1 *i
1
n n
Ejemplos.-
Calcular los siguientes límites:
/J-»X
fj
Solución
Al límite dado lo expresaremos en una integral definida
+
+ ... + sÍel
i * l / “
“
li m --- = lim — (en +e" + ... + e n )
/;—>oc
ti
//—>x
fj
lim — S> ' é,,? = j
áv - ex / = e - 1
//->x
77
JL
/ o
/ = !
/// . nT 2 .
. n¡ n
..
yje + yje + .,. + \le
l i m --- = e -1
//—>x
/7
//
®
l i m
//—>x
r + n
?
4-
o
/•=I
Solución
7 4-77“
/?->* / ...4 / 2 , 1
77 ^
lim
^ * ^ ( 1 ) 2 + 1 " ^ nÁ- ? \ + (I)2
77
/?
r1 ¿v
j ) i + * 2
¿vrc/g
x I
/ o
= «rc/g 1 -
arctg 0 =
--- 0 =
4
( T )
lim
16
+
2
6 +... +
7
t
?6
77—
>X
^
Solución
15
lim---
= lim _((_)«> + (-)*+... + (-)")
«->x
n
n-+K n n
n
n
= , i m l V ( V = f , V v = ^
/
«->* a?
n
J }
7 /
’ ■' = 1 - 0 = 1
o
7
7
lim
l6 + 26 + ... + M
6
I
n->*
;j7
7
1.5.3.
T E O R E M A .-
Demostrar que:
lim r n = 0 , si 0 < r < 1 y si r > 1,
/ I - 4 X
lim r" =
+
og/?—>x,
Demostración
De acuerdo a la definición 1.2 se tiene: V £ > 0, buscaremos un numero
N > 0, de tal manera que:
r" - 0 < ¿r, V n > N
In
Luego: r ” - 0 = r n <
<=> n ln r < ln 8 o
n >
= N , puesto que
Inr
ln s
0 < r < 1,
por lo tanto: dado e > 0, 3 N = —— , tal que:
ln r
V n > N -
, es decir: lim r" = 0
lnr
Ejemplos.-r n - 0
< ¿
,
2
2
1J
lim (—)" = 0 puesto que r = — < 1
//-»x 3
3
©
4
4
lim (—)" = +oc puesto que r = — > 1
1.5.4.
TEOREMA DEL ENCAJE PARA S I
CESIONES.-Si V / ? g Z + , 3 N > 0 , tal que: a„
<
cn < hn
, V n > N y si
lim an
= lim bn
= L
, entonces lim cn - L
ii—
>00
n—
►x
11—
^x
Demostración
Por hipótesis tenemos: lim an
= L
<=> V c>0, 3 TV, > 0 / n > N ]
=>
- ¿|
< £
,
.
//—
>x
es decir:
L - e <
a
< L + ¿;
. . . ( o
lim bn = L
<=> V e > 0
,
3 N 2 > 0
/ n
> N 2
=> |fy, - L\ < £ , es decir
II—^X
L~s <b„ < L + £
Sea /V = max [ N ], A2}, entonces tenemos:
L - s < an
< c#7 <bn < L + s , de (1), (2) e hipótesis
Luego tenemos L - e < cn < L + e
=>
cn
- ¿| < ¿'
Por lo tanto, dado s >
0
,
3 N
= max
{
A ,, W2
}
, tal que:
n > N => |c„ - L < e , de donde: lim
= £ , por definición 1.2.
Ejemplo.-
Probar que lim c o s = 0
/?—>x
//
Solución
\f n e Z + , -1 < cos n < 1, como n e Z + => — > 0 , entonces
1
17
1
C0S'7 ^ 1
i-
1
r
1
a
— < --- < — , y como lim — = lim — = 0
n
n
n
n
¡¡
r
w
i o
i-
eos(n)
_
Luego por el teorema 1.8, se tiene: l i m --- = 0
n—
//
Ejemplo.- Demostrar que: lim yfa +b" = b , 0 < a < b
//—»x.
Solución
Como 0 < a < b => 0 <
=>
< a" + bn < 2b" => b < \[an + b n < y¡2b
como lim b = lim \¡2b = b , entonces por el teorema 1.8 se tiene:
>x
//—
»x
lim yfci'1 + b n - /}
II—
>OC
1.5.5.
