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De la lista de las posibles 5 formas en que pue- de terminar el patrón funcional de un paciente dos conjuntos diferentes de 3 posibles terminaciones serían: {BALANCEADO - AB, FGRUPO - AB, FGRU- PO - CB} y {FGRUPO - CB, BALANCEADO - AB, FGRUPO - AB}, ambos tienen los mismos elemen- tos en diferente orden, en caso de considerar que son diferentes por el orden, se trata de una permu- tación. Si se considera que son idénticos porque tienen los mismos elementos, se denominan com- binaciones. Es decir que con las permutaciones el orden implica diferencia.
Definición: El número de permutaciones de n ele-
mentos tomados r a la vez es:
nPr= n!/(n-r)!
Es importante anotar que 0!=1, y 1!=1.
Ejemplo:
Para un ortodoncista, la forma en que termina el patrón funcional del paciente es muy importante, es decir que debería permutar, en este caso es:
5P3 = 5!/(5-3)! = 5.4.3.2.1/2.1 = 5.4.3=60 Es decir que tres pacientes que ingresan a la clínica de ortodoncia podrían terminar su tratamiento de 60 formas diferentes.
Si la forma en que final el patrón funcional un pacien- te no importara se estaría tratando una permutación:
Definición: El número de combinaciones de en
elementos tomados r a la vez es:
nCr=n!/{r!(n-r)!}
Ejemplo:
Si al ortodoncista, le parece que de cualquier forma que el paciente termine es correcta y no interesa el posible orden, las posibilidades en que 3 pacientes terminen en 3 de las 5 posibles formas de finalizar el patrón funcional serían:
5 C 3 = 5 ! / 3 ! ( 5 - 3 ) ! = 5 ! / 3 ! 2 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 / (3.2.1.2.1)=5.2=10 posibles formas.
diStriBUCioneS de ProBaBilidad
Una variable aleatoria es el resultado de un evento aleatorio.
Variable aleatoria Discreta: En una investiga-
ción de implantología, estudiaron la formación de células al realizar un implante de un dispositivo en hueso de conejo, a la 5ª semana obtuvieron las siguientes células, a las que le asignaron código, osteocitos (código 1), osteoblastos (2), fibroblastos (3), mesenquimatosas (4) y eritrocitos (5), la Varia- ble aleatoria es la clase de célula hallada y los có- digos son los valores de la variable aleatoria. Esta variable es denominada aleatoria discreta pues solo puede asumir ciertos valores enteros y resulta principalmente del conteo.
Variable aleatoria continua: En Rehabilita-
ción Oral se estudió la distancia en micrómetros entre el margen del muñón protésico y el margen del borde protésico en prótesis fija de tres unidades con balanceo sin ser seccionada antes de ser trata- da con láser, los valores variaron entre 16 y 239.7 micrómetros, ésta variable es continua ya que toma valores en un rango dado.
Definición: Una distribución de probabilidad es
un despliegue de todos los posibles resultados de un experimento junto con las probabilidades de cada resultado.
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Para el caso de implantología la distribución fue:
Células formadas Código Probabilidad
osteocitos 1 45%
osteoblastos 2 15%
fibroblastos 3 5%
mesenquimatosas 4 15%
eritrocitos 5 20%
Definición: El valor esperado de una variable
aleatoria discreta es la media ponderada de todos los resultados en los cuales los pesos son las proba- bilidades respectivas de todos los resultados.
µ=E(X)=∑XiP(Xi)
El valor esperado de células por corte óseo es: µ= E(Xi) = 1 * 0,45 + 2 * 0,15 + 3 * 0,05 + 4 * 0,15 + 5 * 20% = 2,5, es decir entre 2 y 3 células de cada clase.
Definición: La varianza de una distribución de
probabilidad es:
V(Xi)=σ2=∑{ (Xi-µ)2P(Xi) }
Definición: La desviación estándar es:
.σ=√σ2= √(∑{ (Xi-µ)2P(Xi) })
La desviación estándar de células por corte óseo es: .σ= √((1-2.5)2+(2-2.5)2+(3-2.5)2+(4-2.5)2+(5-2.5)2)
=3.35
Es decir respecto de la media hay una desviación de 3.5 células, usando intervalos de confianza ro- bustos, podemos afirmar que:
• Con una confianza del 68%, en un corte óseo hay entre (0 y 2.5+3.5≈6 células) de cada clase. • Con una confianza del 95%, en un corte óseo hay entre (0 y 2.5+2*3.5≈10 células) de cada clase. • Con una confianza del 99%, en un corte óseo hay entre (0 y 2.5+3*3.5≈13 células) de cada clase.
diStriBUCiÓn de ProBaBilidad Binomial
Por el teorema de Bayes se encontró que la pro- babilidad de sentir dolor dado que se usó ARCOC es del 67%, utilizar éste retenedor presenta dos posibilidades, sentir o no dolor, y la sensación en un paciente es independiente de la sensación en otro, éste es un experimento Binomial, cuyo origen se debe a Jacob Bernoulli, quien definió un expe- rimento Binomial o de Bernoulli, como aquel que posee las siguientes propiedades:
• Sólo debe haber dos posibles resultados. Uno se identifica como éxito y el otro como fraca- so. Un éxito no necesariamente es un resultado deseable. En ésta investigación, el éxito es la sensación de dolor, con el uso del retenedor. • La probabilidad de éxito es constante de un
ensayo a otro, igualmente sucede con la pro- babilidad de fracaso.
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• La probabilidad de éxito en un ensayo es total- mente independiente de cualquier otro ensayo. • El experimento puede repetirse muchas veces. La probabilidad que de n pacientes, x presenten dolor se define por la fórmula Binomial:
Teorema: El valor esperado y la varianza de una
distribución Binomial están dados por: µ=np, y, σ2=np(1-p) respectivamente.