TEOREMA.-
(CRITERIO
DE
LA
RAZON
PARA
LA
CONVERGENCIA DE
SUCESIONES).-Sea [Sn] _ una sucesión de números reales.
/!> 1
Si lim
n—
>x
n - \
n
< 1, entonces lim Sn - 0 y por lo tanto. La sucesión {Sn }
,
//—
>x
es convergente.
Dem ostración
Por hipótesis se tiene: lim
S
ii-ii
< 1 , sea r un número real, tal que:
lim
rt—
> OC
/I—
1
S.
n
< r < 1 z z > 3 N > 0 / ' lim
n
n-Sn
< r , siempre que n > N
Sea p g Z + / p > N
5
p
< r =>
p
< r
S, , de donde:
Sp+2 < r V+1
< r'
5
/>
, en general se tiene:
< r
S.
, de donde: - r
S,
5
/’
como 0 < r < 1 => lim/*' = 0 (teorema 1.7)
k
—y
x
Luego l i m - r
k
—>x
5
p
k
- 0 y por el (teorema 1.8) se tiene:
lim S k = 0 , por lo tanto:
A->x
lim
= 0
Ejemplos.-
Demostrar que:
5"
lim — - 0
//-»x //!
Solución
Sea S/
í
5"
;
j
!
■tf+l=>
S„
=
(« + !)'
, entonces por el criterio de la razón:
lim
II
—»x
/?+!
lim
//—> x
■//+!
(« + !)!
■//
/?
lim
//—
>x
az
!5
/?+
i
(/?
h
- 1) ! 5"
= l im 0 < 1
n + 1
5"
Luego por el teorema (1.9) se tiene:
lim — = 0
19
©
n
lim — = O
/?—
»x y 1
Solución
Sea S n = — => 5 , - - - -
,
entonces
n
yi
/, + 1
-y/+l
lim
/;—
>x
// +1
5n
= lim
/7->x
(w +1).3"
n.3
n+l
. .
/? + 1
1
= li m
= - < 1
' 3 n
3
n-n
Luego por el teorema (1.9) se tiene: lim — = 0
// —>QC 3 "
®
lim — - 0
n ^
n—
>x fjn
Solución
Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes.
Sea S
n
n\
s
n
n
_
(n )!
"+1 " ( H + i r 1
, entonces:
lim
//—
»x
*n+\
n
lim
//—
>x
(/> + !)?
( « + l ) " +l
n\
n
n
lim A," (W + 1)! = l i m ( Í L )
-/? + 1
lim [(1 + -—í - ) _<"+l)j - ("+l> = e í-«+i = e- ‘ = i - < |
«-^x
n + 1
/7 J
Por lo tanto por el teorema 1.9 se tiene:
lim —1 = 0
Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede
ser, divergente a + oo ; a - oo u oscilante.
a)
DEFINICIÓN.-
Sea [Sn}
, una sucesión, diremos que: Sn —> +oc ,
cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal
que: Sn > M , V n > N
O
I 1
Ejemplo.-
Probar que lim 3“/?
= +oo
n —
>oo
Solución
V M > 0 , 3 N - ? (que depende de M), tal que:
32" 1 > M => (2n — 1)ln 3 > InM , es decir n >
f 1) = Ar
2 ln 3
b)
DEFINICIÓN.-
Sea {S„}/7>1 , una sucesión, diremos que: Sn - > - o c ,
cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal
que: S n < - M , V n > N
Ejemplo.-
Probar que lim 1 — 2/7 = -oo
//—»oc
Solucem
V M > 0, 3 N = ? / l - 2 n < - M => n >
= N
Luego V M > 0, 3 N = — — / 1 - 2n < -M, V n > N
21
c) DEFINICIÓN.-
Si la sucesión {^w}w>l diverge, pero
no a - oo, ni
a +
oo,
y además toma valores positivos y negativos en
forma alternada, diremos que la sucesión {Sn }
, es oscilante.
Ejemplo.- La sucesión
j ( - l ) ” j
es oscilante, pues la
sucesión es
-1, 1 ,-1 ,..., si n es par
lim ( - 1 ) " = 1 y cuando n es impar
w—
lim ( - l) " = - 1 , Luego
¿f lim ( - l ) " , por lo tanto, no es convergente; pero
>7—
>oo
n >x
tampoco diverge a
+oo,
ni a
-oo,
por lo tanto, es oscilante por definición c).
a)
DEFINICIÓN.-
Sea {Sn
, una sucesión, entonces:
i)
Si Sn < S n+l, V n > N => la sucesión
es creciente.
¡i)
Si Sn+]< S n , V n > N => la sucesión
^ es decreciente.
A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.
OBSERVACIÓN.-Si Sn < S n+l
diremos que la sucesión es estrictamente creciente.
Si
Sn+l
<
su
diremos que la sucesión es estrictamente decreciente.
Ejem
plos.-Determinar si la sucesión {—- — } >, es creciente, decreciente o no monótona.
2/7 +1
1 2 3 4
n
n + 1
Escribiremos los elementos de la sucesión
3 ’ 5 ’ 7 ’ 9
2// + 1 ’ 2/? + 3
Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo
cuando n crece.
,
7 7 / 2 + 1
. f .
En general tenemos:
<
... (1)
2/7 + 1
2/7 + 3
La desigualdad ( 1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en
al cual podemos afirmar que es valida.
Así por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:
2/7_ + 3/7 ^ 2/7“ + 3/7 + 1
... (2)
La desigualdad (2) es valida porque el miembro de la derecha
es igual al de la
izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.
Es decir: Sn < Sn+l, luego la sucesión es creciente.
Determinar si la sucesión {—}/;>i es creciente, decreciente o no monótona.
ti
Solución
Escribiremos los elementos de la sucesión {— }n>], 1, — , — , —
— ,
---n
2 3 4
/7 /2 + 1
Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van decreciendo
cuando n crece.
1
1
En general tenemos:
< —
•••(!)
23
La desigualdad (1) escribiremos en otra desigualdad equivalente para ver su
validez.
n < n + 1
... (2)
La desigualdad (2) es validad porque el miembro de la derecha es igualdad al
miembro de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.
Luego S n+] < S n , entonces la sucesión es decreciente.
y
b) DEFINICION.-
Ai numero A le llamaremos cota inferior de la
sucesión {£„} . si A < Sn , V n e Z + , y al numero
B le llamaremos cota superior, si Sn < B , V n e Z + .
Ejemplos.-I )
En la sucesión {—- — }/;>¡, una cota inferior es cero, cuyos elementos
2 n +1
1 2 3
n
.
.
1
son:
otra cota interior es - , en general una cota
3 5 7
2/2 + 1
3
.
1
inferior es menor o igual que — .
2jp
En la sucesión
el 1 es una cota superior, en general cualquier
n
número mayor o igual que 1 es cota superior.
c)
DEFINICIÓN.-
Si A es cota inferior de {S„}n>{ y A > C para toda
cota inferior C de {S,,}
; entonces A ser llama la
Si B es cota superior de {*£„} >, y si B < D para toda cota superior D de
{S n }„>| ’ entonces: B se llama la mínima cota superior de {Sn }w>j .
f
d)
D E FIN IC IÓ N .-
La sucesión {S,,}
diremos que esta acotada, si y
solo si, tiene cota superior e inferior, es decir:
|Sk | < k , V // e Z + .
Ejemplo.-
La sucesión {— \n¿x es acotada.
n
Sea [Sn}
una sucesión, entonces:
i)
Si [Sn
es creciente y acotada superionuente, entonces
es
convergente.
ii)
Si {5W}
es decreciente y acotada interiormente, entonces {Sn
}m
>1 ,
es
convergente.
Demostración
i)
{^/i}w>1» es
ac°tada superiormente, por hipótesis a
=
mínima cota
superior de [Sn}
, dado un número 8 > 0,' se tiene que a - s, no es
cota superior de {£„}>. , pues a - 8 < a
y a es la mínima cota
superior de la sucesión como
a - 8
no es cota superior, 3 un número
entero positivo N > 0, tal que: a - s < Sn , V n > N ... (1)
Tenemos Sn < a , V n e Z + ... (2),
a es la mínima cota superior.