Ejemplo: Como en la investigación de Ortodon-
cia sobre la relación entre sintomatología dolorosa articular y el uso de dos tipos de retenedores orto- dóncicos, ARCOC y ESSIX, aplicada a 32 pacien- tes, 16 con un retenedor y el otro respectivamente, se cumplen las propiedades de la distribución Bino- mial, se podría hacer las preguntas,
• De 10 pacientes en tratamiento cual es la pro- babilidad que 5 presenten sensación de dolor, si usan ARCOCC?
• De 10 pacientes en tratamiento cual es la pro- babilidad que 3 o menos presenten sensación de dolor, si usan ARCOCC?
• De 10 pacientes en tratamiento cual es la pro- babilidad que 7 o más presenten sensación de dolor, si usan ARCOCC?
• Gráficamente, cual es la distribución de la sen- sación dolorosa por el uso de ARCOC?
Solución:
• De 10 pacientes en tratamiento cual es la pro- babilidad que 5 presenten sensación de dolor, si usan ARCOCC?
Usando la función de distribución de la Binomial:
f(x)= , donde:
.p= probabilidad de sentir dolor con ARCOC = 0.67 .n=10 pacientes
.x=5 pacientes
=
=0.133=13.3%
Es decir que de 10 pacientes que usen ARCOC, la probabilidad que 5 sientan dolor es del 13.3%. • De 10 pacientes en tratamiento cual es la pro-
babilidad que 3 o menos presenten sensación de dolor, si usan ARCOCC?
Usando la acumulada de la Binomial desde x=0 hasta x=3, donde n=10 y p=0.67, se tendría:
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Es decir que hay una probabilidad del 3.4% que 3 o menos pacientes sientan dolor con el uso de ARCOC.
• De 10 pacientes en tratamiento cual es la pro- babilidad que 7 o más presenten sensación de dolor, si usan ARCOCC?
= 1-0.0032 = 0.997 = 99.7%.
Es decir la probabilidad que 7 o más pacientes sientan dolor con el uso de ARCOC es del 99.7%. • Gráficamente, cual es la distribución de la sen-
sación dolorosa por el uso de ARCOC?
diStriBUCiÓn de PoiSSon
Una variable aleatoria de gran utilidad en la me- dición de la frecuencia relativa de un evento sobre alguna unidad de tiempo, espacio, o volumen es
la Distribución de Poisson. En estudios de Ele-
mentos Finitos bajo simulación para investigacio- nes de Ortodoncia y Rehabilitación Oral se aplica
mucho la razón de Poisson o media equivalente a la razón del módulo de Young que es la relación entre esfuerzo y deformación de una material sin sobrepasar su límite.
La distribución de Poisson fue ideada por el mate- mático francés Simeon Poisson (1781-1840), la cual mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de tiempo, espacio o volumen. Para aplicar ésta distribución se deben tener en cuenta dos supuestos:
• La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio.
• La ocurrencia del evento en un intervalo es in- dependiente de la ocurrencia de otro intervalo cualquiera.
Con supuestos la función de probabilidad de Pois- son se define como:
Teorema: La media y la varianza de una distribu-
ción de Poisson son:
µ=λt, y, σ2=λt respectivamente
Ejemplo: En una investigación durante 2010, para
comparar tridimensionalmente la distribución de es- fuerzos y deformaciones en la unidad dento alveo- lar, el alambre y el bracket en el cierre de espacios; utilizando brackets de autoligado, por análisis de elementos finitos. Se encontró que las propiedades mecánicas de los materiales utilizados fueron:
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Material (Objeto) Módulo Elástico (Mpa) Relación de Poisson
Hueso Cortical 13.700 0,33
Dentina 20.000 0,3
Ligamento Periodental 0,98 0,49
Acero Inoxidable 193.000 0,29
Fte: Chiquiza y Colaboradores CIEO.
Utilice la distribución de Poisson, para con las re- laciones obtenidias en la investigación, medir la probabilidad de deformación, en cada uno de los materiales. Grafíque.
Solución:
Para medir la probabilidad de deformación en Hueso cortical, aplicando la función de Poisson se tiene: Deformación (Kg/cm2) 0 1 2 3 4
Observe que en hueso cortical al utilizar bracket de autoligado aplicando una fuerza de 0kg/cm2 la
probabilidad de deformación es del 72%, (en otras palabras, la probabilidad que no haya deforma- ción (0), por el uso de bracket de autoligado es del 72%).
Gráfica:
BiBliograFia
1. Triola M, Triola M, Biostatistics for biological and healt sciencies, Ed Pearson Addison Wesley, (2006)
2. Moore, David, Statistics:Concepts and Controversies (5ª. Ed.), Freeman, Sn Francisco, 2001.
3. Armitage p, Berry G, Estadística para la Investigación bio- médica, Ed. Doyma, 1987
4. Steel R, Torrie J, Bioestadística: Principios y procedimien- tos, Ed. Mc Graw Hill, 2ad Ed. 1988.
5. Ardila G. Notas Bioestadística, Rev. Odontos Edición. 38. Ed. Kimpres LTDA. 2012.
6. Walpole M. Estadísticas para Ingeniería y Ciencias. (8ª Ed.) Ed. Pearson 2010.
7. Devore J. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. (6ª ed.) Ed. Thomson.2007.
8. Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Methods, 3a Ed. New York: John Wiley & Sons, Inc 1996.
9. Tukey, T.W. Exploratory Data Analysis. Redaing. Mass: Addison-Wesley Publishing Co. Ind. 1977.
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