25
Luego S„ < Sn pero n > N
.... (4),
De (1), (2), (3) y (4) , se tiene que:
a - 8 < Sn < Sn < a < a + 8
siempre que n > N => {Sn }
es convergente y su límite es la mínima
cota superior,
ii)
La demostración es similar que (i).
r
OBSERVACION.-
El teorema establece que toda sucesión monótona y
acotada es convergente.
1.9
TEOREMA.-Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración
Para demostrar que:
Sn < k , V n
Sea {SAJ}
, una sucesión convergente y sea L su límite, es decir:
lim S n = L
V s > 0
tenemos: Sn - L < s , V n > N
Sn = S„ - L+ L => Sn < S „ - L + | L\ < £- + |¿ |d e donde: S„ < ¿r + |¿ |, V n>N
1.10. SUCESIÓN DE
CAUCHY.-a)
DEFINICION.-
Sea
ana sucesión, se dice que es una sucesión
de cauchy, si para todo £•>(), 3 N > 0 / m > N , n > N
entonces
S - 5
• ni
n
< £
.
Ejemplos.-©
La sucesión {—}„>] es de Cauchy.
n
En efecto: V € > 0, 3 N = ? / V m > N, n > N
< £
Sn | -
1
1
m
n
— 0 < c , V n.
ií)
Si m > n => S m - Sn
1
ni
n
=
n
< — pero debe cumplir qué:
m
n
ISm — S n < £ => ~ < £ de donde: n > — = N , (m > n > N). Luego
n
£
bastará tomar
-- — .
i
1
1
1
1
1
S
-
S
Si n > m =>
K-s„
— —< —
como
m
n
m
n
m
< £ ,entonces: — < £ => m > — = N . Luego bastará tomar N = — (n >m>N).
m
£
£
©
La sucesión {—— }„>| , es de cauchy.
n
27
K-s,,
n i
4 -1
n
4-1
m
n
_i__ i
w n
, se reduce al ejemplo anterior, luego bastará
tornar N
-1.11. TEOREMA.- (FORMULA DE
STIRLING).-Demostrar que para n grande: n\ = yjlirn n"e ” aproximadamente.
Demostración
Por definición de la función GAMA, se tiene:
f (n + 1) =
x ne Xdx -
e
•//In.v-.v i
ax
La función n Ln x - x, tiene un máximo relativo para x = n (queda como
ejercicio probar).
Haciendo la sustitución x = n + y en la ecuación (I):
r v
, i\
-a
I
«ln(/;+v)-v
j
-n
„
l ( « 4 - 1) = e
i e
■
a y ~ e
\ e
//ln/?+//ln(l + -)-Y
"
dv
-n
... (2)
2
3
X
X
También se conoce que: ln(l
4*
x) ~ x
k —
-2
3
... (3)
y
i
Para n grande, una buena aproximación es:
Í
hX__________________ _______e e íh = y ¡ 2 x n r í ' e ~ "
—, ( 5 )
X
Además f(/? + l) = w!
... (6)
Por lo tanto de (6) en (5) se tiene:
ni = sflñ n n"e
ti -n
yjnl
Ejemplo.»
Calcular l i m
---/;~>x
/7
Solución
\¡ni
n e xi,2¡2nn
1
—
li m
= l i m --- = - lim ~\¡2nn
/;->x
i\
>x
fj
£ n
—>x
J
1
lim In
- y j l n n
1
—~ —
1
Hni—
j
1
= - e " ~ 2,1
= e " = e =
-e
e
e
e
e
1.12. TEOREMA.- (CRITERIO DE
STOLZ-CESARO).-Sea {£/„}„>i y {bn \n¿| , dos sucesiones tal que:
i)
Si lim an = lim
= 0 y la sucesión {/>„}/>>!* es monótona ó.
//—>x
//—>x
ii)
Si lim bn = +oc ,
y la sucesión
, es monótona, entonces:
//—»x
lim ^ = lim a"+i
a" = /l
"~>x t>„
"-*x b„+i-b„
_ ,
,
ln(/?!)
Ejemplo.»
Calcular li m
29
Solución
Sea
a„ = ln(«!)
b„ = ln(n")
a„+l = l n ( « + l)!
l
*
h
+
i
=ln(/7 + l)"+l
,im f!» = lim
= lim J K » + D! - l n « !
bn
" ^ K + \ - K
w—
>x ln(/7 + \ )n^ ] - ln n n
- l i m
/?
(/7 4- l)ln(/7 + 1) ~/7 ln .77
l i m
//—>x
ln(/7 +1)
77. ln(— —) 4- ln(/7 4-1)
7?
= lim
/»—
>x
ln( l
4
- /
7
) ”
lne
1
I
i
ln 14- ln e
1
ln(l + - - ) + ln(l 4-n ) n
77
lim ^
= 1
// —VX;ln(n")
1.13. EJERCICIOS
DESARROLLADOS.-®
Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión
(2w + 5)2"+5«"~3
(4
h
+ 1)',+2(« + 3)2"
Solución
ó1., =
(2/? + 5)2" " V ~ 3
/-v \2
ii
+5/i . ^ \2/?+5 /;-3
( l n)
(1 + — )
n
l n
(4« + l)',+2(K + 3)2"
(4/j)«+2(1 + ± )»+2n2»(1 + 2 )2»
4/7
77
2 2"+5/i2"+V
_V
2"(1 + — ) 2"+5
2 2n+5n 2+” (l +
—
) 2" +s
2 n
2 n
4 "+2nl,+2 (1 + -^-)"+2 (1 + - ) 2"
22n+4 > r 2 (1 +
(1 + - ) 2"
4
n
n
4/i
n
2(1 +-—-)2,l+5
2 n
(l + - - )"+3(1 + - ) 2
4/?
/?
2 n 5 ( 2 u + 5 )
2[(1 + — )T ] ^ ' ~
2-5
_s
lim S„ = lim
=2—
—— = —-— = 2e 4
, 4„( — )
3 - < - >
- ,
[1+ — ]
4,1 [1 + - ] 3 "
e 4e6
4/7
n
( T )
Calcular lim V2n6 +1 s e n ( - ^ - ) . s e n ( ^ ^ - ) . s e n ( ^ ^ - )
//—
>x
fj -f*
1
/7 4- 1
/7 4- 1
Solución
s e n ( - ^ - ) = sen(;r — — ) = sen(—— )
n 4-1
n 4-1
/? 4-1
/ 3/777* \
/ -
37T \
/ 3/T \
sen(
) = sen^3/r
j = sen^
j
n 4-1
n 4 - 1
// 4-1
sen(
= s e n ( 5 ;r -
- --) = sen(-1-- - ) , de donde:
n 4-1
n 4-1
/ ? 4-1
lim y¡2nb
+ 1
s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ ^ - ) . s e n ( 1- ^ )
//—
A7 4- 1
/7 + 1
/? 4- l
lim V2/76
4-
1
s e n ( —
) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - )
31
= lim -7— - " - ( / ? + 1)3 sen(—
) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - )
(n + \Y
n + \
n + Y
77 + r
y ¡ 2 n 6 + 1
\jn +1l ) 3
>/ 2
t
76 + 1
í 77 + 1I)3
l i m
i . . l i m ( / ? + l ) 3 s e n ( —:— ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) ... ( i )
„ - > x ( „ + i V
, - > x V
K n + V
77 + T
/? + 1
y jln 6 +
1
rz
lim —--- — =
v2
...(2)
'?-*x (/? + l )3
1
1
Sea
z =
---
n +1 =
— ; •
cuando
n - » ce,
z
—» 0
77
+ 1
z
lim (az + 1)3 sen(
).s e n (
) . s e n ( - ^ - - ) = lim z 3 sen ;rz.sen 3/rz.sen 5/r.
11
> x
/? + 1
77
+ 1
77 + 1
r - > x
..
sen/rZ _ sen3;rZ . sen 5/rZ
, . *
= lim 7T
.3/T---.>/T--- = \37T
...(3)
/tZ
3 nZ,
5
ti
Ahora reemplazamos (2), (3), en ( 1)
lim J~2n" + 1 sen(---~ -).s e n ( ~ — ) . sen(—
) = 15\/2/r3
77 +
1
/? -f
1
77
+
1
•• %
.
1
1
13«
( 7 )
Calcular lim z?6f—=====
W
V ; r + 3
+ 3
\/«" + 3
J
Solución
lim ^ [ _ L = _ _ L =rp = lim nH
"~>x
f n 2 + 3
^ ; j " + 3
"“**
’<Jn2 + 3
%//;" + 3
6
'«2 + 3
n
3„
lim — 7 — ^- (1 — W——
)
«-**(71+3)
. V/z" + 3
r
V + 3
„
///' +3
i¡m( 4 V [ ( i J £ i i ) f e ]
-/,->x n ~ +3
V n +3
- 3 lim/;
{ h ~ r
,
_ ( 1) e
v«"+3 - ^ ^ donde: lim «y,
n->x
« “ + 3
n ~
+ 3/?
/,.--- = hm n
---V
a
? " + 3
«->* V
a
? " + 3
= lim «I
- - +3) = lim ?i
-//—
>x \ n”(l+ 3n ")
\ 1 + 3/7 "
/72 + 3
..
I , / / r + 3 \
L n { n ~ + 3 ) - L n
(1+3// " )
1 mi — ¿ / / y --- — y
l i m
---(?
v l + 3 / / " /
— g " ' '
n
— ( P —
1
Aplicando la regla de L ’Hospital
®
3 ( ^ 7 l ->/«)
Evaluar
lim -
t
- - ...
—
//-> x
2ÍV /7
+ 1
- s / n \
Solución
Racionalizando numerador y denominador
3 í
yfñ~+
T —-\/77 J
^
11 V /T + T —V
lim — — —
— = — lim
/?
//—
2(>/w+T->/í?)
2 «-►* i( ^ ( /| + 1)2 + ^//7>//i + l + y[¡¡2 )
3
VA?+ 1 - >//7
= — lim
2
x ^ / / ? 2 -i- 2
n
+
1 + %//72 + /?
+yfñ~
- lim
^
1
1
1
+ — + —
9
}
/?“ /?
/7
2 / / - > x /
2
1
/
1
'l + - + - y + 3/1 + - + 1
3 3
3 (
O + 0 + 0
(
3 (
O
^
^
2 ^
U Í T o
+ H i +Ó + 1 ~ 2 1 + ] + 1
'
3 ( </rt+”l - I f ñ )
lim ——— z~
— = O
/7_>x 2Í v n + 1 — \ n j
!
( ? )
Calcular el límite: lim n(a" - 1 ) ,
a > O
n—
»x
Solución
Hacemos Z =
\ j
a - 1 => sfa - Z +1 => —án a = ln(l + z) de donde:
n-I
ln (1 + z)
Ina
-
—
z=>
n =
—
, cuando
n ~> oo
z
—»
0, entonces:
n
Ina
ln(l + z)
t-
( ~
1 \
i -
ln<2
,
1
,
i
lim n y a ” - 3) - lim — :--- z - ln a. lim --- ~ = ln a.---- = ln a .
--->oln(í + z)
-->o
i
íne
ln(l-fz)-Lim n ( a n - 1) = ln a
n —
>x
( ? )
Estudiar la convergencia ó divergencia dé l a sucesión {7^?}„>, donde:
T
(3/? + l)2 (/? -f 7),,+2
(3/7
+
(/7~
+ 5) ^ ) (/7 + 3)/?
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de la sucesión calcularemos el
límite de Tn, es decir:
( 3 « +
1)2 (rt + 7)
2
lim
Tn
= l i m ---j---
-
--- = lim
77—»X
//—>x
J.
//—»x
,//
(377 + («2 + 5)2 ) (/; + 3)'
,im ( Í l 2 ) . Bm VSTTAT7
» - » *
77
+ 3
«-+*
(« + 7 ) + /3« +1 V« + 7
(« + 3)" ( 3/7 + V0? + 5)
77+-3
- / 3 H—^ ^ /1
H----l i m ( ( H----l + --- ) 4 ) ' ,+3. H----l i m
—---7 —---7 — > X / / - j -3
7 7 — > x/
5
3 + 4 /1 + —
rr
lim— r
^|3 + 0^¡\+Ó
4 n/3
¿
7
" >' 77+-.' _________ ____________ — / +
---3+VTTo
4
V
3
Como lim 7^, =
, por lo tanto la sucesión
} /;>1 , es convergente.
77~>X
4
2 ^ 7 7 - 1
